工程力學(xué)第2章概要

1、第二章 軸 向 拉 伸 和 壓 縮2.1 2.1 拉伸和壓縮拉伸和壓縮2.22.2拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力2.32.3軸力圖軸力圖2.4 2.4 軸向拉伸與壓縮時(shí)的應(yīng)力軸向拉伸與壓縮時(shí)的應(yīng)力2.5 2.5 拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力2.6 2.6 軸向拉伸（壓縮）時(shí)的彈性變形、變形能軸向拉伸（壓縮）時(shí)的彈性變形、變形能2.7 2.7 材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能2.8 2.8 材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)2.9 2.9 拉伸（壓縮）桿件的強(qiáng)度計(jì)算拉伸（壓縮）桿件的強(qiáng)度計(jì)算 2.10 2.10 應(yīng)力集中應(yīng)力集中2.11 2.1

2、1 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題2.1 拉伸和壓縮軸向拉伸，對(duì)應(yīng)的外力稱為拉力。PP軸向壓縮，對(duì)應(yīng)的外力稱為壓力。PP2.2 拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力 以圖示為例 ，用截面法確定桿件橫截面 mm上的內(nèi)力。用假想平面將桿件沿橫截面 mm 截開根據(jù)平衡，如圖 mmNmmNPP 桿件左右兩段在橫截面 mm 上相互作用的內(nèi)力，是一個(gè)分布力系。2.2 拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力 NmmPmmPN 設(shè)其合力為有平衡條件，可得 (2-1) N與軸線重合，稱為軸力。0X NP一般規(guī)定：拉伸時(shí)的軸力為正，壓一般規(guī)定：拉伸時(shí)的軸力為正，壓縮時(shí)的軸力為負(fù)?？s時(shí)的軸力為負(fù)。N2.3軸力圖X坐標(biāo) 表示桿件橫截面的位置，平

3、行于桿軸。 N坐標(biāo) 表示軸力的大小，垂直于桿軸。NPx 按選定的比例繪出表示軸力與截面位置關(guān)系的圖線 稱為軸力圖軸力圖的意義：反映出軸力與截面位置的變化關(guān)系，較直觀；反映出最大軸力的數(shù)值及其所在面的位置，即危險(xiǎn)截面位置，為強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)。軸力的正號(hào)使微元區(qū)段有伸長(zhǎng)趨勢(shì)的軸力正。軸力的負(fù)號(hào)例：桿件受力如圖（a）所示，試?yán)L制軸力圖。(b)解：（1）計(jì)算各段桿的軸力 AB段：軸力假設(shè)為拉力，用 表示ABN0ABPNABNP 得 (負(fù)號(hào)說明為壓力)(a)P2PBCDABNPA0BCNPP22CDNPPPP 同理：求得BC、CD、段的軸力分別為：PP2PABCDPPABPP2PABC(a)(d)(c)

4、BCNCDN （2） 軸力圖如圖（e）所示。NxP(e)2P在軸力圖中，突變值=集中載荷PP2PABCD 例2-1 等截面直桿受力如圖a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，試?yán)L制該桿的軸力圖。3P1P2PABCD(a)1m2m1.5m3PR1P2PABCDIIIIIIIIIIII(b)解 （1）求支座反力 設(shè)支反力為R如b圖 根據(jù)整個(gè)桿的平衡條件 求得1230RPPP123RPPP120906090kN 例2-1 等截面直桿受力如圖a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，試?yán)L制該桿的軸力圖。AIIR1N(c) （2）計(jì)算各段桿的軸力 AB段：用假想平面在A

5、B段內(nèi)將桿截開，取左段為研究對(duì)象（圖c），截面上的軸力假設(shè)為拉力，用N1表示。由平衡條件IIIIIIIIII3P1P2P10NR190NRkN 例2-1 等截面直桿受力如圖a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，試?yán)L制該桿的軸力圖。AII(c)IIIIIIIIII3P1P2P 同理求得 :BC段（圖d）、 CD段（圖e）的軸力：2190 12030NRPkN1PABIIIIR2NN3P3IIIIII3360NP(e)(d)（3）繪制軸力圖軸力圖如圖f所示。從軸力圖可見，AB段內(nèi)的軸力值最大，Nmax=N1=120kN。軸力是內(nèi)力，它與外力有關(guān)，但又不同于外力。3P1P2PAB

