用二重積分計算旋轉(zhuǎn)體的體積-文檔資料

1、http:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 1蜀南竹海http:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 2 作為定積分的幾何應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)體的作為定積分的幾何應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)體的體積一般是用定積分來計算。體積一般是用定積分來計算。 本課件用元素法來推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)體體積本課件用元素法來推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)體體積的二重積分的計算公式。的二重積分的計算公式。 將二重積分化為二次積分可以得到將二重積分化為二次積分可以得到計算旋轉(zhuǎn)體體積的定積分公式、計算旋轉(zhuǎn)體體積的定積分公式、 最后，舉例加以說明。最后，舉例加以說明。http:/ June 28

2、, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 3先看特殊的情形先看特殊的情形旋轉(zhuǎn)軸為坐標軸旋轉(zhuǎn)軸為坐標軸http:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 4 設(shè)設(shè)D是上半平面內(nèi)的一個有界閉區(qū)域。是上半平面內(nèi)的一個有界閉區(qū)域。 將將D繞繞x軸軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，求該旋旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，求該旋轉(zhuǎn)體的體積轉(zhuǎn)體的體積Vx。 我們用元素法來建立旋轉(zhuǎn)體體積的二我們用元素法來建立旋轉(zhuǎn)體體積的二重積分公式。重積分公式。Dhttp:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 5d( , )x yD在區(qū)域在區(qū)域D的的(

3、x,y)處取一個面積元素處取一個面積元素d它到它到x軸的距離是軸的距離是 y （如圖）。（如圖）。該面積元素繞該面積元素繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積約為：軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積約為：2xVydd（體積元素）（體積元素）于是整個區(qū)域繞于是整個區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)而軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：2xDDdVdyVyhttp:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 6d( , )x yD命題命題1：上半平面內(nèi)一個有界閉區(qū)域：上半平面內(nèi)一個有界閉區(qū)域D繞繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：2xDydVyhttp:/ June

4、 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 7d( , )x yD命題命題2：右半平面內(nèi)一個有界閉區(qū)域：右半平面內(nèi)一個有界閉區(qū)域D繞繞y軸軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：2yDxdV同理同理xhttp:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 8下面針對不同的區(qū)域下面針對不同的區(qū)域?qū)⒍胤e分化為定積分將二重積分化為定積分得到熟悉的旋轉(zhuǎn)體體積公式得到熟悉的旋轉(zhuǎn)體體積公式http:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 9x型區(qū)域型區(qū)域繞繞 x軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)http:/ Jun

5、e 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 10( , )|, 0( )Dx yaxbyf xxy=f(x)bDa如果如果( )2022( )bf xbxaaDVdxydyfddxyx圓片法圓片法則則D繞繞 x軸軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：2( )bxaVfx dxhttp:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 11( , )|,0( )( )Dx yaxbg xyf xy=f(x)bDay=g(x)如果如果則則D繞繞 x軸軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為( )( )2222( )( )bf xxag xD

6、baVdxydyfxgx dxdy墊圈法墊圈法22( )( )bxaVfxgx dxxhttp:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 12y型區(qū)域型區(qū)域繞繞 y軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)http:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 13( , )|,0( )Dx ycydxf yx=f(y)dDc如果如果則則D繞繞 y軸軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：( )0222( )dfyycDdcVdyxdxfddyxy圓片法圓片法2( )dycVfy dyyhttp:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛

7、6.2 定積分的幾何應(yīng)用 14yx=f(y)dDcx=g(y)( , )|,0( )( )Dx ycydg yxf y如果如果則則D繞繞 y軸軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：( )( )2222( )( )dfyycg yDdcVdyxdxfygy dydx墊圈法墊圈法22( )( )dycVfygy dyhttp:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 15x型區(qū)域型區(qū)域繞繞 y軸軸旋轉(zhuǎn)！旋轉(zhuǎn)！注意：一般教材沒有介紹這個公式。注意：一般教材沒有介紹這個公式。http:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)

8、用 16( , )|0,( )( )Dx yaxb g xyf xxy=f(x)bDay=g(x)如果如果則則D繞繞 y軸軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：( )( )222 ( )( )yDbf xag xbaVdxdyf xg x dxxdxx柱殼法柱殼法y2 ( )( )byaVf xg xxxdhttp:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 17下面看一個極坐標的情形下面看一個極坐標的情形http:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 18( , )|0, 0( )DrrrD如果如果D是曲邊扇形

9、：是曲邊扇形：( )0322sin2( )sin3rxDVdrrdrrydd則則D繞繞極軸極軸(x軸軸)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：( )rr32( )sin3xVrd http:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 19我們用命題我們用命題1來推導(dǎo)一個有關(guān)區(qū)域來推導(dǎo)一個有關(guān)區(qū)域D的的形心形心(質(zhì)心質(zhì)心)和和旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)體體積之間的關(guān)系的定理：之間的關(guān)系的定理：古爾丁定理古爾丁定理Paul Guldin（古爾丁）（古爾?。?577 1643Swiss mathematician who wrote on volumes and centr

10、es of gravity. http:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 20( , )x yD上半平面內(nèi)一個上半平面內(nèi)一個有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域D繞繞x軸旋轉(zhuǎn)而軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積成的旋轉(zhuǎn)體的體積等于等于該區(qū)域的該區(qū)域的形心形心所經(jīng)過所經(jīng)過的路程與的路程與D的面積的面積A的乘積的乘積。12xDydV證 由命題y古爾丁定理古爾丁定理2Ddy12DAAdy2Ay形心形心Ahttp:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 21( , )x yDy形心形心A如果你很容易求得如果你很容易求得D的面積和形心，用古爾的

11、面積和形心，用古爾丁定理就很容求得旋轉(zhuǎn)體的體積。丁定理就很容求得旋轉(zhuǎn)體的體積。http:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 22下面來看一般的情形下面來看一般的情形一般的區(qū)域一般的區(qū)域&一般的旋轉(zhuǎn)軸一般的旋轉(zhuǎn)軸http:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 23 設(shè)設(shè)D是是xOy坐標平面內(nèi)的一個有界閉區(qū)坐標平面內(nèi)的一個有界閉區(qū)域。直線域。直線L與與D的內(nèi)點不相交（如圖）的內(nèi)點不相交（如圖） 。 將將D繞直線繞直線L旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，求旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，求該旋轉(zhuǎn)體的體積該旋轉(zhuǎn)體的體積V。 我們用元素

12、法來建立旋轉(zhuǎn)體體積的二我們用元素法來建立旋轉(zhuǎn)體體積的二重積分公式。重積分公式。DLhttp:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 24d( , )x yD在區(qū)域在區(qū)域D的的(x,y)處取一個面積元素處取一個面積元素d它到直線它到直線L的距離是的距離是 ：該面積元素繞該面積元素繞L旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積約為：旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積約為：2 dVdd于是整個區(qū)域于是整個區(qū)域D繞直線繞直線L旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：2DDVddVdd設(shè)直線設(shè)直線L的方程為的方程為 ax+by+c=0。22axbycdabLhttp:/ June 2

13、8, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 25d( , )x yD222DVaxbyc dabd命題命題 3 區(qū)域區(qū)域D繞直線繞直線 ax+by+c=0（D在直線在直線的一側(cè)）旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：的一側(cè)）旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：Lhttp:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 26下面舉幾個例子來說明下面舉幾個例子來說明命題命題 3 中的公式的應(yīng)用中的公式的應(yīng)用所有計算都用數(shù)學(xué)軟件所有計算都用數(shù)學(xué)軟件Maple驗證了驗證了http:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 27例例1

14、求由求由y=2x和和y=x2所圍區(qū)域所圍區(qū)域D繞直線繞直線 y=2x旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積V。222022(2)52516 575DxxVdxydxxdyy解f:=(x,y)-2*x-y;x1:=0:x2:=2:y1:=x-x2:y2:=x-2*x:int(f(x,y),y=y1.y2);int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);(2*Pi/sqrt(5)*Int(Int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=(2*Pi/sqrt(5)*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);255d02dx

15、22 x2 xy y x16 575D22yx2yxwith(plots):quxian:=plot(x2,2*x,x=-1.3,y=-1.5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);http:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 28例例2 求由求由x=y2和和y=x2所圍區(qū)域所圍區(qū)域D繞直線繞直線 y=x-1旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積V。21022(1)2123DxxVdxdyxyxyd解f:=(x,y)-y-x+1;x1:=0:x2:=1:y1:=x-x2

16、:y2:=x-sqrt(x):int(f(x,y),y=y1.y2);int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);D12yx2xywith(plots):quxian:=implicitplot(y=x2,x=y2,y=x-1,x=-1.3,y=-1.2,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrai

17、ned);2 d01dx2x yx1 y x2 3http:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 29例例3 求由求由y=0,y=lnx和和x=e所圍區(qū)域所圍區(qū)域D繞直線繞直線 y=-x旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積V。ln10222()32 ()4242DexVdxxy dydexye解f:=(x,y)-y-x+1;x1:=0:x2:=1:y1:=x-x2:y2:=x-sqrt(x):int(f(x,y),y=y1.y2);int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y)

18、,y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);D1lnyxwith(plots):quxian:=implicitplot(y=x2,x=y2,y=x-1,x=-1.3,y=-1.2,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);2 d1ed0( )ln xyxy x2 3412e14e2eyx http:/ June 28, 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛6.2 定積分的幾何應(yīng)用 30也可以按先也可以按先x后后y的積分次序計算二重積分：的積分次序計算二重積分：10222()322 ()424yDeeVdyxy dexyedyf:=(x,y)-x+y;y1:=0:y2:=1:x1:=y-exp(y):x2:=y-exp