高中數(shù)學知識點歸納(理科)

1、高中數(shù)學必備(必須理解與記憶)知識點歸納必 修 一第一章 集合與函數(shù)的概念一、集合：1集合的定義與表示（1）集合的定義：把一些元素組成的總體叫做集合（2）集合的表示：常用大寫拉丁字母表示，集合中的元素一般用小寫拉丁字母表示 （3）集合的性質：確定性、互異性、無序性（集合中元素的性質） （4）元素與集合的關系：屬于() , 不屬于() （5）常用數(shù)集：（6）集合的表示：列舉法，描述法2集合間的基本關系（從文字語言、圖形語言、符號語言等方面理解）（1）子集： 一般地，對于兩個集合，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，稱集合是集合 的子集，記作（讀作含于）或（讀作包含）。韋恩表示圖略（2）集合相

2、等：如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），稱集合 與集合相等。記作。韋恩表示圖略（3）真子集：如果集合，但存在元素且稱集合是集合 的真子集，記作（讀作真含于）或（讀作真包含）。韋恩表示圖略（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集。 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集（5）集合的子集個數(shù)：含有個元素的集合的子集個數(shù)為，真子集個數(shù)為，非空真子集個數(shù)為3集合的基本運算從文字語言、圖形語言、符號語言等方面理解） （1）并集： 一般地，由所有屬于集合或屬于集合的元素組成的集合，稱為集合與集合的并集，記作（讀作：“并”），即，韋恩表示圖略 （2）交集： 一般地，由屬于集合且屬于集合

3、的元素組成的集合，稱為集合與集合的交集，記作（讀作：“交”），即，韋恩表示圖略，數(shù)軸表示略 （3）補集： 對于一個集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補集，簡稱為集合的補集，記作，即，韋恩表示圖略，數(shù)軸表示略說明：求并集、交集與補集時可借用數(shù)軸處理4集合的主要性質和運算律集合的主要性質和運算律包含關系：集合的運算律：交換律：結合律：分配律：01律：等冪律：求補律：反演律：二、函數(shù)及其表示1函數(shù)的定義：（集合對應定義法） 設是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系，使對于集合中的任意一個，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應，那么就稱為從集合到集合的一個函數(shù)，記作，其中，叫

4、做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與的值對應的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域，值域是集合的子集. 函數(shù)三要素：定義域（集合），值域（集合），解析式（表達式） 區(qū)間（集合的另一種表示方式）：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（左開右閉、左閉右開） 無窮大的引入： 2函數(shù)的表示：解析法：用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系圖像法：用圖表表示兩個變量之間的對應關系列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應關系 分段函數(shù)： 映射：設是非的集合，如果按某一個確定的對應關系，使對于集合中的任意一個元素，在集合中都有唯一確定的元素與之對應，那么就稱對應為從集合到集合的一個映射。 會區(qū)分函數(shù)與映射的關

5、系3函數(shù)的性質：（主要從文字敘述，數(shù)學符號，圖象特征方面理解）（1） 單調性 增函數(shù)，增區(qū)間，遞增性一般地，設函數(shù)的定義域為：如果對于定義域內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；區(qū)間叫做函數(shù)的一個增區(qū)間；這種性質叫做函數(shù)的遞增性。 減函數(shù)，減區(qū)間，遞減性一般地，設函數(shù)的定義域為：如果對于定義域內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；區(qū)間叫做函數(shù)的一個減區(qū)間；這種性質叫做函數(shù)的遞減性。注：會從文字敘述，數(shù)學符號，圖象特征等方面理解函數(shù)單調性會用定義判斷并證明函數(shù)單調性（2）函數(shù)的最大值與最小值： 函數(shù)的最大值：一般地，設函

6、數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足:（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得。那么，我們稱是函數(shù)的最大值。 函數(shù)的最小值：一般地，設函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足:（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得。那么，我們稱是函數(shù)的最小值。注：函數(shù)最小值的求法：基本函數(shù)法，圖像法，單調性法等（3）函數(shù)的奇偶性： 偶函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù)的定義域內任意一個，都有，那么函數(shù)叫做偶函數(shù)。偶函數(shù)圖象關于軸對稱。 奇函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù)的定義域內任意一個，都有，那么函數(shù)叫做奇函數(shù)。奇函數(shù)圖象關于原點對稱。第二章 基本初等函數(shù)一、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1指數(shù)與指數(shù)冪的運算（1）根式：一般地，如果，那么叫做的次方