6、CD(a)N/kNx(f)6090302.4 軸向拉伸與壓縮時(shí)的應(yīng)力軸向拉伸與壓縮時(shí)的應(yīng)力一一. 正應(yīng)力公式：正應(yīng)力公式： ANdA僅由上述靜力關(guān)系式還不能確定和N之間的具體關(guān)系。下面從研究桿件的變形入手來尋求的變化規(guī)律。如左圖：變形后可觀察到如下現(xiàn)象： 變形前變形后（1）桿件被拉長(zhǎng)。但各橫向線仍保持為直線，任意兩相鄰橫向線相對(duì)地沿軸線平行移動(dòng)了一段距離；（2）變形后，橫線仍垂直于軸線。扭轉(zhuǎn)彎曲由以上的觀察可得，桿件變形的平截面假設(shè)拉壓 桿件的橫截面在拉壓、扭轉(zhuǎn)或彎曲變形過程中始終保持是平面，并始終保持與軸線垂直。根據(jù)平面假設(shè)和材料均勻、連續(xù)的性質(zhì)，可知：橫截面各點(diǎn)處的分布內(nèi)力集度（即正應(yīng)力）

7、均相等，于是有因此拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力為ANdAANA的符號(hào)規(guī)定與的符號(hào)規(guī)定與N相同，拉應(yīng)力為正，相同，拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。壓應(yīng)力為負(fù)。上述正應(yīng)力公式的推導(dǎo)過程用到了變形幾何，物理和靜力平衡三方面的規(guī)律。 材料力學(xué)的分析方法1. 力學(xué)分析力學(xué)分析 研究構(gòu)件中的各個(gè)力學(xué)要素（包括外力和內(nèi)力；包括力和力偶矩）之間的關(guān)系。2. 物理分析物理分析 研究材料的力學(xué)性能，研究構(gòu)件的力學(xué)要素（有時(shí)還包括熱學(xué)要素）與幾何要素之間的關(guān)系。 荷載與變形量之間的關(guān)系 溫度變化與應(yīng)力、變形量之間的關(guān)系 構(gòu)件內(nèi)部應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系3.幾何分析幾何分析研究構(gòu)件和結(jié)構(gòu)中各幾何要素之間的關(guān)系。構(gòu)件中應(yīng)變和變形量之

8、間的關(guān)系結(jié)構(gòu)中各構(gòu)件變形量之間的關(guān)系二. 正應(yīng)力公式的使用條件1. 外力合力作用線必須與桿軸線重合。 2. 桿件必須是等直桿。若橫截面尺寸沿軸線變化，對(duì)于變化緩慢的桿：( )( )( )N xxA x（2-4） 3. 公式只在距外力作用點(diǎn)一定距離外才是正確 的。PP/2P/2P/AP 圣維南原理 雖然力作用于桿端的方式不同，只要它們是靜力等效的，則桿件中應(yīng)力分布僅在作用點(diǎn)附近不大的范圍內(nèi)(不大于桿的橫向尺寸)有明顯影響。 應(yīng)力等效應(yīng)力等效PP/2P/2P/AP例2-2 圖所示鉸接支架，AB為圓截面桿，直徑為d=16mm，BC為正方形截面桿，邊長(zhǎng)為a=14mm。若載荷P=15kN，試計(jì)算各桿橫截

9、面上的應(yīng)力。0:X 0:Y sin30ABoPNACBP30解（1）計(jì)算各桿軸力 用截面法，截取結(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象，各桿軸力假定為拉力。由平衡方程 得30BPABNBCNcos300oABBCNNsin300oABNP30KN例2-2 圖所示鉸接支架，AB為圓截面桿，直徑為d=16mm，BC為正方形截面桿，邊長(zhǎng)為a=14mm。若載荷P=15kN，試計(jì)算各桿橫截面上的應(yīng)力。ACBP30（2）計(jì)算各桿應(yīng)力，得30BPABNBCNABABABNABCBCBCNA3622630 10149 10/14916104N mMPa3622626 10133 10/1331410N mMPa2.5 拉（壓）桿斜

