第四章自動(dòng)控制原理胡壽軌跡法

1、4-1 4-1 根軌跡法的基本概念根軌跡法的基本概念4-2 4-2 繪制系統(tǒng)根軌跡的基本法則繪制系統(tǒng)根軌跡的基本法則4-3 4-3 控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法 學(xué)習(xí)指導(dǎo)與小結(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與小結(jié)4-1 4-1 根軌跡法的基本概念根軌跡法的基本概念 rkkdktkqitpiteBeAAtckki110)sin()( qirkkkkimjjsspszsabsRsCs1122100)2()()()()()( 1948年，伊凡思提出了一種確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根的圖解年，伊凡思提出了一種確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根的圖解法法根軌跡法。在已知開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布的基礎(chǔ)上，當(dāng)某根軌跡法。在已知開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)分布的基

2、礎(chǔ)上，當(dāng)某些參數(shù)變化時(shí)，利用該圖解法可以非常方便的確定閉環(huán)極些參數(shù)變化時(shí)，利用該圖解法可以非常方便的確定閉環(huán)極點(diǎn)。點(diǎn)。 定義：當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從定義：當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從0時(shí)，閉時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在環(huán)系統(tǒng)特征根在s 平面上的變化軌跡，就稱作系統(tǒng)根軌跡。平面上的變化軌跡，就稱作系統(tǒng)根軌跡。一般取開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)（根軌跡增益一般取開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)（根軌跡增益Kg）作為可變參數(shù)。）作為可變參數(shù)。式中，式中，K為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)比例系數(shù)。為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)比例系數(shù)。 Kg = 2K 稱為系統(tǒng)的開(kāi)稱為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)根軌跡增益。環(huán)根軌跡增益。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：ggKssKs 2)

3、(2 )2()2(2)15 . 0( ssKssKssKsGg Ks(0.5s+1)+R(s)C(s) 解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為： s2 + 2s + Kg = 0 求得閉環(huán)特征根為：求得閉環(huán)特征根為：gKs 112, 1(1) Kg= 0：s1 = 0,s2 = 2,是根跡的起點(diǎn)是根跡的起點(diǎn)(開(kāi)環(huán)極點(diǎn)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)),用用“”表示。表示。 2 j 0 1(2) 0 Kg1：112, 1 gKjsKg= 0Kg= 0Kg=1KgKg )2( ssKsGg 根據(jù)根據(jù)2階系統(tǒng)根軌跡的特點(diǎn)，可以推得階系統(tǒng)根軌跡的特點(diǎn)，可以推得n階系統(tǒng)，會(huì)

4、有如下的階系統(tǒng)，會(huì)有如下的結(jié)論：結(jié)論：（1）n階系統(tǒng)有階系統(tǒng)有n個(gè)根，根軌跡有個(gè)根，根軌跡有n條分支條分支 ；（2）每條分支的起點(diǎn)）每條分支的起點(diǎn) (Kg= 0)位于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)處；位于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)處；（3）各分支的終點(diǎn)）各分支的終點(diǎn)(Kg )或?yàn)殚_(kāi)環(huán)零點(diǎn)處或?yàn)闊o(wú)限點(diǎn)；或?yàn)殚_(kāi)環(huán)零點(diǎn)處或?yàn)闊o(wú)限點(diǎn)；（4）重根點(diǎn)，稱為分離點(diǎn)或匯合點(diǎn)。）重根點(diǎn)，稱為分離點(diǎn)或匯合點(diǎn)。 2 j 0 1Kg= 0Kg= 0Kg=1KgKg 如果高階系統(tǒng)的根軌跡如果高階系統(tǒng)的根軌跡有可能進(jìn)入有可能進(jìn)入s 右半平面，此右半平面，此時(shí)根跡與虛軸交點(diǎn)處的時(shí)根跡與虛軸交點(diǎn)處的Kg 值，成為臨界開(kāi)環(huán)增益。值，成為臨界開(kāi)環(huán)增益。2.穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)

5、性能 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，系統(tǒng)屬于一個(gè)極點(diǎn)，系統(tǒng)屬于1 型系型系統(tǒng)，因而根規(guī)跡上的統(tǒng)，因而根規(guī)跡上的Kg 值值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv的的2倍。如果給定系統(tǒng)對(duì)倍。如果給定系統(tǒng)對(duì)ess 有有要求，則對(duì)要求，則對(duì)Kg有要求，由根有要求，由根跡圖可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位置跡圖可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位置的容許范圍的容許范圍 2 j 0 1Kg= 0Kg= 0Kg=1KgKg 2 j 0 1Kg= 0Kg= 0Kg=1KgKg 當(dāng)當(dāng) Kg = 1時(shí)，閉環(huán)兩時(shí)，閉環(huán)兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)重合，系統(tǒng)為臨個(gè)實(shí)極點(diǎn)重合，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍響界阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為非周期過(guò)程

6、，無(wú)超調(diào)，應(yīng)為非周期過(guò)程，無(wú)超調(diào)，響應(yīng)速度慢。響應(yīng)速度慢。 。 當(dāng)當(dāng)Kg 1時(shí)，閉環(huán)極時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為衰減振蕩過(guò)程。階躍響應(yīng)為衰減振蕩過(guò)程。)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)R(s)C(s)+H(s)該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為: D(s) = 1 G(s)H(s) = 0 或或 G(s)H(s) = 1若將系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)若將系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)寫(xiě)成如下形式：寫(xiě)成如下形式： njjmiiggpszsKsNs

