初中數(shù)學(xué)中的分類思想方法

1、初中數(shù)學(xué)中的分類思想方法初中數(shù)學(xué)中的分類思想方法 北京市團(tuán)結(jié)湖三中北京市團(tuán)結(jié)湖三中 付長虹付長虹20102010年年2 2月月2828日日 所謂所謂分類討論分類討論，就是當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一，就是當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，我們就需要對研究對象進(jìn)行分類，然后對每一類研究時，我們就需要對研究對象進(jìn)行分類，然后對每一類分別進(jìn)行研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果，分別進(jìn)行研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果，得到整個問題的解答得到整個問題的解答 實(shí)質(zhì)上，分類討論是實(shí)質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零化整為零，各個擊破，再積零為整為整”的策略的策略. 簡單地說，

2、簡單地說，把研究的對象，按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，劃分成把研究的對象，按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，劃分成為幾種情況或幾個部分，逐一進(jìn)行研究和解決的方法叫做為幾種情況或幾個部分，逐一進(jìn)行研究和解決的方法叫做分類討論法。分類討論法。一、分類思想方法定義與特點(diǎn)一、分類思想方法定義與特點(diǎn) 分類討論首先是分類，沒有正確的分類，就分類討論首先是分類，沒有正確的分類，就不可能有正確的討論，而分類本身是一種邏輯上不可能有正確的討論，而分類本身是一種邏輯上的劃分。的劃分。 劃分是揭示概念外延的邏輯方法，邏輯劃分劃分是揭示概念外延的邏輯方法，邏輯劃分原則是進(jìn)行邏輯劃分的依據(jù)，也是借以進(jìn)行分類原則是進(jìn)行邏輯劃分的依據(jù)，也是借以進(jìn)行分類的

3、標(biāo)準(zhǔn)。的標(biāo)準(zhǔn)。 因此，弄清劃分的依據(jù)于規(guī)則是正確進(jìn)行分因此，弄清劃分的依據(jù)于規(guī)則是正確進(jìn)行分類討論的基礎(chǔ)。類討論的基礎(chǔ)。 分類討論法的理論依據(jù)：分類討論法的理論依據(jù)：邏輯劃分原則邏輯劃分原則二、二、分類討論法的理論依據(jù)分類討論法的理論依據(jù)二、二、分類討論法的理論依據(jù)分類討論法的理論依據(jù)l邏輯劃分原則是：邏輯劃分原則是： 一是子項(xiàng)外延之和等于母項(xiàng)的外延；二是一個一是子項(xiàng)外延之和等于母項(xiàng)的外延；二是一個劃分過程只能有一個標(biāo)準(zhǔn)；三是劃分出的子項(xiàng)必劃分過程只能有一個標(biāo)準(zhǔn)；三是劃分出的子項(xiàng)必須全部列出；四是劃分必須按屬種關(guān)系分層逐級須全部列出；四是劃分必須按屬種關(guān)系分層逐級進(jìn)行，不可以越級。進(jìn)行，不可以

4、越級。 l劃分的規(guī)則：劃分的規(guī)則：1 .劃分后各個子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容劃分后各個子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容（不重）。（不重）。2.劃分后各個子項(xiàng)必須窮盡母項(xiàng)劃分后各個子項(xiàng)必須窮盡母項(xiàng)（不漏）。（不漏）。3.每次劃分都應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)。每次劃分都應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)。 規(guī)則規(guī)則1 1：劃分后各個子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容劃分后各個子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容（不重）。（不重）。 從集合的角度看，劃分后的子集兩兩交集均為空集。從集合的角度看，劃分后的子集兩兩交集均為空集。 例如例如：矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，它們的：矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，它們的關(guān)系如圖所示關(guān)系如圖所示 如果把平行四邊形分為矩形、菱形、正方形三類，這如果把平行