10、截面上的應(yīng)力沿斜截面kk（如圖），將桿截分為二。研究左段桿的平衡，得到斜截面kk上內(nèi)力 pp(a)(b)kkppkkPP（a a） 斜截面kk的面積為 ， 橫截面積為A， 于是有 cosAAPpA0PA0App(a)(b)kkppkk式中 為橫截面（ ）上的正應(yīng)力。（b）coscosPPAA0cosA斜截面全應(yīng)力 的分解：垂直于斜截面的正應(yīng)力 ： （2-5）相切于斜截面的剪應(yīng)力 ： pcospsinp 可見，斜截面上不僅存在正應(yīng)力，而且還存在剪應(yīng)力，其大小隨截面的方位而變化。P 20cos0sin22（2-6）x 、 、 的符號(hào)規(guī)定如下x000000 1.當(dāng) 時(shí)（橫截面） 0o0max00即橫

11、截面上的正應(yīng)力是所有各截面上正應(yīng)力的最大值。0sinsin22p20coscospp（2-5）（2-6） 3.當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 即在斜截面上，剪應(yīng)力有最大、最小值，且其數(shù)值為最大正應(yīng)力的一半。0sinsin22p20coscospp（2-5）（2-6）45o0452045max245o 0452045min2 一、縱向變形虎克定律 一等直桿如圖所示，設(shè)桿的原長(zhǎng)為 ，橫截面面積為A。在軸向拉力P作用下，桿的長(zhǎng)度由 變?yōu)?。1b1ll2.6軸向拉伸（壓縮）時(shí)的彈性變形、變形能l1llbpp軸線方向總伸長(zhǎng)為 (a)1lll 1b1llbpp 試驗(yàn)表明： 引入比例系數(shù)E，則有 （b） 對(duì)于僅在兩端受軸向

12、外力作用的等直桿，由于N=P，故式（b）可改寫為PllA PllEA NllEA 桿件拉伸時(shí)， 為正；桿件壓縮時(shí)， 為負(fù)。ll（2-7）式（2-7）就是軸向拉伸與壓縮時(shí)等直桿軸向變形的計(jì)算公式，通常稱為虎克定律。E 與材料的性質(zhì)有關(guān)，稱為材料的拉壓彈性模量，其值可由實(shí)驗(yàn)確定。EA 反映了桿件抵抗拉伸（壓縮）變形的能力，稱為桿件的抗拉（壓）剛度。NllEA （2-7）1b1llbpp若將 和 代入公式（2-7）可得 或 （2-8）這是虎克定律的另一種表示形式。虎克定律又可表述為：當(dāng)應(yīng)力不超過某一極限值時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。因?yàn)閼?yīng)變沒有量綱，彈性模量E有與應(yīng)力相同的量綱。最后指出，公式（2-7）只

13、有當(dāng)軸力N、橫截面面積A、材料的彈性模量E在桿長(zhǎng)l內(nèi)為常量時(shí)才能應(yīng)用。NAllEENllEA （2-7）對(duì)于階梯桿或軸力分段變化的桿件： 當(dāng)軸力 和橫截面積 沿桿軸線x方向連續(xù)變化時(shí)，有 二、橫向變形泊松比二、橫向變形泊松比 設(shè)桿件變形前的橫向尺寸為b，變形后為b1，則桿的橫向線應(yīng)變?yōu)?iiiN llE A()()lNx dxlE A x N x A x1bbbbb（2-92-9）（2-102-10） 試驗(yàn)表明：橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之間滿足如下關(guān)系 因與的符號(hào)相反，故有 稱為泊松比或橫向變形系數(shù)，是一個(gè)無量綱的量，其值隨材料的不同而不同。E 、 都是材料本身所固有的彈性常數(shù)，是反映材料彈性變形能

14、力的參數(shù)。（2-11）（2-12）例1 階梯鋼桿如圖所示。已知AC段的截面面積為A1=500mm2，CD段的截面面積為A2=200mm2，鋼桿的彈性模量E=200GPa。試求：（1）各段桿橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力；（2）桿的總伸長(zhǎng)。BACD1P= 30KN2P=10KN1001001002P1P1122R解 （1）內(nèi)力計(jì)算2P1P1N2P2N 用截面法沿11、22面截開，計(jì)算軸力, 得：2210BCCDNNNPkN 11230 1020ABNNPPkN繪出軸力圖。2010_xN(KN)BACD（2）應(yīng)力計(jì)算（3）桿的總伸長(zhǎng) 計(jì)算結(jié)果為負(fù)，說明整個(gè)桿是縮短的。11ABNA21BCNA22CDNA31

