電子科技大學,電磁場與電磁波,典型例題

1、求無限長線電荷在真空中產(chǎn)生的電場。求無限長線電荷在真空中產(chǎn)生的電場。 E解：取如圖所示高斯面。解：取如圖所示高斯面。由高斯定律，有由高斯定律，有0( )SQE r dS0( ) (2)lrlE rrl e02lrEer分析：電場方向垂直圓柱面。分析：電場方向垂直圓柱面。 電場大小只與電場大小只與r r有關。有關。r例例典型例題典型例題 a解：解：1) 1) 取如圖所示高斯面。取如圖所示高斯面。在球外區(qū)域：在球外區(qū)域：r r a a0( )SQE r dS20( ) (4)rQE rre204rQEer分析：電場方向垂直于球面。分析：電場方向垂直于球面。 電場大小只與電場大小只與r r有關。有關

2、。半徑為半徑為a a的球形帶電體，電荷總量的球形帶電體，電荷總量Q Q均勻分布在球體內(nèi)。均勻分布在球體內(nèi)。求求：（：（1 1） （2 2） （3 3）( )E r( )E r( )E r在球內(nèi)區(qū)域：在球內(nèi)區(qū)域：r r a arr0( )SQE r dS32043( ) (4)rrE rre304rQrEea334QQVa例例2 2）解為球坐標系下的表達形式。）解為球坐標系下的表達形式。2030()()4()()4rrQerarEQreraa22300()1()()4raQrrrarra300034EQa3 3）0301( )404QrEQra 半徑為半徑為a a的球形電介質體，其相對介電常數(shù)的

3、球形電介質體，其相對介電常數(shù) , ,若在球心處存在一點電荷若在球心處存在一點電荷Q Q，求極化電荷分布。，求極化電荷分布。4r解：由高斯定律，可以求得解：由高斯定律，可以求得SD dSQ24rQeDr0PDE在媒質內(nèi)：在媒質內(nèi)：023316rQeEr24rQeEr體極化電荷分布體極化電荷分布: :PP 221()0rr Prr面極化電荷分布面極化電荷分布: :SPrP e2316Qa在球心點電荷處：在球心點電荷處：2344pSPspQQQa 例例 在線性均勻媒質中，已知電位移矢量在線性均勻媒質中，已知電位移矢量 的的z z分量為分量為 ，極化強度，極化強度 求：介質中的電場強度求：介質中的電場

4、強度 和電位移矢量和電位移矢量 。220/zDnC m292115/xyzPeeenC mDED解：由定義，知：解：由定義，知：00DEPDP1(1)rPD4zrzzDPD1rrDP43P014ED例例半徑為半徑為a a的帶電導體球，已知球體電位為的帶電導體球，已知球體電位為U U，求空間電位分布及電場強度分布。求空間電位分布及電場強度分布。解法一：導體球是等勢體。解法一：導體球是等勢體。ra時：時：0UE 例例ra時：時：200r arU221()00r arddrr drdrU120r arccrU aUrE ()()sinreeaUerrrr 2raUer解法二：電荷均勻分布在導體球上，

5、呈點對稱。解法二：電荷均勻分布在導體球上，呈點對稱。 設導體球帶電總量為設導體球帶電總量為Q Q，則可由高斯定理求得，在球外空間，電場，則可由高斯定理求得，在球外空間，電場強度為：強度為：204rQEer001()44aaQQUE drra04QaU2raUEer2rraUE drdrraUr 同軸線內(nèi)導體半徑為同軸線內(nèi)導體半徑為a a，外導體半徑為外導體半徑為b b。內(nèi)外導體間內(nèi)外導體間充滿介電常數(shù)分別為充滿介電常數(shù)分別為 和和 的兩種理想介質，分界面半徑為的兩種理想介質，分界面半徑為c c。已知外導體接地，內(nèi)導體電壓為已知外導體接地，內(nèi)導體電壓為U U。求求:(1):(1)導體間的導體間的

6、 和和 分布；分布； (2) (2)同軸線單位長度的電容同軸線單位長度的電容12ED abc12分析：電場方向垂直于邊界，由邊界條件可分析：電場方向垂直于邊界，由邊界條件可知，在媒質兩邊知，在媒質兩邊 連續(xù)連續(xù)D解：設內(nèi)導體單位長度帶電量為解：設內(nèi)導體單位長度帶電量為l由高斯定律，可以求得兩邊媒質中，由高斯定律，可以求得兩邊媒質中，2lrDer1122/EDED例例 12cbacUE drE dr12lnln22llcbac12212lnlnlUcbac 1221(lnln)UDcbrac 221121()(lnln)()(lnln)UarccbracEUcrbcbrac 球形電容器內(nèi)導體半徑