7、根；當是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的次方根是一個負數(shù)。當是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，它們是一對互為相反數(shù)，記作。負數(shù)沒有偶次方根。式子叫做根式，是根指數(shù)，叫做被開方數(shù)；由次方根的意義得：（2）分數(shù)指數(shù)冪： ；0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義（3）指數(shù)冪的運算性質：2指數(shù)函數(shù)及其性質：（1）指數(shù)函數(shù)：一般地，形如的函數(shù)，叫做指數(shù)函數(shù)；其中是自變量，函數(shù)的定義域為。（2）指數(shù)函數(shù)的圖像與性質：指數(shù)函數(shù)的圖象與性質圖象定義域值域性質（1）過定點（0，1），即時（2）單調性在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)（3）范圍時；時；時；時；3對數(shù)與對數(shù)的運算：（1）對數(shù)：（定義、記法、讀法，

8、各部分符號及名稱）一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作注：理解對數(shù)定義的本質；熟記對數(shù)符號各部分名稱，明確各部分的范圍常用對數(shù)： 自然對數(shù)：（2）對數(shù)與指數(shù)的互化：（3）對數(shù)的性質： （4）對數(shù)的運算性質：（5）對數(shù)恒等式：（6）對數(shù)換底公式： 4對數(shù)函數(shù)及其性質：（1）對數(shù)函數(shù)：一般地，形如的函數(shù)，叫做對數(shù)函數(shù)；其中是自變量，函數(shù)的定義域為。（2）對數(shù)函數(shù)的圖象與性質：指數(shù)函數(shù)的圖象與性質圖象定義域值域性質（1）過定點（1，0），即時（2）單調性在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)（3）范圍時；時；時；時； 5冪函數(shù)：（1）冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)；其中是自變量，是常數(shù)。（2）冪

9、函數(shù)的圖象與性質：圖象定義域值域奇偶性對稱性奇函數(shù)原點對稱偶函數(shù)軸對稱奇函數(shù)原點對稱無奇函數(shù)原點對稱單調性在上遞增上遞減上遞增在上遞增上遞增及上遞減公共點6函數(shù)圖象變換平移變換：左右平移與上下平移翻折變換：如何由圖象得到圖象對稱變換：如何由圖象得到圖象第三章 函數(shù)的應用一、函數(shù)與方程1方程的根與函數(shù)的零點：（1）函數(shù)的零點：對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。（2）方程的根與函數(shù)的零點的關系：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點（3）方程的根與函數(shù)的零點存在性定理： 一般地，我們有：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內有零點，即存在，使得，這個也就是

10、方程的根。2二分法：（1）二分法定義：對于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法（2）給定精度，用二分法求函數(shù)零點近似值得基本步驟：1. 確定區(qū)間，驗證，給定精度；2. 求區(qū)間的中點3. 計算（1）若，則就是函數(shù)的零點；（2）若，則令（此時零點）；（3）若，則令（此時零點）；4. 判斷是否達到精度：即若，則得到零點近似值（或）；否則重復24。二、函數(shù)模型及其應用：1幾類不同增長的函數(shù)模型：一次函數(shù)型（直線型）：均勻上升指數(shù)型：爆炸式上升對數(shù)型：緩慢式上升冪函數(shù)型：爆炸或緩慢式上升2函數(shù)模型的應用：必 修

11、 二第一章 空間幾何體1.空間幾何體的結構（1）柱、錐、臺、球的結構特征： 棱柱：定義，基本元素（底面、側面、側棱、頂點），表示方法 棱錐：定義，基本元素（底面、側面、側棱、頂點），表示方法 棱臺：定義，基本元素（底面（上、下）、側面、側棱、頂點），表示方法 圓柱：定義，基本元素（底面、側面、軸、母線），表示方法 圓錐：定義，基本元素（底面、側面、軸、母線），表示方法 圓臺：定義，基本元素（底面、側面、軸、母線），表示方法 球：定義，基本元素（球心、半徑（直徑），表示方法（2）簡單組合體：一種是由簡單幾何體拼接，另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成2.空間幾何體的三視圖和直觀圖（1）中心投

