第三章MATLAB 矩陣分析與處理.

1、12u特殊矩陣特殊矩陣u矩陣結(jié)構(gòu)變換矩陣結(jié)構(gòu)變換u矩陣求逆與線性方程組求解矩陣求逆與線性方程組求解u矩陣求值矩陣求值u矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量u矩陣的超越函數(shù)矩陣的超越函數(shù)3u通用的特殊矩陣通用的特殊矩陣 零矩陣零矩陣 幺矩陣幺矩陣 單位矩陣單位矩陣 隨機(jī)矩陣隨機(jī)矩陣u用于專門學(xué)科的特殊矩陣用于專門學(xué)科的特殊矩陣 魔方矩陣魔方矩陣 范德蒙德矩陣范德蒙德矩陣 希爾伯特矩陣希爾伯特矩陣 特普利茨矩陣特普利茨矩陣 伴隨矩陣伴隨矩陣 帕斯卡矩陣帕斯卡矩陣4u常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù) zeros：產(chǎn)生：產(chǎn)生全全0矩陣矩陣(零矩陣零矩陣) ones：產(chǎn)生

2、：產(chǎn)生全全1矩陣矩陣(幺矩陣幺矩陣) eye：產(chǎn)生：產(chǎn)生單位矩陣單位矩陣 rand：產(chǎn)生：產(chǎn)生01間間均勻分布均勻分布的的隨機(jī)矩陣隨機(jī)矩陣 randn：產(chǎn)生：產(chǎn)生均值為均值為0，方差為，方差為1的的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣隨機(jī)矩陣u以以zeros函數(shù)為例函數(shù)為例 zeros(m)：產(chǎn)生：產(chǎn)生mm零矩陣零矩陣 zeros(m,n) ：產(chǎn)生：產(chǎn)生mn零矩陣零矩陣 zeros(size(A) ：產(chǎn)生一個與矩陣：產(chǎn)生一個與矩陣A同樣大小的零矩陣同樣大小的零矩陣5u例例 分別建立分別建立33、32和與矩陣和與矩陣A同樣大小的零矩陣。同樣大小的零矩陣。 建立一個建立一個33零矩陣零矩陣zeros(

3、3) 建立一個建立一個32零矩陣零矩陣zeros(3,2) 設(shè)設(shè)A為為23矩陣，則可以用矩陣，則可以用zeros(size(A)建立一個與矩陣建立一個與矩陣A同樣大同樣大小零矩陣小零矩陣A=1 2 3;4 5 6; %產(chǎn)生一個產(chǎn)生一個23階矩陣階矩陣Azeros(size(A) %產(chǎn)生一個與矩陣產(chǎn)生一個與矩陣A同樣大小的零矩陣同樣大小的零矩陣6u隨機(jī)矩陣的生成隨機(jī)矩陣的生成Rand:生成均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)生成均勻分布的偽隨機(jī)數(shù),分布在（分布在（01）之間）之間主要語法：主要語法：rand(m,n)生成生成m行行n列的均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)列的均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)rand(m,n,double)生成指

4、定精度的均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)，參數(shù)還可以是生成指定精度的均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)，參數(shù)還可以是singlerand(RandStream,m,n)利用指定的利用指定的RandStream(隨機(jī)種子隨機(jī)種子)生成偽隨機(jī)數(shù)生成偽隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生在產(chǎn)生在a,b區(qū)間服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)方法區(qū)間服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)方法 a +(b-a)*rand(m,n) Randn:生成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的偽隨機(jī)數(shù)生成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的偽隨機(jī)數(shù)（均值為（均值為0，方差為，方差為1）主要語法：和上面一樣主要語法：和上面一樣產(chǎn)生均值為產(chǎn)生均值為 ，方差為，方差為 的隨機(jī)數(shù)方法的隨機(jī)數(shù)方法2( , )randn m n7u例例 建立隨機(jī)矩陣：建立

