模糊數(shù)學(xué)2009-4(分布函數(shù)、貼近度)

1、吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院1模糊數(shù)學(xué) 第四講第四講 孫舒楊孫舒楊Email. Email. 吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2n設(shè)設(shè)U=1,2,3,4,5,6，H是是集值映射，且滿足下式，集值映射，且滿足下式，試由試由H求出相應(yīng)的模糊求出相應(yīng)的模糊集集A, A,A . 0,11,2,3,4,5,6, 00.21,2,4,5,6, 0.20.5( )2,4,5,6, 0.50.62,5,6, 0.60.85,6, 0.81H( ),0;( ),1AHAH 吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院3答案答案1,2,3,4,5,6, 00.21,2,4,5,6, 0.20.52,4,5,6, 0.50.62,5,

2、6, 0.60.85,6, 0.811,2,3,4,5,6, 00.21,2,4,5,6, 0.20.52,4AA,5,6, 0.50.62,5,6, 0.60.85,6, 0.81吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院40.50.80.20.611123456A A15,6 0.82,5,6 0.62,4,5,6 0.51,2,4,5,6 0.21,2,3,4,5,6吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院5隸屬函數(shù)確定方法之二隸屬函數(shù)確定方法之二模糊分布模糊分布吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院6什么是模糊分布？什么是模糊分布？n最常見的論域最常見的論域n實數(shù)集實數(shù)集Rn實數(shù)集實數(shù)集R上的模糊集合的隸屬函數(shù)上的模糊集

3、合的隸屬函數(shù)稱為稱為吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院7模糊分布法的步驟模糊分布法的步驟n先假設(shè)要建立的隸屬函數(shù)服從一個先假設(shè)要建立的隸屬函數(shù)服從一個分布（帶參數(shù)）分布（帶參數(shù)）n然后設(shè)法去確定其中參數(shù)然后設(shè)法去確定其中參數(shù)n參數(shù)確定，則隸屬函數(shù)確定參數(shù)確定，則隸屬函數(shù)確定吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院8模糊分布的三種類型模糊分布的三種類型n偏小型：偏小型：n小、冷、年輕小、冷、年輕n偏大型：偏大型：n大、熱、年老大、熱、年老n中間型：中間型：n中、暖、中年中、暖、中年吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院9偏小型模糊分布偏小型模糊分布n偏向小的一方的模糊現(xiàn)象偏向小的一方的模糊現(xiàn)象n小、冷、年輕小、冷、年輕n隸

4、屬函數(shù)的隸屬函數(shù)的一般形式一般形式如下，其中如下，其中a為常數(shù)，為常數(shù)，f (x)為非遞增函數(shù)為非遞增函數(shù)1, ( )( ), xaA xf xxa吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院10偏大型模糊分布偏大型模糊分布n偏向大的一方的模糊現(xiàn)象偏向大的一方的模糊現(xiàn)象n大、熱、年老大、熱、年老n隸屬函數(shù)的一般形式如下，其中隸屬函數(shù)的一般形式如下，其中a為常數(shù)，為常數(shù)，f (x)為非遞減函數(shù)為非遞減函數(shù)0, ( )( ), xaA xf xxa吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院11中間型模糊分布中間型模糊分布n處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)象處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)象n中、暖、中年中、暖、中年n隸屬函數(shù)的一般形式如下，其中隸屬函

5、數(shù)的一般形式如下，其中a,b為常數(shù)為常數(shù)0, ( )( ), , 0, xaA xf xxa bxb吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院121-10 常用的模糊分布常用的模糊分布吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院13常用的分布類型常用的分布類型n矩形矩形n梯形梯形nK次拋物型次拋物型n正態(tài)分布正態(tài)分布n柯西分布（也稱為哥西分布，柯西分布（也稱為哥西分布，Cauchy）n嶺形分布嶺形分布吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院141.矩形分布（曲線）矩形分布（曲線）吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院151. 矩形分布（隸屬函數(shù)）矩形分布（隸屬函數(shù)）吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院162. 梯形分布梯形分布吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)

6、院172. 偏小型梯形分布偏小型梯形分布吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院182. 偏大型梯形分布偏大型梯形分布吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院192.中間型梯形分布中間型梯形分布n請寫出中間型的隸屬函數(shù)請寫出中間型的隸屬函數(shù)吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院203. 拋物型拋物型吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院213. 拋物型（偏小型）拋物型（偏小型）吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院223. 拋物型（偏大型）拋物型（偏大型）吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院233.拋物型（中間型）拋物型（中間型）吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院244.正態(tài)分布正態(tài)分布吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院254.正態(tài)分布（中間型）正態(tài)分布（中間型）吉