12、影與平行投影：投影，投影線，投影面；中心投影，平行投影（2）空間幾何體的三視圖 三視圖： 正視圖：從前往后 側視圖：從左往右 俯視圖：從上往下畫三視圖的原則：長對正（正視、俯視有長）、高平齊（正視、側視有高）、寬相等（側視、俯視有寬）（3）直觀圖：斜二測畫法平面圖形斜二測畫法 確定坐標系：（） 平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸； 平行于軸的線長度變半，平行于，軸的線長度不變；幾何體斜二測畫法：一畫軸 二畫底面 三畫側棱 四成圖3. 空間幾何體的表面積與體積（1）空間幾何體的表面積棱柱、棱錐的表面積： 各個面面積之和圓柱的表面積 圓錐的表面積圓臺的表面積 球的表面積（2）空間幾何體的體積柱體的體

13、積 錐體的體積 臺體的體積 球體的體積 第二章 點、直線、平面之間的位置關系DCBA1.空間點、直線、平面之間的位置關系（1）平面含義：平面是無限延展的（2）平面的畫法及表示 平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖） 平面通常用希臘字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。（3） 三個公理：LA公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內符號表示為：AL，BL， 且A，B公理1作用：判斷直線是否在平面內CBA公理2：過不在一條直線

14、上的三點，有且只有一個平面。符號表示為：A、B、C三點不共線 = 有且只有一個平面，使A、B、C。公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。PL公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。符號表示為：P =L，且PL公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)2.空間中直線與直線之間的位置關系（1）空間的兩條直線有如下三種關系： 共面直線：相交直線（同一平面內，有且只有一個公共點）平行直線（同一平面內，沒有公共點）異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點。（2）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設a、b、c是三條直線ab， cb ac強調：公理4實質

15、上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。（3）等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補（4）異面直線所成的角：已知異面直線，經(jīng)過空間任一點作直線，則與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角） 與所成的角的大小只由的相互位置來確定，與的選擇無關，為簡便，點一般取在兩直線中的一條上或空間圖形的特殊位置上； 兩條異面直線所成的角； 當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成

16、的角。3.空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系平行問題：（1）直線與平面有三種位置關系：直線在平面內有無數(shù)個公共點直線與平面相交有且只有一個公共點直線在平面平行沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用來表示 （2）直線與平面平行的判定直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：（3）平面與平面平行的判定兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。簡記為：線面平行，則面面平行符號表示：判斷兩平面平行的方法有三種：用定義；判定定理；垂直于同一條直

17、線的兩個平面平行。（4）直線與平面、平面與平面平行的性質定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行，則線線平行符號表示：作用：利用該定理可判斷直線的平行問題。結論：定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。簡記為：面面平行，則線線平行。符號表示：作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行結論：夾在兩平行平面間的平行線段相等。垂直問題：（5）直線與平面垂直定義：如果直線與平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面互相垂直，記作，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點叫做垂足。判定

18、定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。符號表示：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想。重要結論：直線與平面所成的角：如圖：是平面的一條斜線，為斜足，是平面的一條垂線，為垂足；則直線為斜線在平面內上的射影. 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角(6)平面與平面垂直二面角（圖形）概念：從一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形(如圖)，這條直線叫做二面角的棱（），兩個半平面（）叫做二面角的面 記法：二面角等 二面角的平面角：如圖：在平面和內分別作垂直于棱的

19、射線,則射線構成的叫做二面角的平面角 二面角的平面角的做法：垂線法與垂面法當二面角的平面角為直角時叫做直二面角。兩個平面垂直：定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。記作： 畫法（略）判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。圖形（略） 符號：性質：定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。 符號：定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。 符號：第三章 直線與方程1.直線的傾斜角和斜率直線的傾斜角的概念：當直線與軸相交時, 取軸作為基準, 軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.特別地,當直線與軸平行或重合時,

20、規(guī)定= 0.傾斜角的取值范圍：0180. 當直線與軸垂直時, = 90.直線的斜率:一條直線的傾斜角(90)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tan當直線l與x軸平行或重合時, =0, k = tan0=0;當直線l與x軸垂直時, = 90, k 不存在.由此可知, 一條直線的傾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在. 直線的斜率公式:給定兩點；則直線的斜率為2.兩條直線的平行與垂直兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即注意前提條件，若情況特殊則特殊判斷兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的

