直線的參數(shù)方程的幾何意義

1、樂恩特教育個(gè)性化教學(xué)輔導(dǎo)教案 課 題直線的參數(shù)方程的幾何意義教學(xué)目標(biāo)要 求與直線的參數(shù)方程有關(guān)的典型例題教學(xué)重難點(diǎn)分 析與直線的參數(shù)方程有關(guān)的典型例題教 學(xué) 過 程知識(shí)要點(diǎn)概述 過定點(diǎn)、傾斜角為的直線的參數(shù)方程為t為參數(shù)，其中t表示直線上以定點(diǎn)為起點(diǎn)，任意一點(diǎn)Mx，y為終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量，的幾何意義是直線上點(diǎn)到M的距離.此時(shí),假設(shè)t>0,那么的方向向上;假設(shè)t<0,那么的方向向下;假設(shè)t=0,那么點(diǎn)與點(diǎn)M重合.由此，易得參數(shù)t具有如下 的性質(zhì)：假設(shè)直線上兩點(diǎn)A、B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，那么性質(zhì)一：A、B兩點(diǎn)之間的距離為，特別地，A、B兩點(diǎn)到的距離分別為性質(zhì)二：A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)

2、的參數(shù)為，假設(shè)是線段AB的中點(diǎn)，那么，反之亦然。 精編例題講練一、求直線上點(diǎn)的坐標(biāo)例1一個(gè)小蟲從P1，2出發(fā)，它在 x軸方向的分速度是3，在y軸方向的分速度是4，問小蟲3s后的位置Q。分析：考慮t的實(shí)際意義，可用直線的參數(shù)方程(t是參數(shù))。解：由題意知那么直線PQ的方程是，其中時(shí)間t 是參數(shù)，將t=3s代入得Q8，12。例2求點(diǎn)A1，2關(guān)于直線l：2x 3y +1 =0的對(duì)稱點(diǎn)A' 的坐標(biāo)。解：由條件，設(shè)直線AA' 的參數(shù)方程為 (t是參數(shù))，A到直線l的距離d = ， t = AA' = ，代入直線的參數(shù)方程得A' ( ，)。點(diǎn)評(píng)：求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的根本方

3、法是先作垂線，求出交點(diǎn)，再用中點(diǎn)公式，而此處那么是充分利用了參數(shù) t 的幾何意義。二 求定點(diǎn)到過定點(diǎn)的直線與其它曲線的交點(diǎn)的距離例1.設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)(1,5),傾斜角為,1)求直線和直線的交點(diǎn)到點(diǎn)的距離;2)求直線和圓的兩個(gè)交點(diǎn)到點(diǎn)的距離的和與積.解:直線的參數(shù)方程為( t為參數(shù))1)將直線的參數(shù)方程中的x,y代入,得t=.所以,直線和直線的交點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2)將直線的方程中的x,y代入,得設(shè)此方程的兩根為,那么=10.可知均為負(fù)值,所以=點(diǎn)評(píng)：解決此題的關(guān)鍵一是正確寫出直線的參數(shù)，二是注意兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的符號(hào)的異同。三 求直線與曲線相交的弦長(zhǎng)例1 過拋物線的焦點(diǎn)作斜角為的直線與拋物線交于A、

4、B兩點(diǎn)，求|AB|.解  因直線的傾角為，那么斜率為1，又拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，那么可設(shè)AB的方程為   (為參數(shù))代入整理得由韋達(dá)定理得t1t2=，t1t2=16。=.例2 直線L:x+y-1=0與拋物線y=交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng)和點(diǎn)M(-1,2)到A,B兩點(diǎn)的距離之積.解:因?yàn)橹本€L過定點(diǎn)M,且L的傾斜角為,所以它的參數(shù)方程是 (t為參數(shù))即 (t為參數(shù))把它代入拋物線的方程,得 解得 由參數(shù)t的幾何意義得 點(diǎn)評(píng):此題的解答中,為了將普通方程化為參數(shù)方程,先判定點(diǎn)M(-1,2)在直線上,并求出直線的傾斜角,這樣才能用參數(shù)t的幾何意義求相應(yīng)的距離.

5、這樣的求法比用普通方程求出交點(diǎn)坐標(biāo),再用距離公式求交點(diǎn)距離簡(jiǎn)便一些.四、求解中點(diǎn)問題例1,經(jīng)過點(diǎn)P(2,0),斜率為的直線和拋物線相交于A,B兩點(diǎn),設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,求點(diǎn)M的坐標(biāo).解:設(shè)過點(diǎn)P(2,0)的直線AB的傾斜角為,由可得:cos,所以,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))代入,整理得 中點(diǎn)M的相應(yīng)的參數(shù)是=所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為點(diǎn)評(píng):在直線的參數(shù)方程中,當(dāng)t>0,那么的方向向上;當(dāng)t<0,那么的方向向下,所以A,B中點(diǎn)的M所對(duì)應(yīng)的t的值等于,這與二點(diǎn)之點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)有點(diǎn)相同.例2雙曲線 ，過點(diǎn)P2，1的直線交雙曲線于P1，P2，求線段P1P2的中點(diǎn)M的軌跡方程。分析：中點(diǎn)問題與弦長(zhǎng)有

