單輝祖材力(第八章應力狀態(tài)分析第九章強度理論與組合變形)

1、第八章 應力應變狀態(tài)分析 構件內(nèi)一點處各截面方向上的應力的情況，稱構件內(nèi)一點處各截面方向上的應力的情況，稱為該點的應力狀態(tài)?？捎蓢@該點的一個單元體面為該點的應力狀態(tài)?？捎蓢@該點的一個單元體面上的應力表示。上的應力表示。8-1 概 述一點處的應力狀態(tài)目的：目的：通過應力狀態(tài)分析求出該點處的通過應力狀態(tài)分析求出該點處的 max、 max及及其作用面，從而更好地進行強度分析。其作用面，從而更好地進行強度分析。 單元體每個面上應力均布；每對相互平行面上的單元體每個面上應力均布；每對相互平行面上的性質(zhì)相同的應力大小相等；可用截面法求任一截面上性質(zhì)相同的應力大小相等；可用截面法求任一截面上的應力。的應

2、力。單元體如何取？單元體如何??？ 在研究點的周圍，取一個由三對互相垂直的平在研究點的周圍，取一個由三對互相垂直的平面構成的六面體，該六面體的邊長分別為無窮小量面構成的六面體，該六面體的邊長分別為無窮小量dx、dy和和dz，如下圖所示。，如下圖所示。dydzdxzxy8-2 平面應力狀態(tài)分析主應力 對圖對圖a所示懸臂梁上所示懸臂梁上A點處單元體上的應力分點處單元體上的應力分布（圖布（圖b）可見：有一對平面上的應力等于零，而）可見：有一對平面上的應力等于零，而不等于零的應力分量都處于同一坐標平面內(nèi)。不等于零的應力分量都處于同一坐標平面內(nèi)。AF(a) adcbAabdc(b) adcbA 該應力狀態(tài)

3、則稱為平面該應力狀態(tài)則稱為平面應力狀態(tài)，其單元體可簡化應力狀態(tài)，其單元體可簡化為左圖所示情形。為左圖所示情形。1、斜截面上的應力已知如下圖已知如下圖a（或圖（或圖b）所示的一平面應力狀態(tài)：）所示的一平面應力狀態(tài)：efanaxyzabcdxy(a) xyyyxxdabcxyxx(b) xxyyyy 可由截面法求與前、后兩平面垂直的斜截面可由截面法求與前、后兩平面垂直的斜截面上上應力。應力。如圖如圖b所示，斜截面所示，斜截面ef的外法線與的外法線與x軸間的夾角軸間的夾角為為a a，稱為，稱為a a截面。截面。應力的正負和斜截面夾角的正負規(guī)定：應力的正負和斜截面夾角的正負規(guī)定：1）正應力）正應力 拉

4、為正，壓為負；拉為正，壓為負；2）切應力）切應力 使單元體產(chǎn)生順時針旋轉(zhuǎn)趨勢為正；反使單元體產(chǎn)生順時針旋轉(zhuǎn)趨勢為正；反之為負；之為負；3）對）對a a角，角，x軸逆時針旋轉(zhuǎn)這一角度而與斜截面外法軸逆時針旋轉(zhuǎn)這一角度而與斜截面外法線重合時，其值為正；反之為負。線重合時，其值為正；反之為負。 取圖取圖c所示分離體進行分析。圖所示分離體進行分析。圖c中所示斜截面中所示斜截面上應力和斜截面夾角均為正。上應力和斜截面夾角均為正。efbyxaaa(c) xy 0n0cossindsinsindsincosdcoscosddaaaaaaaaaAAAAAyyxx 由圖由圖d所示體元上各面上的力的平衡，參考法所

5、示體元上各面上的力的平衡，參考法線線n和切線和切線t方向可得：方向可得：ntydAsina(d) bfydAsinaadAxdAcosaeadAxdAcosaaaa2sin2cos22xyxyx由此可得，任一斜截面上的應力分量為：由此可得，任一斜截面上的應力分量為： 0t0sinsindcossindcoscosdsincosddaaaaaaaaaAAAAAyyxx其中其中dA為斜截面為斜截面ef的面積。的面積。aaa2cos2sin2xyx解：解：C點應力狀態(tài)如圖點應力狀態(tài)如圖b所示，其拉應力和切應力為：所示，其拉應力和切應力為：MPa7 .6310041050023AFx例：圖示圓軸中，已

6、知：圓軸直徑例：圖示圓軸中，已知：圓軸直徑d=100mm，軸向拉，軸向拉 力力F=500kN，外力矩，外力矩Me=7kNm。求。求C點點a a = 30截截面上的應力。面上的應力。(b)Cxxxxxyyy(a)xTFTCFMPa9 .1660sin60cos202030 xxx MPa4 .452cos2sin2030aaxx圖示斜截面上應力分量為：圖示斜截面上應力分量為：MPa7 .351001610736PeWMxCxxxxxyyy30n-30-302、應力圓由任一斜截面上應力分量的計算公式可得：由任一斜截面上應力分量的計算公式可得： aaa2sin2cos22xyxyxaaa2cos2s

7、in2xyx兩式兩邊平方后求和可得：兩式兩邊平方后求和可得：222222xyxyxaa而圓方程為：而圓方程為： 222Rbyax 可見前式實際上表示了在可見前式實際上表示了在 為水平軸、為水平軸、 為垂直為垂直軸的坐標系下的一個圓，其圓心坐標為：軸的坐標系下的一個圓，其圓心坐標為：0,2yx半徑為：半徑為：222xyxR如下圖。如下圖。 單元體斜截面上應力（單元體斜截面上應力（ a a， a a）和應力圓上點的）和應力圓上點的坐標（坐標（ a a， a a）一一對應，因此可通過確定應力圓上）一一對應，因此可通過確定應力圓上相應點的坐標來求斜截面上應力（相應點的坐標來求斜截面上應力（ a a，

