相似三角形的判定與性質(zhì)

1、相似三角形的判定與性質(zhì)本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容3.43.4.1 相似三角形的判定相似三角形的判定 石阡縣大沙壩九校 魯勝華 在八年級上冊，在八年級上冊， 我們已經(jīng)探討了兩個三角形全等的我們已經(jīng)探討了兩個三角形全等的條件，下面我們來探討兩個三角形相似的條件條件，下面我們來探討兩個三角形相似的條件. . 為了研究滿足什么條件的兩個三角形相似，我們先為了研究滿足什么條件的兩個三角形相似，我們先來研究下述問題來研究下述問題. . 問題1:相似三角形的相關概念相似三角形的相關概念 (1). 三個角對應_ 、三條邊對應_的兩個三角形叫做相似三角形 (2).相似三角形的對應角 _，各對應邊_ . (3).相似比等于

2、_的兩個三角形全等. 問題問題2:2:我們已經(jīng)有哪些判別兩三角形相似的方法？（1）相似三角形的定義（2）兩角對應相等的兩個三角形相似。相等相等成比例成比例相等相等成比例成比例1一、復習提問,類比猜想 問題問題3 :全等三角形有哪些判定方法?SSS ASA AAS SAS 問題問題4:類比三角形全等的判定,你認為可能還有哪些方法能判定兩個三角形相似?(請同桌討論,大膽猜想) 猜想一猜想一:三邊對應相等的兩個三角形相似三邊對應相等的兩個三角形相似 猜想二猜想二:兩邊對應成比例且夾角相等的兩兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似個三角形相似動腦筋動腦筋如圖，在如圖，在ABC中，中，D 為為AB上任

3、意一點上任意一點. 過點過點D作作BC的平行線的平行線DE，交，交AC于點于點E. .（1）ADE與與ABC的三個角分別相等嗎的三個角分別相等嗎？（2）分別度量）分別度量ADE 與與ABC 的邊長，它們的邊的邊長，它們的邊 長是否對應成比例？長是否對應成比例？（3）ADE 與與ABC之間有什么關系？平行移動之間有什么關系？平行移動DE的位置，你的結論還成立嗎？的位置，你的結論還成立嗎？設計方案設計方案我發(fā)現(xiàn)只要我發(fā)現(xiàn)只要DEBC，那，那么么ADE 與與ABC是相是相似的似的 在在ADE與與ABC中，中，A =A. DEBC， ADE =B， AED =C.下面我們來證明：下面我們來證明：如上圖

4、所示，過點如上圖所示，過點D作作DFAC， 交交BC于點于點F. . DEBC， DFAC，ADAEABAC.ADCFABCBF 四邊形四邊形DFCE為平行四邊形為平行四邊形， DE = FC. ADEABC.ADAEDEABACBCF結論結論平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的三角形與原三角形相似截得的三角形與原三角形相似. .由此得到如下結論：由此得到如下結論：舉舉例例例例1 如圖，在如圖，在ABC 中，已知點中，已知點D，E分別是分別是AB，AC邊的中點邊的中點. .求證：求證：ADE ABC. . ADE ABC.證明證明 點點D，E分別是

5、分別是AB，AC邊的中點邊的中點， DEBC.舉舉例例例例2 如圖，點如圖，點D為為ABC的邊的邊AB的中點，過點的中點，過點D作作DEBC，交邊，交邊AC于點于點E. .延長延長DE至點至點F ，使，使DE= EF. .求證：求證：CFEABC. .證明證明 DEBC ， 點點D為為ABC的邊的邊AB的中點，的中點， AE = CE.又又 DE = FE，AED =CEF， ADE CFE CFEABC DEBC， ADEABC，練習練習如圖，在如圖，在RtABC中，中，C = 90正方形正方形EFCD的三個頂點的三個頂點E、F、D分別在邊分別在邊AB，BC，AC 上上. . 已知已知AC=

6、 7.5，BC= 5，求正方形的邊長，求正方形的邊長1.解解ADEACB.由已知條件易知由已知條件易知BCED,由相似三角形由相似三角形的判定定理可得的判定定理可得ADED.ACBC設正方形設正方形EFCD的邊長為的邊長為x,則有則有7 57 55.xx.答：正方形答：正方形EFCD的邊長為的邊長為3. 3x.解得解得 如圖，已知點如圖，已知點O在四邊形在四邊形ABCD 的對角線的對角線AC上，上，OEBC，OFCD. . 試判斷四邊形試判斷四邊形AEOF與四邊與四邊形形ABCD是否相似，并說明理由是否相似，并說明理由. .2.解解 AEOABC ，AFOADC.AEAF,ABAD又又 FAE

7、DAB, 四邊形四邊形AEOF四邊形四邊形ABCD.解解OEBC，OFCD ，解解解解動腦筋動腦筋任意畫任意畫ABC 和和 ，使，使A= ，B= .（1） C = 嗎嗎？（2） 分別度量這兩個三角形的邊長，它們是否對應分別度量這兩個三角形的邊長，它們是否對應 成比例成比例？（3） 把你的結果與同學交流，你們的結論相同嗎把你的結果與同學交流，你們的結論相同嗎？ABC由此你有什么發(fā)現(xiàn)由此你有什么發(fā)現(xiàn)？A B C 我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形是相似的我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形是相似的. .在在 的邊的邊 上截取點上截取點D，使，使 = AB. . 過點過點D作作DE ，交，交 于點于點E. .A B C A B A

8、DB C A C 下面我們來證明：下面我們來證明：DEA B C 如圖，在如圖，在ABC 與與 中，中，已知已知 ， B = . . ABA =在在ABC 與與 DE 中，中， ， = AB， = =B，AAA =A DA DEB又又 DEBC，A DE .A B C ABCA DE.ABC A B C .結論結論由此得到相似三角形的判定定理由此得到相似三角形的判定定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似兩角分別相等的兩個三角形相似. .舉舉例例例例3 3 如圖，在如圖，在ABC 中，中，C=90從點從點D分別作分別作邊邊AB，BC的垂線，垂足分別為點的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，DF與與AB交交于

9、點于點H求證：求證：DEHBCA舉舉例例證明證明 C=90， DFBC， BHF =A， DHE =A.又又 DEH= 90=C，DFAC. DEH BCA（兩角分別相等的兩個兩角分別相等的兩個三角形相似三角形相似.) )舉舉例例例例4 4 如圖，在如圖，在RtABC 與與RtDEF中，中，C=90， F = 90若若A =D，AB = 5，BC = 4， DE = 3，求，求EF的長的長例例4 4 EF = 2.4. ABC DEF.ABBCDEEF又又 AB = 5，BC = 4，DE = 3， C = 90，F(xiàn)= 90， A=D ，解解練習練習 如圖，點如圖，點E為平行四邊形為平行四邊形

10、ABCD的邊的邊BC延長延長線上一點，連接線上一點，連接AE，交，交CD于點于點F. .請指出圖請指出圖中有幾對相似三角形，并說明理由中有幾對相似三角形，并說明理由. .1.答：有三對相似三角形答：有三對相似三角形. .即即CEFBEA.ADFEBA,ADFECF,理由是每組三角形中有兩個角分別相等理由是每組三角形中有兩個角分別相等. .RtABC Rt ACD.ABCD.BCED2 241CD BCAB.ED解解 ACB+A =90，ACB+ECD =90，2. 如圖，如圖，ABBD，EDBD，點，點C是線段是線段BD 的中點，且的中點，且ACCE. . 已知已知ED= 1，BD= 4， 求

11、求AB的長的長A = ECD.任意畫任意畫ABC 和和 ，使，使A=A， （1）分別度量）分別度量B和和 ，C和和 的大小，它的大小，它 們分別相等嗎們分別相等嗎？（2）分別量出）分別量出BC和和 的長，它們的比等于的長，它們的比等于k嗎嗎？（3）改變）改變A或或k的大小，你的結論相同嗎的大小，你的結論相同嗎？由此你由此你 有什么發(fā)現(xiàn)有什么發(fā)現(xiàn)？A B C . A BA CABACkCBB C 動腦筋動腦筋我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形是相似的我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形是相似的. .在在 的邊的邊 上截取點上截取點D，使，使 = AB. . 過點過點D作作DE ，交，交 于點于點E. .A B C A B A D

12、B C A C 下面我們來證明：下面我們來證明：DEA B C 如圖，在如圖，在ABC 與與 中，中，已知已知ABAC.ABACA=A，.A DA EABAC.A DA EACABACACA DE .A B C DE ， B C又又 ABACA BA C, ,A DAB = AC.A E ABC ABC. ADE ABC. AA 結論結論兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似. .結論結論由此得到相似三角形的判定定理由此得到相似三角形的判定定理2：例例5 5舉舉例例 如 圖 ， 在 如 圖 ， 在 A B C與 與 D E F中 ， 已 知中 ， 已 知C=F

13、=70，AC=3.5cm ，BC=2.5cm，DF =2.1cm， EF=1.5cm.求證：求證：ABC DEF.例例5 5舉舉例例證明證明 AC=3.5 cm，BC= 2.5 cm，DF =2.1 cm， EF=1.5 cm，1 532 55EF.BC.2 133 55DF.,AC.DFEF.ACBC又又 C=F=70，ABC DEF（兩邊成比例且夾角相等（兩邊成比例且夾角相等 的兩個三角形相似）的兩個三角形相似）.例例6舉舉例例 如圖，在如圖，在ABC中，中，CD是邊是邊AB 上的高，上的高，且且 ADCDCDBD.求證：求證：ACB = 90.證明證明 CD是邊是邊AB 上的高上的高，

14、ADC =CDB = 90.ADCD,CDBD又又 ACDCBD. ACD =B. ACB =ACD +BCD =B +BCD = 90.練習練習如圖，在四邊形如圖，在四邊形ABCD中，中，B =ACD，AB = 6， BC = 4，AC = 5，CD= 7.5，求，求AD的長的長1.解解ABC ACD.45BCAB,ACCDADCD.ACAB7 5 56 256CD AC.AD.ABB =ACD,又又如圖，點如圖，點B，C分別在分別在ADE 的邊的邊AD，AE上，上， 且且AC = 6，AB = 5，EC = 4，DB=7.求證：求證：ABCAED2.證明證明 61122AC,AD51102

15、AB,AEACAB.ADAECAB =DAE,又又 ABCAED動腦筋動腦筋 任意畫兩個三角形任意畫兩個三角形ABC 和和 ，使，使ABC的的邊長是邊長是 的邊長的的邊長的k倍倍. 分別度量分別度量A和和 ，B和和 ，C和和 的大小，的大小，它們分別相等嗎它們分別相等嗎？ 由此你有什么發(fā)現(xiàn)由此你有什么發(fā)現(xiàn)？A B C A B C ABC 我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形是相似的是相似的在在 的邊的邊 上截取點上截取點D，使，使 = AB. . 過點過點D作作DE ，交，交 于點于點E. .A B C A B A DB C A C A B C 如圖，在如圖，在ABC 與與 中，中，已知已知A

16、BACBCk.ABACBC下面我們來證明：下面我們來證明：DEA DE A B C .A DA EDE.ABACBCA EAC,DEBC.A DE.ABC DE B C ,A D又又 = AB，ABACBC,ABACBCDEABC A B C .結論結論三邊成比例的兩個三角形相似三邊成比例的兩個三角形相似. .由此得到相似三角形的判定定理由此得到相似三角形的判定定理3：舉舉例例例例7 7 如圖，在如圖，在RtABC 和和Rt 中，中，C =90， =90，. ABACA BA C求證：求證： RtABCA B C C A B C .Rt分析分析 已知兩邊成比例，只要得到三邊成比例，已知兩邊成比

17、例，只要得到三邊成比例， 即可完成證明即可完成證明. . ACkA C . ABkA B ,則則 ABACk,A BA C證明證明設設由勾股定理，得由勾股定理，得,22BC =ABAC. 22B CA BA C. ABACBCA BA C B C. 222222BCABACkA BkA C B CB CB Ck B CkB C RtABC A B C .Rt（三邊成比例的兩個（三邊成比例的兩個三角形相似）三角形相似）判斷下圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由判斷下圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由.舉舉例例例例8 8解解在在ABC中，中，ABBCCA，在在DEF中，中，DEEFFD，. ,1

18、 80 63FDCA. ,2 40 64DEAB. ,.2 10 63 5EFBC DEFABC. .DEEFFDABBCCA練習練習如圖，已知點如圖，已知點D，E，F(xiàn)分別是分別是ABC 三邊的中點，三邊的中點，求證：求證：EDFACB. .1.即即DF、DE、EF是是ABC的三條的三條中位線，中位線，證明證明 點點D，E，F(xiàn)分別是分別是ABC 三邊的中點，三邊的中點，12DFDEEF.BCACABEDFACB. .判斷圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由判斷圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由. .2.解解A B C 在在 中，由勾股定理得中，由勾股定理得在在ABC中，中， 2222= 108 =6.B C = ABAC-在在ABC中，由勾股定理得中，由勾股定理得2222= 53 =4.AC= ABBC-12ABACBC.ABACBC A B C .三角形相似）三角形相似）（三邊成比例的兩個（三邊成比例的兩個三角形相似）三角形相似）ABC三角形相似）三角形相似）中考中考 試題試題例例1 如圖所示，已知如圖所示，已知ACPABC，AC=4，AP=2，則則AB的長為的長為 . . 8解因為因為ACPABC，所以所以 ，所以所以 =APACACAB224=8.