7、MKsHsG11)()()()()()( 式中式中Kg為系統(tǒng)的根跡增益，為系統(tǒng)的根跡增益， zi 為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，pj為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。上述方程又可寫(xiě)為：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。上述方程又可寫(xiě)為：gnjjmiiKpszs1)()(11 “-”號(hào)，對(duì)應(yīng)負(fù)反饋，號(hào)，對(duì)應(yīng)負(fù)反饋， “+”號(hào)對(duì)應(yīng)正反饋。號(hào)對(duì)應(yīng)正反饋。 由于滿足上式的任何由于滿足上式的任何s都是系統(tǒng)的閉環(huán)零極點(diǎn)，所以當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)都是系統(tǒng)的閉環(huán)零極點(diǎn)，所以當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如構(gòu)參數(shù)，如Kg在某一范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，由上式制約的在某一范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，由上式制約的s在在s平面平面上描畫(huà)的軌跡就是系統(tǒng)的根軌跡。因此上式稱之為系統(tǒng)的根

8、軌跡上描畫(huà)的軌跡就是系統(tǒng)的根軌跡。因此上式稱之為系統(tǒng)的根軌跡方程。方程。根軌跡的幅值方程：根軌跡的幅值方程：gnjjmiiKpszs111 根軌跡的幅角方程：根軌跡的幅角方程：)64()12()()(11 kpszsnjjmii式中，式中，k=0，1，2，（全部整數(shù)）。（全部整數(shù)）。（4-6）通常稱為）通常稱為180 根軌跡；（根軌跡；（4-7）稱作）稱作 0 根軌跡。根軌跡。 根據(jù)這兩個(gè)條件，可完全確定根據(jù)這兩個(gè)條件，可完全確定s平面上根軌跡及根軌跡上任一平面上根軌跡及根軌跡上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Kg值。幅角條件是確定值。幅角條件是確定s平面上根軌跡的充要條件，因此，平面上根軌跡的充要條件，

9、因此，繪制根軌跡時(shí)，只需要使用幅角條件；而當(dāng)需要確定根軌跡上各點(diǎn)繪制根軌跡時(shí)，只需要使用幅角條件；而當(dāng)需要確定根軌跡上各點(diǎn)的的Kg值時(shí)，才使用幅值條件。值時(shí)，才使用幅值條件。)74(2)()(11 kpszsnjjmiignjjmiiKpszs1)()(11 p2p3 j 0p1z1s1 1 1 2 3 在s平面找一點(diǎn)s1 ，畫(huà)出各開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量。 檢驗(yàn)檢驗(yàn)s1是否滿足幅角條件：是否滿足幅角條件： (s1 z1) (s1 p1) + (s1 p2) + (s1 p3) = 1 1 2 3 = (2k+1) ？ 如果如果s1點(diǎn)滿足幅角條件，則是根軌跡上的一點(diǎn)。尋找點(diǎn)滿足幅角條件，則是

10、根軌跡上的一點(diǎn)。尋找在在s 平面內(nèi)滿足幅角條件的所有平面內(nèi)滿足幅角條件的所有s1 點(diǎn)，將這些點(diǎn)連成光滑點(diǎn)，將這些點(diǎn)連成光滑曲線，即是閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。曲線，即是閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。 在在1948年，伊凡思（年，伊凡思（W.R.Evdns）提出了用圖解法繪）提出了用圖解法繪制根跡的一些基本法則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌制根跡的一些基本法則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡草圖，在根軌跡草圖的基礎(chǔ)上，必要時(shí)可用幅角條件跡草圖，在根軌跡草圖的基礎(chǔ)上，必要時(shí)可用幅角條件使其精確化，從而使整個(gè)根規(guī)跡的繪制過(guò)程大為簡(jiǎn)化。使其精確化，從而使整個(gè)根規(guī)跡的繪制過(guò)程大為簡(jiǎn)化。4-2 繪制系統(tǒng)根軌跡的基本法則4.2.1 4

11、.2.1 繪制繪制180180根軌跡的基本法則根軌跡的基本法則 法則法則1 1 根軌跡的連續(xù)性根軌跡的連續(xù)性 由于根軌跡增益是連續(xù)的，根也是連續(xù)的，根軌跡當(dāng)然也是連由于根軌跡增益是連續(xù)的，根也是連續(xù)的，根軌跡當(dāng)然也是連續(xù)的。利用這一性質(zhì)，只要精確畫(huà)出幾個(gè)特征點(diǎn)，描點(diǎn)連線即可續(xù)的。利用這一性質(zhì)，只要精確畫(huà)出幾個(gè)特征點(diǎn)，描點(diǎn)連線即可畫(huà)出整個(gè)根軌跡。畫(huà)出整個(gè)根軌跡。gnjjmiiKpszs111 )64()12()()(11 kpszsnjjmii 由于閉環(huán)特征根是實(shí)數(shù)或者共軛復(fù)數(shù)，因此根軌跡是關(guān)于實(shí)軸由于閉環(huán)特征根是實(shí)數(shù)或者共軛復(fù)數(shù)，因此根軌跡是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的。利用這一性質(zhì)，只要繪制出實(shí)軸上部的根