8、a a）。）。 因為圓心一定在因為圓心一定在 軸上，只要知道應力圓上的兩軸上，只要知道應力圓上的兩點（即單元體兩個面上的應力），即可確定應力圓。點（即單元體兩個面上的應力），即可確定應力圓。OC222xyx2yx) ,(aa1 1）應力圖的畫法）應力圖的畫法xxD,1yyD,2已知已知 x、 y、 x、 y，如右圖，假定如右圖，假定 x y。 在在 、 坐標系內(nèi)按比例尺確定兩點：坐標系內(nèi)按比例尺確定兩點：xxD,1yyD,2dabcefaxyxxnaxxyyyy 以以C為圓心，線段為圓心，線段CD1或或CD2為半徑作圓，即為應為半徑作圓，即為應 力圓。力圓。 連接連接D1、D2兩點，線段兩點，

9、線段D1D2與與 軸交于軸交于C點。點。xxD,1yyD,2CxxD,1yyD,2C2 2）證明）證明對下圖所示應力圓可見對下圖所示應力圓可見C點的點的橫坐標為：橫坐標為： 從從D1點按斜截面角點按斜截面角a a的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動動2a a得到得到E點，該點的坐標值點，該點的坐標值即為斜截面上的應力分量值。即為斜截面上的應力分量值。xxD,1yyD,2C2aEOC2FA1B1B2A2D1D2Exyyx12a02aCBOBOC22由于由于CBDCBD1122可得：可得：CBCB12222/212yxyxyBBOBOC因此，因此，C點坐標為應力圓圓心坐標，并且點坐標為應力圓圓心坐標，并且22211

10、221122xyxDBBBCD 該線段長度等于應力圓半徑。該線段長度等于應力圓半徑。從而證明上述圓從而證明上述圓確為應力圓。確為應力圓。則：則：另外，另外，E點橫坐標為：點橫坐標為： aaa2cos2sin2xyxEEFaaaaaa2sin2sin2cos2cos22cos000CECEOCCEOCCFOCOFE可見，可見，E點坐標值即為點坐標值即為a a斜截面上的應力分量值。斜截面上的應力分量值。aaa2sin2cos22xyxyxE即：即：同理可得同理可得E點的縱坐標為：點的縱坐標為： 由于應力圓上點的坐標與單元體面上的應力分量由于應力圓上點的坐標與單元體面上的應力分量值一一對應，因此，按

11、比例作圖，可通過直接用尺子值一一對應，因此，按比例作圖，可通過直接用尺子量出坐標值來求任意斜截面上的應力分量，此即稱為量出坐標值來求任意斜截面上的應力分量，此即稱為圖解法。圖解法。解：按一定比例畫出應力圓。解：按一定比例畫出應力圓。 0MPa7 .63x 0y MPa7 .35yx例例：用圖解法求圖示用圖解法求圖示a a = 30斜截面上的應力值。斜截面上的應力值。因為圖示應力狀態(tài)有：因為圖示應力狀態(tài)有：x30 x=35.7MPax=63.7MPayn 按一定比例，作出應按一定比例，作出應力圓，并找到斜截面對應力圓，并找到斜截面對應的點，量取其坐標可得：的點，量取其坐標可得： MPa1730M

12、Pa46307 .357 .63，xD7 .35 0，yD則則x、y截面在應力圓上兩點為：截面在應力圓上兩點為：EDy(0, 35.7)Dx(63.7,-35.7)60-30-30， )20MPa3、主平面和主應力對圖對圖a所示應力狀態(tài)，作出應力圓（圖所示應力狀態(tài)，作出應力圓（圖b）。）。1a01220,max1A 0,min2A主平面：剪應力主平面：剪應力 =0的平面；的平面；主應力：主平面上的正應力。主應力：主平面上的正應力。321321可證明：可證明：并規(guī)定：并規(guī)定：可見：可見：xy(a)ODyDxCA2A12a0(b)；2211OAOA03具體值可在應力圓上量取，即：具體值可在應力圓上

13、量取，即：主平面位置：主平面位置：圖圖a中中 1主平面的方位角主平面的方位角a a0對應于應力對應于應力 圓（圖圓（圖b）上的圓心角）上的圓心角2a a0。 主應力值和主應力平面的計算：主應力值和主應力平面的計算： 由圖由圖b可見，可見，A1、A2兩點的橫坐標為：兩點的橫坐標為：11CAOCOA22CAOCOAyxxCBBDa22tan111022122xyxyx22222xyxyx由此可得兩個主應力值為：由此可得兩個主應力值為：因為因為 1主平面方位角的兩倍主平面方位角的兩倍對應于應力圓上對應于應力圓上2a a0，而，而 02tanaIV象限。象限。02tana02tana02tana注意：

14、注意：2a a0的值與其所在的象限有關，而其所在象限的值與其所在的象限有關，而其所在象限與計算式中分子、分母的正負有關，即：與計算式中分子、分母的正負有關，即：I象限；象限；II象限；象限；III象限；象限；所以，所以， 1主平面方位角主平面方位角a a0為：為： yxxa2arctan210例例 求圖求圖a所示應力狀態(tài)的主應力及方向。所示應力狀態(tài)的主應力及方向。MPa100 xMPa40 xMPa30yMPa40y40,100 xD 40,30yD解：解：1、應力圓圖解法：、應力圓圖解法：因為：因為：所以：所以：按一定比例作出應力圓（圖按一定比例作出應力圓（圖b）。）。yx30MPa100M

15、Pa=40MPax(a)DxDyA3A12a0(b)MPa403MPa1101 02163020a 8150a 由應力圓通過直接量取，并考慮主應力的大由應力圓通過直接量取，并考慮主應力的大小關系可得：小關系可得：由此可得：由此可得：主應力單元體以及主平面的方位如圖主應力單元體以及主平面的方位如圖c所示：所示：1a01yx(c)2 2、解析法、解析法 ：MPa11022221xyxyx MPa4022223xyxyx 1383010040222tan0yxxa 163020a02 8150a所以：所以：例：兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖例：兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖a和和b所所示，梁

16、的尺寸見圖示，梁的尺寸見圖c。試通過應力圓求截面。試通過應力圓求截面C上上a、b兩點處的主應力。兩點處的主應力。解：首先作出梁的剪力和彎矩圖如圖解：首先作出梁的剪力和彎矩圖如圖d和和e所示：所示： (a) B8 m10 mA250 kNC(b)fza(c) b12015270159(d) FS圖M圖(e) M(kNm)80 x200 kN50 kNFSx由此可得由此可得C截面處的彎矩和截面左側的剪力為：截面處的彎矩和截面左側的剪力為：mkN80CMkN200SCF 又因為橫截面的慣性矩和計算又因為橫截面的慣性矩和計算a點切應力所點切應力所需的靜矩為：需的靜矩為：4633m10881227. 0

17、111. 0123 . 012. 0zI36*m102560075. 015. 0015. 012. 0zaS且：且：m135. 0ay由此可得由此可得C截面上截面上a點處正應力和切應力分別為：點處正應力和切應力分別為：MPa7 .122135. 01088108063azCayIMMPa6 .64109108810256102003663*SdISFzzaCa 該點的應力狀態(tài)如圖該點的應力狀態(tài)如圖f所示，選定適當?shù)谋壤?，選定適當?shù)谋壤纯衫L出相應的應力圓，如圖即可繪出相應的應力圓，如圖g所示。所示。y(f) yyxxxxxx=122.7MPax=64.6MPay=-64.6MPa/M

18、Pa/MPaOA1A2CD1(122.7,64.6)D2(0,-64.6)3max2a0(g) 由應力圓可得由應力圓可得a點處的主應力為：點處的主應力為：MPa150111CAOCOA02且：且：4 .467 .1226 .642arctan20a則則 1主平面的方位角主平面的方位角a a0為：為：2 .230a顯然，顯然， 3主平面應垂直與主平面應垂直與 1主平面，如下圖所示。主平面，如下圖所示。MPa27223CAOCOA31yyyxxxxx2 .230a對對C截面上的截面上的b點，因點，因yb=0.15m可得：可得：MPa4 .13615. 01088108063bzCbyIM0b 該點

19、的應力狀態(tài)如圖該點的應力狀態(tài)如圖h所示，選定適當?shù)谋壤?，選定適當?shù)谋壤?，即可繪出相應的應力圓，如圖即可繪出相應的應力圓，如圖i所示。所示。x=136.5 MPa(h) xyx(i) maxD2(0,0)/MPa/MPaD1(136.4,0)b點處的主應力為：點處的主應力為：MPa4 .1361032 1主平面就是主平面就是x平面，即梁的橫截面平面，即梁的橫截面C。8-3 空間應力狀態(tài)的概念 下圖所示單元體的應力狀態(tài)是最普遍的情況，下圖所示單元體的應力狀態(tài)是最普遍的情況，稱為一般的稱為一般的空間應力狀態(tài)空間應力狀態(tài)。圖中圖中x平面有：平面有：xzxyx,圖中圖中y平面有：平面有：yzyxy

20、,圖中圖中z平面有：平面有：zyzxz, 在切應力的下標中，第一個表示所在平面，第在切應力的下標中，第一個表示所在平面，第二個表示應力的方向。二個表示應力的方向。xyzOdxdydzxyxzxyxyyzxyzzxxyxxzzyzzxyxyyzzxyzxyzyx, 可以證明，對上述應力狀態(tài)一定可找到一個可以證明，對上述應力狀態(tài)一定可找到一個單元體，其三對相互垂直的面都是主平面，其上單元體，其三對相互垂直的面都是主平面，其上應力分別為：應力分別為：321, 空間應力狀態(tài)共有空間應力狀態(tài)共有9個分量，然而，根據(jù)切應個分量，然而，根據(jù)切應力互等定理可知，獨立的分量只有力互等定理可知，獨立的分量只有6個

21、，即：個，即：空間應力狀態(tài)：空間應力狀態(tài)：三個主應力都不等于零；三個主應力都不等于零；平面應力狀態(tài)：平面應力狀態(tài)：兩個主應力不等于零；兩個主應力不等于零；單向應力狀態(tài)：單向應力狀態(tài)：只有一個主應力不等于零。只有一個主應力不等于零。該單元體稱為主單元體。該單元體稱為主單元體。例：下圖例：下圖a所示鋼軌的軌頭受車輪的靜荷作用時，所示鋼軌的軌頭受車輪的靜荷作用時，其應力狀態(tài)即為圖其應力狀態(tài)即為圖b所示三向壓應力狀態(tài)。所示三向壓應力狀態(tài)。113322(b)(a)F考慮圖考慮圖a所示主單元體中斜截面上的應力。所示主單元體中斜截面上的應力。對與對與 3平行的斜截面平行的斜截面： 同理：同理：和和 2平行的