7、為球形電容器內(nèi)導體半徑為a a，外球殼半徑為外球殼半徑為b b。其間充其間充滿介電常數(shù)為滿介電常數(shù)為 和和 的兩種均勻媒質。設內(nèi)導體帶電荷為的兩種均勻媒質。設內(nèi)導體帶電荷為q q，外外球殼接地，求球殼間的電場和電位分布。球殼接地，求球殼間的電場和電位分布。12 a12b分析：電場平行于介質分界面，由邊界條件分析：電場平行于介質分界面，由邊界條件可知，介質兩邊可知，介質兩邊 相等。相等。ESD dSq2122()rDDq2122()rEEq解：令電場強度為解：令電場強度為 ，由高斯定律，由高斯定律E2122 ()rqEer 1211( )()2 ()brqrE drrb 例例 同軸線填充兩種介質

8、，結構如圖所示。兩同軸線填充兩種介質，結構如圖所示。兩種介質介電常數(shù)分別為種介質介電常數(shù)分別為 和和 ，導電率分別為，導電率分別為 和和 ，設同軸線內(nèi)外導體電壓為，設同軸線內(nèi)外導體電壓為U U。求：求：(1)(1)導體間的導體間的 ， ， ； (2)(2)分界面上自由電荷分布。分界面上自由電荷分布。1221EJ 2a2b2c11 22 a22 11 EJ解：這是一個恒定電場邊值問題。不能直接應用解：這是一個恒定電場邊值問題。不能直接應用高斯定理求解。高斯定理求解。設單位長度內(nèi)從內(nèi)導體流向外導體電流為設單位長度內(nèi)從內(nèi)導體流向外導體電流為I I。則：則：rIJeS()2rIearcr由邊界條件，邊

9、界兩邊電流連續(xù)。由邊界條件，邊界兩邊電流連續(xù)。例例 由導電媒質內(nèi)電場本構關系，可知媒質內(nèi)電場為：由導電媒質內(nèi)電場本構關系，可知媒質內(nèi)電場為：111()2rJIEearbr222()2rJIEebrcr12bcabUE drE dr12(lnln )(lnln )22IIbacb120212ln( / )ln( / )UIb ac b 12021()ln( / )ln( / )UJarcb ac b r 201121()ln( / )ln( / )rUJEearbb ac b r102221()ln( / )ln( / )rUJEebrcb ac b r22()crE drbrc112()bcr

10、bE drE drarb2 2）由邊界條件：）由邊界條件： 在在 面上：面上：ra11SD n12021ln( / )ln( / )Ub ac b a 在在 面上：面上：rc21021ln( / )ln( / )Ub ac b c 32SrD e 在在 面上：面上：rb221()SrDDe2112021()ln( / )ln( / )Ub ac b b 平行雙線，導線半徑為平行雙線，導線半徑為a a，導線軸線距離為，導線軸線距離為D D 求：平行雙線單位長度的電容。（求：平行雙線單位長度的電容。（aD)aD) DxyPx解：設導線單位長度帶電分別為解：設導線單位長度帶電分別為 和和 ，則易于求

11、得，在，則易于求得，在P P點處，點處，ll102lxEex20()2()lxEeDx12EEE011()2lxexDx導線間電位差為：導線間電位差為：D aaUE dx0lnlDaa0ln()lnCDaa例例 計算同軸線內(nèi)外導體間單位長度電容。計算同軸線內(nèi)外導體間單位長度電容。 解：設同軸線內(nèi)外導體單位長度帶電量分別為解：設同軸線內(nèi)外導體單位長度帶電量分別為 和和 ，則內(nèi)外導體間電場分布為：，則內(nèi)外導體間電場分布為：ll102lrEer則內(nèi)外導體間電位差為：則內(nèi)外導體間電位差為：內(nèi)外導體間電容為：內(nèi)外導體間電容為：baUE dr0ln2lba02lnlnQCUba例例 由邊界條件知在邊界兩邊

12、由邊界條件知在邊界兩邊 連續(xù)。連續(xù)。E解：設同軸線內(nèi)導體單位長度帶電量為解：設同軸線內(nèi)導體單位長度帶電量為SD dSQ110(2)rl ErlEQ110(2)lrEer 110ln(2)blabUE dra 同軸線內(nèi)外導體半徑分別為同軸線內(nèi)外導體半徑分別為a,ba,b，導體間部分填充介質，導體間部分填充介質，介質介電常數(shù)為，介質介電常數(shù)為 ，如圖所示。已知內(nèi)外導體間電壓為，如圖所示。已知內(nèi)外導體間電壓為U U。求：導體間單位長度內(nèi)的電場能量。求：導體間單位長度內(nèi)的電場能量。例例 110(2)lnlnlUba (lnln )rUEeba rlbb0112221011122eVVWE dVE dV