12、軌跡，實(shí)軸下對(duì)稱的。利用這一性質(zhì)，只要繪制出實(shí)軸上部的根軌跡，實(shí)軸下部的根軌跡可由對(duì)稱性繪出。部的根軌跡可由對(duì)稱性繪出。 n階系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程有階系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程有n個(gè)根。當(dāng)個(gè)根。當(dāng)Kg 從從0連續(xù)連續(xù)變化時(shí)，變化時(shí)，n個(gè)根將繪出有個(gè)根將繪出有n條軌跡分支。因此根軌跡的條條軌跡分支。因此根軌跡的條數(shù)或分支數(shù)等于其閉環(huán)特征根的個(gè)數(shù)，即系統(tǒng)的階數(shù)。數(shù)或分支數(shù)等于其閉環(huán)特征根的個(gè)數(shù)，即系統(tǒng)的階數(shù)。 j 0K= 0K= 0KK 0j 0jKg Kg Kg 0 j 0 j-1-2 j1 njjmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(0)()(11 njmiigjzsKp

13、s1 + G(s)H(s) = 0證明：證明： 當(dāng)當(dāng) Kg= 0 時(shí)，有時(shí)，有 s = pj ( j =1, 2, , n) 上式說(shuō)明上式說(shuō)明Kg= 0時(shí)，閉環(huán)特征方程的根就是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。時(shí)，閉環(huán)特征方程的根就是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。 當(dāng)當(dāng) Kg 時(shí)，有時(shí)，有 s = zi ( i =1, 2, , m) 所以根軌跡必終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。所以根軌跡必終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。 在實(shí)際系統(tǒng)中，開(kāi)環(huán)傳函中在實(shí)際系統(tǒng)中，開(kāi)環(huán)傳函中 m n ，有，有m 條根軌跡條根軌跡終點(diǎn)為開(kāi)環(huán)零點(diǎn)處，另有終點(diǎn)為開(kāi)環(huán)零點(diǎn)處，另有nm條根軌跡的終點(diǎn)將在無(wú)窮條根軌跡的終點(diǎn)將在無(wú)窮遠(yuǎn)處，可以認(rèn)為有遠(yuǎn)處，可以認(rèn)為有nm 個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)處的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)處

14、的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。 0)()(111 njmiijgzspsK將特征方程改寫(xiě)為：將特征方程改寫(xiě)為：mnzpmiinjja 11 mnka )12(k = 0,1, , n m 1)p2p3 j 0p1z1s1 1 1 =0 2 3 在實(shí)軸上取一測(cè)試點(diǎn)在實(shí)軸上取一測(cè)試點(diǎn)s1 。 由圖可見(jiàn)，復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)到實(shí)軸由圖可見(jiàn)，復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)到實(shí)軸s1 點(diǎn)的向量幅角和點(diǎn)的向量幅角和為為2，復(fù)數(shù)共軛零點(diǎn)如此。因此在確定實(shí)軸上的根軌跡，復(fù)數(shù)共軛零點(diǎn)如此。因此在確定實(shí)軸上的根軌跡時(shí)，可以不考慮復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)的影響。時(shí)，可以不考慮復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)的影響。 s1 點(diǎn)左邊開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到點(diǎn)左邊開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到s1 點(diǎn)的向量幅角均

15、為點(diǎn)的向量幅角均為零，也不影響實(shí)軸上根軌跡的幅角條件。零，也不影響實(shí)軸上根軌跡的幅角條件。 而而s1 點(diǎn)右邊開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到點(diǎn)右邊開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到s1 點(diǎn)的向量幅角為點(diǎn)的向量幅角為。 如果如果s1 是根軌跡，則只有當(dāng)零極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)時(shí)，是根軌跡，則只有當(dāng)零極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)時(shí)，才滿足幅角條件：才滿足幅角條件： j i = (2k + 1) 即如果即如果s1 所在的區(qū)域?yàn)樗诘膮^(qū)域?yàn)楦壽E，其右邊開(kāi)環(huán)實(shí)根軌跡，其右邊開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、數(shù)零、 極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和必極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和必須為奇數(shù)。須為奇數(shù)。p2p3 j 0p1z1s1 1 1 =0 2 3例例4-1 4-1 設(shè)某負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)設(shè)某負(fù)反

16、饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為為)5)(1()()( sssKsHsGg試確定系統(tǒng)根軌跡條數(shù)、起點(diǎn)和終點(diǎn)、漸近線及根軌跡試確定系統(tǒng)根軌跡條數(shù)、起點(diǎn)和終點(diǎn)、漸近線及根軌跡在實(shí)軸上的分布。在實(shí)軸上的分布。 解：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)解：開(kāi)環(huán)極點(diǎn) p1= 0、p2= 1、p3= 5。 系統(tǒng)的根軌跡有三條分支，分別起始于系統(tǒng)的三個(gè)系統(tǒng)的根軌跡有三條分支，分別起始于系統(tǒng)的三個(gè)有限的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，由于不存在有限的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，當(dāng)有限的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，由于不存在有限的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，當(dāng)Kg 時(shí)，沿著三條漸近線趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處；三條漸近線在時(shí)，沿著三條漸近線趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處；三條漸近線在實(shí)軸上的交點(diǎn)實(shí)軸上的交點(diǎn)20351011 mnzpmiinjja 0 j