22、斜截面上平行的斜截面上應力與應力與 2無關，由無關，由 1、 3的的應力應力圓確定；和圓確定；和 1平行的斜截面上應平行的斜截面上應力與力與 1無關無關，由由 2、 3的的應力圓應力圓確定。確定。下面分析空間應力狀態(tài)下的最大正應力和切應力。下面分析空間應力狀態(tài)下的最大正應力和切應力。cab133(b)2121332(a) 進一步研究表明，一般斜截進一步研究表明，一般斜截面面abc面上應力位于圖面上應力位于圖c所示的陰所示的陰影部分內(nèi)。影部分內(nèi)。由圖由圖b可知，該面上應力可知，該面上應力 a a、 a a與與 3無關，由無關，由 1、 2的應力圓來的應力圓來確定。確定。1max3min231ma

23、x max作用面為與作用面為與 2平行，與平行，與 1或或 3成成45角角的的斜截面斜截面。所以，由所以，由 1、 3構成的應構成的應力圓最大，力圓最大， max作用點位于作用點位于該圓上，且有：該圓上，且有：因為：因為：O321maxBDAmax(c)注意：注意： max作用面上，作用面上， 0。例：用應力圓求圖例：用應力圓求圖a所示應力狀態(tài)的主應力、主平面，所示應力狀態(tài)的主應力、主平面，最大切應力最大切應力 max及作用面。及作用面。解：由圖示應力狀態(tài)可知解：由圖示應力狀態(tài)可知 z=20MPa為一主應力，為一主應力，則與該應力平行的斜截面上的應力與其無關?？捎蓜t與該應力平行的斜截面上的應力

24、與其無關?？捎蓤D圖b所示的平面應力狀態(tài)來確定另兩個主應力。所示的平面應力狀態(tài)來確定另兩個主應力。202040(b)(a)20MPa20MPa40MPa20MPaxyzMPa461MPa202MPa263 圖圖b所示平面應力狀態(tài)對應的應力圓如圖所示平面應力狀態(tài)對應的應力圓如圖c。最后依據(jù)三個主應力值可繪出三個應力圓，如圖最后依據(jù)三個主應力值可繪出三個應力圓，如圖d。O31ACD2D1(c)Omax321BACD2D12a0(d)由此可得：由此可得：MPa36max BC 作用面與作用面與 2平行而與平行而與 1成成45角，如圖角，如圖e所示。所示。最大剪應力對應于最大剪應力對應于B點的縱坐標，即

25、點的縱坐標，即x(e)321max4517例：對下列圖示應力狀態(tài)，求剪應力最大值。例：對下列圖示應力狀態(tài)，求剪應力最大值。 21max21max23max1212302231max601402403MPa50231max=60 =40可求得：可求得：8-4 應力與應變之間的關系1、各向同性材料的廣義胡克定律 P時，時，ExEyEz2 2）純剪應力狀態(tài)：）純剪應力狀態(tài)：Gxxy P1 1）單向應力狀態(tài)：）單向應力狀態(tài)：橫向線應變：橫向線應變： xxy時，時，3 3）空間應力狀態(tài)：）空間應力狀態(tài)：對圖示空間應力狀態(tài)：對圖示空間應力狀態(tài)：; , ,zyx 正負號規(guī)定：正負號規(guī)定：正應力分量同前，拉為

26、正、壓正應力分量同前，拉為正、壓為負；切應力分量重新規(guī)定，正面（外法線與坐為負；切應力分量重新規(guī)定，正面（外法線與坐標軸指向一致）上切應力矢與坐標軸正向一致或標軸指向一致）上切應力矢與坐標軸正向一致或負面上切應力矢與坐標軸負向一致時，切應力為負面上切應力矢與坐標軸負向一致時，切應力為正，反之為負。正，反之為負。六個應力分量，六個應力分量，zxyzxy , ,dxdydzxyxzxyxyyzxyzzxxyxxzzyzzxyxyyz對應的六個應變分量，對應的六個應變分量，zxyzxyzyx, 正負號規(guī)定：正負號規(guī)定：正應變分量同前，拉為正、壓為正應變分量同前，拉為正、壓為負；切應變分量以使直角減小

27、為正，反之為負。負；切應變分量以使直角減小為正，反之為負。 對各向同性材料，在線彈性、小變形條件下，對各向同性材料，在線彈性、小變形條件下，正應力只引起線應變，切應力只引起切應變，應力正應力只引起線應變，切應力只引起切應變，應力分量和應變分量的關系可由疊加原理求得：分量和應變分量的關系可由疊加原理求得：三個正應力分量單獨作用時，三個正應力分量單獨作用時，x方向的線應變?yōu)椋悍较虻木€應變?yōu)椋篍xxEyx Ezx yxzzE1zyxxxxxE 1zxyyE1同理可得：同理可得：則可得：則可得：對切應力分量與切應變的關系，有：對切應力分量與切應變的關系，有：GxyxyGyzyzGzxzx 上述六個關系

