第三章采樣與量化2

1、第三章 采樣與量化3.1 采樣3.2 量化3.3 重構(gòu)與內(nèi)插3.4 仿真采樣頻率 本課的主要目的是研究利用數(shù)字計(jì)算機(jī)對(duì)通信系統(tǒng)進(jìn)行精確的仿真所需的基本方法。在大多數(shù)的通信應(yīng)用中，是通過(guò)要研究的系統(tǒng)來(lái)產(chǎn)生和處理信號(hào)波形的。當(dāng)然，計(jì)算機(jī)只能處理所關(guān)心的表示信號(hào)波形的采樣點(diǎn)的數(shù)值。另外，采樣點(diǎn)的值是經(jīng)過(guò)量化的。因此，在所有的數(shù)字仿真中，采樣和量化都是基本的操作，其中每一個(gè)操作都會(huì)給仿真結(jié)果帶來(lái)誤差。而完全消除這些誤差是不可能的，故往往需要作折中。我們所能做的頂多是使采樣和量化對(duì)仿真精度的影響最小化。 3.1 采樣數(shù)字信號(hào)是通過(guò)對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣、量化和編碼得到的。模擬信號(hào)：是時(shí)間和幅度都連續(xù)的信號(hào)，

2、記作x（t）。采樣數(shù)據(jù)信號(hào)：對(duì)模擬信號(hào)采樣，采樣結(jié)果是產(chǎn)生幅度連續(xù)而時(shí)間離散的信號(hào)，數(shù)字信號(hào)：通過(guò)將時(shí)間采樣值編碼到一個(gè)有限的數(shù)值集合，可由采樣數(shù)據(jù)信號(hào)得到數(shù)字信號(hào)。注意：在這些處理的每一步中都會(huì)引入誤差。3.1.1低通采樣定理從時(shí)間連續(xù)信號(hào)X(t)到數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換第一步就是，對(duì)X(t)進(jìn)行等時(shí)間間隔采樣，得到采樣值 。參數(shù)Ts是采樣周期，其倒數(shù)就是采樣頻率fs。采樣操作的模型如下圖所示。( )() ssx tx kTx k采樣操作和采樣函數(shù)采樣信號(hào)Xs(t)是用信號(hào)X(t)乘以周期脈沖p(t)來(lái)產(chǎn)生。也即 信號(hào)p(t)叫采樣函數(shù)。假設(shè)采樣函數(shù)為窄脈沖，其取值為0或1。當(dāng)p(t)=1時(shí)， Xs(

3、t)= X(t)，當(dāng)p(t)=0時(shí)Xs(t) =0， p(t)可以是任意的。 由于p(t)是周期信號(hào)，可以用傅里葉級(jí)數(shù)表 示為式中的傅里葉系數(shù)由下式給出：將式(3.2)帶入式(3.1)中得采樣后的信號(hào)為采樣信號(hào)的傅里葉變換為交換上式中積分和求和的順序，有由于連續(xù)信號(hào)X(t)的傅里葉變換為則由式(3.6)可得采樣信號(hào)的傅里葉變換從上式可以看出，對(duì)時(shí)間連續(xù)信號(hào)的采樣導(dǎo)致了信號(hào)頻譜在直流點(diǎn)（f=0）和所有采樣點(diǎn)的諧波（f=nfs）處產(chǎn)生重復(fù)。由于假定采樣是瞬時(shí)的，p(t)可定義為：這就是所謂的沖擊函數(shù)采樣，其中采樣的值由沖擊函數(shù)的權(quán)來(lái)表示，將式(3.9)代入式(3.3)有應(yīng)用 函數(shù)的移位特性，有利用

4、式（3.2）顯示的結(jié)果，p(t)的傅里葉變換可寫成對(duì)脈沖函數(shù)采樣，對(duì)所有的n，式都成立。因此應(yīng)用式(3.8)，采樣后信號(hào)的頻譜變?yōu)檫@個(gè)結(jié)果也可從下面的表達(dá)式得到采樣在頻域表示下圖為由式(3.14)產(chǎn)生的帶限信號(hào)的采樣xs(f)的情況。重構(gòu)：通過(guò)使用低通濾波器在n0附近提取xs(f)的頻譜，可以完成從xs(t)到x(t)信號(hào)的重構(gòu)。要求：要完成無(wú)差錯(cuò)的信號(hào)恢復(fù)，要求xs(f)在f=fs附近的頻譜與在f=0處的頻譜沒(méi)有重疊。換句話說(shuō)式(313)中的頻譜必須是分離的。定理一如果采樣頻率如果采樣頻率fs大于大于2fh，那么帶限信號(hào)就可以，那么帶限信號(hào)就可以無(wú)差錯(cuò)地通過(guò)其采樣信號(hào)恢復(fù)，這里無(wú)差錯(cuò)地通過(guò)其

5、采樣信號(hào)恢復(fù)，這里fh表示被表示被采樣信號(hào)中出現(xiàn)的最高頻率。采樣信號(hào)中出現(xiàn)的最高頻率。注：這個(gè)定理通常指低通信號(hào)的采樣定理，但它對(duì)帶通信號(hào)同樣適用。 混疊：如果fsW這種典型情況下，用寬帶信號(hào)所需的采樣率對(duì)窄帶信號(hào)進(jìn)行采樣，其結(jié)果將導(dǎo)致仿真的時(shí)間過(guò)大，效率會(huì)很低。理想的是每個(gè)信號(hào)的采樣就采用適合本信號(hào)的采樣率。上采樣和內(nèi)插上采樣上采樣 就是提高采樣頻率。上采樣使得采樣周期降低M倍。因此，根據(jù)對(duì)應(yīng)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)，上采樣過(guò)程從原有的采樣值 生成新采樣值 。作為例子，假定通過(guò)對(duì)重構(gòu)信號(hào)xr(t)在t=nTs/M處內(nèi)插來(lái)構(gòu)造一組新的采樣，其中重構(gòu)信號(hào)xr(t)由式(3-49)給出。進(jìn)行操作后為

6、：對(duì)sinc(.)進(jìn)行截?cái)嘤袑?duì)sinc(.)進(jìn)行截?cái)嘤须m然不完美但是這是一個(gè)更實(shí)際的內(nèi)插器，增大L就可以降低內(nèi)插的誤差。然而，由于每個(gè)內(nèi)插采樣點(diǎn)需要2L+1個(gè)樣點(diǎn)，對(duì)于大的L，計(jì)算負(fù)荷往往是難以接受的。因此，在計(jì)算負(fù)荷和精度之間就有一個(gè)折中，這種折中在我們的仿真研究中會(huì)多次碰到。更實(shí)用的內(nèi)插器是線性內(nèi)插器，它比sinc()函數(shù)內(nèi)插所需的計(jì)算量要小得多。線性內(nèi)插器的脈沖響應(yīng)定義為：內(nèi)插操作圖如下： 很明顯，上采樣和下采樣郡引入了很多的額外開銷。如果上采樣倍數(shù)M適度，比方說(shuō)是2或3，通常最好用單采樣頻率開發(fā)仿真系統(tǒng)，從而窄帶信號(hào)的過(guò)采樣會(huì)出現(xiàn)在系統(tǒng)中。然而，如果B和W相差太多，那么通常最有效的方法

