概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第4版) ：7-3 估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)

1、第三節(jié)第三節(jié) 估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)一、問題的提出一、問題的提出二、無偏性二、無偏性三、有效性三、有效性四、相合性四、相合性五、小結(jié)五、小結(jié)一、問題的提出一、問題的提出問題問題(1)(1)對于同一個參數(shù)究竟采用哪一個估計量好對于同一個參數(shù)究竟采用哪一個估計量好? ? 對于同一個參數(shù)對于同一個參數(shù), 用不同的估計方法求出的用不同的估計方法求出的 估計量可能不相同估計量可能不相同. (2)(2)評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)是什么評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)是什么? ? 本節(jié)介紹幾個常用標(biāo)準(zhǔn)本節(jié)介紹幾個常用標(biāo)準(zhǔn). .二、無偏性二、無偏性的一個樣本，的一個樣本，為總體為總體若若XXXXn,21無偏估計的實際意義無偏

2、估計的實際意義: : 無系統(tǒng)誤差無系統(tǒng)誤差. . ,的分布中的待估參數(shù)的分布中的待估參數(shù)是包含在總體是包含在總體 X .的取值范圍的取值范圍是是這里這里 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望若估計量若估計量),(21nXXX ,)(存在存在 E,)( E有有且對于任意且對于任意則稱則稱.的無偏估計量的無偏估計量是是 證證同分布，同分布，與與因為因為XXXXn,21)(kiXE., 2 , 1ni nikiXEn1)(1.k 例例1,)1()(存在存在階矩階矩的的設(shè)總體設(shè)總體 kXEkXkk 的一個樣本，的一個樣本，是是又設(shè)又設(shè)XXXXn,21試證明不論試證明不論,總體服從什么分布總體服從什么分布是是階樣本矩階

3、樣本矩 nikikXnAk11.的無偏估計的無偏估計階總體矩階總體矩kk 故有故有)(kXE ,k 即即)(kAE . 的無偏估計的無偏估計階總體矩階總體矩是是階樣本矩階樣本矩故故kkkAk 特例特例: :的的的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望總是總體總是總體 )( 1XEXX 不論總體不論總體X 服從什么分布服從什么分布, , 只要它的數(shù)學(xué)期只要它的數(shù)學(xué)期.無偏估計量無偏估計量望存在望存在, 例例2,服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布設(shè)總體設(shè)總體 X其概率密度其概率密度);( xf,e1 x , 0 x, 0.其他其他 0, 其中參數(shù)其中參數(shù)XXXXn是來自總體是來自總體又設(shè)又設(shè),21,的樣本的樣本.的無偏估計的無

4、偏估計都是都是 ),min(21nXXXnnZX 和和試證試證證證)(XE. 的無偏估計量的無偏估計量是是所以所以 X因為因為 )(XE , 補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題 )( ZE )(nZE);(min xf,e nxn , 0 x, 0.其他其他 故知故知,n , . 的無偏估計量的無偏估計量也是也是所以所以 nZ 由以上兩例可知由以上兩例可知, 一個參數(shù)可以有不同的無一個參數(shù)可以有不同的無偏偏具有概率密度具有概率密度估計量估計量. .三、有效性三、有效性,21 和和的兩個無偏估計量的兩個無偏估計量比較參數(shù)比較參數(shù)如果如果,相同的情況下相同的情況下在樣本容量在樣本容量n更更的觀測值較的觀測值較21

5、. 21為理想為理想較較則認(rèn)為則認(rèn)為 密集，密集，由于方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏由于方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏 離程度的度量離程度的度量, 所以無偏估計以方差小者為好所以無偏估計以方差小者為好. ),(212nXXX ,的無偏估計量的無偏估計量都是都是 設(shè)設(shè) 1 ),(211nXXX 與與 2 , )()( 21 DD 若有若有.21有效有效較較則稱則稱 四、相合性四、相合性,),(21的估計量的估計量為參數(shù)為參數(shù)若若 nXXX 若若 , 對于任意對于任意,時時當(dāng)當(dāng) n依依),(21nXXX .的相合估計量的相合估計量為為則稱則稱 , 概率收斂于概率收斂于例如例如 ,由第六章第

6、三節(jié)知由第六章第三節(jié)知階矩是總階矩是總樣本樣本)1( kk ,)( 的相合估計量的相合估計量階矩階矩的的體體kkXEkX 進(jìn)而若待進(jìn)而若待),(21ng 估參數(shù)估參數(shù),為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)其中其中g(shù)的矩估計量的矩估計量則則 .的相合估計量的相合估計量是是 ),(21nAAAg ),(21ng 五、小結(jié)五、小結(jié)估計量的評選的三個標(biāo)準(zhǔn)估計量的評選的三個標(biāo)準(zhǔn) 無偏性無偏性有效性有效性相合性相合性相合性的估計量是不予以考慮的相合性的估計量是不予以考慮的. .相合性是對估計量的一個基本要求相合性是對估計量的一個基本要求, ,不具備不具備由最大似然估計法得到的估計量由最大似然估計法得到的估計量, ,件件下也具有相合性下也具有相合性. . 在一定條在一定條估計量的相合性只有當(dāng)樣本容量相當(dāng)大時估計量的相合性只有當(dāng)樣本容量相當(dāng)大時,