5、四邊形分為矩形、菱形、正方形三類，這其中就有三處重疊（交集不空），不符合規(guī)則其中就有三處重疊（交集不空），不符合規(guī)則1。劃分規(guī)則舉例：劃分規(guī)則舉例： 規(guī)則規(guī)則2 2：劃分后各個子項(xiàng)必須窮盡母項(xiàng)：劃分后各個子項(xiàng)必須窮盡母項(xiàng)（不漏）。（不漏）。 從集合的角度看，劃分后所有的子集的并從集合的角度看，劃分后所有的子集的并集集應(yīng)該等應(yīng)該等于是全集。于是全集。 例如例如：自然數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類。：自然數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類。 如果把自然數(shù)分為素數(shù)與合數(shù)兩類，就漏掉了自然如果把自然數(shù)分為素數(shù)與合數(shù)兩類，就漏掉了自然數(shù)數(shù)1，因?yàn)椋驗(yàn)?既不是素數(shù)也不是合數(shù)。既不是素數(shù)也不是合數(shù)。 從集合的角度看，劃分

6、后兩個的子集的并不等于全集，從集合的角度看，劃分后兩個的子集的并不等于全集，因此，這樣分類不符合規(guī)則因此，這樣分類不符合規(guī)則2。 劃分規(guī)則舉例：劃分規(guī)則舉例： 規(guī)則規(guī)則3 3：每次劃分都應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)。：每次劃分都應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)。 分類的標(biāo)準(zhǔn)直接影響到分類的結(jié)果，如果在一次分類分類的標(biāo)準(zhǔn)直接影響到分類的結(jié)果，如果在一次分類中標(biāo)準(zhǔn)是變化的，那么這個分類就失去了意義。中標(biāo)準(zhǔn)是變化的，那么這個分類就失去了意義。例如例如：三角形可以如下分類：三角形可以如下分類 銳角銳角 有兩邊相等的有兩邊相等的 直角直角 三邊都不等的三邊都不等的 鈍角鈍角 按邊分按邊分 按角分按角分 如果把三角形分為等邊三角形、等腰三角

7、形和直角三如果把三角形分為等邊三角形、等腰三角形和直角三角形，就沒有按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行劃分，不符合規(guī)則角形，就沒有按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行劃分，不符合規(guī)則3。 劃分規(guī)則舉例：劃分規(guī)則舉例：三、分類思想方法的作用三、分類思想方法的作用l可化繁就簡，化難為易?？苫本秃?，化難為易。l可使思維有序、有條理。可使思維有序、有條理。l可使思維全面、縝密?？墒顾季S全面、縝密。人教版人教版3.2解一元一次方程（一）中的例解一元一次方程（一）中的例4如下：如下：例例4 根據(jù)下面的兩種移動電話計費(fèi)方式表，考慮下根據(jù)下面的兩種移動電話計費(fèi)方式表，考慮下列問題。列問題。一個月內(nèi)在本地通話一個月內(nèi)在本地通話200分鐘和分鐘和350

8、分鐘，按方分鐘，按方式一需交費(fèi)多少元？按方式二呢？式一需交費(fèi)多少元？按方式二呢？對于某個本地通話時間，會出現(xiàn)按兩種計費(fèi)方式對于某個本地通話時間，會出現(xiàn)按兩種計費(fèi)方式一樣多嗎？一樣多嗎？引申：引申：怎樣選擇計費(fèi)的方式？怎樣選擇計費(fèi)的方式？作用舉例作用舉例: 化繁就簡，化難為易?；本秃?，化難為易。25（5分）分） 如圖，如圖，OC是是AOB的平分線，且的平分線，且AOD90（1）圖中）圖中COD的余角是的余角是 ；（2）如果）如果COD= ；求求BOD的度數(shù)的度數(shù).4524，朝陽區(qū)朝陽區(qū)0910年七上期末考試年七上期末考試作用舉例作用舉例:使思維有序、有條理使思維有序、有條理23.23.在在AB

