LQR和PID控制器在飛行器高度控制中的應(yīng)用

1、LQRLQR和和PIDPID控制器在控制器在飛行器控制飛行器控制中的應(yīng)用中的應(yīng)用畢鳳霞 關(guān)洋 劉冰姜雪瑩 CONTENTSCONTENTS應(yīng)用背景應(yīng)用背景ALQR狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)器設(shè)計BPIDPID控制器設(shè)計控制器設(shè)計C仿真分析仿真分析D考慮如下實際問題：考慮如下實際問題： 飛行器的最優(yōu)高度控制，飛行器的控制方程如下 其中 是飛行器的高度， 是油門輸入，試設(shè)計控制律，使得如下性能指標最小：dttRUUtxtxtxQtxtxtxtUtXJT0321321)()()()(),(),(),(21)(),()(1tx)(tU問題產(chǎn)生問題產(chǎn)生初始狀態(tài)為:對如下給定的Q、R矩陣進行仿真和分析: TTtxtxt

2、x0 , 0 ,10)(),(),(3212,000000001RQ2000,000000001RQ2,0000000010RQ2,00001000001RQ 線性二次型（LQR） 狀態(tài)調(diào)節(jié)器設(shè)計1Part 所謂狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，就是要求系統(tǒng)的狀態(tài)保持在平衡狀態(tài)附近。當某種原因是系統(tǒng)的狀態(tài)偏離平衡狀態(tài)時，就對系統(tǒng)進行控制使之回到原平衡狀態(tài)。 對于線性定常系統(tǒng)，任何平衡狀態(tài)通過線性變換可轉(zhuǎn)化為零狀態(tài)。為了方便起見，通常將系統(tǒng)的零狀態(tài)取為平衡狀態(tài)。 有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器只考查系統(tǒng)由任意初態(tài)恢復(fù)到平衡狀態(tài)的行為，且性能指標只能在恢復(fù)過程中的狀態(tài)偏差、控制量大小及終端誤差之間取得一個合理折中。然而，實際工

3、程問題的要求是，除了保證有限時間內(nèi)系統(tǒng)對非零初態(tài)的響應(yīng)具有最優(yōu)性外，還要求系統(tǒng)具有保持平衡狀態(tài)的能力。這種既有最優(yōu)性要求，又有穩(wěn)定性要求的問題只能用無線時間調(diào)節(jié)器理論去解決。 即要求ft設(shè)線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程為：性能指標為：式中，向量 ，矩陣 00)(),()()()()(xtxtutBtxtAtxdttutRtutxtQtxJTT0)()()()()()(21mnRtuRtx)(,)(維增益矩陣為維時變系統(tǒng)矩陣，為mntBnntA)()(加權(quán)是對控制輸入加權(quán)，是對狀態(tài)其中為對稱正定陣為半正定矩陣，utRxtQtRtQ)()()()(對于無限時間時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，若陣對 完全可控，則存在唯一

4、的最優(yōu)控制 最優(yōu)性能指標為 式中： 是對稱，非負的，而P(t)是如下黎卡 提方程 及其邊界條件 的唯一解)(),(tBtA)()()()()()()(1*txtKtxtPtBtRtuT)()()(21000*txtPtxJT)(lim)(tptPft01QPAPBBRPAPTT0)(ftp 設(shè)計無限時域控制器之前，首先判斷系統(tǒng)是否可控，在MATLAB中應(yīng)用如下命令求判斷系統(tǒng)能控性 若系統(tǒng)可控，則繼續(xù)求解黎卡提方程，解出系統(tǒng)的反饋矩陣，從而求出最優(yōu)控制律使系統(tǒng)的性能指標最小。在MATLAB中提供了求解代數(shù)黎卡提方程的lqr()函數(shù),其調(diào)用格式為：),(,RQBAlqrEPK),(bactrbra

5、nkr 狀態(tài)調(diào)節(jié)器最優(yōu)控制閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示：)()()()()(tutBtxtAtx)()(1tBtRT)(tP)(tu)(t)(tx LQR即線性二次型調(diào)節(jié)器，其對象是現(xiàn)在控制理論中以狀態(tài)空間形式給出的線性系統(tǒng)，而目標函數(shù)為對象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)，在現(xiàn)代控制理論中占有非常重要的位置，受到控制界的普遍重視。LQR控制方法的優(yōu)勢在于其控制方案簡單，超調(diào)量小，且響應(yīng)速度快。2SECTIONPIDPID控制器控制器 PID控制器是根據(jù)PID控制原理對整個控制系統(tǒng)進行偏差調(diào)節(jié)偏差調(diào)節(jié)，從而使被控變量的實際值與工藝要求的預(yù)定值一致。不同的控制規(guī)律適用于不同的生產(chǎn)過程，必須合理選擇相應(yīng)的控制