5、隨機(jī)矩陣：(1) 在區(qū)間在區(qū)間20,50內(nèi)均勻分布的內(nèi)均勻分布的5階隨機(jī)矩陣。階隨機(jī)矩陣。(2) 均值為均值為0.6、方差為、方差為0.1的的5階正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。階正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。命令如下：命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)u注意：注意：正常情況下每次調(diào)用相同正常情況下每次調(diào)用相同rand指令生成的隨機(jī)數(shù)是不同的指令生成的隨機(jī)數(shù)是不同的 例如：例如：rand(1,3) ans = 0.139043482536049 0.734007633362635 0.194791464843949rand(1,3) ans = 0.602

6、204766324215 0.937923745019422 0.1492854147071928u主要原因：主要原因： matlab的的rand函數(shù)生的是偽隨機(jī)數(shù)函數(shù)生的是偽隨機(jī)數(shù),即由隨機(jī)種子遞推出來的即由隨機(jī)種子遞推出來的,相相同的種子同的種子,生成相同的隨機(jī)數(shù)生成相同的隨機(jī)數(shù). matlab剛運行起來時剛運行起來時,種子都為初始值種子都為初始值,因此每次第一次執(zhí)行因此每次第一次執(zhí)行rand得到的隨機(jī)數(shù)都是相同的得到的隨機(jī)數(shù)都是相同的.u多次運行生成相同的隨機(jī)數(shù)方法多次運行生成相同的隨機(jī)數(shù)方法 用用rand(state,S)設(shè)定種子設(shè)定種子 ，S為為35階向量，最簡單的方法是階向量，最簡

7、單的方法是設(shè)為設(shè)為0 例例: rand(state,0); rand(5)9u魔方矩陣魔方矩陣 性質(zhì)：每行、每列及兩條對角線上的元素和都相等性質(zhì)：每行、每列及兩條對角線上的元素和都相等 實例實例 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1u例例 將將101125等等25個數(shù)填入一個個數(shù)填入一個5行行5列的表格中，使其每列的表格中，使其每行每列及對角線的和均為行每列及對角線的和均為565。 M=100+magic(5)10u范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)矩陣矩陣 性質(zhì)：性質(zhì)：最后一列全為最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個指定的向量，其他各，倒數(shù)第二列為

8、一個指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點乘積列是其后列與倒數(shù)第二列的點乘積。 實例：實例： 64 16 4 1 125 25 5 1 216 36 6 1 343 49 7 1u可以用一個指定向量生成一個范德蒙德矩陣可以用一個指定向量生成一個范德蒙德矩陣 函數(shù)函數(shù)vander(V)生成以生成以向量向量V為基礎(chǔ)向量為基礎(chǔ)向量的范德蒙德矩陣的范德蒙德矩陣 例如，例如，A=vander(4;5;6;7)即可得到上述范德蒙德矩陣即可得到上述范德蒙德矩陣 A=vander(4;5;6;7) 等價于等價于vander(4:7)11u希爾伯特矩陣希爾伯特矩陣性質(zhì)：性質(zhì)：矩陣的每個元素矩陣的每個元素a

9、ij為為1/(i+j-1)實例實例 1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 u生成希爾伯特矩陣的函數(shù)生成希爾伯特矩陣的函數(shù) hilb(n)u求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù) 希爾伯特矩陣是一個希爾伯特矩陣是一個條件數(shù)很差條件數(shù)很差的矩陣，使用一般方法求逆會因為原始數(shù)的矩陣，使用一般方法求逆會因為原始數(shù)據(jù)的微小擾動而產(chǎn)生不可靠的計算結(jié)果。據(jù)的微小擾動而產(chǎn)生不可靠的計算結(jié)果。 MATLAB中，有一個專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)中，有一個專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)invhilb(n)，其功能，其功能