17、 210 35 3 312， kka 實(shí)軸上的根軌跡分布在實(shí)軸上的根軌跡分布在(0，1)和和(5， )的實(shí)軸段上。的實(shí)軸段上。60)5)(1()()( sssKsHsGg三條漸近線與正實(shí)軸上間的夾角：三條漸近線與正實(shí)軸上間的夾角：-2 0 jz1 j1Ap1p2KgKgKg=0Kg=0 4）在一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間若有根軌跡，）在一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間若有根軌跡，該段無(wú)分離點(diǎn)或分離點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)。該段無(wú)分離點(diǎn)或分離點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)。 j 0 證明：根軌跡在證明：根軌跡在s 平面上相遇，說(shuō)明閉環(huán)特征方程有平面上相遇，說(shuō)明閉環(huán)特征方程有重根出現(xiàn)，設(shè)重根出現(xiàn)，設(shè)s = d 處為分離點(diǎn)。處為分離

18、點(diǎn)。確定分離點(diǎn)位置的方法（均需驗(yàn)證）：確定分離點(diǎn)位置的方法（均需驗(yàn)證）： njjmiipdzd1111式中，式中，z i 、p j 是系統(tǒng)的有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。是系統(tǒng)的有限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。分離點(diǎn)上，根軌跡的切線與正實(shí)軸的夾角稱為根軌跡的分離角，分離點(diǎn)上，根軌跡的切線與正實(shí)軸的夾角稱為根軌跡的分離角，用下式計(jì)算：用下式計(jì)算： k為分離點(diǎn)處根軌跡的分支數(shù)。為分離點(diǎn)處根軌跡的分支數(shù)。 kd/180 0)()(1 )( sNsMKdsddssdDg設(shè)分離點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)分離點(diǎn)的坐標(biāo)為 d，則，則d 滿足如下公式：滿足如下公式：0)(0)( dssdDsD且證畢證畢 miimiinjjnjjzszs

19、dsdpspsdsd1111)()()()(dszsddspsdmiinjj 11)(ln)(ln miinjjdszsddspsd11)ln()ln( njjmiipszs1111VVV )(ln0)()(11 njmiigjzsKps0)()(11 njmiigjzsdsdKpsdsd njjmiipdzd1111例例4-2 4-2 求例求例4-14-1系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn)。系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn)。 解：根據(jù)例解：根據(jù)例4-14-1，系統(tǒng)實(shí)軸，系統(tǒng)實(shí)軸上的根軌跡段（上的根軌跡段（1 1，0 0），位于兩），位于兩個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間，該軌跡段上必然個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間，該軌跡段上必然存在根軌跡的分離點(diǎn)。設(shè)分

20、離點(diǎn)的存在根軌跡的分離點(diǎn)。設(shè)分離點(diǎn)的坐標(biāo)為坐標(biāo)為d d，則，則0511101 ddd 3d 2 + 12d + 5 = 0 d1 = 0.472 d2 = 3.53(不在不在根軌跡上，舍去，也可代入幅值方根軌跡上，舍去，也可代入幅值方程看程看Kg0否？否？) 分離點(diǎn)上根軌跡的分離點(diǎn)上根軌跡的分離角為分離角為90。 0j 如果方程的階次高時(shí)，可用試探法確定分離點(diǎn)。如果方程的階次高時(shí)，可用試探法確定分離點(diǎn)。d1 = 0.472)5)(1()( sssKsGgkkd/180 例例4-3 4-3 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函為已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函為)3)(2()1()( ssssKsG試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。試?yán)L制系統(tǒng)的

21、根軌跡。 解：解： 0j213)1(32011 mnzpmiinjja 2212 ka3121111 ddddd = 2.5 左左= 0.67 右右= 0.4d = 2.01 左左= 0.99 右右= 99.49d = 2.25 左左= 0.8 右右= 3.11d = 2.47 左左= 0.68 右右= 0.65d = 2.470)5)(1(1)()(1)( sssKsHsGsDg方法一：方法一： s3 + 6s 2 + 5s + Kg = 0令令s=j，則，則 (j)3 + 6(j)2 + 5 (j) + Kg = 0 3 + 5 = 0 62 + Kg= 05, 0 Kg= 0(起點(diǎn)，舍去

22、起點(diǎn)，舍去)， Kg= 30方法二：方法二： s3 + 6s 2 + 5s + Kg= 0勞斯表為勞斯表為s3 1 5s2 6 Kgs1 (30 Kg)/6s0 Kg 當(dāng)Kg=30時(shí)，s1行全零，勞斯表第一列不變號(hào)，系統(tǒng)存在共軛虛根。共軛虛根可由s2行的輔助方程求出： 6s 2+ Kg= 05js (j)3 + 6(j)2 + 5 (j) + Kg = 0 0 j d = 0.472 Kg= 305jKg Kg Kg j2.24 Kg= 30)5)(1()( sssKsGgk nxjjjxmiixpppzpx, 11)()(180 mxiiixnjjxzzzpzx, 11)()(180 xp

23、xz 根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸方向的夾角，稱為入根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸方向的夾角，稱為入射角射角(終止角終止角)，用，用 表示；表示；求出這些角度可按如下關(guān)系求出這些角度可按如下關(guān)系表示。表示。 證明：設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)證明：設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)px,x+1 。在。在十分靠近待求起始角的復(fù)數(shù)極點(diǎn)十分靠近待求起始角的復(fù)數(shù)極點(diǎn)px 的根軌跡上取一點(diǎn)的根軌跡上取一點(diǎn)s1 。pxpx 1zxzx 1pxPx+1 j 0s1xp 由于由于s1無(wú)限接近無(wú)限接近 px，因此，因此，除除px 外，所有其它開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)外，所有其它開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)到到s1點(diǎn)的向量幅角，