6、規(guī)律，否則PID控制器將達不到預(yù)期的控制效果。 PID控制器既有比例作用的及時迅速，又有積分作用的消除余差能力，還有微分作用的超前控制功能。 當偏差階躍出現(xiàn)時，微分立即大幅度動作，抑制偏差的這種躍變；比例也同時起消除偏差的作用，使偏差幅度減小，由于比例作用是持久和起主要作用的控制規(guī)律，因此可使系統(tǒng)比較穩(wěn)定；而積分作用慢慢把余差克服掉。只要三個作用的控制參數(shù)選擇得當，便可充分發(fā)揮三種控制規(guī)律的優(yōu)點，得到較為理想的控制效果。仿真LQRLQR控制器：控制器： 應(yīng)用MATLAB進行仿真，通過lqr()函數(shù)來求解系統(tǒng)的反饋矩陣K(t) , 進而求出控制律 。在仿真過程中通過改變Q陣和R陣來觀察系統(tǒng)特性的

7、變化 所畫的狀態(tài)響應(yīng)曲線及控制輸入U的響應(yīng)曲線如下圖所示：（1）Q=diag(1,0,0),R=2時，由MATLAB求得最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為)()(,0510. 2 ,0772. 2 ,7071. 0tKxtuK02468101214161820-4-20246810時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(1,0,0),R=2時 狀 態(tài) 響 應(yīng) 曲 線x1x2x3（2）Q=diag(1,0,0),R=2000時，由MATLAB求得最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為)()(,4166. 0 ,2517. 0 ,0224. 0tKaxtuKa0102030405060-20246810時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(1

8、,0,0),R=2000時 狀 態(tài) 響 應(yīng) 曲 線x1x2x3（3）Q=diag(10,0,0),R=2時，由MATLAB求得最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為)()(,3077. 3 ,3892. 4 ,2361. 2tKbxtuKb02468101214161820-50510時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(10,0,0),R=2000時 狀 態(tài) 響 應(yīng) 曲 線x1x2x3（4）Q=diag(1,100,0),R=2時，由MATLAB求得最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為)()(,6076. 4 ,6112. 7 ,7071. 0tKcxtuKc05101520253035404550-8-7-6-5-4-3-2-10

9、12時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(1,100,0),R=2時 控 制 輸 入 U的 響 應(yīng) 曲 線05101520253035404550-20246810時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(1,100,0),R=2時 狀 態(tài) 響 應(yīng) 曲 線x1x2x3PIDPID控制器：控制器： PID控制時仿真效果如下：020406080100120140160180200-4-20246810 PID控 制 時 狀 態(tài) x1的 響 應(yīng) 曲 線020406080100120140160180200-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51 PID控 制 時 狀 態(tài) x2的 響 應(yīng) 曲 線 仿真圖02

10、0406080100120140160180200-2.5-2-1.5-1-0.500.51 PID控 制 時 狀 態(tài) x3的 響 應(yīng) 曲 線020406080100120140160180200-45-40-35-30-25-20-15-10-505PID控 制 時 U的 響 應(yīng) 曲 線 PID控制時U的響應(yīng)曲線分析：分析：增大增大R R05101520-50510時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(1,0,0),R=2時 狀 態(tài) 響 應(yīng) 曲 線x1x2x305101520-10-505時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(1,0,0),R=2時 控 制 輸 入 U的 響 應(yīng) 曲 線0204060

11、-50510時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(1,0,0),R=2000時 狀 態(tài) 響 應(yīng) 曲 線x1x2x30204060-0.3-0.2-0.100.1時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(1,0,0),R=2000時 控 制 輸 入 U的 響 應(yīng) 曲 線對比（1）（2）可知，當Q不變，R增大時，達到穩(wěn)態(tài)所需時間變長，即響應(yīng)時間變慢；但波動幅值變小，反饋矩陣變小。增大增大Q11Q11時時05101520-50510時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(1,0,0),R=2時 狀 態(tài) 響 應(yīng) 曲 線x1x2x305101520-8-6-4-202時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(1,0,0),R=2