15、i iADiiNllEA36620 1040 1040500 10PaMPa36610 1020 1020500 10PaMPa36610 1050 1050200 10PaMPa3333336666120 10 100 1010 10 100 1010 10 100 10()200 10500 10500 10200 1030.015 100.015mmm例2 尺寸為=的鋼板如圖所示，其材料的彈性模量E=200GPa，泊松比。求鋼板在兩端受到合力為140kN的均布載荷作用時(shí)厚度的變化。2501050140KN140KN2501050140KN140KN解 在兩端的均布載荷作用下，鋼板發(fā)生軸向

16、拉伸變形。其橫截面上正應(yīng)力可按公式（2-1）計(jì)算，即 （a）由虎克定律 （b） PAE2501050140KN140KN橫向線應(yīng)變?yōu)橛谑?（c）bbbb 2501050140KN140KN將式（b）代入式（c），并考慮式（a），得 即鋼板的厚度減小了0.0035mm。 PbbEA 33140 100.25100.0035200 1050 10mm 三、軸向拉壓時(shí)的變形能在外力作用下，彈性體因變形而儲(chǔ)存的能量，成為變形能或應(yīng)變能。彈性體變形儲(chǔ)存能量外力做功外力減小變形減小釋放能量如圖，受軸向拉伸的直桿，下端受從零開始逐漸增加的拉力作用，直至最終數(shù)值P。作用點(diǎn)的位移也逐漸增大至 ,在應(yīng)力小于比例極

17、限的范圍內(nèi)，拉力P與 成正比。llpp(a)(b)lp1p1dp1ll1d lll 顯然 dW 等于圖中畫陰影線部分的微分面積。W 等于 圖中三角形的面積: 11dWP dl（）Pl12WP l若不計(jì)任何能量損耗，根據(jù)功能原理，彈性體內(nèi)儲(chǔ)存的變形能U應(yīng)等于拉力P所做的功W。即 考慮軸力，并引出虎克定律，得 12UWP l22NlUEA（2-13）（2-14）變形能的單位為焦（J）引入單位體積內(nèi)的變形能的概念，我們稱為變形比能（簡(jiǎn)稱比能），記作u。由虎克定律，上式又可寫成 比能的單位是（2-15）UuAl12u33焦耳 米（J m ）1焦耳（J）=1牛 米（N m）（2-16）2P lAl122

18、2E22E.7 材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能材料的力學(xué)性能 材料在受力變形過程中所表現(xiàn)出來的變形、破壞等方面的特性。1.實(shí)驗(yàn)條件：材料在室溫下，以緩慢平穩(wěn)加載方式進(jìn)行的拉伸試驗(yàn)和壓縮試驗(yàn)2.實(shí)驗(yàn)對(duì)象：圓截面的拉伸標(biāo)準(zhǔn)試件如圖所示： pp27ldlpp2710ld5ldd 標(biāo)矩。 圓試件的直徑 在國家標(biāo)準(zhǔn)中標(biāo)矩，與直徑d有兩種比例： 即 和ld一、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)低碳鋼是指含碳量在0.25%以下的各種碳素鋼。用它來闡明塑性材料的一些特性。下圖是低碳鋼拉伸時(shí)繪制的曲線，這個(gè)曲線也稱為拉伸圖。efgpl0abcddhfPl1.在低碳鋼的整個(gè)拉伸試驗(yàn)過程中，其曲線可以分為如下四個(gè)階段： hgbd0ape

19、bcs一、彈性階段二、屈服階段三、強(qiáng)化階段 四、局部變形階段fed2.2.延伸率和截面收縮率延伸率和截面收縮率0100%ll延伸率是衡量材料塑性的主要指標(biāo)。（1）延伸率：（2-17）（2）截面收縮率 A1 試件斷裂后斷口處最小橫截面面積， A0 試件原來的橫截面面積 截面收縮率也是衡量材料塑性的指標(biāo)。1100%AAA（2-18）100100%lll3.卸載定律和冷作硬化 （1 1） 卸載定律 ep超過彈性范圍后的任一點(diǎn)d所對(duì)應(yīng)的總應(yīng)變包含彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變兩部分。hgef0abcdpbsd （2）冷作硬化 efhg0abcdpbs在常溫下，把材料拉到塑性變形，然后卸載，當(dāng)再次加載時(shí)，比例極限提