7、林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院264.正態(tài)分布（偏小型）正態(tài)分布（偏小型）吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院274.正態(tài)分布（偏大型）正態(tài)分布（偏大型）吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院284.正態(tài)分布（另一種中間型）正態(tài)分布（另一種中間型）吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院295.柯西分布柯西分布吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院305.柯西分布（中間型）柯西分布（中間型）吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院315.柯西分布（偏小型）柯西分布（偏小型）吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院325.柯西分布（偏大型）柯西分布（偏大型）吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院33正態(tài)分布與柯西分布正態(tài)分布與柯西分布正態(tài)分布正態(tài)分布 柯西分布柯西分布柯西

8、分布下降比正態(tài)分布下降要慢很多柯西分布下降比正態(tài)分布下降要慢很多吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院346.嶺型分布嶺型分布吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院356. 嶺型分布（偏小型）嶺型分布（偏小型）吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院366. 嶺型分布（偏大型）嶺型分布（偏大型）吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院376. 嶺型分布（中間型）嶺型分布（中間型）吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院38如何選取模糊分布？如何選取模糊分布？吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院39選擇模糊分布的兩種方式選擇模糊分布的兩種方式n直接根據(jù)討論對象的特點選擇直接根據(jù)討論對象的特點選擇n利用模糊統(tǒng)計利用模糊統(tǒng)計n通過統(tǒng)計資料得到大致曲線通過統(tǒng)計資料

9、得到大致曲線n與模糊分布做比較，選擇最相似分布與模糊分布做比較，選擇最相似分布n根據(jù)實驗確定較符合實際的參數(shù)根據(jù)實驗確定較符合實際的參數(shù)n得到隸屬函數(shù)表達式得到隸屬函數(shù)表達式吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院40確定隸屬函數(shù)的例子確定隸屬函數(shù)的例子n模糊概念：模糊概念：“年輕人年輕人”n進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)曲線與柯西分布的進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)曲線與柯西分布的偏小型相似偏小型相似吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院41確定三個參數(shù)確定三個參數(shù)na a = 25= 25n= 2= 2n= =？n考慮最模糊的點（考慮最模糊的點（3030歲，隸屬度應(yīng)該歲，隸屬度應(yīng)該是是0.50.5）n=1/25=1/25吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技

10、術(shù)學(xué)院42課上作業(yè)課上作業(yè)n在一個熒光屏上，用一個光點的上在一個熒光屏上，用一個光點的上下運動快慢代表下運動快慢代表15種不同的運動速種不同的運動速度，記度，記V=1,2,15，主試者隨機，主試者隨機給出給出15種速率，讓被試者按種速率，讓被試者按“快快”“”“中中”“”“慢慢”進行分類，每進行分類，每種速率共給出種速率共給出320次，判斷結(jié)果如下次，判斷結(jié)果如下表：表：吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院43吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院44n試用頻率作為隸屬度，確定模糊概試用頻率作為隸屬度，確定模糊概念念“快快”“”“中中”“”“慢慢”在在V中所表中所表現(xiàn)的模糊集現(xiàn)的模糊集n畫出上述概念在畫出上述概

11、念在V上的隸屬函數(shù)圖上的隸屬函數(shù)圖n將圖中離散點用折線連起來，作為將圖中離散點用折線連起來，作為區(qū)間區(qū)間v=1,15上的隸屬函數(shù)曲線上的隸屬函數(shù)曲線吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院45第二章第二章模糊模式識別模糊模式識別吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院46何謂模式識別？何謂模式識別？n對某個具體對象，識別它屬于何類。對某個具體對象，識別它屬于何類。這類問題稱為這類問題稱為模式識別模式識別。吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院472-1 模糊集的貼近度模糊集的貼近度吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院48貼近度貼近度n貼近度是對兩個模糊集合接近程度貼近度是對兩個模糊集合接近程度的一種度量。的一種度量。吉林大學(xué)計算機科學(xué)

12、與技術(shù)學(xué)院49貼近度的定義貼近度的定義設(shè)設(shè)A,B,CF(U), 若映射若映射N:N:F(U)F(U)0,1 滿足條件：滿足條件：nN(A,B)=N(B,A)nN(A,A)=1, N(U,)=0n若若ABC,則則N(A,C)N(A,B)N(B,C)則稱則稱N(A,B)為模糊集合為模糊集合A與與B的貼近度，的貼近度，N稱為稱為F(U)上的貼近度函數(shù)。上的貼近度函數(shù)。吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院50常見的貼近度常見的貼近度n海明貼近度（距離貼近度）海明貼近度（距離貼近度）n歐幾里德貼近度歐幾里德貼近度n測度貼近度測度貼近度吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院51海明貼近度海明貼近度121 ,.,1( , )