9、CABC中，中，AB=AC,AB=AC,點(diǎn)點(diǎn)D D是直線是直線BCBC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B B、C C重合），以重合），以ADAD為一邊在為一邊在ADAD的右側(cè)作的右側(cè)作ADEADE，使，使AD=AE, AD=AE, DAE=BAC,DAE=BAC,連接連接CE.CE.(1)(1)如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)D D在線段在線段BCBC上，若上，若 BAC=90BAC=90，則，則BCEBCE等于等于 度；度；(2)(2)設(shè)設(shè)BAC=BAC=，BCE=.BCE=.如圖，若點(diǎn)如圖，若點(diǎn)D D在線段在線段BCBC上移動，則上移動，則與與之間有怎樣之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；的數(shù)量關(guān)系？請說明

10、理由；若點(diǎn)若點(diǎn)D D在直線在直線BCBC上移動，則上移動，則與與之間有怎樣的數(shù)量之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論. .(1)?E?A?B?C?D?E?B?C?A?D(2)朝陽區(qū)0910年八上期末考試作用舉例作用舉例當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)D在射線在射線BC上時，上時，+=180；當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)D在射線在射線BC的反向延長線上時，的反向延長線上時，=?E?D?A?B?C?E?A?B?C?D?B?A?E?C?D作用舉例：作用舉例：使思維全面、縝密使思維全面、縝密25.25.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1,0)(1,0)，點(diǎn)，點(diǎn)B B在在y y軸

11、正半軸上，且軸正半軸上，且AOBAOB是等腰直角三角形，點(diǎn)是等腰直角三角形，點(diǎn)C C與點(diǎn)與點(diǎn)A A關(guān)于關(guān)于y y軸對稱，過點(diǎn)軸對稱，過點(diǎn)C C的一條直線繞點(diǎn)的一條直線繞點(diǎn)C C旋轉(zhuǎn)，交旋轉(zhuǎn)，交y y軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)D D，交，交直線直線ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)P P（x,yx,y），且點(diǎn)），且點(diǎn)P P在第二象限內(nèi)在第二象限內(nèi). .(1)(1)求求B B點(diǎn)坐標(biāo)及直線點(diǎn)坐標(biāo)及直線ABAB的解析式；的解析式；(2)(2)設(shè)設(shè)BPDBPD的面積為的面積為S S，試用，試用x x表示表示BPDBPD的面積的面積S.S.xyBOA朝陽區(qū)0910年八上期末考試作用舉例作用舉例ABOxyCDP點(diǎn)點(diǎn)P在直線在直線AB上，則

12、上，則P(x，-x+1). 設(shè)過設(shè)過P、C兩點(diǎn)的直線的解析式為兩點(diǎn)的直線的解析式為y=kx+b.C(-1,0)在直線在直線y=kx+b上，上，-k+b=0.k=b, y=bx+b.點(diǎn)點(diǎn)P(x，-x+1)在直線在直線y=bx+b上，上，bx+b=-x+1,解得解得b= .點(diǎn)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（0， ）. 11xx 11xx 作用舉例作用舉例ABOxyCDPABOxyCDP點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，?)11xx 作用舉例作用舉例 (1) 確定同一分類標(biāo)準(zhǔn)；確定同一分類標(biāo)準(zhǔn)； (2) 恰當(dāng)?shù)匕褜ο笳w進(jìn)行分類，按照標(biāo)準(zhǔn)對分類做恰當(dāng)?shù)匕褜ο笳w進(jìn)行分類，按照標(biāo)準(zhǔn)對分類做到到“既不重復(fù)又不遺漏既不重復(fù)又不遺