21、斜率互為負倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負倒數(shù)，那么它們互相垂直，即注意前提條件，若情況特殊則特殊判斷3. 直線的方程 直線的點斜式方程：直線經(jīng)過點，且斜率為的直線方程：直線的斜截式方程：已知直線的斜率為，且與軸的交點為 （為直線在軸上的截距），直線的兩點式方程：已知兩點其中 ，則直線方程為： 直線的截距式方程：已知直線與軸的交點為A，與軸的交點為B，其中，則直線方程為直線的一般式方程：關于的二元一次方程（A，B不同時為0）注意：理解各種直線方程得推導過程 會對特殊情況進行分類討論各種直線方程之間的互化4.直線的交點坐標與距離公式兩直線的交點坐標：聯(lián)立方程組求解即可兩點間的距離公式：若，則點到

22、直線距離公式：點到直線的距離為：兩平行線間的距離公式：已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，：，則與的距離為第四章 圓與方程1. 圓的標準方程（1）圓的標準方程： 圓心為,半徑為；特別：（單位圓）（2）點與圓的關系的判斷方法：，點在圓外 =，點在圓上，點在圓內2.圓的一般方程（1）圓的一般方程： （2）圓的一般方程的特點：和的系數(shù)相同，且不等于0，沒有xy這樣的二次項，(3) 圓的一般方程與標準方程相比，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯。3.直線與圓的位置關系（1）法：當時，直線與圓相離；當時，直線與圓相切；當時，直線與圓相交。（

23、2）法：當時，直線與圓相交；當時，直線與圓相切；當時，直線與圓相離。4. 圓與圓的位置關系設兩圓的連心線長為，則判別圓與圓的位置關系的依據(jù)有以下幾點：（1）當時，圓與圓相離；（2）當時，圓與圓外切；（3）當時，圓與圓相交；（4）當時，圓與圓內切；（5）當時，圓與圓內含。5.直線與圓的方程的應用（1）利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關系；（2）過程與方法用坐標法解決幾何問題的步驟：第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運算結果“翻譯”成幾何結論6.空間直角坐標系（1）空間直角坐標系：

24、坐標原點，坐標軸，坐標平面；右手直角坐標系（2）在空間直角坐標系中，任一點M對應著唯一確定的有序實數(shù)組，、 、分別是P、Q、R在、軸上的坐標；反之有序實數(shù)組，對應著空間直角坐標系中的一點。（3）空間中任意點M的坐標都可以用有序實數(shù)組來表示，該數(shù)組叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記M，叫做點M的橫坐標，叫做點M的縱坐標，叫做點M的豎坐標。會建空間直角坐標系，會確定點的坐標7.空間兩點間的距離公式空間中任意一點到點之間的距離公式必 修 三第一章 算法初步1.算法的概念（1）算法概念：最初指用阿拉伯數(shù)字進行算術運算的過程。在數(shù)學中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟。（2）

25、算法的特點:有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.確定性：算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結果，而不應當是模棱兩可.順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準確無誤，才能完成問題.不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.普遍性：很多具體的問題，都可以設計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)過有限、事先設計好的步驟加以解決.2.程序框圖（1）程序構圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一

26、種用的程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形。（2）程序框圖的基本要素：表示相應操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。（3）構成程序框的圖形符號及其作用圖形名稱功能終端框（起止框）表示一個算法的起始和結束，是任何流程圖不可少的。輸入、輸出框表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。處理框（執(zhí)行框）賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內。判斷框判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明“是”或“Y”；不成立時標明“否”或“N”。流程線連結程序框連接點連接程序框圖的兩部分學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作

27、用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：（1）使用標準的圖形符號。（2）框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。（3）除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。（4）判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結果。（5）在圖形符號內描述的語言要非常簡練清楚。3.算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環(huán)結構。（1）順序結構：AB順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算

28、法結構。順序結構在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所指定的操作。（2）條件結構：條件結構是指在算法中通過對條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結構。條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個判斷結構可以有多個判斷框。（3）循環(huán)結構：在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結構，反復執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結

29、構中一定包含條件結構。循環(huán)結構又稱重復結構，循環(huán)結構可細分為兩類：一類是當型循環(huán)結構，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件P成立時，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結構。另一類是直到型循環(huán)結構，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結構。A成立不成立P不成立P成立A當型循環(huán)結構 直到型循環(huán)結構注意：（1）循環(huán)結構要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件結構來判斷。因此，循