13、1|( )( )|U , 1( , )1|( )( )|nniiibaUu uuN A BA uB una bN A BA uB uduba若則當 為實數(shù)域上的閉區(qū)間時，則有吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院522-2 格貼近度格貼近度吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院53模糊向量模糊向量n有限論域上的模糊集合可以表示成有限論域上的模糊集合可以表示成模糊向量的形式模糊向量的形式n模糊集合的第三種記法模糊集合的第三種記法n例如：例如：X=x1 , x2 , x3 , x4 , x5上的模上的模糊集合糊集合A=(1 , 2 , 3 , 4 , 5)吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院54模糊向量的內(nèi)積（有限論域）模糊

14、向量的內(nèi)積（有限論域）12121(,.),( ,. ),()ABnnniiiAa aaBb bba bab設(shè)稱為模糊集合 和 的內(nèi)積吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院55內(nèi)積例子內(nèi)積例子nA = ( 0.1, 0.5, 0, 0.6)nB = ( 0.2, 0, 0.7, 0.3)n求向量求向量a和和b的內(nèi)積的內(nèi)積吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院56模糊集合的內(nèi)積（任意論域）模糊集合的內(nèi)積（任意論域）,( ), ( )( )ABu UA BF UA BA uB u 設(shè)稱為模糊集合 和 的內(nèi)積吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院57外積（內(nèi)積對偶運算）外積（內(nèi)積對偶運算）,( ), ( )( )ABu UA BF

15、 UA BA uB u 設(shè)稱為模糊集合 和 的外積吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院58外積例子外積例子nA = ( 0.1, 0.5, 0, 0.6)nB = ( 0.2, 0, 0.7, 0.3)n求向量求向量a和和b的外積的外積吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院59余運算余運算在閉區(qū)間在閉區(qū)間0,1上定義余運算：上定義余運算：aa0,1, ac=1-a吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院60性質(zhì)性質(zhì)1()()ccccccA BABA BAB吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院61性質(zhì)性質(zhì)1證明證明()()11 ( )( )1( )( )(1( )(1( )( )( )ccccu Uu Uu Uccu UccA BA

16、BA BA BA uB uA uB uA uB uA uB uAB 證明吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院62峰值和谷值峰值和谷值( ),( ), ( )u Uu UAF UaA uaA uaa 對令稱 為模糊集的峰值，稱 為模糊集的谷值。吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院63求下例的峰值和谷值求下例的峰值和谷值nA = ( 0.1, 0.5, 0, 0.6)nB = ( 0.2, 0, 0.7, 0.3)吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院64內(nèi)外積的性質(zhì)內(nèi)外積的性質(zhì)22.;A BABA BAB吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院65內(nèi)外積的性質(zhì)內(nèi)外積的性質(zhì)33.A AAA AA吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院66內(nèi)外積的

17、性質(zhì)內(nèi)外積的性質(zhì)4()()4.()()B F UB F UA BAA BA吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院67內(nèi)外積的性質(zhì)內(nèi)外積的性質(zhì)55.ABA BAA BB吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院68內(nèi)外積的性質(zhì)內(nèi)外積的性質(zhì)616.212ccA AA A吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院69內(nèi)外積的性質(zhì)內(nèi)外積的性質(zhì)77.ABA CB CA CB C且吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院70內(nèi)外積內(nèi)外積-例例n設(shè)論域設(shè)論域U為實數(shù)域，其上有兩個正為實數(shù)域，其上有兩個正態(tài)模糊集態(tài)模糊集A,B,它們的隸屬函數(shù)如下，它們的隸屬函數(shù)如下，試求試求A、B的內(nèi)外積。的內(nèi)外積。211222()1()2( )(0)( )(0)xxA x

18、eB xe吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院71內(nèi)積內(nèi)積22112()( )( )aaA xB xe221212()()( )( )()xxx UA xB xee 吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院72A、B的外積是什么？的外積是什么？n0吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院73下圖的內(nèi)積表示什么？下圖的內(nèi)積表示什么？n兩個模糊集A、B交點縱坐標n其值越大，A、B越靠近；吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院74下圖的外積表示什么？下圖的外積表示什么？n兩個模糊集兩個模糊集A、B交點縱坐標交點縱坐標n其值越小，其值越小，A、B越靠近；越靠近；吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院75內(nèi)外積與靠近程度內(nèi)外積與靠近程度兩個模糊集兩個模糊