20、高而塑性降低d工程上某些塑性材料沒有明顯的屈服階段，通常規(guī)定塑性應(yīng)變 時(shí)的應(yīng)力為名義屈服極限，用 表示。0.2%0.20.2%p0.2二、其他塑性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能二、其他塑性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能灰口鑄鐵是典型的脆性材料斷裂時(shí)的應(yīng)力就是強(qiáng)度極限它是唯一的強(qiáng)度指標(biāo)。有時(shí)選一條割線來確定E值，并認(rèn)為材料服從虎克定律。三、鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)12510075502500.15 0.30 0.452(MN/m )(%)2-8 材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)（一）塑性材料黃色線 低碳鋼壓縮時(shí)的曲線綠色線 低碳鋼拉伸時(shí)的曲線Ps（二）脆性材料如圖：鑄鐵壓縮時(shí) 的曲線。實(shí)驗(yàn)表明：曲線沒有“屈服點(diǎn)

21、”，試件在較小變形下突然破壞，破壞面與軸線大致成45度的傾角。 pp600500(%)2MN/m 1100200300400423506（三）幾種常用材料的主要力學(xué)性能比例極限彈性極限 屈服極限 （ ）強(qiáng)度極限 彈性模量 E延伸率 截面收縮率pes0.2b衡量材料力學(xué)性能的主要指標(biāo)有： 材料允許承受的最大應(yīng)力。 破壞應(yīng)力材料破壞時(shí)的應(yīng)力值， 或稱極限應(yīng)力 0 0nn 為大于1的數(shù)，稱為安全系數(shù)。(2-19)0s0b塑性材料脆性材料2-9 拉伸（壓縮）桿件的強(qiáng)度計(jì)算一、許用應(yīng)力與安全系數(shù)二、強(qiáng)度條件 對(duì)等截面桿 式（2-20a，b）即是軸向拉（壓）桿件的強(qiáng)度條件。產(chǎn)生最大工作應(yīng)力的截面稱為危險(xiǎn)截

22、面。maxmax NAmaxmax NA(2-20a)（2-20b）利用強(qiáng)度條件，可以解決工程中下列三個(gè)方面的強(qiáng)度計(jì)算問題：1.強(qiáng)度校核2.設(shè)計(jì)截面由上式算出需要的橫截面面積，然后確定截面尺寸。max NA3.確定許用載荷 NA例簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)受力如圖，q是均布在水平長(zhǎng)度上的載荷集度，設(shè)AC為剛性桿，BD桿為圓截面，。計(jì)算BD桿的直徑以及C點(diǎn)的鉛垂位移。 150MPa200EGPaq=17.3kN/m1m1m1mABDC30P=20kN解（）設(shè)BD 桿的拉力為N，由平衡條件得再由強(qiáng)度條件得0AM1 17.3 2 1 20 20N 74.6NKN 342674.6 104.97 10150 10NAm

23、4244 4.97 102.52 10Admq=17.3kN/m1m1m1mABDC30可取d=26mm(2)計(jì)算C點(diǎn)的鉛垂位移。剛性桿AC轉(zhuǎn)到新位置AC1，D點(diǎn)移到D1。在小變形時(shí)，用作垂線代替作弧，可知CC就是C的鉛垂位移，可得BD桿的伸長(zhǎng)再由幾何關(guān)系21D D21D Dl 211cos30D DDD112CCDD31cos30CCCCABDCD2D1C1C2C330NlEA39474.6 101200 104.97 1047.5 100.75mmm于是討論：對(duì)于本題，如規(guī)定C點(diǎn)的鉛垂位移不超過，即要求整個(gè)結(jié)構(gòu)具有一定的剛度。這時(shí)，可先算出C點(diǎn)的鉛垂位移，再和容許位移進(jìn)行比較，如能滿足，剛