30、環(huán)結構中一定包含條件結構，但不允許“死循環(huán)”。（2）在循環(huán)結構中都有一個計數(shù)變量和累加變量。計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結果。計數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計數(shù)一次。4.輸入、輸出語句和賦值語句（1）輸入語句圖形計算器格式INPUT“提示內容”；變量INPUT “提示內容”，變量輸入語句的一般格式輸入語句的作用是實現(xiàn)算法的輸入信息功能；“提示內容”提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運行時其值是可以變化的量；輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達式；提示內容與變量之間用分號“；”隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開。（2）

31、輸出語句PRINT“提示內容”；表達式圖形計算器格式Disp “提示內容”，變量輸出語句的一般格式輸出語句的作用是實現(xiàn)算法的輸出結果功能；“提示內容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)；輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值以及字符。（3）賦值語句變量表達式圖形計算器格式表達式變量賦值語句的一般格式賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；賦值語句中的“”稱作賦值號，與數(shù)學中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量；賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個數(shù)據(jù)、常量或算式；對于一個變量可以多次賦值。

32、注意：賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=X是錯誤的。賦值號左右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運行結果是不同的。不能利用賦值語句進行代數(shù)式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）賦值號“=”與數(shù)學中的等號意義不同。5.條件語句（1）條件語句的一般格式有兩種：IFTHENELSE語句；IFTHEN語句。（2）IFTHENELSE語句IFTHENELSE語句的一般格式為圖1，對應的程序框圖為圖2。IF 條件 THEN語句1ELSE語句2END IF否是滿足條件？語句1語句2 圖1 圖2注意：在IFTHENELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時執(zhí)行的操作

33、內容；“語句2”表示不滿足條件時執(zhí)行的操作內容；END IF表示條件語句的結束。計算機在執(zhí)行時，首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面的語句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語句2。（3）IFTHEN語句IFTHEN語句的一般格式為圖3，對應的程序框圖為圖4。滿足條件？語句是否（圖4）IF 條件 THEN語句END IF（圖3） 注意：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內容，條件不滿足時，結束程序；END IF表示條件語句的結束。計算機在執(zhí)行時首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語句，若條件不符合則直接結束該條件語句，轉而

34、執(zhí)行其它語句。6.循環(huán)語句循環(huán)結構是由循環(huán)語句來實現(xiàn)的。對應于程序框圖中的兩種循環(huán)結構，一般程序設計語言中也有當型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結構。即WHILE語句和UNTIL語句。(1)WHILE語句滿足條件？循環(huán)體否是WHILE語句的一般格式是 對應的程序框圖是WHILE 條件循環(huán)體WEND當計算機遇到WHILE語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個過程反復進行，直到某一次條件不符合為止。這時，計算機將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語句后，接著執(zhí)行WEND之后的語句。因此，

35、當型循環(huán)有時也稱為“前測試型”循環(huán)。(2)UNTIL語句UNTIL語句的一般格式是 對應的程序框圖是滿足條件？循環(huán)體是否DO循環(huán)體LOOP UNTIL 條件直到型循環(huán)又稱為“后測試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結構分析，計算機執(zhí)行該語句時，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進行條件的判斷，這個過程反復進行，直到某一次條件滿足時，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOP UNTIL語句后執(zhí)行其他語句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進行條件判斷的循環(huán)語句。分析：當型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：（先由學生討論再歸納）當型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；在WHILE語句中，是當

36、條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語句中，是當條件不滿足時執(zhí)行循環(huán)7.輾轉相除法與更相減損術（1）輾轉相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：用較大的數(shù)除以較小的數(shù)得到一個商和一個余數(shù)；若，則為的最大公約數(shù)；若，則用除數(shù)除以余數(shù)得到一個商和一個余數(shù)；若，則為的最大公約數(shù)；若，則用除數(shù)除以余數(shù)得到一個商和一個余數(shù)；依次計算直至，此時所得到的即為所求的最大公約數(shù)。（2）更相減損術我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術。在九章算術中有更相減損術求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。翻譯為：任意給出兩個正數(shù)

37、；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。例：用更相減損術求98與63的最大公約數(shù).（3）輾轉相除法與更相減損術的區(qū)別：都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數(shù)上輾轉相除法計算次數(shù)相對較少，特別當兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯。從結果體現(xiàn)形式來看，輾轉相除法體現(xiàn)結果是以相除余數(shù)為0而得到，而更相減損術則以減數(shù)與差相等而得到8.秦九韶算法與排序（1）秦九韶算法概念：f(x)=anxn

