學生對數(shù)學概念的認知障礙及解決方法

1、學生對數(shù)學概念的認知障礙及解決方法湖南吉首市民中 張 斌內(nèi)容提要：本文首先揭示了數(shù)學概念的一般認知過程及影響概念認知的一些因素，而后論述了學生的數(shù)學概念系統(tǒng)，并分析了產(chǎn)生錯誤認知的原因，最后提出了一些解決的辦法。關(guān)鍵詞：認知過程、感性材料、辯證思維、唯物論、實踐論等概念是數(shù)學認知過程中最普遍的形式，是反映數(shù)學本質(zhì)屬性的思維形式。因此它是產(chǎn)生數(shù)學判斷、推理、論證的基礎(chǔ)，是數(shù)學學習的核心，學生在解決問題時出錯或產(chǎn)生困難，原因往往在于概念的理解上產(chǎn)生了障礙，所以必須十分重視數(shù)學概念的學習。一、數(shù)學概念的一般認知過程為探尋學生對數(shù)學概念的認知，在此我們研究數(shù)學概念的一般認知過程，對數(shù)學概念的認知有兩種

2、方式：概念的形成和同化。概念的形成是在給定的數(shù)學條件下，從大量具體例子出發(fā)，從學生實際經(jīng)驗的肯定例證中，以歸納的方法概括一類事物的本質(zhì)屬性。其主要依靠的對具體事物的概括，它的心理過程如圖： 辨別刺激模式我們我們的我們的找共同屬性確認本質(zhì)屬性 比較、分化抽象、檢驗內(nèi)化形成概念符號化在應(yīng)用中鞏固與遷移概括從概念形成的流程圖中可以看出，其基石為辨別刺激模式即具體的現(xiàn)實模型，若離開了這個現(xiàn)實模型，那么概念形成將變?yōu)闊o源之水，當然也將影響學生對概念的掌握。概念的同化是把要學習的概念與原有認知結(jié)構(gòu)中的概念建立起聯(lián)系，然后進行比較，強化其本質(zhì)屬性，它依靠學生對經(jīng)驗的概括和新舊知識的聯(lián)系，是一種高層次的概念學

3、習的形式，其實質(zhì)是對抽象化的事物的概括。由此我們可以看出：原有知識經(jīng)驗的多少，原有概念掌握程度的高低，都將對學生的概念學習產(chǎn)生影響。對照分析一下概念的兩種認知方式，可發(fā)現(xiàn)這兩種認知過程的共同點：1、二者都必須對概念進行概括，即把要學習的概念屬性提取出來，以區(qū)分不同屬性的概念。這樣，概括能力水平的高低也就成為左右學生學習概念的一個重要因素。2、二者都存在一個比較、分化、類化的過程。概念形成過程中要找出共同屬性就必須把具體數(shù)學事物進行比較，尋找其共同點，從而把屬性不同的事物區(qū)分開來，把屬性相同的事物概括成一類，以此強化本質(zhì)屬性。概念的同化過程也要通過比較來加強對新概念的理解，通過分化、類化的方法來

4、強化本質(zhì)屬性。這些程序的進行及程序的完成都將涉及到學生的辯證思維水平，因此可以說辯證思維的強弱也將影響著學生對概念的理解。3、兩種對新概念的認知方式來源于現(xiàn)實世界中的一類對象，即認識概念的基礎(chǔ)在于對現(xiàn)實原型或原有概念的掌握。 通過以上分析,我們可以總結(jié)出影響數(shù)學概念學習的幾種因素：（一） 感性材料和感性經(jīng)驗 概念的形成主要依賴到的是對感性經(jīng)驗的概括。因此，感性材料或感性經(jīng)驗是影響概念學習的主要因素。概念形成過程中的感性材料越清晰，本質(zhì)屬性就越鮮明，學生就越容易掌握概念。如學習“棱錐”概念時，給出金字塔模型這個感性材料，則顯然更容易讓學生理解棱錐的概念。在概念同化過程中，學生通過概括已有的知識經(jīng)