13、2210122221111(2)2(lnln )2(lnln )bbaaU lU lrdrrdrbarbar21101(2);2 (lnln )U lba 兩種方法求電場能量：兩種方法求電場能量：或應用導體系統(tǒng)能量求解公式或應用導體系統(tǒng)能量求解公式12eiiiWqU12ellWU110(2)lnlnlUba 21101(2)2 (lnln )Uba 21101(2) 2(lnln )elU lWba 已知同軸線內(nèi)外導體半徑分別為已知同軸線內(nèi)外導體半徑分別為a,ba,b，導體間填充介質，介質，導體間填充介質，介質介電常數(shù)為介電常數(shù)為 ，導電率為，導電率為 。已知內(nèi)外導體間電壓為。已知內(nèi)外導體間電

14、壓為U U。求：內(nèi)外導體間的求：內(nèi)外導體間的 1 1） ;2 2） ;3;3） ;4;4） ; 5; 5） ;6;6）0EJlCelWs分析：為恒定電場問題。分析：為恒定電場問題。 電荷只存在于導體表面，故可用靜電場高電荷只存在于導體表面，故可用靜電場高斯定理求解。斯定理求解。解法一：應用高斯定理求解。解法一：應用高斯定理求解。設內(nèi)導體單位長度電量為設內(nèi)導體單位長度電量為 則則SD dSQ2lrDer2lrEer例例 (lnln )2blaUE drba2(lnln )lUbalab (lnln)rUEeba r(lnln )(lnln )brUbrE drba(lnln )rUJEeba r

15、2(lnln )llCUba212(lnln )ellUWUba1( )( )2eVWD rE r dV解法二：間接求解法解法二：間接求解法由于內(nèi)外導體間不存在電荷分布，電位方程為由于內(nèi)外導體間不存在電荷分布，電位方程為200r ar bU1()00r ar bddrr drdrUlnlnlnlnbrUba(lnln )rUEeba r (lnln )rUJEeba r2(lnln )QlCUba212(lnln )eU lWQUba2ln( / )SlUQD dSb a2(lnln )lQlCUba解法三：恒定電場方法求解解法三：恒定電場方法求解令由內(nèi)導體流向外導體單位長度總電流強度為令由內(nèi)

16、導體流向外導體單位長度總電流強度為I I，則，則2rIJerl/2rJI lEer(lnln )2blaIUE drba2(lnln )lUIba(lnln )rUJeba r(lnln )rJUEeba r2(lnln )QlCUba212(lnln )eU lWQUba2ln( / )SUlQD dSb a 導體球殼，內(nèi)徑為導體球殼，內(nèi)徑為b b，外徑為，外徑為c c，球殼球心為半徑為，球殼球心為半徑為a a導體球，導體球帶電量導體球，導體球帶電量Q,Q,中間充滿兩種介質，介電系數(shù)分別為中間充滿兩種介質，介電系數(shù)分別為1 1和和2 2，介質分界面如圖所示。，介質分界面如圖所示。求：（求：（

17、1 1）空間場分布）空間場分布E(r)E(r)； （2 2）空間電位分布；）空間電位分布； （3 3）電容；）電容； （4 4）系統(tǒng)電場能量。）系統(tǒng)電場能量。解：由邊界條件知，解：由邊界條件知， 連續(xù)。連續(xù)。E（1 1）rara，該區(qū)域為導體空間，故：，該區(qū)域為導體空間，故： =0=0； E a a rbrb，由高斯定理有，由高斯定理有SD dSQ2122()rEQ例例 2122()rQEer1112122()rQDEer2222122()rQDEerQcba21b b rcrcrc，204rQEer （2 2）求電位分布。）求電位分布。rcrc，04rQE drr04Qcarbarb，()b

18、rcE dr 01211()42 ()QQcrb ra,ra,01211()42 ()QQcab brcbrara時時2IHr 當當rara時時2221222IrIrHIrraa 例題例題 半徑為半徑為a a的無限長直導體內(nèi)通有電流的無限長直導體內(nèi)通有電流I I，計算空間磁場強度，計算空間磁場強度 分布分布H 例題例題 內(nèi)、外半徑分別為內(nèi)、外半徑分別為a a、b b的無限長中空導體圓柱，導體內(nèi)沿軸的無限長中空導體圓柱，導體內(nèi)沿軸向有恒定的均勻傳導電流，體電流密度為向有恒定的均勻傳導電流，體電流密度為 導體磁導率為導體磁導率為 。求。求空間各點的磁感應強度空間各點的磁感應強度BJ xyz0J分析