38、+an-1xn-1+a1x+a0求值問題f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+a1)x+a0 =( anxn-2+an-1xn-3+a2)x+a1)x+a0 =.=(.( anx+an-1)x+an-2)x+.+a1)x+a0求多項式的值時，首先計算最內層括號內依次多項式的值，即v1=anx+an-1然后由內向外逐層計算一次多項式的值，即v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 . vn=vn-1x+a0這樣，把次多項式的求值問題轉化成求個一次多項式的值的問題。9.進位制（1）進位制：是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值

39、?？墒褂脭?shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為，即可稱進位制，簡稱進制?，F(xiàn)在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯數(shù)字0-9進行記數(shù)。對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數(shù)57，可以用二進制表示為111001，也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。一般地，若是一個大于1的整數(shù)，那么以為基數(shù)的進制可以表示為：，而表示各種進位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進制數(shù),34(5)表示5進制數(shù)（2）各種不同進位制數(shù)的互化 二進制化為十進制：如 八進制化為二進制：如十進制化為二進制：除2取余法（見課本）十進制化為進制：除取余法第二

40、章 統(tǒng) 計一、簡單隨機抽樣1總體和樣本 在統(tǒng)計學中 , 把研究對象的全體叫做總體把每個研究對象叫做個體把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量為了研究總體的有關性質，一般從總體中隨機抽取一部分：研究，我們稱它為樣本其中個體的個數(shù)稱為樣本容量2簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取調查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關聯(lián)性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法。3簡單隨機抽樣常用的方法： （1）抽簽法（抓鬮法）；主要步驟：編號

41、，制簽，抽簽（2）隨機數(shù)表法；主要步驟：編號，在隨機數(shù)表中任取一數(shù)，按規(guī)則依次取數(shù)二、系統(tǒng)抽樣1.系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機械抽樣）：把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。（抽樣距離）=（總體規(guī)模）/（樣本規(guī)模）2.基本步驟：編號，確定分段間隔，在第一段內用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號，按規(guī)則抽取其他樣本。三、分層抽樣1分層抽樣（類型抽樣）：先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或層次，然后再在各個類型或層次中采用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的

42、樣本。兩種方法：（1）先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。（2）先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。2分層抽樣是把異質性較強的總體分成一個個同質性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。分層標準：（1）以調查所要分析和研究的主要變量或相關的變量作為分層的標準。（2）以保證各層內部同質性強、各層之間異質性強、突出總體內在結構的變量作為分層變量。（3）以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。三、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征1.頻率分布直方圖：（1）求極差

43、；（2）決定組距與組數(shù)；（3）將數(shù)據(jù)分組；（4）列頻率分布表；（5）畫頻率分布直方圖注意：橫坐標基本數(shù)據(jù)；縱坐標頻率/組距；小矩形面積頻率（小矩形面積之和為1）2.總體密度曲線：有頻率分布折線圖而來3.莖葉圖：做法 使用條件（數(shù)據(jù)較少） 體現(xiàn)信息4.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)：眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，亦叫高頻數(shù)；原始意義是在統(tǒng)計分布上具有明顯集中趨勢點的數(shù)值，代表數(shù)據(jù)的一般水平，眾數(shù)可以不存在或者多個。在頻率從分布直方圖中為最高的矩形的中點對應的數(shù)值。中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中最中間的的數(shù)，可將數(shù)據(jù)按序排列找最中間的數(shù)即為之；在頻率分布直方圖中為面積平分點的值，及中位數(shù)左右面積相等。平均數(shù)：可用

44、公式計算，在頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以相應小矩形底邊中點橫坐標之和4.標準差：（1）本均值：（2）樣本標準差：說明：（1）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個共同的常數(shù)，標準差不變（2）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)乘以一個共同的常數(shù)k，標準差變?yōu)樵瓉淼膋倍（3）一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標準差的影響較大，區(qū)間的應用；“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學道理5.兩個變量的線性相關（1）基本概念:散點圖：兩個變量間的坐標圖正相關：散點的位置在從左下到右上的區(qū)域負相關：散點的位置在從左上到右下的位置，回歸直線（方程）：散點圖中心點的分布從整體上看大致在一條直線附近，這條直