19、集n有時：內(nèi)積越大，這兩個模糊集越有時：內(nèi)積越大，這兩個模糊集越靠近；靠近；n有時：外積越小，這兩個模糊集越有時：外積越小，這兩個模糊集越靠近；靠近；吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院76貼近度貼近度n單獨的內(nèi)積或外積，足以刻畫兩個單獨的內(nèi)積或外積，足以刻畫兩個模糊集合的貼近程度嗎？模糊集合的貼近程度嗎？n不能！不能！n考慮用考慮用二者相結(jié)合二者相結(jié)合的的“格貼近度格貼近度”n刻畫兩個模糊集的貼近程度?？坍媰蓚€模糊集的貼近程度。吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院77定理定理1,( ),( , )()()ABcA BF UA BA BA B設(shè)則是模糊集 和 的貼近度，稱之為格貼近度。吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)

20、學(xué)院78求格貼近度的例子求格貼近度的例子A = ( 0.1, 0.5, 0, 0.6)B = ( 0.2, 0, 0.7, 0.3)求求A和和B的格貼近度的格貼近度( , )()()cA BA BA B吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院79格貼近度例格貼近度例n設(shè)論域設(shè)論域U為實數(shù)域，其上有兩個正為實數(shù)域，其上有兩個正態(tài)模糊集態(tài)模糊集A,B,它們的隸屬函數(shù)分別它們的隸屬函數(shù)分別如下，試求如下，試求A、B的格貼近度。的格貼近度。211222()1()2( )(0)( )(0)xxA xeB xe吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院80內(nèi)外積-例22112()( )( )aaA xB xe吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技

21、術(shù)學(xué)院81其他格貼近度01( , )(1)2A BA BA B吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院822-3 模糊模式識別原則模糊模式識別原則吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院83何謂模式識別？何謂模式識別？n對某個具體對象，識別它屬于何類。對某個具體對象，識別它屬于何類。這類問題稱為這類問題稱為模式識別模式識別。n根據(jù)識別對象的不同，有兩種方法根據(jù)識別對象的不同，有兩種方法n直接方法直接方法n間接方法間接方法吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院84模糊模式識別的方法模糊模式識別的方法n直接方法直接方法n識別對象為論域中的單個元素識別對象為論域中的單個元素n最大隸屬原則、閾值原則最大隸屬原則、閾值原則n間接方法間接

22、方法n識別對象為論域上的一個模糊集識別對象為論域上的一個模糊集n擇近原則擇近原則吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院85最大隸屬原則最大隸屬原則n設(shè)設(shè)AiF(UF(U) (i=1,2,n) (i=1,2,n)n對于對于u u0 0UU，若存在，若存在i i0 0，使得，使得n則認為則認為u u0 0相對地隸屬于相對地隸屬于0010200()max(),(),.,()inA uA uA uA u0iA吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院86最大隸屬原則最大隸屬原則例例n例例1. 設(shè)論域設(shè)論域U=0,100上確定三個模上確定三個模糊集糊集A=“優(yōu)優(yōu)”，B=“良良”，C=“差差”,考慮成績考慮成績88應(yīng)該評為什么等

23、級？他應(yīng)該評為什么等級？他們的隸屬函數(shù)分別為們的隸屬函數(shù)分別為0 08080( ) 8090 101 90100 xxA xxx吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院87最大隸屬原則最大隸屬原則例例0 07070 7080 10( )1 808595 8595100 95100 xxxB xxxxx1 07080( ) 7080 100 80100 xxC xxx 吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院88最大隸屬原則最大隸屬原則例例nA(88)=0.8nB(88)=0.7nC(88)=0nA(88)=maxA(88), B(88), C(88)n88應(yīng)評為應(yīng)評為“優(yōu)優(yōu)”吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院89閾值原則閾

24、值原則設(shè)論域設(shè)論域U= u1, u2, , un上有上有m個模糊個模糊集合集合A1, A2, , Am （即（即m個模型）個模型）構(gòu)成一個標準模型庫構(gòu)成一個標準模型庫,設(shè)定一個閾值設(shè)定一個閾值 0,1, 對任一對任一x0U，若存在，若存在i=i1,i2,.,ik,使使Ai(x0) ，則判決為：，則判決為：x0相對隸屬于相對隸屬于Ai1 Ai2 AiK吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院90閾值原則閾值原則n否則否則n對于任何對于任何i=1,m,均有均有Ai(x0) n則說不能識別則說不能識別x0相對隸屬于誰相對隸屬于誰吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院91擇近原則擇近原則n識別問題識別問題n一個模糊集對標準模糊集的識別一個模糊集對標準模糊集的識別n實質(zhì)：實質(zhì)：n求兩個模糊集的貼近程度求兩個模糊集的貼近程度吉林大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院92什么是擇近原則？什么是擇近原則？000012,( )(1,2,., ),(, )max(, ),(, ),.,