24、都可以用它點(diǎn)的向量幅角，都可以用它們到們到px 的向量幅角來(lái)代替，而的向量幅角來(lái)代替，而px到到s1點(diǎn)的向量幅角即為起始角。點(diǎn)的向量幅角即為起始角。根據(jù)根據(jù)s1點(diǎn)必滿足幅角條件，應(yīng)有點(diǎn)必滿足幅角條件，應(yīng)有移項(xiàng)后，立即得到法則中的公式。移項(xiàng)后，立即得到法則中的公式。 證畢證畢180)()(, 11 xpnxjjjxmiixppzp 180)()()(1, 1111 xnxjjjmiipspszs 0 j-1-2 j1試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。 解：解：)5 . 15 . 0)(5 . 15 . 0)(5 . 2()2)(2)(5 . 1()()(jsjsssjsjssKsHsG

25、 起始角與終止角起始角與終止角 1 2 3 1 3 2 nxjjjxmiixpppzpx, 11)()(180 = 180 + 1 + 2 + 3 1 2 3=180 + 56.5 + 19 + 59 108.5 37 90 = 79 0 j-1-2 j1 mxiiixnjjxzzzpzx, 11)()(180=180 117 90 + 153 + 63.5 + 119 + 121 =149.5試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。 解：三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)解：三個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) p1= 0、p2,3 = 1 j 漸近線：漸近線： 3條條32332111 pppmnzpnjmiija 35 312 ，

26、 mnka 0 j)22()()(2 sssKsHsGg2p2js 根軌跡與虛軸交點(diǎn)：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為根軌跡與虛軸交點(diǎn)：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 s3 + 2s2 + 2s + Kg= 0 勞斯表勞斯表s3 1 2s2 2 Kgs1 (4 Kg)/2s0 Kg 令令s1系數(shù)為系數(shù)為0，得，得 Kg = 4代入輔助方程代入輔助方程 2s2 + Kg= 0 實(shí)軸上根軌跡：實(shí)軸上根軌跡：(，0)，即整個(gè)負(fù)實(shí)軸，即整個(gè)負(fù)實(shí)軸. 出射角：出射角：4590135180)()pppp)22()()(2sssKsHsGg繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖所示。繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖所示。 0 j 1

27、 2Kg Kg Kg j1.414 Kg = 4)22()(2 sssKsGgk )()()()()()(ijggpszsKsNsMKsHsGnnnnmmmmgasasasbsbsbsK 111111)(nnniiniiapap)1(111 式中式中(韋達(dá)定理韋達(dá)定理)mmmjjmjjbzbz)1(111 根據(jù)高階方程系數(shù)與根的關(guān)系式，若根據(jù)高階方程系數(shù)與根的關(guān)系式，若n m 2 ，則，則0)()()()(1)(111111 mmmmgnnnnbsbsbsKasasassHsGsD 利用上述基本法則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡草圖，對(duì)需利用上述基本法則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡草圖，對(duì)需

28、要準(zhǔn)確繪制的根軌跡，可根據(jù)幅角方程條件使其精確化，一般而言，要準(zhǔn)確繪制的根軌跡，可根據(jù)幅角方程條件使其精確化，一般而言，靠近虛軸或原點(diǎn)附件的根軌跡對(duì)分析系統(tǒng)的性能至關(guān)重要，應(yīng)盡可靠近虛軸或原點(diǎn)附件的根軌跡對(duì)分析系統(tǒng)的性能至關(guān)重要，應(yīng)盡可能的準(zhǔn)確繪制。能的準(zhǔn)確繪制。 niiniipas111證畢證畢 -a1稱為系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)或開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的重心。表明當(dāng)稱為系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)或開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的重心。表明當(dāng)Kg變化時(shí)，一些根增大時(shí)，另一些必然減??；即一些根軌變化時(shí)，一些根增大時(shí)，另一些必然減?。患匆恍└壽E右行，一些必然左行，重心保持不變。跡右行，一些必然左行，重心保持不變。 1）根的分量之和是一個(gè)與）根的分量之和是

29、一個(gè)與Kg 無(wú)關(guān)的常數(shù)；無(wú)關(guān)的常數(shù)； 2）各分支要保持總和平衡，走向左右對(duì)稱。）各分支要保持總和平衡，走向左右對(duì)稱。試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。 解：解：例例4-7 4-7 設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為15 . 0)15 . 0()()(2 sssKsHsGg22)2()()(2 sssKsHsGg 0 j-1-2 j1jdjdd 111121 d = 0.59(舍去舍去) d = 3.41 結(jié)論：由兩個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)有限零點(diǎn)組成的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，結(jié)論：由兩個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)有限零點(diǎn)組成的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，只要有限零點(diǎn)沒(méi)有位于兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)之間，當(dāng)只要有限零點(diǎn)沒(méi)有位于兩個(gè)實(shí)數(shù)