10、是求是求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。u例例 求求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。format rat %以有理形式輸出以有理形式輸出H=hilb(4)H=invhilb(4)12u特普利茨矩陣特普利茨矩陣 性質(zhì)：性質(zhì)：除第一行第一列外，其他每個元素都與左上角的元素相同除第一行第一列外，其他每個元素都與左上角的元素相同 實例實例 2 3 4 5 6 7 8 9 3 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 3 4 5 6 7 5 4 3 2 3 4 5 6u生成特普利茨矩陣的函數(shù)生成特普利茨矩陣的函數(shù) toeplitz(x,y)，生成一個以，生成一個

11、以x為第一列，為第一列，y為第一行為第一行的托普利茲矩陣。這里的托普利茲矩陣。這里x, y均為向量，兩者不必等長。均為向量，兩者不必等長。 例例 toeplitz(2:5,2:9) toeplitz(2:5,2,8,9) toeplitz(x)用向量用向量x生成一個對稱的特普利茨矩陣。生成一個對稱的特普利茨矩陣。 例例 T=toeplitz(1:6)13u伴隨矩陣伴隨矩陣 矩陣中的元素用它們在行列式中的代數(shù)余子式替換后得到的矩陣矩陣中的元素用它們在行列式中的代數(shù)余子式替換后得到的矩陣再轉(zhuǎn)置，這個矩陣叫再轉(zhuǎn)置，這個矩陣叫A的伴隨矩陣。的伴隨矩陣。u生成伴隨矩陣的函數(shù)生成伴隨矩陣的函數(shù) compa

12、n(p)，其中，其中p是一個多項式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前是一個多項式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。，低次冪排在后。 例，求多項式例，求多項式x3-7x+6的伴隨矩陣的伴隨矩陣p=1,0,-7,6;compan(p)14u帕斯卡矩陣帕斯卡矩陣 二次項二次項(x+y)n展開后的系數(shù)展開后的系數(shù)隨隨n的增大組的增大組成一個三角形成一個三角形表，稱為楊輝表，稱為楊輝三角形。三角形。 由楊輝三角形由楊輝三角形組成的矩陣稱組成的矩陣稱為帕斯卡為帕斯卡(Pascal)矩陣矩陣15u生成一個生成一個n階帕斯卡矩陣的函數(shù)階帕斯卡矩陣的函數(shù) pascal(n)u例例 求求(x+y)4的展開式的

13、展開式pascal(5)ans = 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 6 10 15 1 4 10 20 35 1 5 15 35 70 u矩陣次對角線上的元素矩陣次對角線上的元素1,4,6,4,1即為展開式的系數(shù)即為展開式的系數(shù)16u特殊矩陣特殊矩陣u矩陣結(jié)構(gòu)變換矩陣結(jié)構(gòu)變換u矩陣求逆與線性方程組求解矩陣求逆與線性方程組求解u矩陣求值矩陣求值u矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量u矩陣的超越函數(shù)矩陣的超越函數(shù)17u對角陣對角陣 只有只有對角線對角線上有上有非非0元素元素的矩陣稱為對角矩陣的矩陣稱為對角矩陣u特例特例 對角線上的對角線上的元素相等元素相等的對角矩陣稱為的對

14、角矩陣稱為數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣 對角線上的對角線上的元素都為元素都為1的對角矩陣稱為的對角矩陣稱為單位矩陣單位矩陣u對角線的性質(zhì)對角線的性質(zhì) 轉(zhuǎn)置運算對角線元素不變轉(zhuǎn)置運算對角線元素不變 相似運算對角線元素的和不變相似運算對角線元素的和不變u矩陣研究中需要矩陣研究中需要 提取矩陣的對角線元素提取矩陣的對角線元素生成列向量生成列向量 利用向量利用向量構(gòu)造對角矩陣構(gòu)造對角矩陣18u提取矩陣的對角線元素提取矩陣的對角線元素 設(shè)設(shè)A為為mn矩陣，矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣函數(shù)用于提取矩陣A主對角線元素，產(chǎn)主對角線元素，產(chǎn)生一個具有生一個具有min(m,n)個元素的個元素的列向量列向量。 A=1,