28、式即為空間應力狀態(tài)下，線彈性上述六個關系式即為空間應力狀態(tài)下，線彈性和小變形條件下各向同性材料的廣義胡克定律。和小變形條件下各向同性材料的廣義胡克定律。對平面應力狀態(tài)：設對平面應力狀態(tài)：設 z=0， xz=0， yz=0，有：，有：yxzEyxxE1xyyE1xyxyG1若用主應力和主應變來表示廣義胡克定律，有：若用主應力和主應變來表示廣義胡克定律，有：213331223211111EEE21312221111EEE二向應力狀態(tài)：二向應力狀態(tài)：, 03設設有有12EG可見，即使可見，即使 3 =0，但，但 3 0，而且各向同性材料有，而且各向同性材料有例：已知一受力構件自由表面上某點處的兩主應

29、變例：已知一受力構件自由表面上某點處的兩主應變值為值為 1=24010-6， 3=16010-6。材料的彈性模量。材料的彈性模量E =210GPa，泊松比，泊松比 =0.3。求該點處的主應力值。求該點處的主應力值數(shù)，并求另一應變數(shù)，并求另一應變 2的數(shù)值和方向。的數(shù)值和方向。解：因主應力和主應變相對應，則由題意可得：解：因主應力和主應變相對應，則由題意可得：02即為平面應力狀態(tài)，有即為平面應力狀態(tài)，有3111E1331E聯(lián)立兩式可解得：聯(lián)立兩式可解得：MPa3 .44101603 . 02403 . 011021016293121EMPa3 .20102403 . 01603 . 011021

30、016291323E669312103 .34103 .203 .44102103 . 0E主應變主應變 2為：為：其方向必與其方向必與 1和和 3垂直，沿構件表面的法線方向。垂直，沿構件表面的法線方向。例：邊長例：邊長a =0.1m的銅立方塊，無間隙地放入體積的銅立方塊，無間隙地放入體積較大、變形可忽略的鋼凹槽中，如圖較大、變形可忽略的鋼凹槽中，如圖a所示。已知所示。已知銅的彈性模量銅的彈性模量E=100GPa，泊松比，泊松比 =0.34。當受到。當受到F=300kN的均布壓力作用時，試求銅塊的主應力、的均布壓力作用時，試求銅塊的主應力、體應變以及最大切應力。體應變以及最大切應力。解：銅塊應

31、力狀態(tài)如圖解：銅塊應力狀態(tài)如圖b所示，橫截面上的壓應力為：所示，橫截面上的壓應力為：yxz(b)yxz(a)Faaa01zyxxE01xyzzE聯(lián)解可得：聯(lián)解可得：MPa5 .15112yzxMPa30AFy 受鋼槽的限制，銅塊在另兩個方向的應變?yōu)榱?，受鋼槽的限制，銅塊在另兩個方向的應變?yōu)榱?，并產(chǎn)生壓應力，即有：并產(chǎn)生壓應力，即有：7.25MPa231max利用空間應力狀態(tài)下最大切應力的計算式可得：利用空間應力狀態(tài)下最大切應力的計算式可得：則銅塊的主應力為：則銅塊的主應力為：MPa30MPa5 .15321，由此可得其體應變?yōu)椋河纱丝傻闷潴w應變?yōu)椋?3211095. 121E第九章 復雜應力狀

32、態(tài)強度問題 對單軸或純剪切應力狀態(tài)，可由實驗測得的相對單軸或純剪切應力狀態(tài)，可由實驗測得的相應的材料許用應力來建立正應力和切應力強度條件。應的材料許用應力來建立正應力和切應力強度條件。 而當一點處的應力狀態(tài)較為復雜時，因應力的組而當一點處的應力狀態(tài)較為復雜時，因應力的組合形式有無限多的可能性，不可能由實驗的方法來確合形式有無限多的可能性，不可能由實驗的方法來確定每一應力組合下材料的極限應力，因此需確定引起定每一應力組合下材料的極限應力，因此需確定引起材料破壞的共同因素。材料破壞的共同因素。 關于材料破壞的共同因素（即破壞規(guī)律）的假說，關于材料破壞的共同因素（即破壞規(guī)律）的假說，即稱為即稱為強度

33、理論強度理論?？筛鶕?jù)強度理論來建立強度條件?？筛鶕?jù)強度理論來建立強度條件。9-1 概述9-2 強度理論及其相當應力1 1、概述、概述 maxnu 1 1）單向應力狀態(tài)：）單向應力狀態(tài)： 圖示拉伸或壓縮的單向應力狀態(tài)，材料的破圖示拉伸或壓縮的單向應力狀態(tài)，材料的破壞有兩種形式：壞有兩種形式：塑性屈服：極限應力為塑性屈服：極限應力為2 . 0p或su脆性斷裂：極限應力為脆性斷裂：極限應力為bu 此時，此時， s、 p0.2和和 b可由實驗測得。由此可建可由實驗測得。由此可建立如下強度條件：立如下強度條件：maxnu2)2)純剪應力狀態(tài)：純剪應力狀態(tài)：其中其中n為安全系數(shù)。為安全系數(shù)。 圖示純剪應力

34、狀態(tài)，材料的破圖示純剪應力狀態(tài)，材料的破壞有兩種形式：壞有兩種形式：塑性屈服：極限應力為塑性屈服：極限應力為su脆性斷裂：極限應力為脆性斷裂：極限應力為bu 其中，其中， s和和 b可由實驗測得。由此可建立如下可由實驗測得。由此可建立如下強度條件：強度條件： 前述強度條件對材料破壞的原因并不深究。例如，前述強度條件對材料破壞的原因并不深究。例如，圖示低碳鋼拉圖示低碳鋼拉(壓壓)時的強度條件為：時的強度條件為：2maxmaxmaxFF 然而，其屈服是由于然而，其屈服是由于 max引起的，對圖示單向引起的，對圖示單向應力狀態(tài)，有：應力狀態(tài)，有：nnsumax依照切應力強度條件，有：依照切應力強度條

