江西省吉安縣高中數(shù)學(xué)第2章解三角形2.1.3正、余弦定理的應(yīng)用課件北師大版必修5

1、2.1.2正、余弦定理的應(yīng)用正、余弦定理的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.熟記余弦定理并能靈活變形應(yīng)用；2.能靈活應(yīng)用邊角互化解三角形即判斷三角形的形狀等.1.正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即(1)sin Asin Bsin C ；abc 2R(3)a ，b ，c ；2Rsin A2Rsin B2Rsin CsinsinsinabcABC導(dǎo)導(dǎo)2.余弦定理的內(nèi)容：余弦定理的內(nèi)容：2222cosbacacB2222cosabcbcA2222coscababC222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2abcCab導(dǎo)導(dǎo)1 1. .在在ABC中，有中，有a2-c2+b2

2、=ab,則角則角C=_;C=_;解析：由余弦定理知：222cos2abcCab又已知a2-c2+b2=ab所以2221cos222abcabCabab所以3C3思思2.2.設(shè)設(shè)2a+1,a,2a-1為鈍角三角形的三邊，求實(shí)數(shù)為鈍角三角形的三邊，求實(shí)數(shù)a的取值范圍的取值范圍. .解：思思例例1 1在在ABC中，已知中，已知(sinAsinC)(sinAsinC)sinB(sinBsinC)，求角求角A A的值的值. .所以sin,sin,sin222abcABCRRR解析：由正弦定理知：2sinsinsinabcRABC所以原式可化為：()()()2222222acacbbcRRRRRRR消去R

3、得()()()ac acb bc即222acbbc222bcabc 所以2221cos22bcaAbc 即23A議、展議、展解析：由正弦定理知：2sinsinsinabcRABC所以sin,sin,sin222abcABCRRR所以已知條件可轉(zhuǎn)化為：:5:7:8222abcRRR消去R得: :5:7:8a b c 設(shè)5 ,7 ,8 ,ak bk ck所以222222(5 )(7 )(8 )1cos22 577abckkkCabkk所以三角形為銳角三角形變式變式 在在ABC中，若中，若sinA：sinB：sinC=5:7:8，則三角形的最大內(nèi)，則三角形的最大內(nèi)角的余弦值為角的余弦值為_,_,三角

4、形的形狀為三角形的形狀為_._.則角C為最大角，議、展議、展所以2 sin,2 sinaRA bRB解析：(方法一：邊化角)由正弦定理知：2sinsinsinabcRABC所以已知條件可轉(zhuǎn)化為：2 sincos2 sincosRBARAB消去R并移項(xiàng)得sincossincos0BAAB即sin()0BA所以三角形為等腰三角形所以A=B例例2 2在在ABC中，中，bcosA=acosB,判斷三角形判斷三角形ABC的形狀的形狀.又因?yàn)榻茿，B為三角形的內(nèi)角議、展議、展方法方法2:角化邊角化邊根據(jù)根據(jù)bcosA=acosB，由余弦定理得，由余弦定理得acbcaabcacbb22222222整理為整理

5、為b2+c2-a2=a2+c2-b2即即a=b故此三角形為等腰三角形故此三角形為等腰三角形議、展議、展所以2 sin,2 sinaRA bRB解析：(邊化角)由正弦定理知：2sinsinsinabcRABC所以已知條件可轉(zhuǎn)化為：2 sincos2 sincosRAARBB消去R并變形得sin2sin2BA所以三角形為等腰三角形,或直角三角形。所以A=B或2A+2B=又因?yàn)榻茿，B為三角形的內(nèi)角變式變式 在在ABC中，中，acosA=bcosB,判斷三角形判斷三角形ABC的形狀的形狀.所以A=B或A+B=議、展議、展 方法總結(jié)判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是否是正三角

6、形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷時(shí)，主要有如下兩條途徑：評評 (1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀； (2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論，在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解評評即cosbAc解析：21 coscos22AA(方法1：角化邊)2222bbcacbc又222cos2bcaAbc所以為直角三角形。(方法2：邊化角)由正弦定理知：即a2+b2=c21.在在ABC中，中， (a,b,c分別為角分別為角A,B,C的對邊的對邊),判斷三角形判斷三角形ABC的形狀的形狀.2cos22Abcc1 cos12222Abcbccsin