24、度是足夠的，我們稱此條件為剛度條件。對(duì)于某些結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)，如桁架，汽閥機(jī)械等要考慮剛度條件，即要求某些點(diǎn)的位移不能過大。對(duì)于大多數(shù)承受拉壓的工程構(gòu)件，往往只要求強(qiáng)度足夠，而不用討論它的剛度312cos30CCDD 212D D2 0.751.5mm 例3 等圓截面直桿受力如圖所示，材料為鑄鐵，其拉伸許用應(yīng)力 ，壓縮許用應(yīng)力 ，彈性模量 。求：（1）畫出軸力圖；（2）設(shè)計(jì)橫截面直徑；（3）計(jì)算桿的總伸長(zhǎng)。60TMPa120CMPa80EGPa2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII解 （1）畫軸力圖。由截面法求得N1=20kN、N2=0、N3=-30kN,由此可畫出軸力圖如圖

25、所示。20KNN(b)2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII30KN（2）設(shè)計(jì)橫截面直徑。 I、III兩段中的截面都是危險(xiǎn)截面。 按拉伸強(qiáng)度設(shè)計(jì)14TNd 2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII3364 20 101020.63.14 60 10mm2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII按壓縮強(qiáng)度設(shè)計(jì)故該桿直徑應(yīng)取20.6。結(jié)果表明，盡管該桿的軸向拉力比軸向壓力小，但是桿件的橫截面尺寸還是由拉力決定，這是因?yàn)殍T鐵的抗拉能力比抗壓能力低。24CNd 3364 30 101017.83.14 120 10mm2m2m2m20K

26、N20KN30KN30KN(a)IIIIII（3）計(jì)算桿的總伸長(zhǎng)。 根據(jù)公式（2-6），該桿的總伸長(zhǎng)為 “-”表示桿件實(shí)際上是縮短了。123llll 3333223320 102 1030 102 1003.14 (20.6)3.14 (20.6)80 1080 1044 0.75mm 例4 鉚釘連接結(jié)構(gòu)如圖a所示，已知主板受到的軸向拉力P=110kN，其材料許用應(yīng)力 ，板寬b=80mm，板厚t=12mm。若各鉚釘?shù)牟牧虾椭睆骄嗤?，且鉚釘孔直徑d=16mm。試校核板的強(qiáng)度。PP(a) 160MPadP(b)P解 （1）分析內(nèi)力，做出上主板的軸力圖。 （2）確定危險(xiǎn)截面。 得出2-3段和1-2

27、段都是危險(xiǎn)截面。1-2段 3max110 10143 (80 16) 12MPa2-3段 因?yàn)榘宓母鞫味紳M足強(qiáng)度要求，故此主板安全。3max3110 104143 (80 16 2) 12MPa2345P321(c)454p4p4p4p123PSx(d)4p34p1例5 薄壁圓筒容器承受內(nèi)壓p作用，如圖a所示。若已知圓筒直徑為D，壁厚為t，試求其橫截面上的應(yīng)力及縱截面上的應(yīng)力。mnABCDmnl(a)nnDtt24DPp(b)lmnnmp(c) pyttDNNjdj(d)解 因?yàn)閳A筒承受內(nèi)壓，故其橫截面和縱截面上的應(yīng)力都是拉應(yīng)力。求：橫截面上的應(yīng)力 。平衡方程： 得P是沿圓筒軸線作用于筒低的總

28、壓力，其值為 x0X 0NP24DPpnnDttP(a)(b)N是圓筒橫截面上的軸力， 由于薄壁圓筒橫截面面積為 ，故軸力為 而(a)、(b)式為 (a) (b)將式（b）、(c)代入式（a），得0NP24DPpxNdt4xpDtAdt(c)nnDttP（2）求縱截面上的應(yīng)力取上半圓環(huán)為研究對(duì)象，其受力圖如圖c、d所示。由平衡方程 得由此求得 即薄壁圓筒受內(nèi)壓作用時(shí)，周向應(yīng)力 為軸向應(yīng)力 的兩倍。y0Y 02sin2yDtspsdj j 2ypDtyxlmnnmp(c) pyttDNNjdj(d)pDs.10 應(yīng)力集中應(yīng)力集中應(yīng)力集中 在構(gòu)件截面突然改變的局部區(qū)域內(nèi)，應(yīng)力急劇增加，而離開這個(gè)區(qū)