19、：電流均勻分布在導體截面上，呈軸對稱分布。分析：電流均勻分布在導體截面上，呈軸對稱分布。解：根據(jù)安培環(huán)路定律解：根據(jù)安培環(huán)路定律 在在rara區(qū)域：區(qū)域：0CH dlI20Hr0H 在在arbarbrb區(qū)域：區(qū)域：2202()HrJba220()2JHbar 所以，空間中的所以，空間中的 分布為：分布為：22022000()( )()()2()()2raJB rra earbrJra erbrB 例例 無限長線電流位于無限長線電流位于z z軸，介質分界面軸，介質分界面為平面，求空間的為平面，求空間的 分布和磁化電流分布。分布和磁化電流分布。B xz10I分析：電流呈軸對稱分布。可用安培環(huán)路定律

20、分析：電流呈軸對稱分布?？捎冒才喹h(huán)路定律求解。磁場方向沿求解。磁場方向沿 方向。方向。e解：磁場方向與邊界面相切，由邊界條件知，解：磁場方向與邊界面相切，由邊界條件知，在分界面兩邊，在分界面兩邊， 連續(xù)而連續(xù)而 不連續(xù)。不連續(xù)。HB由安培環(huán)路定律：由安培環(huán)路定律：CH dlI2HrI2IHer01(0)2(0)2IezrBHIezr介質磁化強度為：介質磁化強度為：1000()2IBMHer體磁化電流為：體磁化電流為：0rzmrzeeerrJMrzMrMM 面磁化電流為：面磁化電流為：101000()()22smzrIIJMneeerr在介質內(nèi)在介質內(nèi)r=0r=0位置，還存在磁化線電流位置，還存

21、在磁化線電流I Im m。由安培環(huán)路定律，有：。由安培環(huán)路定律，有：00(1)mmrlBIIdlIII1010()(1)msmrIIII也由電流守恒的關系求磁化線電流也由電流守恒的關系求磁化線電流分析：內(nèi)導體為粗導體，故內(nèi)導體存在內(nèi)自感。分析：內(nèi)導體為粗導體，故內(nèi)導體存在內(nèi)自感。因此同軸線自感由同軸線內(nèi)自感和內(nèi)外導體間互因此同軸線自感由同軸線內(nèi)自感和內(nèi)外導體間互感組成。感組成。解：設同軸線內(nèi)導體載流為解：設同軸線內(nèi)導體載流為I I，則由安培環(huán)路定律，知，則由安培環(huán)路定律，知020()2()20()IreraaIBearbrrb 例例 求同軸線單位長度的自感。設同軸線內(nèi)徑為求同軸線單位長度的自感

22、。設同軸線內(nèi)徑為a a，外徑，外徑為為b b，內(nèi)外導體間為真空。導體磁導率為，內(nèi)外導體間為真空。導體磁導率為 ab0同軸線單位長度自感由內(nèi)導體內(nèi)自感和內(nèi)外導體互感構成。即：同軸線單位長度自感由內(nèi)導體內(nèi)自感和內(nèi)外導體互感構成。即：ioLLL a1dra 如圖，在內(nèi)導體內(nèi)取一長為單位長度，寬為如圖，在內(nèi)導體內(nèi)取一長為單位長度，寬為drdr的的矩形面元，則通過該面元的磁通為：矩形面元，則通過該面元的磁通為：022iIrdB dSdra 令與令與 所交鏈的電流為所交鏈的電流為I I, ,可知可知d2222IIrIraa 若將整個內(nèi)導體電流看作若將整個內(nèi)導體電流看作1 1匝，則與匝，則與 交鏈的電交鏈的

23、電流為流為 d22()IrNIa匝 由磁鏈定義，知與由磁鏈定義，知與 對應的磁鏈為：對應的磁鏈為：d3042iiIrdNddra 整個內(nèi)導體單位長度的內(nèi)磁鏈為整個內(nèi)導體單位長度的內(nèi)磁鏈為3004028aiiIrIddra 08iiLI 故內(nèi)導體單位長度的內(nèi)自感為故內(nèi)導體單位長度的內(nèi)自感為 易求得，內(nèi)外導體間單位長度磁鏈為：易求得，內(nèi)外導體間單位長度磁鏈為：00ln22boaIIbdrra 0ln2oobLIa00ln82iobLLLa 例例 求雙傳輸線單位長度自感。設導線半徑為求雙傳輸線單位長度自感。設導線半徑為a a，導線，導線間距為間距為D D。(Da)(Da) yxDIIdxxDx分析：導線為細導線，故只需考慮導體間分析：導線為細導線，故只需考慮導體間的互感。的互感。解：由安培環(huán)路定律，可以求得在導體間解