30、極點(diǎn)之間，當(dāng)K從從0 時(shí)，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，是以有限零點(diǎn)為圓心，以時(shí)，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，是以有限零點(diǎn)為圓心，以有限零點(diǎn)到分離點(diǎn)為半徑的一個(gè)圓，或圓的一部分。有限零點(diǎn)到分離點(diǎn)為半徑的一個(gè)圓，或圓的一部分。d22)2()()(2 sssKsHsGg 0 j -1 -4 -2 j1試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。 解：解： 例例4-8 4-8 設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為)204)(4()()(2 ssssKsHsGg漸近線：漸近線： a = 2 a = 45 , 135 分離點(diǎn)：分離點(diǎn)： d = 2 d = 2 j2.45與虛軸交點(diǎn)：與虛軸交點(diǎn)：Kg

31、=260 s = j3.16 njjmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(此時(shí)研究正反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征方程式為此時(shí)研究正反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征方程式為 D(s) = 1 G(s)H(s) = 0或或gnjjmiiKpszs1)()(11 此時(shí)的根軌跡稱為此時(shí)的根軌跡稱為0根軌跡。根軌跡。根軌跡的幅角方程：根軌跡的幅角方程： kpszsnjjmii2)()(11 gnjjmiiKpszs111 根軌跡的幅值方程：根軌跡的幅值方程：繪制繪制0 0根軌跡的基本法則如下：根軌跡的基本法則如下：法則法則1 1 根軌跡的連續(xù)性同根軌跡的連續(xù)性同180180根軌跡。根軌跡。法則法

32、則2 2 根軌跡的對(duì)稱性同根軌跡的對(duì)稱性同180180根軌跡。根軌跡。法則法則3 3 根軌跡的條數(shù)同根軌跡的條數(shù)同180180根軌跡。根軌跡。法則法則4 4 根軌跡的起點(diǎn)根軌跡的起點(diǎn)(Kg= 0)(Kg= 0)和終點(diǎn)和終點(diǎn)(Kg(Kg) ) 同同180180根軌跡。根軌跡。mnzpmiinjja 11 mnka 2(k = 0,1, , n m 1) njjmiipdzd1111 nxjjjxmiixpppzpx, 11)()( mxiiixnjjxzzzpzx, 11)()()4)(2() 1()( sssKsGg解：按解：按0根軌跡的法則繪制。根軌跡的法則繪制。 有有2個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：個(gè)開(kāi)環(huán)極

33、點(diǎn)：-2，-4；1個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)：個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)：-1。m=1,n=2 根據(jù)法則根據(jù)法則1和和2：根軌跡是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的連續(xù)曲線。：根軌跡是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的連續(xù)曲線。 根據(jù)法則根據(jù)法則3和和4：根軌跡有：根軌跡有2條分支，起始于條分支，起始于2個(gè)極點(diǎn)，個(gè)極點(diǎn)，1條終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，條終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，1條終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。條終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。 根據(jù)法則根據(jù)法則5，根軌跡有，根軌跡有1條漸近線。條漸近線。51214211 mnzpmiinjja 02mnka 0 j-1-2A j1.414-4d2d1根據(jù)法則根據(jù)法則6和和7，實(shí)軸上的根軌跡為，實(shí)軸上的根軌跡為412111 ddd存在存在2個(gè)分離點(diǎn)，由下式求得個(gè)分

34、離點(diǎn)，由下式求得312, 1 d分離分離=180/2 90根據(jù)法則根據(jù)法則8，求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)2, 6:,2, 6:060808)6(0)1()4)(2(22jskgBjskgAkkjsksksskssggggg 令令 0 j-1-2A j1.414-4d2d1 根據(jù)上述結(jié)論，可繪制出根軌跡如圖所示，箭頭為根據(jù)上述結(jié)論，可繪制出根軌跡如圖所示，箭頭為kg增大的方向。增大的方向。 式中，式中，GH(s)為等效系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。根軌跡化為等效系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。根軌跡化為常規(guī)根軌跡或?yàn)槌Ｒ?guī)根軌跡或0根軌跡。根軌跡。)()(1)(1sQsPXsHG 例例4-9 4-9 已

35、知某負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為已知某負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 )1()(25. 0)()(2 ssassHsG試?yán)L制參數(shù)試?yán)L制參數(shù)a從零變化到正無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。從零變化到正無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。 解解: 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為s3 + s2 + 0.25s + 0.25a = 0于是，等效系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為于是，等效系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為sssasHG25. 025. 01)(123 sssasHG25. 025. 0)(23 把把a(bǔ)視為根跡增益，可繪制出視為根跡增益，可繪制出a 變化時(shí)系統(tǒng)的常規(guī)根軌跡。變化時(shí)系統(tǒng)的常規(guī)根軌跡。 0 j 0.5 1漸近線：漸近線：

36、a= 1/3a= /3，5/3，。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn): a =1 s = j/2223)5 . 0(25. 025. 025. 0)( ssasssasHGa j0.5 a = 1分離點(diǎn)：分離點(diǎn)： d1= 1/6 , d2= 1/2。a)2)(1()1()()()2()2)(1()1()()()1( ssssKsHsGssssKsHsGgg試確定系統(tǒng)根軌跡的類型。試確定系統(tǒng)根軌跡的類型。 解：系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)都在s平面右半部具有一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)z=1。所以，系統(tǒng)均屬非最小相位系統(tǒng)。例例4-10 設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為其根軌跡方程為其根軌跡方