35、件，有：ns2maxmaxmax3 3）復雜應力狀態(tài)）復雜應力狀態(tài)xx來建立，因為來建立，因為 與與 之間會之間會相互影響。相互影響。 研究復雜應力狀態(tài)下材料破壞的原因，根據(jù)一研究復雜應力狀態(tài)下材料破壞的原因，根據(jù)一定的假設來確定破壞條件，從而建立強度條件，這定的假設來確定破壞條件，從而建立強度條件，這就是強度理論的研究內(nèi)容。就是強度理論的研究內(nèi)容。su與與22ssuu相當相當( (等效等效) )?？梢?，可見，對圖示平面應力狀態(tài)，不能分別用對圖示平面應力狀態(tài)，不能分別用max4 4）材料破壞的形式）材料破壞的形式 塑性屈服型：塑性屈服型：常溫、靜載時材料的破壞形式大致可分為：常溫、靜載時材料的

36、破壞形式大致可分為： 脆性斷裂型：脆性斷裂型：鑄鐵：拉伸、扭轉(zhuǎn)等；鑄鐵：拉伸、扭轉(zhuǎn)等；低碳鋼：三向拉應力狀態(tài)。低碳鋼：三向拉應力狀態(tài)。低碳鋼：拉伸、扭轉(zhuǎn)等；低碳鋼：拉伸、扭轉(zhuǎn)等；鑄鐵：三向壓縮應力狀態(tài)。鑄鐵：三向壓縮應力狀態(tài)。例如：例如：例如：例如： 可見：可見：材料破壞的形式不僅與材料有關，還與材料破壞的形式不僅與材料有關，還與應力狀態(tài)有關。應力狀態(tài)有關。 根據(jù)一些實驗資料，針對上述兩種破壞形式，根據(jù)一些實驗資料，針對上述兩種破壞形式，分別針對它們發(fā)生破壞的原因提出假說，并認為不分別針對它們發(fā)生破壞的原因提出假說，并認為不論材料處于何種應力狀態(tài)，某種類型的破壞都是由論材料處于何種應力狀態(tài)，某

37、種類型的破壞都是由同一因素引起，此即為同一因素引起，此即為強度理論強度理論。maxl脆性斷裂：脆性斷裂：maxl塑性斷裂：塑性斷裂：maxdV5 5）強度理論）強度理論常用的破壞判據(jù)有：常用的破壞判據(jù)有： 下面將討論常用的、基于上述四種破壞判據(jù)的下面將討論常用的、基于上述四種破壞判據(jù)的強度理論。強度理論。2、四個常用的強度理論 u1強度條件：強度條件：1nu1 1）最大拉應力理論）最大拉應力理論( (第一強度理論第一強度理論) ) 假設最大拉應力假設最大拉應力 1是引起材料脆性斷裂的因是引起材料脆性斷裂的因素。不論在什么樣的應力狀態(tài)下，只要三個主應素。不論在什么樣的應力狀態(tài)下，只要三個主應力中

38、的最大拉應力力中的最大拉應力 1達到極限應力達到極限應力 u，材料就發(fā)，材料就發(fā)生脆性斷裂，即：生脆性斷裂，即：可見：可見：a) 與與 2、 3無關；無關； b) 應力應力 u可用單向拉伸試樣發(fā)生脆性斷裂的可用單向拉伸試樣發(fā)生脆性斷裂的 試驗來確定。試驗來確定。實驗驗證：實驗驗證：鑄鐵：單拉、純剪應力狀態(tài)下的破壞與鑄鐵：單拉、純剪應力狀態(tài)下的破壞與該理論相符；平面應力狀態(tài)下的破壞和該理論基本該理論相符；平面應力狀態(tài)下的破壞和該理論基本相符。相符。存在問題：存在問題：沒有考慮沒有考慮 2、 3對脆斷的影響，無法解對脆斷的影響，無法解釋石料單壓時的縱向開裂現(xiàn)象。釋石料單壓時的縱向開裂現(xiàn)象。 假設最

39、大伸長線應變假設最大伸長線應變 1是引起脆性破壞的主要是引起脆性破壞的主要因素，則：因素，則：u11 1u用單向拉伸測定，即：用單向拉伸測定，即：Euu12 2）最大伸長線應變理論）最大伸長線應變理論( (第二強度理論第二強度理論) )實驗驗證：實驗驗證： a) 可解釋大理石單壓時的縱向裂縫；可解釋大理石單壓時的縱向裂縫； b) 鑄鐵二向、三向拉應力狀態(tài)下的實驗不符；鑄鐵二向、三向拉應力狀態(tài)下的實驗不符； c) 對鑄鐵一向拉、一向壓的二向應力狀態(tài)偏于對鑄鐵一向拉、一向壓的二向應力狀態(tài)偏于 安全，但可用。安全，但可用。因此有：因此有：uu321強度條件為：強度條件為：321nuu32111uE因

40、為：因為：231maxumax 對低碳鋼等塑性材料，單向拉伸時的屈服是對低碳鋼等塑性材料，單向拉伸時的屈服是由由45斜截面上的切應力引起的，因而極限應力斜截面上的切應力引起的，因而極限應力 jx可由單拉時的屈服應力求得可由單拉時的屈服應力求得，即：，即：常數(shù)2su3 3）最大切應力理論）最大切應力理論( (第三強度理論第三強度理論) ) 假設最大切應力假設最大切應力 max是引起材料塑性屈服的因是引起材料塑性屈服的因素，則：素，則：因為：因為：實驗驗證：實驗驗證：c) 二向應力狀態(tài)基本符合，偏于安全。二向應力狀態(tài)基本符合，偏于安全。b) 僅適用于拉壓性能相同的材料。僅適用于拉壓性能相同的材料。

41、由此可得，強度條件為：由此可得，強度條件為：31nsa) 僅適用于拉壓性能相同的材料；僅適用于拉壓性能相同的材料；b) 低碳鋼單拉低碳鋼單拉(壓壓)對對45 滑移線吻合；滑移線吻合；存在問題：存在問題： 沒考慮沒考慮 2對屈服的影響，偏于安全，對屈服的影響，偏于安全，但誤差較大；但誤差較大； 假設形狀改變能密度假設形狀改變能密度vd是引起材料塑性屈服的是引起材料塑性屈服的因素，即：因素，即： uvvdds10324 4）形狀改變能密度理論）形狀改變能密度理論( (第四強度理論第四強度理論) )因為材料單拉屈服時有：因為材料單拉屈服時有： jxvd可通過單拉試驗來確定?？赏ㄟ^單拉試驗來確定。所以

42、：所以： 2d261sjxEuv231232221d61Euv又：又：s2312322212121231232221ns因此：因此：由此可得強度條件為：由此可得強度條件為：實驗驗證：實驗驗證：a) 較第三強度理論更接近實際值；較第三強度理論更接近實際值；b) 材料拉壓性能相同時成立。材料拉壓性能相同時成立。強度理論的統(tǒng)一形式：強度理論的統(tǒng)一形式：r11r3212ur313r 最大拉應力最大拉應力( (第一強度第一強度) )理論：理論： 最大伸長線應變最大伸長線應變( (第二強度第二強度) )理論：理論： 最大切應力最大切應力( (第三強度第三強度) )理論：理論： r稱為相當應力，分別為：稱為

43、相當應力，分別為：231232221421r 形狀改變能密度形狀改變能密度( (第四強度第四強度) )理論：理論：9-3 強度理論的應用應用范圍：應用范圍：a) 僅適用于常溫、靜載條件下的均勻、連續(xù)、各僅適用于常溫、靜載條件下的均勻、連續(xù)、各向同性的材料；向同性的材料；b) 不論塑性或脆性材料，在三向拉應力狀態(tài)都不論塑性或脆性材料，在三向拉應力狀態(tài)都發(fā)生脆性斷裂，宜采用第一強度理論；發(fā)生脆性斷裂，宜采用第一強度理論；c) 對于脆性材料，在二向拉應力狀態(tài)下宜采用對于脆性材料，在二向拉應力狀態(tài)下宜采用第一強度理論；第一強度理論；d) 對塑性材料，除三向拉應力狀態(tài)外都會發(fā)生對塑性材料，除三向拉應力狀

44、態(tài)外都會發(fā)生屈服，宜采用第三或第四強度理論；屈服，宜采用第三或第四強度理論；e) 不論塑性或脆性材料，在三向壓應力狀態(tài)都不論塑性或脆性材料，在三向壓應力狀態(tài)都發(fā)生屈服失效，宜采用第四強度理論。發(fā)生屈服失效，宜采用第四強度理論。52122221例：兩危險點的應力狀態(tài)如圖，例：兩危險點的應力狀態(tài)如圖， = ，由第三、第，由第三、第四強度理論分別比較其危險程度。四強度理論分別比較其危險程度。(a)(b)解：對圖解：對圖a所示應力狀態(tài)，因為所示應力狀態(tài)，因為52222313r2321222312322214r所以：所以：52122223022132313r2212312322214r對圖對圖b所示應力

45、狀態(tài)，有：所示應力狀態(tài)，有：所以：所以： 2234r2243r 可見：由第三強度理論，圖可見：由第三強度理論，圖b所示應力狀態(tài)比所示應力狀態(tài)比圖圖a所示的安全；而由第四強度理論，兩者的危險所示的安全；而由第四強度理論，兩者的危險程度一樣。程度一樣。 注意：注意：圖圖a所示應力狀態(tài)實際上為拉扭和彎扭組所示應力狀態(tài)實際上為拉扭和彎扭組合加載對應的應力狀態(tài)，其相當應力如下：合加載對應的應力狀態(tài)，其相當應力如下：可記住，便于組合變形的強度校核?？捎涀?，便于組合變形的強度校核。1023s102s3由第三強度理論，有：由第三強度理論，有： sr2313例：例：利用第三或第四強度理論利用第三或第四強度理論求

46、純剪應力狀態(tài)下屈求純剪應力狀態(tài)下屈服應力服應力 s和拉壓屈服應力和拉壓屈服應力 s之間的關系。之間的關系。 當當 = s時材料發(fā)生屈服，因此有：時材料發(fā)生屈服，因此有：解：圖示純剪應力狀態(tài)的主應力為：解：圖示純剪應力狀態(tài)的主應力為：而當材料拉壓屈服時有：而當材料拉壓屈服時有：s由此可得：由此可得： ss5 . 0 5 . 0利用第四強度理論，有：利用第四強度理論，有：sr3212312322214ssr34sss577. 031 6 . 0577. 0即，即， sr3純剪：純剪：單拉：單拉：由此可得：由此可得： 例：例：兩端簡支的工字鋼梁承受荷載如圖兩端簡支的工字鋼梁承受荷載如圖a所示。已所示