12、時 控 制 輸 入 U的 響 應(yīng) 曲 線05101520-50510時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(10,0,0),R=2時 狀 態(tài) 響 應(yīng) 曲 線x1x2x305101520-30-20-10010時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(10,0,0),R=2時 控 制 輸 入 U的 響 應(yīng) 曲 線對比（1）（3）可知，當Q對角線上第1個元素增大時，各相應(yīng)曲線達到穩(wěn)態(tài)所需時間變短，即響應(yīng)快；但波動幅值變大，反饋矩陣增大。增大增大Q22Q22時時05101520-50510時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(1,0,0),R=2時 狀 態(tài) 響 應(yīng) 曲 線x1x2x305101520-8-6-4-20

13、2時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(1,0,0),R=2時 控 制 輸 入 U的 響 應(yīng) 曲 線0204060-50510時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(1,100,0),R=2時 狀 態(tài) 響 應(yīng) 曲 線x1x2x30204060-8-6-4-202時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(1,100,0),R=2時 控 制 輸 入 U的 響 應(yīng) 曲 線對比（1）（4）可知，當Q對角線上第2個元素增大時，x1、x2曲線達到穩(wěn)態(tài)所需時間較長，即響應(yīng)較慢，平緩地趨近與零；狀態(tài)x3，控制輸入U達到穩(wěn)態(tài)所需時間變短，即響應(yīng)快；反饋矩陣最大。 綜上所述，Q=diag(1,0,0)，R=2時，系統(tǒng)各方面響應(yīng)較好

14、。矩陣Q變大時，反饋矩陣變大；當Q對角線上第1個元素變大時，各曲線波動幅值變大，達到穩(wěn)態(tài)所需時間變短；當Q對角線上第2個元素變大時，各曲線波動幅值變大，達到穩(wěn)態(tài)所需時間，狀態(tài)x1、x2增長，狀態(tài)x3，控制輸入U變短；當R變大時，反饋矩陣變小，各曲線波動幅值變小，達到穩(wěn)態(tài)時間變長。根據(jù)實際的系統(tǒng)允許，應(yīng)該適當選擇Q和R。 根據(jù)性能指標函數(shù)的調(diào)試經(jīng)驗可知，當Q（t）矩陣中的某一元素的權(quán)值響應(yīng)增加時，系統(tǒng)的快速響應(yīng)性得到提高，同樣系統(tǒng)會產(chǎn)生自激，系統(tǒng)損耗了更多的能量，如同PID控制中增大P值的效果。當R（t）陣中某一元素的權(quán)值增大時，系統(tǒng)響應(yīng)遲鈍，抖動幅度小，消耗的能量減小，動態(tài)性能差?？傊?，Q（t

15、）、R（t）的選擇原則是：如果想提高控制的快速響應(yīng)性，可以增大Q（t）中相關(guān)元素的比重。如果想要抑制控制量的幅值及其消耗的能量，可以增大R（t）中相關(guān)元素的比值。LQR&PIDLQR&PID02468101214161820-3-2-101時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(1,0,0),R=2時 狀 態(tài) X2響 應(yīng) 曲 線x12020406080100120140160180200-3-2-101時 間 /sec響應(yīng)PID控 制 時 狀 態(tài) x2的 響 應(yīng) 曲 線02468101214161820-50510時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(1,0,0),R=2時 狀 態(tài) X1

16、響 應(yīng) 曲 線x1020406080100120140160180200-50510時 間 /sec響應(yīng)PID控 制 時 狀 態(tài) x1的 響 應(yīng) 曲 線狀態(tài)X3和U02468101214161820-10-505時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(1,0,0),R=2時 控 制 輸 入 U的 響 應(yīng) 曲 線0102030405060708090100-60-40-20020時 間 /sec響應(yīng)PID控 制 時 輸 入 U的 響 應(yīng) 曲 線02468101214161820-2-101時 間 /sec響應(yīng)Q=diag(1,0,0),R=2時 狀 態(tài) X3響 應(yīng) 曲 線x30204060801001

17、20140160180200-3-2-101時 間 /sec響應(yīng)PID控 制 時 狀 態(tài) x3的 響 應(yīng) 曲 線Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat.Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris n