§2、3事件的概率與性質(zhì)

1、2021/4/21第第 2 節(jié)事件的概率節(jié)事件的概率第一章第一章 隨機事件及其概率隨機事件及其概率2021/4/22一、概率的統(tǒng)計定義一、概率的統(tǒng)計定義 對于事件發(fā)生的的可能性大小，需要用一對于事件發(fā)生的的可能性大小，需要用一個數(shù)量指標去刻畫它，這個指標應(yīng)該是隨機事個數(shù)量指標去刻畫它，這個指標應(yīng)該是隨機事件本身所具有的屬性，不能帶有主觀性，且能件本身所具有的屬性，不能帶有主觀性，且能在大量重復(fù)實驗中得到驗證，必須符合常情。在大量重復(fù)實驗中得到驗證，必須符合常情。我們把刻畫事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標我們把刻畫事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標叫做事件的概率。叫做事件的概率。1 1、 概率的含義概

2、率的含義2021/4/232 2、概率的統(tǒng)計定義、概率的統(tǒng)計定義 在一般情況下，對一個隨機試驗，如何在一般情況下，對一個隨機試驗，如何度量隨機事件發(fā)生的可能性的大小呢度量隨機事件發(fā)生的可能性的大小呢 ？為了？為了回答這個問題，我們先引進頻率的概念。回答這個問題，我們先引進頻率的概念。 設(shè)隨機事件設(shè)隨機事件A在在n次試驗中發(fā)生了次試驗中發(fā)生了r次，則次，則稱比值稱比值 r/ /n為這為這n次試驗中事件次試驗中事件A發(fā)生的頻率，發(fā)生的頻率，即即 ( )nrfAn 2021/4/24 在了解了定義之后，下面我們從試驗入手，揭在了解了定義之后，下面我們從試驗入手，揭示隨機事件一個極其重要的特征：示隨機

3、事件一個極其重要的特征： 頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大小。盡管每進行一連串（小。盡管每進行一連串（n次）試驗，所得到的頻率次）試驗，所得到的頻率可以各不相同，但只要可以各不相同，但只要n相當大，頻率與概率是會非相當大，頻率與概率是會非常接近的。常接近的。 頻率穩(wěn)定性頻率穩(wěn)定性頻頻率率概概率率如拋硬幣的試驗如拋硬幣的試驗 ( )( )nnfAP A 思思考考：當當時時，嗎嗎？2021/4/25 因此，概率是可以通過頻率來因此，概率是可以通過頻率來“測量測量”的的, , 頻頻率是概率的一個近似。率是概率的一個近似。考慮在相同條件下進行的考慮在相同

4、條件下進行的S 輪試驗輪試驗第二輪第二輪試驗試驗試驗次數(shù)試驗次數(shù)n2事件事件A出現(xiàn)出現(xiàn)m2次次第第S S輪輪試驗試驗試驗次數(shù)試驗次數(shù)ns事件事件A出現(xiàn)出現(xiàn)ms 次次試驗次數(shù)試驗次數(shù)n1事件事件A出現(xiàn)出現(xiàn)m1次次第一輪第一輪試驗試驗2021/4/26事件事件A在各輪試驗中的頻率形成一個數(shù)列在各輪試驗中的頻率形成一個數(shù)列 指的是：當各輪試驗次數(shù)指的是：當各輪試驗次數(shù)n1,n2,ns 充分大時，在各輪試驗中事件充分大時，在各輪試驗中事件A出現(xiàn)的出現(xiàn)的頻率之間、或者它們與某個常數(shù)相差甚微。頻率之間、或者它們與某個常數(shù)相差甚微。 頻率穩(wěn)定性頻率穩(wěn)定性即是說，在試驗次數(shù)足夠大的條件下，各頻率都能即是說，在

5、試驗次數(shù)足夠大的條件下，各頻率都能夠與某個常數(shù)比較接近。夠與某個常數(shù)比較接近。1212,ssmmmnnn2021/4/27頻率頻率概率概率p這種穩(wěn)定性為用統(tǒng)計方法求概率的數(shù)值開拓了道路。這種穩(wěn)定性為用統(tǒng)計方法求概率的數(shù)值開拓了道路。在實際中，當概率不易求出時，人們常取實驗次數(shù)在實際中，當概率不易求出時，人們常取實驗次數(shù)很大時事件的頻率作為概率的估計值很大時事件的頻率作為概率的估計值. .并稱此概率為并稱此概率為: :統(tǒng)計概率。統(tǒng)計概率。這種確定概率的方法稱為頻率方法。這種確定概率的方法稱為頻率方法。11mn22mnssmn2021/4/28歷史上拋硬幣試驗的若干結(jié)果歷史上拋硬幣試驗的若干結(jié)果實

6、驗者實驗者拋硬幣次數(shù)拋硬幣次數(shù) 出現(xiàn)正面次數(shù)出現(xiàn)正面次數(shù) 頻率頻率 德莫根德莫根蒲豐蒲豐費勒費勒皮爾遜皮爾遜皮爾遜皮爾遜 2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 10000 4979 0.4979 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.50052021/4/293 、概率的性質(zhì)、概率的性質(zhì)1、非非負負性性：0()1(1)P A 2、正正則則性性：()1(2)P 3、可可列列可可加加性性: :12,A A 若若兩兩兩兩互互不不相相容容，則則有有1212()()()(3)P AAP AP A 2021/4/210二、古典概型（古典定義）二、古典

7、概型（古典定義）在每次實驗中發(fā)生的可能性是相同的在每次實驗中發(fā)生的可能性是相同的. .古典概型是一類比較簡單古典概型是一類比較簡單, ,直觀的隨機試驗直觀的隨機試驗, ,有以下有以下兩個明顯特征兩個明顯特征: :（1 1）試驗所有可能的結(jié)果個數(shù)有限）試驗所有可能的結(jié)果個數(shù)有限, ,即基本事件即基本事件個數(shù)有限，分別記為個數(shù)有限，分別記為樣本空間可表示為樣本空間可表示為（2 2） 各個試驗結(jié)果各個試驗結(jié)果123,n 123,n ；123,n 樣本空間樣本空間有限有限樣本點樣本點 等可能性等可能性2021/4/211 稱此概率為古典概率；稱此概率為古典概率； 這種確定概率的方法稱為古典方法。這種確

8、定概率的方法稱為古典方法。即把求概率問題轉(zhuǎn)化為計數(shù)即把求概率問題轉(zhuǎn)化為計數(shù)統(tǒng)計頻數(shù)統(tǒng)計頻數(shù)。定義：定義： 設(shè)試驗設(shè)試驗E E是古典概型是古典概型, , 其樣本空間其樣本空間由由n個樣本點組成個樣本點組成 , , 事件事件A由由k 個樣本點組成個樣本點組成 。則定義事件則定義事件A 的概率為：的概率為：注意：注意：排列組合是計算古典概率的重要工具排列組合是計算古典概率的重要工具 。( )kP An .A 包包含含的的樣樣本本點點數(shù)數(shù)包包含含的的樣樣本本點點數(shù)數(shù)2021/4/212例例 1 1 一批產(chǎn)品由一批產(chǎn)品由9090件正品和件正品和1010件次品組成，從中件次品組成，從中任取一件，問取得正品

9、的概率多大？任取一件，問取得正品的概率多大？ 解：設(shè)解：設(shè)“取得一件產(chǎn)品是正品取得一件產(chǎn)品是正品”這一事件為這一事件為A，則，則因為每一件產(chǎn)品都有可能被抽出來，總的抽取方法因為每一件產(chǎn)品都有可能被抽出來，總的抽取方法有（有（90+1090+10）種，而取得正品的取法有）種，而取得正品的取法有9090種，按古種，按古典概率的定義，典概率的定義，所求概率為所求概率為90( )9010P A 0.9. 2021/4/213例例 2 2 一批產(chǎn)品由一批產(chǎn)品由9595件正品和件正品和5 5件次品組成，連續(xù)件次品組成，連續(xù)從中抽取兩件，第一次取出后不再放回，問第一次從中抽取兩件，第一次取出后不再放回，問第

10、一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多大？抽得正品且第二次抽得次品的概率多大？則則A中包含的抽取方法共中包含的抽取方法共95955 5種，種，解：用解：用A表示事件表示事件“第一次取得正品且第二次取得次品第一次取得正品且第二次取得次品”，由于是無放回地抽取，應(yīng)用乘法原理可知由于是無放回地抽取，應(yīng)用乘法原理可知總的抽取方法有：總的抽取方法有：1001009999種，種，第一次取正品的方法有第一次取正品的方法有9595種，種， 第二次取次品的方法有第二次取次品的方法有5 5種，種，所求概率為：所求概率為： 9551910099396P A 2021/4/214例例3 3 在例在例2 2中，若仍是不放

11、回抽取兩件產(chǎn)品，計算中，若仍是不放回抽取兩件產(chǎn)品，計算“抽得一件為正品，一件為次品抽得一件為正品，一件為次品”，的概率。，的概率。 解：設(shè)解：設(shè)A表示表示“第一次抽得正品且第二次抽得次品第一次抽得正品且第二次抽得次品”，B表示表示“第一次抽得次品且第二次抽得正品第一次抽得次品且第二次抽得正品”，顯然顯然A與與B是互斥事件，是互斥事件，所求事件所求事件“一次取得正品，一次取得次品一次取得正品，一次取得次品”，即為即為A+ +B. . P ABP AP B 955595191009910099198 2021/4/215例例4 4 一批產(chǎn)品共一批產(chǎn)品共200200個，有個，有6 6個次品，求（個次

12、品，求（1 1）任取）任取3 3個恰有個恰有1 1個次品的概率；（個次品的概率；（2 2）任?。┤稳? 3個全非次品的概個全非次品的概率。率。 設(shè)設(shè)A=A=任取任取3 3個恰有個恰有1 1個次品個次品 ，B=B=任取任取3 3個全個全非次品非次品 ，則，則1261943200( )0.0855C CP AC 31943200()0.9122CP BC 2021/4/216例例5 5 2 2封信隨機地向標號為封信隨機地向標號為1 1、2 2、3 3、4 4的的4 4個郵個郵筒投遞，求第筒投遞，求第2 2個郵筒恰好被投入個郵筒恰好被投入1 1封信和前兩封信和前兩個郵筒各有個郵筒各有1 1封信的概率

13、。封信的概率。設(shè)設(shè)A=A=第第2 2個郵筒只有個郵筒只有1 1封信封信 ，B=B=前前2 2個郵筒各有個郵筒各有1 1封信封信 則則1123114438()C CP AC C 12114418()CP BC C 1123114438()C CP AC C 2021/4/217例例6 6盒子模型盒子模型把把n個球隨機放入個球隨機放入N(n5050時，第二個事件幾乎是必然事件，這與時，第二個事件幾乎是必然事件，這與我們的直觀想像是不同的。我們的直觀想像是不同的。例例7 7生日問題生日問題 個人的生日各不相同的個人的生日各不相同的(365)n n 概率是多少？至少有兩個人生日相同的概率是多少？概率是

