第5章哈密頓力學(xué)

1、第第5 5章章 哈密頓力學(xué)哈密頓力學(xué)2221 ( ) : 2,()()1 , BAxxABABvy xvgydxdyydsvdxdtdtdtTdt、最速落徑問(wèn)題鉛直平面內(nèi)在所有聯(lián)結(jié)二個(gè)定點(diǎn)和的曲線中，找出一條曲線來(lái)，使得初速度為零的質(zhì)點(diǎn)，在重力作用下，自點(diǎn)沿它無(wú)摩擦地下滑時(shí)，以最短時(shí)間到達(dá)點(diǎn)。解：這是泛函極值問(wèn)題。速度與坐標(biāo)的關(guān)系而質(zhì)點(diǎn)自沿曲線自由滑下到點(diǎn)所需的時(shí)間為21( ), ( )2BAxxydxT y xy xyg1顯然這是一個(gè)泛函(即函數(shù)的函數(shù))。oxyAB212211 ( ) ( ) : ( ) () ( ) 0 ()()xxxxxxT y xT y xT y xf y,y,x d

2、xT y xTffTf y,y,x dxf y,y,x dxyyy現(xiàn)在的任務(wù)是尋找一個(gè)函數(shù),使泛函取極值，即從眾多的函數(shù)中找出一條路徑使時(shí)間最短. 設(shè)泛函的普遍形式為 可以證明泛函取極值的條件是其變分為零,即（變分算符和微分算符的運(yùn)算相似）21212211 0 0, , xxxxxxxxABydxfdfdfyyy dxydxydxyfdffyydxydxyyyyydffdxy這屬動(dòng)邊是變且任條意的( (于于不不界界分分件件) )0 y歐勒方程223/221/2221/23/223/221231 - 0.2111;(1 )222111(1 )0222111(1 )0(1 )222 (1 ) yd

3、fffgydxyyfyfyyyygygydyyyydxgygyyyyCgygyy 例：求最速落徑方程解：已知， 根據(jù)歐勒方程引入?yún)?shù)1122111112112 (1 cos2 )12sin22sincos 2sin: (1 cos2 )(2sin2 )2: (2sin2 ); (1 cos2 )22CCyctgyctgdydddxCCCdyctgctgCxdxCdCCCxCy ，使而積分得最速落徑的參數(shù)方程為222 3/2 ( )1; 1 - 0 (1 ) BAxxBABBABASS y xdsy dxfyfdffdxyydfyyydxyyyyx yxyxxx12AABB例：求連接兩點(diǎn)之間最短

4、長(zhǎng)度的曲線解：要使泛函S取極值,函數(shù) 必須滿足歐勒方程:=0=0=c x+c該曲線必須通過(guò)兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo):(x ,y ),(x ,y )BBAyxx顯然證明了連接兩點(diǎn)長(zhǎng)度最短的曲線為直線1A2BAB根據(jù)經(jīng)典力學(xué)的基本假設(shè),系統(tǒng)某時(shí)刻(t )從(q )出發(fā),到另一時(shí)刻(t )到達(dá)(q ),中間所經(jīng)歷的真實(shí)軌道 q(t) 是唯一的.經(jīng)典力學(xué)的目標(biāo)就是從所有連接q 到q 滿足給定約束條件的可能軌道中找出一條滿足力學(xué)規(guī)律的真實(shí)軌道來(lái).: 最小作用原理對(duì)給定初末態(tài),系統(tǒng)的真實(shí)演化軌道使作用量取極值(極大或極小或常點(diǎn)，通常為極小),即其變分為零： S=0t1,qAt2,qBq(t)真實(shí)軌道真實(shí)軌道1( (

5、 )( )q ttSL t dt2t引入一個(gè)軌道相關(guān)的函數(shù)(物理上稱為作用量,數(shù)學(xué)上稱為泛函)： 21( , , )ttSL q q t dt對(duì)完整保守力系，假定拉格朗日量可以表示為 L(q,q,t)，并定義哈密頓作用函數(shù)：211212: t t , ( )( ), ( ) , ( , , )0ttq tq tq tSL q q t dt哈密頓原理在和時(shí)刻和相同（即端點(diǎn)固定） 在約束許可的一切可能路徑中使作用函數(shù)取極值的路徑為物理上可以實(shí)現(xiàn)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)路徑：由最小作用原理導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)方程需通過(guò)數(shù)學(xué)上稱為變分的方法,通常假定變分路徑由每一時(shí)刻坐標(biāo)變量的一個(gè)獨(dú)立的小變化( q(t)構(gòu)成,時(shí)間的變分為零(

6、 t=0),即等時(shí)變分.等時(shí)變分下的最小作用原理一般稱為哈密頓原理.),(tqqqqqqLLss2121 22111 ()sttttLLLSL q,q,t dtqqt dtqqt211 sttLLqqdtqq211sttLdLdLqqqdtqdtqdtq0t dqqdt12 0ttqq22111tstttLLdLqq dtqqdtq q是任意的2110sttLdLq dtqdtq 0 (1,2. )dLLsdtqq , q q (0), (0)qq q =1,2.sLpq( , , ) =1,2.sLpp q q tq( , , ) =1,2.sqq q p t1( , )sLH q qLqc