15、2,3;4,5,6; B=diag(A) diag(A)函數(shù)還有一種形式函數(shù)還有一種形式diag(A,k)，其功能是提取第，其功能是提取第k條對角線條對角線的元素的元素 與主對角線平行與主對角線平行,往上為第往上為第1條條,第第2條條,第第n條對角線，往下為第條對角線，往下為第-1條條，第，第-2條條,第第-n條對角線條對角線。 例，提取例，提取B矩陣主對角線兩側(cè)對角線元素矩陣主對角線兩側(cè)對角線元素uC=diag(A,1)uD=diag(A,-1)19u構(gòu)造對角矩陣構(gòu)造對角矩陣 設(shè)設(shè)V為具有為具有m個元素的向量，個元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個將產(chǎn)生一個mm對角矩陣，對角矩陣，其主對角線

16、元素即為向量其主對角線元素即為向量V的元素。的元素。 diag(1,2,3,4) diag(V)函數(shù)也有另一種形式函數(shù)也有另一種形式diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個，其功能是產(chǎn)生一個nn(n=m+|k|)對角陣，其第對角陣，其第k條對角線的元素即為向量條對角線的元素即為向量V的元素的元素 diag(1:4,-1)20u例例 先建立先建立55矩陣矩陣A，然后將，然后將A的第一行元素乘以的第一行元素乘以1，第，第二行乘以二行乘以2，第五行乘以，第五行乘以5。 A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;.11,18,25,2,19;

17、 D=diag(1:5); D*A %用D左乘A，對A的每行乘以一個指定常數(shù)u問題：對矩陣問題：對矩陣A的每列元素乘以同一個數(shù)，如何實現(xiàn)？的每列元素乘以同一個數(shù)，如何實現(xiàn)？u答：對角陣答：對角陣右乘右乘矩陣矩陣A21u三角陣三角陣 上三角陣：矩陣的對角線以下的元素全為上三角陣：矩陣的對角線以下的元素全為0的一種矩陣的一種矩陣 下三角陣：對角線以上的元素全為下三角陣：對角線以上的元素全為0的一種矩陣的一種矩陣u上三角矩陣上三角矩陣 求矩陣求矩陣A的上三角陣的的上三角陣的MATLAB函數(shù)是函數(shù)是triu(A) 功能：提取矩陣功能：提取矩陣A的上三角元素的上三角元素 A=1,2,3,4;5,6,7,

18、8;9,10,11,12;13,14,15,16 B= triu(A) triu(A)函數(shù)也有另一種形式函數(shù)也有另一種形式triu(A,k) 功能：提取矩陣功能：提取矩陣A的第的第k條對角線以上的元素條對角線以上的元素 C= triu(A,2)u(2) 下三角矩陣下三角矩陣 tril(A)和和tril(A,k) 用法與提取上三角矩陣的函數(shù)用法與提取上三角矩陣的函數(shù)triu(A)和和triu(A,k)完全相同。完全相同。22u矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置 轉(zhuǎn)置運算符是轉(zhuǎn)置運算符是單撇號單撇號() D=Au矩陣的旋轉(zhuǎn)矩陣的旋轉(zhuǎn) 以以90為單位為單位對矩陣按對矩陣按逆時針方向逆時針方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn) ro

19、t90(A,k)將矩陣將矩陣A旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)90的的k倍，當(dāng)倍，當(dāng)k為為1時可省略。時可省略。 E=rot90(A) F= rot90(A,4)23u矩陣的左右翻轉(zhuǎn)矩陣的左右翻轉(zhuǎn) 列調(diào)換列調(diào)換 將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，依次類推。，依次類推。 MATLAB對矩陣對矩陣A實施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是實施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A) G= fliplr(A)u矩陣的上下翻轉(zhuǎn)矩陣的上下翻轉(zhuǎn) 行調(diào)換行調(diào)換 MATLAB對矩陣對矩陣A實施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是實施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A) H=flipud(A)24u特殊矩

20、陣特殊矩陣u矩陣結(jié)構(gòu)變換矩陣結(jié)構(gòu)變換u矩陣求逆與線性方程組求解矩陣求逆與線性方程組求解u矩陣求值矩陣求值u矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量u矩陣的超越函數(shù)矩陣的超越函數(shù)25u矩陣的逆矩陣的逆 對于一個方陣對于一個方陣A，如果存在一個與其同階的方陣，如果存在一個與其同階的方陣B，使得，使得 AB=BA=I (I為單位矩陣為單位矩陣) 則稱則稱B為為A的逆矩陣，當(dāng)然，的逆矩陣，當(dāng)然，A也是也是B的逆矩陣。的逆矩陣。 求一個矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯，但在求一個矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯，但在MATLAB中，求一個矩陣的逆非常容易。中，求一個矩陣的逆非常容易。 求

21、方陣求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。 A=1,-1,1;5,-4,3;2,1,1 B=inv(A) A*B B*A26u矩陣的偽逆矩陣的偽逆 如果矩陣如果矩陣A不是一個方陣不是一個方陣，或者，或者A是一個是一個非滿秩的方陣非滿秩的方陣時，矩陣時，矩陣A沒有逆矩陣，但可以找到一個與沒有逆矩陣，但可以找到一個與A的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣A同型的矩陣同型的矩陣B，使得：使得： ABA=A BAB=B此時稱矩陣此時稱矩陣B為矩陣為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。 在在MATLAB中，求一個矩陣偽逆的函數(shù)是中，求一個矩陣偽逆的函數(shù)是pinv(A)。 A=3

22、,1,1,1;1,3,1,1;1,1,3,1 B= pinv(A)27u用矩陣求逆方法求解線性方程組用矩陣求逆方法求解線性方程組 在線性方程組在線性方程組Ax=b兩邊各左乘兩邊各左乘A-1，有，有 A-1Ax=A-1b 由于由于A-1A=I，故得，故得 x=A-1bu例例 用求逆矩陣的方法解線性方程組。用求逆矩陣的方法解線性方程組。 A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; b=5,-2,6; x=inv(A)*b也可以運用左除運算符也可以運用左除運算符“”求解線性代數(shù)方程組。求解線性代數(shù)方程組。x=Ab6278294532zyxzyxzyx28u特殊矩陣特殊矩陣u矩陣結(jié)構(gòu)變換矩陣結(jié)構(gòu)變換u

23、矩陣求逆與線性方程組求解矩陣求逆與線性方程組求解u矩陣求值矩陣求值u矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量u矩陣的超越函數(shù)矩陣的超越函數(shù)29u把一個方陣看作一個行列式，并對其按行列式的規(guī)則求值把一個方陣看作一個行列式，并對其按行列式的規(guī)則求值，這個值就稱為所對應(yīng)的行列式的值。，這個值就稱為所對應(yīng)的行列式的值。u在在MATLAB中，求方陣中，求方陣A所對應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是所對應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是det(A)。 例例 A=rand(5) B=det(A)30u矩陣的秩矩陣的秩 矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。 在在MATLAB中，求矩陣秩的函

24、數(shù)是中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。 A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; r= rank(A)u矩陣的跡矩陣的跡 矩陣的跡等于矩陣的對角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和矩陣的跡等于矩陣的對角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和 在在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是中，求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。 A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; trace(A)31u向量和矩陣的范數(shù)向量和矩陣的范數(shù) 矩陣或向量的范數(shù)用來度量矩陣或向量在矩陣或向量的范數(shù)用來度量矩陣或向量在某種意義某種意義下的長度。下的長度。 范數(shù)有多種方法定義，其定義不同，范數(shù)值也就不同。范數(shù)有多種方法定義，其

25、定義不同，范數(shù)值也就不同。u向量的范數(shù)向量的范數(shù) 3種常用范數(shù)及其計算函數(shù)種常用范數(shù)及其計算函數(shù) 設(shè)向量設(shè)向量V=(v1,v2,.,vn) u1-范數(shù)：范數(shù)：|V|1=v1+v2+vn u2-范數(shù)：范數(shù)： |V|2=(v12+v22+vn2)1/2 u-范數(shù)：范數(shù)：|V| =max(v1,v2,vn) 在在MATLAB中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：(1) norm(V)或或norm(V,2)：計算向量：計算向量V的的2-范數(shù)。范數(shù)。(2) norm(V,1)：計算向量：計算向量V的的1-范數(shù)。范數(shù)。(3) norm(V,inf)：計算向量：計算向量V的的-范數(shù)。范數(shù)。32u矩

26、陣的范數(shù)及其計算函數(shù)矩陣的范數(shù)及其計算函數(shù)1-范數(shù)：范數(shù)：A1 = max |ai1|, |ai2| , ,|ain| （列和范數(shù)列和范數(shù)，A每一列元素絕對值之和的最大值）每一列元素絕對值之和的最大值） 其中其中|ai1|第一列元素絕對值的和第一列元素絕對值的和|ai1|=|a11|+|a21|+.+|an1|,其余類似；其余類似；2-范數(shù)：范數(shù)：A2 = A的最大奇異值的最大奇異值 = ( max i(AH*A) ) 1/2 ( 譜范數(shù)譜范數(shù),即即AA特征值特征值i中最大者中最大者1的平方根，其中的平方根，其中AH為為A的轉(zhuǎn)置共軛的轉(zhuǎn)置共軛矩陣）；矩陣）； -范數(shù)：范數(shù)：A = max |a

27、1j|, |a2j| ,., |amj| （行和范數(shù)行和范數(shù)，A每一行元素絕對值之和的最大值）每一行元素絕對值之和的最大值） 其中為其中為|a1j| 第一行元素絕對值的和，其余類似；第一行元素絕對值的和，其余類似；uMATLAB提供了求提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函數(shù)調(diào)用格式與求向量的種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同。范數(shù)的函數(shù)完全相同。A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; a1=norm(A,1) a2=norm(A,2) ainf=norm(A, inf)33u矩陣的條件數(shù)矩陣的條件數(shù) 用用矩陣及其逆矩陣的范數(shù)的乘積矩陣及其逆矩陣的范數(shù)的乘積表示矩陣的條

28、件數(shù)表示矩陣的條件數(shù) cond(A)= |A|.|A-1|u為什么要研究矩陣的條件數(shù)？為什么要研究矩陣的條件數(shù)？ 矩陣條件數(shù)的大小是衡量矩陣條件數(shù)的大小是衡量矩陣矩陣“壞壞”或或“好好”的標(biāo)志的標(biāo)志 一個簡單的例子是，如果我們想求解線性方程組一個簡單的例子是，如果我們想求解線性方程組Ax=b，雖然當(dāng)，雖然當(dāng)A可逆時，理論上可以解出可逆時，理論上可以解出x=A(-1)*b,但在實際工程中，由于構(gòu)但在實際工程中，由于構(gòu)成成A、b中的數(shù)可能都不是精確的，而僅是一些近似數(shù)，當(dāng)中的數(shù)可能都不是精確的，而僅是一些近似數(shù)，當(dāng)b中數(shù)中數(shù)據(jù)發(fā)生據(jù)發(fā)生“小小”的變化時會對解的變化時會對解x造成多大的誤差呢？如果誤