14、多少？至少有兩個人生日相同的概率是多少？分析：該題概率的計算方法與盒子模型相同分析：該題概率的計算方法與盒子模型相同. .3651365nnPP 解解：，211.PP2021/4/219 三三 、幾何概型（幾何定義）、幾何概型（幾何定義） 早在概率論發(fā)展初期，人們就認識到，早在概率論發(fā)展初期，人們就認識到，只考慮有限個等可能樣本點的古典方法是不只考慮有限個等可能樣本點的古典方法是不夠的。夠的。 在古典概型中在古典概型中, ,把試驗個數(shù)有限改為無限，把試驗個數(shù)有限改為無限，等可能性不變。人們引入了幾何概型。由此形等可能性不變。人們引入了幾何概型。由此形成了確定概率的另一方法成了確定概率的另一方法

15、幾何方法。幾何方法。2021/4/220幾何概型：幾何概型：1 1、樣本空間、樣本空間是平面上某個區(qū)域，它的面積為是平面上某個區(qū)域，它的面積為S();();2 2、向區(qū)域、向區(qū)域上隨機投擲一點，這里上隨機投擲一點，這里“隨機投擲一點隨機投擲一點”的含義是指該點落入的含義是指該點落入內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置與這部分區(qū)域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無關(guān)。和形狀無關(guān)。3 3、事件、事件A是是的某個區(qū)域，它的面積為的某個區(qū)域，它的面積為S( (A),),則向區(qū)域則向區(qū)域上隨機投擲一點，該點落區(qū)域上隨機投擲一點，該點落

16、區(qū)域A內(nèi)的概率是內(nèi)的概率是( )( )()S AP AS 2021/4/221注：如果樣本空間注：如果樣本空間可用一線段，或空間中某個區(qū)域可用一線段，或空間中某個區(qū)域表示，并且向表示，并且向上隨機投擲一點的含義如前述，則事上隨機投擲一點的含義如前述，則事件件A A的概率類似可求，只不過把的概率類似可求，只不過把S理解為長度或體積理解為長度或體積. .A( )( )()S AP AS 幾何概型通常以長度、面積或體積等具體形式表現(xiàn)幾何概型通常以長度、面積或體積等具體形式表現(xiàn)出來出來. .與古典概型一樣，樣本點必須具有等可能性與古典概型一樣，樣本點必須具有等可能性. .2021/4/222例例1 1

17、候車問題候車問題某公共汽車站每天從上午某公共汽車站每天從上午7 7時時起，每隔起，每隔1515分鐘來一班車。一乘客在分鐘來一班車。一乘客在7 7：00007 7：3030隨機到達該站，求該乘客等候時間不超過隨機到達該站，求該乘客等候時間不超過5 5分鐘的概率。分鐘的概率。0 01515303010102525(1510)(3025)300P 13 2021/4/223解：以解：以x、y表示甲、乙兩人到達的時刻，則表示甲、乙兩人到達的時刻，則若以若以 x、y 表示平面上點的坐標，而所有可能表示平面上點的坐標，而所有可能例例2 2會面問題會面問題甲、乙兩個相約在甲、乙兩個相約在0 0到到T T這段

18、時間內(nèi)在這段時間內(nèi)在預(yù)定地點會面，先到的人等候另一個，經(jīng)過時間預(yù)定地點會面，先到的人等候另一個，經(jīng)過時間 t t離離去。設(shè)每人在去。設(shè)每人在0 0到到T T這段時間內(nèi)各時刻到達該地是等可這段時間內(nèi)各時刻到達該地是等可能的，且兩人到達的時刻互不影響。試求甲、乙兩人能的，且兩人到達的時刻互不影響。試求甲、乙兩人能會面的概率？能會面的概率？到達時刻形成的點可以用平面上邊長為到達時刻形成的點可以用平面上邊長為T的的0, 0 xTyT 0, 0.xTyT 正正方方形形內(nèi)內(nèi)所所有有點點表表示示 ( , ) 0, 0.x yxTyT 即即2021/4/224ttoxyTT ( , ) 0, 0.x yxTy