37、程為1)2)(1()1( ssssKg可按可按180根軌跡的基本法則繪制系統(tǒng)的根軌跡。根軌跡的基本法則繪制系統(tǒng)的根軌跡。對(duì)系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)(2)，其閉環(huán)特征方程為，其閉環(huán)特征方程為0)2)(1()1(1)()(1)( ssssKsHsGsDg1)2)(1()1( ssssKg此時(shí)按此時(shí)按0根軌跡的基本法則繪制系統(tǒng)的根軌跡。根軌跡的基本法則繪制系統(tǒng)的根軌跡。0)2)(1()1(1 ssssKg + - G(s) H(s) R(s) C(s) 圖 4-6 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 1111)()()(njjmiiGgpszsKsG 2121)()()(nllmkkHgpszsKsH考查圖考查圖4-6所示的反饋控

38、制系統(tǒng)。設(shè)所示的反饋控制系統(tǒng)。設(shè) 首先繪制出根軌跡，然后在根軌跡圖上分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，計(jì)首先繪制出根軌跡，然后在根軌跡圖上分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，也可進(jìn)行系統(tǒng)綜合或校正。本節(jié)只算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，也可進(jìn)行系統(tǒng)綜合或校正。本節(jié)只討論在根軌跡分析中應(yīng)注意的問(wèn)題。討論在根軌跡分析中應(yīng)注意的問(wèn)題。zi、pj、KGg分別是系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù)分別是系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù)G(s)的零點(diǎn)、極點(diǎn)和根軌的零點(diǎn)、極點(diǎn)和根軌 跡增益。跡增益。zk、pl、KHg分別是系統(tǒng)反饋通道傳遞函數(shù)分別是系統(tǒng)反饋通道傳遞函數(shù)H(s)的零點(diǎn)、極點(diǎn)和根的零點(diǎn)、極點(diǎn)和根軌跡增益。軌跡增益。于是，系統(tǒng)的閉環(huán)

39、傳遞函數(shù)為于是，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 112121112111)()()()()()()(mimkkiHgGgnllnjjnllmiiGgzszsKKpspspszsKs 1111)()()(njjmiiGgpszsKsG 2121)()()(nllmkkHgpszsKsH)()(1)()(sHsGsGs 112121112111)()()()()()()(mimkkiHgGgnllnjjnllmiiGgzszsKKpspspszsKs niimjjgsszsKs11)()()( 的根軌跡增益。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的閉環(huán)的根軌跡增益。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡增益等于其開(kāi)環(huán)根軌跡增益

40、。根軌跡增益等于其開(kāi)環(huán)根軌跡增益。 設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)和根軌跡增益分別為zj、si和Kg，則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可表示為 niimjjgnnnnmmmmsszsKaasasabbsbsbsRsCs1111101110)()()()()( 式中，zj，si和Kg分別為系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)和根軌跡增益。 于是單位階躍作用下系統(tǒng)輸出的相函數(shù)為：ssszsKsRssCniimjjg1)()()()()(11niiissAsA10經(jīng)拉氏反變換，可求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為經(jīng)拉氏反變換，可求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為nitsiieAAtc10)( 上式表明，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由上式表明，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由A

41、i、si決定，即與系決定，即與系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布有關(guān)。分析上述各式，閉環(huán)零、極統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布有關(guān)。分析上述各式，閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能影響的一般規(guī)律如下：點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能影響的一般規(guī)律如下： （1）穩(wěn)定性：根據(jù)si分布左右平面（存在3條及以上的漸近線，是什么情形？） （2）運(yùn)動(dòng)形態(tài)：根據(jù)si是實(shí)數(shù)還是復(fù)數(shù)（單調(diào)、衰減振蕩） （3）平穩(wěn)性：阻尼比大（阻尼角?。?.707 （4）快速性：遠(yuǎn)離虛軸，或存在閉環(huán)偶極子 4.3.3 利用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo) 例49 P174)0, 0)()()()(2baassbsKsHsGg試?yán)L制如下幾種情況下試?yán)L制如下幾種情況下Kg從零連

42、續(xù)變化到無(wú)窮大時(shí)系統(tǒng)的根軌跡：從零連續(xù)變化到無(wú)窮大時(shí)系統(tǒng)的根軌跡：（1）b,a為有限量；（為有限量；（2）ba； （3）b=a （4）ba時(shí)，起始于時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡的坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡的漸近線位于右半漸近線位于右半s平面，平面，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定。)()()(2assbsKsHsGg 0 j a(b a)/2 0 j b （3）b=a時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡為與虛時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡為與虛軸上，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。軸上，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。P=-a和和z=-b構(gòu)成開(kāi)環(huán)偶極子。構(gòu)成開(kāi)環(huán)偶極子。221)()()(sKassbsKsHsGgg j 0 j b=-a （

43、4）ba時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡的漸近時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡的漸近線位于左半線位于左半s平面，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。平面，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。 0 j a(b a)/2 0 j b)()()(2assbsKsHsGg （5）b=0，a為有限量時(shí)，系統(tǒng)為沒(méi)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的為有限量時(shí)，系統(tǒng)為沒(méi)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。二階系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。)(1)()()(2assKassbsKsHsGgg j 0 j-a-a/2 從上例可以看出，增加一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的根軌從上例可以看出，增加一個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的根軌跡有如下影響：跡有如下影響： （1）改變了實(shí)軸上根軌跡的分布。）改變了實(shí)軸上根軌跡的分布。 （2

44、）改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實(shí)軸交點(diǎn)的坐）改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及夾角的大小。標(biāo)及夾角的大小。 （3）使系統(tǒng)的根軌跡向左偏移。提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定）使系統(tǒng)的根軌跡向左偏移。提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，有利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。度，有利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。 （4）開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)重合或相近時(shí)，二者構(gòu)成開(kāi)環(huán)）開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)重合或相近時(shí)，二者構(gòu)成開(kāi)環(huán)偶極子偶極子,抵消有損系統(tǒng)性能的極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的不利影響。抵消有損系統(tǒng)性能的極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的不利影響。 2.開(kāi)環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響開(kāi)環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響 分析例分析例4-10的根軌跡圖可以看出，增加一個(gè)開(kāi)環(huán)極的根軌跡圖可以看出，增加一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的

45、根軌跡有如下影響：點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的根軌跡有如下影響： （1）改變了實(shí)軸上根軌跡的分布。）改變了實(shí)軸上根軌跡的分布。 （2）改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及夾角的大小。）改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及夾角的大小。 （3）使系統(tǒng)的根軌跡向右偏移。降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，有損于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，）使系統(tǒng)的根軌跡向右偏移。降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，有損于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，使得系統(tǒng)相應(yīng)的快速性變差。使得系統(tǒng)相應(yīng)的快速性變差。 3.開(kāi)環(huán)偶極子對(duì)根軌跡的影響開(kāi)環(huán)偶極子對(duì)根軌跡的影響 開(kāi)環(huán)偶極子開(kāi)環(huán)偶極子(零極點(diǎn)重合或相近零極點(diǎn)重合或相近)，提供相同的幅角和幅值，根據(jù)根軌跡方，提供相同的幅角和幅值，根據(jù)

46、根軌跡方程，對(duì)根軌跡的影響為：程，對(duì)根軌跡的影響為： （1）開(kāi)環(huán)偶極子不影響根軌跡的形狀；）開(kāi)環(huán)偶極子不影響根軌跡的形狀； （2）開(kāi)環(huán)偶極子不影響根軌跡上各點(diǎn)的根軌跡增益值，但可能影響根軌跡）開(kāi)環(huán)偶極子不影響根軌跡上各點(diǎn)的根軌跡增益值，但可能影響根軌跡上各點(diǎn)開(kāi)環(huán)比例系數(shù)的值；上各點(diǎn)開(kāi)環(huán)比例系數(shù)的值； （3）合理配置偶極子中的開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)，可以在不影響動(dòng)態(tài)性能的基礎(chǔ)上，）合理配置偶極子中的開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)，可以在不影響動(dòng)態(tài)性能的基礎(chǔ)上，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。P126，式，式3-111； p153,式式4-2 vniimjjvsTssKsHsG11)1()1()()( nvijmjjgn

47、ijmjjgvsvspzKpszsKssHsGsK111100)()()()(lim)()(limnijmjjgpszsKsHsG11)()()()(增加一對(duì)離原點(diǎn)很近的零極點(diǎn)構(gòu)成開(kāi)環(huán)偶極子，則增加一對(duì)離原點(diǎn)很近的零極點(diǎn)構(gòu)成開(kāi)環(huán)偶極子，則ccccnvijmjjgcpzKpzpzKK 11)()(若取若取zc=-0.1,pc=-0.01,則則Kc=10K。不影響動(dòng)態(tài)性。不影響動(dòng)態(tài)性能但提高了穩(wěn)態(tài)性能能但提高了穩(wěn)態(tài)性能 1.基本要求 通過(guò)本章學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)做到： （1）掌握開(kāi)環(huán)根軌跡增益Kg變化時(shí)系統(tǒng)閉環(huán) 根軌跡的繪制方法。理解和熟記根軌跡的繪制法則。會(huì)利用幅值方程求特定的Kg值。 （2）了解閉環(huán)零、

48、極點(diǎn)的分布和系統(tǒng)階躍響應(yīng)的定性關(guān)系及系統(tǒng)根軌跡分析的基本思路。 （3）掌握0根軌跡、參變量根軌跡及非最小相位根軌跡繪制的基本思路和方法。 2.內(nèi)容提要 本章主要介紹了根軌跡的基本概念、控制系統(tǒng)根軌跡的繪制方法以及根軌跡法在控制系統(tǒng)分析中的應(yīng)用。1)()(11 njjmiigpszsK系統(tǒng)根軌跡的幅值方程為系統(tǒng)根軌跡的幅值方程為gnjjmiiKpszs111 系統(tǒng)根軌跡的幅角方程為系統(tǒng)根軌跡的幅角方程為 minjjikpszs11)12()()( 1）根軌跡的基本概念）根軌跡的基本概念 根軌跡是當(dāng)系統(tǒng)中某參數(shù)由根軌跡是當(dāng)系統(tǒng)中某參數(shù)由0變化時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)變化時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在極點(diǎn)在s平面上移動(dòng)的軌跡。平面上移動(dòng)的軌跡。 2）根軌跡方程）根軌跡方程 負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡方程的一般形式為負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡方程的一般形式為 3）繪制系統(tǒng)軌跡的基本法則）繪制系統(tǒng)軌跡的基本法則 根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡方程式