7、是對(duì)仿真中每個(gè)具有不同帶寬的信號(hào)采用合適的采樣頻率。上采樣和內(nèi)插操作下采樣（抽值）下采樣下采樣是頻率降低的過(guò)程。實(shí)現(xiàn)方法：實(shí)現(xiàn)方法：這個(gè)過(guò)程通過(guò)用單個(gè)采樣代替M個(gè)采樣來(lái)完成，因此下采樣比上采樣簡(jiǎn)單得多。 下采樣器輸出的采樣點(diǎn)是通過(guò)在采樣過(guò)程中對(duì)采樣周期增加M倍來(lái)完成的，因而下采樣器輸出的采樣點(diǎn)記作 。由 給出。采樣值由下式得到3.4 仿真采樣頻率開發(fā)仿真時(shí)要作的一個(gè)基本決定是選擇多大的采樣頻率。對(duì)于沒(méi)有反饋的線性系統(tǒng)，必須的采樣頻率是由可接受的混疊誤差決定的，而這又有賴于成型脈沖的功率譜密度。因?yàn)槌尚蚊}沖對(duì)選擇合適的采樣頻率很重要。 問(wèn)題：?jiǎn)栴}：從采樣的研究得知，要完全消除混疊誤差需要無(wú)限的采

8、樣頻率，這在實(shí)際中顯然是不可能的。隨著采樣頻率的增加，對(duì)每個(gè)通過(guò)系統(tǒng)的數(shù)據(jù)符號(hào)都要處理更多的采樣點(diǎn)，而這會(huì)增加執(zhí)行仿真所需時(shí)間。在實(shí)際中不可能消除混疊現(xiàn)象，一個(gè)自然的策略就是選擇合適的采樣頻率，以便在混疊誤差和仿真時(shí)間之間達(dá)成折中。 表示數(shù)據(jù)隨機(jī)序列。在二進(jìn)制系統(tǒng)中，ak的典型取值是十1和-1，P(t)是脈沖成形函數(shù)，T是符號(hào)周期，而是在采樣周期上的均勻隨機(jī)變量，參數(shù)A是用于確定傳輸信號(hào)功率的比例常量。假定 和 分別表示數(shù)據(jù)序列的均值和自相關(guān)函數(shù)。傳輸通用模型如下其中3.4.1 通用開發(fā)傳輸信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)為：式中所需采樣頻率由傳輸信號(hào)的PSD確定。應(yīng)用維納辛欽定理。有：我們目標(biāo)是選擇合適的采

9、樣頻率，而這個(gè)采樣頻率依賴于出現(xiàn)在仿真模型中的波形。其中，G(f)是脈沖成形函數(shù)P(t)的能量譜密度， =G(f), P(f)是p(t)的付里葉變換3.4.2 仿真采樣率 現(xiàn)在回到將采樣頻率和給定脈沖成形相關(guān)的問(wèn)題上來(lái)。這種關(guān)聯(lián)是通過(guò)考慮采樣過(guò)程的信噪比來(lái)完成的，其中的噪聲功率來(lái)自于混疊。目標(biāo)是選擇一個(gè)采樣頻率，使得混疊誤差相對(duì)于所考察的系統(tǒng)性能的降低是可以忽賂的。我們將看到，所需的采樣頻率依賴于出現(xiàn)在仿真模型中的波形。以每個(gè)符號(hào)六個(gè)采樣的速率進(jìn)行采樣的矩形脈沖序列如上圖所示假設(shè)采樣頻率是符號(hào)頻率的六倍，數(shù)據(jù)序列的功率譜密度為：以每個(gè)符號(hào)m個(gè)采樣（fs=m/T）對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行采樣有即由于混疊的信噪比可以表示為信號(hào)功率：噪聲功率：我們利用PSD是頻率的偶函數(shù)這一事實(shí)。信號(hào)功率可以通過(guò)在仿真帶寬 內(nèi)，對(duì) 的n=0項(xiàng)作積分確定?；殳B噪聲的功率是落在仿真帶寬內(nèi)的所有頻率平移項(xiàng)(n 0)的功率總和，因此矩形脈沖波形的信號(hào)混疊噪聲比 注意到，對(duì)每個(gè)符號(hào)進(jìn)行M10個(gè)采樣的情況，(SNR)a的值稍稍小于17dB而且(SNR)a的值隨m的增加而增大。然而，隨著m的增加，它對(duì) (SNR)a的影響減小。同時(shí)注意到，對(duì)矩形成形脈沖，采樣后信號(hào)的PSD以1f2減小。對(duì)于三角成形脈沖，采樣信號(hào)的PS