47、。已知知材料（材料（Q235鋼）的許用應力為鋼）的許用應力為 =170MPa和和 = 100MPa。試按強度條件選擇工字鋼號碼。試按強度條件選擇工字鋼號碼。解：首先確定鋼梁的危解：首先確定鋼梁的危險截面。險截面。 作出梁的剪力圖和彎作出梁的剪力圖和彎矩圖如圖矩圖如圖b和圖和圖c所示，可所示，可見見C、D截面為危險截面，截面為危險截面，取取C截面計算，其剪力和截面計算，其剪力和彎矩為：彎矩為：kN200max,SS FFCmkN84max MMC(b) 200kN200kNFS圖M圖(c) 84kNm(a) B0.42 m2.50 mAC200 kN200 kN0.42 m1.66 mD 先按正

48、應力強度條件選擇截面型號。因最大先按正應力強度條件選擇截面型號。因最大正應力發(fā)生在正應力發(fā)生在C截面的上、下邊緣處，且為單向截面的上、下邊緣處，且為單向應力狀態(tài)，由正應力強度條件可得截面系數(shù)為：應力狀態(tài)，由正應力強度條件可得截面系數(shù)為：3663maxm10496101701084MW據(jù)此可選用據(jù)此可選用28a號工字鋼，其截面系數(shù)為：號工字鋼，其截面系數(shù)為：36m10508W 再按切應力強度條件進行校核。對再按切應力強度條件進行校核。對28a號工號工字鋼，查表可得截面幾何性質(zhì)為：字鋼，查表可得截面幾何性質(zhì)為：46m1014.71zIm1062.242max,zzSIm1085. 02d中性軸處的

49、最大切應力（純剪應力狀態(tài)）為：中性軸處的最大切應力（純剪應力狀態(tài)）為：100MPaMPa5 .951085. 01062.2410200223max,max,SmaxdISFzz 可見，選用可見，選用28a號工字鋼滿足切應力強度條件，號工字鋼滿足切應力強度條件，簡化的截面形狀和尺寸以及應力分布如圖簡化的截面形狀和尺寸以及應力分布如圖d所示。所示。(d)a12213.728013.78.5126.3126.3maxmax 利用圖利用圖d所示的截面簡化尺寸和已有的所示的截面簡化尺寸和已有的Iz，可，可求得求得a點的正應力點的正應力 和切應力和切應力 分別為：分別為： 以上分析僅考慮了最大正應力和切

50、應力作用的以上分析僅考慮了最大正應力和切應力作用的位置，而對工字型截面腹板和翼緣交界處（圖位置，而對工字型截面腹板和翼緣交界處（圖d中中的的a點），正應力和切應力都較大，且處于平面應點），正應力和切應力都較大，且處于平面應力狀態(tài)（見圖力狀態(tài)（見圖e），因此還需對此進行強度校核。），因此還需對此進行強度校核。a(e) MPa1 .1491014.711263. 0108463maxzIyMMPa8 .730085. 01014.711022310200663max,SdISFzz其中，其中，Sz為橫截面的下緣面積對中性軸的靜矩，為：為橫截面的下緣面積對中性軸的靜矩，為：36m1022320137

51、. 01263. 00137. 0122. 0zS 由前例可得，圖由前例可得，圖e所示應力狀態(tài)的第四強度理論所示應力狀態(tài)的第四強度理論相當應力為：相當應力為：2234r170MPaMPa4 .1968 .7331 .149322224r 可見，可見，28a號工字鋼不能滿足要求。改用號工字鋼不能滿足要求。改用28b號工字鋼，按同樣的方法可得：號工字鋼，按同樣的方法可得：178.5MPa1.05MPa2 .1734r可用。可用。若用第三強度理論，則相當應力為：若用第三強度理論，則相當應力為：請自行計算最終結果。請自行計算最終結果。 注意：注意：本例中對本例中對a點的強度校核是按簡化后的點的強度校核

52、是按簡化后的截面尺寸進行的。實際上，對符合國家標準的型截面尺寸進行的。實際上，對符合國家標準的型鋼并不需要對該點進行校核；然而，對自行設計鋼并不需要對該點進行校核；然而，對自行設計的焊接而成的組合工字梁則需進行校核。的焊接而成的組合工字梁則需進行校核。9-4 彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形 以圓截面桿在彎扭組合時的強度計算問題以圓截面桿在彎扭組合時的強度計算問題曲拐曲拐, AB, AB段為等直實心段為等直實心圓截面桿圓截面桿, ,作受力簡化作受力簡化, ,作作M、T圖圖BAFlaFABMe=Fa_圖TFa_FlM圖F力使力使AB桿發(fā)生彎曲，外力偶矩桿發(fā)生彎曲，外力偶矩Me=Fa使它發(fā)生扭轉(zhuǎn)使它發(fā)生扭轉(zhuǎn)由彎矩、扭矩圖知，由彎矩、扭矩圖知，危險截面危險截面為固定端截面為固定端截面A危險截面上與彎矩和扭矩對應的危險截面上與彎矩和扭矩對應的正應力、切應力正應力、切應力為為A截面的上、下兩個點截面的上、下兩個點C1 1和和C2 2是是危險點危險點C1 1點的應力狀態(tài)，取點的應力狀態(tài)，取單元體單元體得得-二向應力狀態(tài)二向應力狀態(tài)C12CCC34A1C2C3CC4C1強度條件為強度條件為22422334rr342222注意到注意到 =M/