19、T A設(shè)設(shè) 能能會會面面A 則則0, 0,( , ).xTyTx yxyt 且且A ( )ASP AS 222()TTtT 21(1) .tT例例2 2會面問題會面問題甲、乙兩個相約在甲、乙兩個相約在0 0到到T T這段時間內(nèi)在這段時間內(nèi)在預(yù)定地點會面，先到的人等候另一個，經(jīng)過時間預(yù)定地點會面，先到的人等候另一個，經(jīng)過時間 t t離離去。設(shè)每人在去。設(shè)每人在0 0到到T T這段時間內(nèi)各時刻到達該地是等可這段時間內(nèi)各時刻到達該地是等可能的，且兩人到達的時刻互不影響。試求甲、乙兩人能的，且兩人到達的時刻互不影響。試求甲、乙兩人能會面的概率？能會面的概率？2021/4/225第第 3 節(jié)概率的性質(zhì)節(jié)

20、概率的性質(zhì)第一章第一章 隨機事件及其概率隨機事件及其概率2021/4/226性質(zhì)性質(zhì)2 2對任一事件對任一事件A ，有有注：性質(zhì)注：性質(zhì)2 2在計算上很有用，如果直接計算事件在計算上很有用，如果直接計算事件A 的的概率不容易，可計算其對立事件的概率。概率不容易，可計算其對立事件的概率。性質(zhì)性質(zhì)1 1（有限可加性）（有限可加性）12,nA AA若若是是兩兩兩兩互互斥斥事事件件，則則11()()(1)nniiiiPAP A ()1()(2)P AP A 2021/4/227性質(zhì)性質(zhì)3 3,AB 若若則則有有 ()( )( )(3)P BAP BP A 減減法法公公式式： ()() (4)P BP

21、A 單單調(diào)調(diào)性性 ： ()ABA 證證明明：因因為為，()BABA ()()P BP ABA 所所以以( )()P AP BA(3)()P BA 由由0 0( )( )P BP A(4).注：一般的減法公式為注：一般的減法公式為 ()()()()(5)P BAP BABP BP AB ABA B2021/4/228性質(zhì)性質(zhì)4 4 一般的加法公式一般的加法公式()( )( )()(6)P ABP AP BP AB ()()P ABP ABAB ( )()P AP BAB ( )( )().P AP BAB證明：證明：AB特特別別地地，若若 、 互互斥斥，則則()()() 7P ABP AP B

22、（ ） ()( )( ) 8P ABP AP B 推推論論：（ ）BABAB 2021/4/229性質(zhì)性質(zhì)5 5 多個事件的加法公式多個事件的加法公式()()()()P ABCP AP BP C ()()()()(9)P ABP BCP ACP ABC 11()()nniiiiPAP A 1()nijij nP A A 1()nijkij k nP A A A 112( 1)()nnP A AA (10)2021/4/230概率性質(zhì)在計算中的應(yīng)用概率性質(zhì)在計算中的應(yīng)用例例1 501 50個產(chǎn)品中有個產(chǎn)品中有4646個合格品與個合格品與4 4個次品，從中一次個次品，從中一次抽取抽取3 3個，求其

23、中有次品的概率個，求其中有次品的概率 設(shè)設(shè)A為為“取到的取到的3 3個中有次品個中有次品”，則，則 為為“全是合格全是合格品品”。 A346350( )0.7745CP AC( )1( )P AP A0.2255. 例例2 2 拋一枚硬幣拋一枚硬幣5 5次，求既出現(xiàn)正面又出現(xiàn)反面的概率。次，求既出現(xiàn)正面又出現(xiàn)反面的概率。 解：設(shè)解：設(shè)A為所求事件，則為所求事件，則 為為“全為正面或全為反面全為正面或全為反面”。A( )P A1( )P A551112215.16 2021/4/231 1(1)(2)(3).8ABABP AB 、 互互斥斥；分析：已知條件中有分析：已知條件中有A、B的概率，且由的概率，且由A、B的關(guān)系的關(guān)系可以確定可以確定P(AB)的值。故考慮利用