45、線叫回歸直線，求出的直線方程叫回歸直線方程。（2）最小二乘法：回歸直線方程：，（3）直線回歸方程的應用 描述兩變量之間的依存關系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數(shù)量關系 利用回歸方程進行預測；把預報因子（即自變量x）代入回歸方程對預報量（即因變量Y）進行估計，即可得到個體Y值的容許區(qū)間。 利用回歸方程進行統(tǒng)計控制規(guī)定Y值的變化，通過控制x的范圍來實現(xiàn)統(tǒng)計控制的目標。如已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。(4)應用直線回歸的注意事項 做回歸分析要有實際意義；回歸分析前,最好先作出散點圖；回歸直線不要外延。第三章 概 率一

46、、隨機事件的概率及概率的意義1基本概念：必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件，簡稱必然事件不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件，簡稱不可能事件確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件，簡稱確定事件隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件，簡稱隨機事件2.頻數(shù)、頻率及概率：在相同的條件S下重復次試驗，觀察某一事件是否出現(xiàn)，稱次試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù)為事件出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件出現(xiàn)的比例為事件出現(xiàn)的概率：對于給定的隨機事件，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作

47、，稱為事件的概率。3.頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率。二、 概率的基本性質1基本概念：（1）事件的包含：如果事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，稱事件包含事件，記作，相等事件：如果事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，反之也對，稱這兩個事件相等，記作并事件：若某事件發(fā)生當且僅當事件發(fā)生或事件發(fā)生，稱此事件為事件發(fā)生與事件的并事件（或和事件），記作(

48、或)交事件: 若某事件發(fā)生當且僅當事件發(fā)生且事件發(fā)生，稱此事件為事件發(fā)生與事件的交事件（或積事件），記作(或)上述事件可類比集合的關系，可用韋恩圖表示（2）若AB為不可能事件，即AB=，那么稱事件A與事件B互斥；（3）若AB為不可能事件，AB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；（4）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)；若事件A與B為對立事件，則AB為必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)2概率的基本性質：（1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0P(A)1；（2）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(

49、AB)= P(A)+ P(B)；（3）若事件A與B為對立事件，則AB為必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)；（4）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；事件A與事件B同時不發(fā)生；而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形；事件A發(fā)生B不發(fā)生；事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。四、古典概型及隨機數(shù)的產(chǎn)生1.古典概型（1）古典概率模型：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，每個基本事件出現(xiàn)的可能

50、性相等；（2）古典概型的使用條件：試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。（3）古典概型的解題步驟：求出總的基本事件數(shù)；求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式；2.幾何概型及均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生（1）基本概念：幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；幾何概型的概率公式：；(2)幾何概型的特點：試驗中所有可能出現(xiàn)的結果（基本事件）有無限多個；每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等必 修 四第一章三角函數(shù)一、任意角和弧度制：（一）任意角：1. 任意角的定義（旋轉定義法）：正角 零角 負角 2. 象限角與軸線角： 3. 終邊相同角的集合

51、：終邊落在射線上（過原點）的角的集合：終邊落在直線上（過原點）的角的集合：終邊落在坐標軸上的角的集合：4. 基本題型：判斷給定角的終邊的位置：如角的終邊位置。在給定范圍內找與已知角終邊相同的角: 如在內找出終邊與角相同的所有角。（二）弧度制：1. 弧度制定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角。2. 弧度數(shù)公式：3. 弧度與角度之間的互化： 4. 之間特殊角的弧度數(shù)與角度數(shù)：5. 扇形的面積公式：,與結合后有三種形式6. 基本題型：角度數(shù)與弧度數(shù)的互化弧度數(shù)公式及扇形面積公式的應用二、任意角的三角函數(shù)：(一) 任意角的三角函數(shù)：1. 任意角的三角函數(shù)的定義：坐標定義法： 2. 三個三角函數(shù)的符號（從定義出發(fā)）：一全（正），二正弦（正），三正切（正），四余弦（正） 3. 公式一： 4三個三角函數(shù)線：正弦線、余弦線、正切線5. 同角三角函數(shù)的基本關系：（變形）6基本題型： 利用定義求一些特殊角的三個三角函數(shù)值：如：求的正弦、余弦與正切值 給出角終邊上的