5、驗去認識理解和區(qū)分事物的各種聯(lián)系和性質(zhì)。要想掌握概念，學生必須具有并能回想起那些作為定義組成部分的概念，亦即感性經(jīng)驗。例如，要學習方程的概念，學生必須首先掌握等式、未知數(shù)等概念，只有如此才能保證學會方程的概念，否則，缺乏學習方程的前提條件。因此，感性經(jīng)驗的豐富與否，將直接影響到學生對概念的掌握。（二） 概括能力的水平 心理學研究表明：概括是人們形成和掌握概念的直接前提，沒有概括就不可能形成概念，對具有共同屬性的數(shù)學事物只有通過概括才能闡明其本質(zhì)屬性和給出概念的定義。 （三） 辯證思維能力水平 對概念比較、分化、類比找出其屬性并區(qū)別于其它的概念，這些工作的完成好壞很大程度上取決于學生辯證思維水平

6、的高低。如平方與開方、乘與除、加與減等這些對立統(tǒng)一的矛盾事物，引導學生用矛盾論這個辯證思維去理解這些概念，就易于學習掌握。 二、學生概念學習中的思維障礙及原因現(xiàn)列舉中學生在數(shù)學概念認識中的一些常見的錯誤:(1)運算過程中受正負號困擾，法則遷移困難(2)認為是分式(3)認為成立(4)混淆(5)不理解幾何中“距離”的定義(6)分不清全等三角形的對應(yīng)角與對應(yīng)邊(7)分不清有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別(8)認為是正確的通過剖析以上錯誤，與影響概念認知的因素相聯(lián)系，我們可以得出產(chǎn)生錯誤認知的原因：（一） 對新概念實物模型或原有概念認知模糊 如在小學階段長期接觸的是算術(shù)數(shù)，在日常生活中也習慣使用算術(shù)數(shù)，對負數(shù)在生

7、活中的認知不足，因而負數(shù)認知系統(tǒng)不完整，導致對初中的負數(shù)的概念缺乏感性認識，因而難以建立負數(shù)的概念。又如學習“直棱柱”概念時，若對“棱柱”這個原有概念認識不清，當然就談不上對直棱柱概念的學習了。（二）數(shù)學概括能力差，對數(shù)學概念只憑感覺去認知，而沒有用數(shù)學的理性語言去概括與定義，導致對概念理解模棱兩可，難以抓住本質(zhì)屬性。如認為是分式的理由是其含有分數(shù)，因而是分式，此理解的錯誤在于沒有概括出分式的本質(zhì)特性，而想當然地把分式概念認為是所有含有分數(shù)的式子。又如把圖中點A到直線的“距離”與日常生活中“路程”的概念相混淆而產(chǎn)生的。 (三) 概念在獲得后，沒有鞏固和深化，沒有進一步地探尋該概念與其它概念的聯(lián)

8、系與區(qū)別。如對和的平方與平方的和缺乏比較對照，而認為；又如：獲得分數(shù)的概念后卻不去發(fā)展與深化，沒有同無限循環(huán)小數(shù)聯(lián)系起來，導致把分數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)割裂開來，認為是兩個不同的數(shù)學事物。 三、對概念教學的幾點看法 （一）引入現(xiàn)實模型，堅持概念唯物論 如果離開了客觀存在，離開了從現(xiàn)實世界獲得的經(jīng)驗，數(shù)學概念也就成了空中樓閣，成為主觀上人造的產(chǎn)物，學生接受起來當然就困難了。因此，要學生形成準確概念的首要條件是史學生活的豐富和合乎實際的感性材料，讓學生懂得概念也是一種客觀物質(zhì)的反映，是存在于現(xiàn)實世界中的。這就要求我們在數(shù)學概念的教學中，要盡量做到密切聯(lián)系實際，引導學生分析日常生活中常見事例，觀察有關(guān)實物

9、或模型等，在感性認識基礎(chǔ)上建立概念。例如教學“平行線”概念時，由于學生對平行線實例了解比較多，像書桌、課本的左右線或上下邊緣線等，就可以從這些實際存在的實物中直接抽象出平行線的概念：在同一平面中的兩條不相交的直線。又如講“拋物線”時，讓學生回憶投鉛球時鉛球在空中運行的軌跡，就可使學生得到對拋物線的感性認識，有利于對拋物線的學習。（二）對概念作辯證分析 黑格爾指出：“每一概念都處在和其余一切概念的一定關(guān)系中，一定聯(lián)系中?！币箤W生對概念有清楚、準確地理解，還必須在感性認識的基礎(chǔ)上，對概念作辯證分析，即通過對比、類比、分析、列舉范例、聯(lián)系與區(qū)別等辯證方法來講解概念，將有助于加深學生對概念的理解。例