6、關(guān)，考慮用直線的參數(shù)方程，并注意有t1 +t2=0。解：設(shè)M(x0，y0)為軌跡上任一點(diǎn)，那么直線P1P2的方程是(t是參數(shù))，代入雙曲線方程得：(2cos2 sin2) t2 +2(2x0cos y0sin)t + (2x02 y02 2) = 0，由題意t1 +t2=0，即2x0cos y0sin =0，得。又直線P1P2的斜率 ，點(diǎn)P2，1在直線P1P2上，即2x2 y2 4x +y = 0為所求的軌跡的方程。五,求點(diǎn)的軌跡問題例1雙曲線 ，過點(diǎn)P2，1的直線交雙曲線于P1，P2，求線段P1P2的中點(diǎn)M的軌跡方程。分析：中點(diǎn)問題與弦長(zhǎng)有關(guān)，考慮用直線的參數(shù)方程，并注意有t1 +t2=0。

7、解：設(shè)M(x0，y0)為軌跡上任一點(diǎn)，那么直線P1P2的方程是(t是參數(shù))，代入雙曲線方程得：(2cos2 sin2) t2 +2(2x0cos y0sin)t + (2x02 y02 2) = 0，由題意t1 +t2=0，即2x0cos y0sin =0，得。又直線P1P2的斜率 ，點(diǎn)P2，1在直線P1P2上，即2x2 y2 4x +y = 0為所求的軌跡的方程。六、求定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距離例1直線l過點(diǎn)P(1，2)，其參數(shù)方程為(t是參數(shù))，直線l與直線 2x +y 2 =0 交于點(diǎn)Q，求PQ。解：將直線l的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，代入 2x +y 2 =0得 t' = ， PQ = | t&

8、#39;| = 。點(diǎn)評(píng)：題目給出的直線的參數(shù)并不是位移，直接求解容易出錯(cuò)，一般要將方程改成以位移為參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式。例2經(jīng)過點(diǎn)P(1，2)，傾斜角為 的直線 l與圓 x2 +y2 = 9相交于A，B兩點(diǎn)，求PA +PB和PA · PB的值。解：直線l的方程可寫成，代入圓的方程整理得：t2 +t4=0，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是t1 ，t2，那么t1 +t2 = ，t1 ·t2 = 4，由t1 與t2的符號(hào)相反知PA +PB = |t1| +|t2| = | t1 t2| = = 3，PA · PB =| t1 · t2 | = 4。點(diǎn)評(píng)：解決此題的關(guān)鍵一是

9、正確寫出直線的參數(shù)，二是注意兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的符號(hào)的異同。七、求直線與曲線相交弦的長(zhǎng)例1拋物線y2 = 2px，過焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求證：。分析：弦長(zhǎng)AB = |t1 t2|。解：由條件可設(shè)AB的方程為(t是參數(shù))，代入拋物線方程，得 t2 sin2 2pt cos p2 = 0，由韋達(dá)定理：， AB = |t1 t2| = = = 。例2橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過橢圓左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，假設(shè)FA =2FB，求那么橢圓的離心率。分析：FA =2FB轉(zhuǎn)化成直線參數(shù)方程中的 t1= 2t2或|t1| =2|t2|。解：設(shè)橢圓

10、方程為 ，左焦點(diǎn)F1c，0，直線AB的方程為，代入橢圓整理可得：(b2 +a2)t2 b2ct b4 = 0，由于t1= 2t2，那么，2×2+得：，將b2 =a2 c2代入，8 c2 = 3 a2 + a2 c2，得 ，故e = 。在研究線段的長(zhǎng)度或線段與線段之間的關(guān)系時(shí)，往往要正確寫出直線的參數(shù)方程，利用 t 的幾何意義，結(jié)合一些定理和公式來解決問題，這是直線參數(shù)的主要用途；通過直線參數(shù)方程將直線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用同一參變量 t 來表示，可以將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題來求解，表達(dá)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。知識(shí)穩(wěn)固訓(xùn)練應(yīng)用一：求距離例1、直線過點(diǎn)，傾斜角為，且與圓相交于A、B兩點(diǎn)。1

11、求弦長(zhǎng)AB.2求和的長(zhǎng)。應(yīng)用二：求點(diǎn)的坐標(biāo)例2、直線過點(diǎn)，傾斜角為，求出直線上與點(diǎn)相距為4的點(diǎn)的坐標(biāo)。應(yīng)用三：解決有關(guān)弦的中點(diǎn)問題例3、過點(diǎn)，傾斜角為的直線和拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M點(diǎn)的坐標(biāo)。教師課后小結(jié)簽字教學(xué)主任： 教學(xué)組長(zhǎng)： 學(xué)生/家長(zhǎng)： 解：因?yàn)橹本€過點(diǎn)，傾斜角為，所以直線的參數(shù)方程為，即，t為參數(shù)，代入圓方程，得，整理得1設(shè)A、B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，所以，所以2解方程得，所以，解：因?yàn)橹本€過點(diǎn)，傾斜角為，所以直線的參數(shù)方程為，即，t為參數(shù)， 1設(shè)直線上與點(diǎn)相距為4的點(diǎn)為M點(diǎn)，且M點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t，那么，所以，將t的值代入1式，當(dāng)t4時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)t4時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上，所求M點(diǎn)的坐標(biāo)為或. 點(diǎn)評(píng)：假設(shè)使用直線的普通方程，利用兩點(diǎn)間的距離公式求M點(diǎn)的坐標(biāo)較麻煩，而使用直線的參數(shù)方程，充分利用參數(shù)t的幾何意義求M點(diǎn)的坐標(biāo)較容易。解：直線過