29、差很造成多大的誤差呢？如果誤差很大，那么，這種方程按大，那么，這種方程按x=A(-1)*b算出的結(jié)果算出的結(jié)果x就不可信，因此就不可信，因此稱為病態(tài)方程。稱為病態(tài)方程。 利用矩陣論理論，利用矩陣論理論，當(dāng)當(dāng)A的條件數(shù)越大，方程的條件數(shù)越大，方程Ax=b的病態(tài)就越嚴(yán)重的病態(tài)就越嚴(yán)重。這也就是我們研究條件數(shù)的原因。這也就是我們研究條件數(shù)的原因。34u由于矩陣范數(shù)的定義不同，因而其條件數(shù)也不同，但是由由于矩陣范數(shù)的定義不同，因而其條件數(shù)也不同，但是由于矩陣范數(shù)的等價性，故在不同范數(shù)下的條件數(shù)也是等價于矩陣范數(shù)的等價性，故在不同范數(shù)下的條件數(shù)也是等價的。的。u在在MATLAB中，計算矩陣中，計算矩陣A

30、的的3種條件數(shù)的函數(shù)是：種條件數(shù)的函數(shù)是：(1) cond(A,1) 計算計算A的的1范數(shù)下的條件數(shù)。范數(shù)下的條件數(shù)。(2) cond(A)或或cond(A,2) 計算計算A的的2范數(shù)數(shù)下的條件數(shù)。范數(shù)數(shù)下的條件數(shù)。(3) cond(A,inf) 計算計算A的的 范數(shù)下的條件數(shù)。范數(shù)下的條件數(shù)。A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; a1=cond (A) B=2,-5,4;1,5,-2;-1,2,4; a2=cond (B) 35u特殊矩陣特殊矩陣u矩陣結(jié)構(gòu)變換矩陣結(jié)構(gòu)變換u矩陣求逆與線性方程組求解矩陣求逆與線性方程組求解u矩陣求值矩陣求值u矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量u

31、矩陣的超越函數(shù)矩陣的超越函數(shù)36u在在MATLAB中，計算矩陣中，計算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)是的特征值和特征向量的函數(shù)是eig(A)，常用的調(diào)用格式有，常用的調(diào)用格式有3種：種： (1) E=eig(A)：求矩陣：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量的全部特征值，構(gòu)成向量E。 (2) V,D=eig(A)：求矩陣：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成對角陣的全部特征值，構(gòu)成對角陣D，并求，并求A的特征向量構(gòu)成的特征向量構(gòu)成V的列向量。的列向量。 (3) V,D=eig(A,nobalance)：與第：與第2種格式類似，但第種格式類似，但第2種格式種格式中先對中先對A作相似變換后求矩陣作相似變換后求矩陣

32、A的特征值和特征向量，而格式的特征值和特征向量，而格式3直直接求矩陣接求矩陣A的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。 A=1,1,0.5;1,1,0.25;0.5,0.25,2 V,D=eig(A) A*V V*D37u例例 用求特征值的方法解方程用求特征值的方法解方程 3x5-7x4+5x2+2x-18=0 第一步：構(gòu)造與方程對應(yīng)的多項式的伴隨矩陣第一步：構(gòu)造與方程對應(yīng)的多項式的伴隨矩陣 p=3,-7,0,5,2,-18; A=compan(p); %A為伴隨矩陣為伴隨矩陣 第二步：求第二步：求A的特征值的特征值 x1=eig(A) %A的特征值即為方程的根的特征值即為方程的根u比較：比較： 用直接求多項式零點的方法解方程用直接求多項式零點的方法解方程 x2=roots(p)edit roots.mroots函數(shù)正是應(yīng)用求伴隨函數(shù)正是應(yīng)用求伴隨矩陣的特征值方法來求方程的根矩陣的特征值方法來求方程的根38u特殊矩陣特殊矩陣u矩陣結(jié)構(gòu)變換矩陣結(jié)構(gòu)變換u矩陣求逆與線性方程組求解矩陣求逆與線性方程組求解u矩陣求值矩陣求值u矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量u矩陣的超越函數(shù)矩陣的超越函數(shù)39u矩陣的超越函數(shù)矩陣的超越函數(shù)在在MATLAB中中sqrt 、exp、log等命