10、如“一元一次方程”概念，是建立在“元”“次”“方程”這三個概念基礎(chǔ)上的，只有把“一元一次方程”同這幾個概念聯(lián)系起來講解，才能使學生抓住一元一次方程的本質(zhì)。初中數(shù)學中的乘方與冪、解方程與方程的解等這些既有聯(lián)系又有區(qū)別的概念；正與負、數(shù)與式、因式分解與整式乘除等對立統(tǒng)一的概念，在講解時可通過對比、類比、聯(lián)系與區(qū)別的方法讓學生加以理解。又例如數(shù)的運算與式的運算可以通過與其對立面溝通，數(shù)的大部分運算法則可以遷移到式的運算中去，而式的運算又使數(shù)的運算得以鞏固和深化。（三）堅持實踐論，在實踐中鞏固和發(fā)展學生對概念的認知 “實踐是檢驗真理的唯一標準”“實踐出真知”。數(shù)學概念的學習也是這樣，由現(xiàn)實原型抽象出數(shù)

11、學概念后，認知并沒有結(jié)束，還需再回到實踐中去，讓學生在實踐中運用概念，在運用中加深對概念的理解。因此，數(shù)學知識的必要重復不能歸納為簡單的反饋與鞏固，而是必要的再認識過程，對原有知識的重復學習可以使知識上升到一個更高的層次。差生由于不能體會到數(shù)學來源于實踐并反作用于實踐，很難把數(shù)學思維引向課堂以外的活動。因此，在數(shù)學教學中應(yīng)堅持實踐的觀點，針對學生的一些錯誤認識，從典型事例中讓他們逐漸加深對概念的領(lǐng)悟。例如: 化簡時，學生易犯錯誤為：原式=，此處忽略了算術(shù)根的被開方數(shù)必須為正數(shù)的條件。通過一些實踐練習，使學生對算數(shù)根有了更進一步深刻而準確地理解，從而更加好的掌握了相應(yīng)的概念。（四）注重啟發(fā)學生思

12、維，培養(yǎng)探索精神與興趣 在高中數(shù)學起始教學中，教師必須著重了解和掌握學生的基礎(chǔ)知識狀況，尤其在講解新知識時，要嚴格遵循學生認知發(fā)展的階段性特點，照顧到學生認知水平的個性差異，強調(diào)學生的主體意識，發(fā)展學生的主動精神，培養(yǎng)學生良好的意志品質(zhì)；同時要培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣。興趣是最好的老師，學生對數(shù)學學習有了興趣，才能產(chǎn)生數(shù)學思維的興奮灶，也就是更大程度地預防學生思維障礙的產(chǎn)生。教師可以幫助學生進一步明確學習的目的性，針對不同學生的實際情況，因材施教，分別給他們提出新的更高的奮斗目標，使學生有一種“跳一跳，就能摸到桃”的感覺，提高學生學好高中數(shù)學的信心。 例：高一年級學生剛進校時，一般我們都要復習一下二次函數(shù)的內(nèi)容，而二次函數(shù)中最大、最小值尤其是含參數(shù)的二次函數(shù)的最大、小值的求法學生普遍感到比較困難，為此我作了如下題型設(shè)計，對突破學生的這個難點問題有很大的幫助，而且在整個操作過程中，學生普遍（包括基礎(chǔ)差的學生）情緒亢奮，思維始終保持活躍。設(shè)計如下：1求出下列函數(shù)在x0，3時的最大、最小值：(1)y=（x1）21， (2)y=（x1）21， (3)y=（x4）21 2求函數(shù)y=x22axa22，x0，3時的最小值。 3求函數(shù)y=x22x2，xt，t1的最小值。 上述設(shè)計層層遞進，每做完一題，適時指出解決這類問題的要點，大大