7、onstq 111( , , ), ( , , ),( , , )sssLH q p tLqLp qqL q q q p t tp q q p t 12( , ,. )nFF u uu12( , ,. )nG G v vviiFvu1si iGuvF( , , )H q p t( , , )L q q tLpq1sHp qL 11d(d)dssaaaaaHdLp qqpp dqL=0 dpdLLLdtqqdtq11dddssaaaaaaLLLLLdqdqtp dqp dqtqqttsaaaaattLdqppqH1d)d(dsaattHdqqHdppHH1dd =1,2,.s HqpHpq tL

8、tH22112121 (, )(, ) (, )(, )(, )(, )(, ) jjjjjjjjjjjjttjjjjjjtttjjjjttjjjjjjtjjH pq tp qL qq tL qq tp qH pq tSL qq t dtp qH pq t dtSp qH pq t dtHHp qpqpqdtpq2211 (ttjjjjjjjjttjjHHqppqdtpqpq dtpq2221112112() 0 ( 0, 0 )tttjjjjjjjjttttjjjjtt tt tjjjjjjddpqpq dtpq dtpqdtdtdtpqqqHHSqppqdtpq210 , , ttjjjj

9、jjHqppqHpq 是任意的正則方程tHppHqqHtHs1ddtHtHddqHppHq,0tHHconst112()ssTHLp qLqTT VT Vq 012TTTT2011ssTHLp qLqTTVq 0iiHqpqi=const ，pi為循環(huán)坐標(biāo)為循環(huán)坐標(biāo) 0iiHpq pi =const，qi為循環(huán)坐標(biāo)為循環(huán)坐標(biāo) LHtt iiLHqq ; =1,2,.s dqdpHHdtpdtq 11,sjjjjjsjjjjjd FFFFqpd tqptFHFHFqppqtFFHt( , , )FF q p t,0FF Ht0dFdt0,0FtF HF 守恒量, (1,2. ),jjjjqqHj

10、sppH1,sjjjjjFGFGFGqppq,0 , ,01 , (,1, 2 .)0 jkjkjkjkqqppjkqpjksjk ,0, ,0, ,0,FGF HG Httd F GF GF G HdttF Gc2222221(sin)2Tm rrr2222221(sin)( , , )2Lm rrrV r rLpm rr2Lpmr22sinLpmr( )V r222, , sinrppprmmrmr1122222222222222222221(sin)21sin( , ,)2sinsin12ssrrrrrHLp qTVp qm rrrVp rpppppmrrV rmmrmrppppppmm

11、rmrpm 22222( , ,)sinppV rrr 2222221(sin)( , ,)2HTVm rrrV r 222, , sinrppprmmrmr2222221( , ,)2sinrppHpV rmrr 0sincos MMmmxxyxxlyl 0;cossinMMmmxxyxxlyllmMoxyx22222222221111()()(cos )(sin )222211()cos22MMmmTM xym xyMxmxllmM xmlmlxcosVmgl 22211()coscos22LmM xmlmlxmgl()cos0dLLdmM xmldtxxdt2(cos )sinsin0d

12、LLdmlmlxmlxmgldtdt2()cos0cossin0mM xmlmlmlxmgl22(sin)sincos()sin0MmlmlMm gl ()cosxLpmMxmlx22211()coscos22LmM xmlmlxmgl2cosLpmlmlx21cossinxxppMml221cos(sin)xm lpMmpMmm l22211()coscos22HTVmM xmlmlxmgl2222212cos()cos2(sin)xxml pmlp pMm pmglmlMm0 xHpx ()cos0 xpmMxm l2222()sincossin(sin)HmMppmgllMm ()cos

13、0 xpmM xml2cospmlmlx22(sin)sincos()sin0MmlmlMm gl *例例3 exyzrZeexyzrZerarZeV204122222212sinrppaHTVpmrrr p = C 223232sin ramrpmrprHpr322sincosmrpHp0p mppHrrr2mrppH22sinmrppH sin 222 m rpm rprm pr2222 sin rarmrmrm 22sin rmC0 sin 22322rarmCrmrm 322sin cosrmCp00, 0C0)(dd0 222 mrtrarmrmconst2mr22)( rarrm hr2cos12222kAhkhrcos1epr( )V r22202 e 4 ZekkVrkGMm 電子在 Z的庫(kù)侖場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)在 M 的引力場(chǎng)中2221()( )2LTVm rrV r2221()( )2HTVm rrV r( , , ), ( , , ), ( , , )jjjjQQ q p tPP q p tHH Q P t, P j=1,2,.s jjjjHHQPQ 11ssjjjjjjdFp qHP QHdt( , , ), ( , , ) (1,2. )jjjjjjQQ q p tcPP q p tdjs( , ), ( , ), (1,