29、域稍遠(yuǎn)處，應(yīng)力又趨于緩和。PPP(a)PPP(b)max0應(yīng)力集中系數(shù) : max 發(fā)生應(yīng)力集中的截面上的最大應(yīng)力0 截面上的平均應(yīng)力AApp(a)p(b)Amaxmax1.比較均質(zhì)的脆性材料2.灰口鑄鐵這類非均質(zhì)的脆性材料 在靜載下，不同材料對(duì)應(yīng)力集中的敏感程度是不同的(d)SSAAp(c)SSAp2.11 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題一、超靜定的概念作用于研究對(duì)象上的未知力數(shù)多于靜力平衡方程的數(shù)目，就不能單憑靜力平衡方程求出未知力，這種問題稱為超靜定問題超靜定問題（或靜不定問題）。未知力多于靜力平衡方程的數(shù)目稱為超靜定次數(shù)。ABCDQQ1N2N3NB123二、超靜定問題的解法以圖為例，說明

30、超靜定問題的解法。兩端固定的桿，在C、D兩截面有一對(duì)力P作用，桿橫截面積為A，彈性模量為E，現(xiàn)計(jì)算桿內(nèi)最大應(yīng)力。（1）平衡方程： A、B 兩端的約束反力ARBRPPACBDlll(a)PP(b)0ABRPPRABRRABRR、(a)ACBDlllPPPPARBR(a)(b)兩端固定的桿，在C、D兩截面有一對(duì)力P作用，桿橫截面積為A，彈性模量為E，現(xiàn)計(jì)算桿內(nèi)最大應(yīng)力。（2）變形協(xié)調(diào)方程：（3）通過物理關(guān)系將變形用未知力表示0ACCDDBlllACACN llEACDCDNllEA(b)AR lEA()ARP lEAACBDlllPPPPARBR(a)(b)兩端固定的桿，在C、D兩截面有一對(duì)力P作

31、用，桿橫截面積為A，彈性模量為E，現(xiàn)計(jì)算桿內(nèi)最大應(yīng)力。0ACCDDBlllACACN llEACDCDNllEADBDBN llEA帶入(b)式得：()0AABR lRP lR lEAEAEA(b)AR lEA()ARP lEABR lEAACBDlllPPPPARBR(a)(b)兩端固定的桿，在C、D兩截面有一對(duì)力P作用，桿橫截面積為A，彈性模量為E，現(xiàn)計(jì)算桿內(nèi)最大應(yīng)力。2ABRRP整理后得：(c) （c）式稱為補(bǔ)充方程ABRR0ACCDDBlll(b)(a)聯(lián)立（a）、（c）求解得3ABPRRACBDlllPPPPARBR(a)(b)各段內(nèi)力：可見CD段內(nèi)力最大，故3ACPNmaxmaxN

32、ACDNA23PA 2,3CDNP ,3DBPN求解超靜定問題的一般步驟歸納為： 平衡方程； 幾何方程變形協(xié)調(diào)方程； 物理方程胡克定律； 補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得； 解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。例2-3 由三根桿組成的結(jié)構(gòu)，如下圖所示。若1、2桿的抗拉剛度同為 ，3桿的抗拉剛度為 ，在P力作用下，試求三桿的內(nèi)力。11E A33E A ABCD123ElP 解：（1）靜力平衡關(guān)系 設(shè)三桿軸力皆為拉力，有節(jié)點(diǎn)A的平衡條件 （2）變形幾何關(guān)系 在中有以下變形諧調(diào)條件 0:Y 1AEA13cosll ABCD123E1AP3ll1(a)A2N1N3NP(b)132cosNNP（b）（a） ABCD123E1AP3ll1(a)A2N1N3NP(b)（3）物理關(guān)系 根據(jù)虎克定律代入（b）式得補(bǔ)充方程 （4）聯(lián)立求解式（a）、（c）得 1111cosN llE A 3333N llE A131133coscosN lN lE AE A1332112coscosPNE AE A31133312cosPNE AE A132cosNNP（a）（c）（d）例.4 支架中三根桿件的材料相同，橫截面面積分別為 ，試求各桿內(nèi)的應(yīng)力。P123A3030(a)123AA