13、漏”； (3) 逐類討論，按一定的層次討論，逐級進(jìn)行；逐類討論，按一定的層次討論，逐級進(jìn)行； (4) 綜合概括小結(jié)，歸納得出問題結(jié)論綜合概括小結(jié)，歸納得出問題結(jié)論 確定分類標(biāo)準(zhǔn)，是分類討論的重要一環(huán)。確定分類標(biāo)準(zhǔn)，是分類討論的重要一環(huán)。四、四、分類討論思想方法的步驟：分類討論思想方法的步驟：五、隱含分類思想方法的教學(xué)內(nèi)容五、隱含分類思想方法的教學(xué)內(nèi)容1、數(shù)與式、數(shù)與式有理數(shù)的分類有理數(shù)的分類相反數(shù)相反數(shù)絕對值絕對值有理數(shù)的大小比較有理數(shù)的大小比較有理數(shù)的運(yùn)算法則有理數(shù)的運(yùn)算法則（1）有理數(shù)）有理數(shù)（2）實(shí)數(shù)）實(shí)數(shù)平方根、立方根平方根、立方根無理數(shù)的形式無理數(shù)的形式（3）式）式 式的分類式的分類

14、 分式的加減分式的加減實(shí)數(shù)的分類實(shí)數(shù)的分類 二次根式的化簡二次根式的化簡五、隱含分類思想方法的教學(xué)內(nèi)容五、隱含分類思想方法的教學(xué)內(nèi)容2、方程與不等式、方程與不等式方程的分類方程的分類不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)分段函數(shù)分段函數(shù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像性質(zhì)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像性質(zhì)不等式組的解集不等式組的解集3、函數(shù)、函數(shù)一元二次方程的解一元二次方程的解五、隱含分類思想方法的教學(xué)內(nèi)容五、隱含分類思想方法的教學(xué)內(nèi)容4、圖形的認(rèn)識、圖形的認(rèn)識線的分類線的分類面的分類面的分類垂線性質(zhì)垂線性質(zhì)三角形按邊、按角的分類三角形按邊、按角的分類角的分類角的分類圖形的分類圖形的分類三線八角三

15、線八角三角形高的位置三角形高的位置三角形外心的位置三角形外心的位置三角形全等的條件三角形全等的條件等腰三角形邊和角計算等腰三角形邊和角計算勾股定理的應(yīng)用勾股定理的應(yīng)用四邊形的分類四邊形的分類弦、弧的分類弦、弧的分類與圓有關(guān)的位置關(guān)系與圓有關(guān)的位置關(guān)系圓周角定理圓周角定理五、隱含分類思想方法的教學(xué)內(nèi)容五、隱含分類思想方法的教學(xué)內(nèi)容5、圖形與變換、圖形與變換相似三角形的對應(yīng)關(guān)系相似三角形的對應(yīng)關(guān)系列舉法列舉法6、統(tǒng)計與概率、統(tǒng)計與概率六、初中階段分類思想方法教學(xué)六、初中階段分類思想方法教學(xué) ?步驟：步驟：一、抓準(zhǔn)時機(jī)，滲透分類的思想方法。一、抓準(zhǔn)時機(jī)，滲透分類的思想方法。三、深化提高，三、深化提高

16、， 應(yīng)用分類的思想方法研究問題。應(yīng)用分類的思想方法研究問題。二、啟發(fā)誘導(dǎo)，二、啟發(fā)誘導(dǎo)， 揭示分類思想方法的本質(zhì)。揭示分類思想方法的本質(zhì)。1.?在概念的學(xué)習(xí)中，滲透分類的思想。2.在法則的探究中，滲透分類的方法?。3.在圖形的求解中，滲透分類的意識。1.根據(jù)問題的需要，進(jìn)行分類。2.分類要有明確的標(biāo)準(zhǔn)。?1.根據(jù)字母的取值范圍分類?2.根據(jù)幾何圖形的位置關(guān)系分類六、初中階段分類思想方法教學(xué)六、初中階段分類思想方法教學(xué) ?策略：策略：1、根據(jù)字母的取值范圍分類、根據(jù)字母的取值范圍分類 二次根式的化簡二次根式的化簡方程的分類方程的分類不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)一元二次方程的解一元二次方程的解一次函數(shù)

17、、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像性質(zhì)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像性質(zhì)3策略舉例策略舉例4、5.6.?拋物線ya2c與y軸交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3，且過點(diǎn)（1，5）,求這個函數(shù)的解析式（y2x23或y8x23）?策略舉例策略舉例六、初中階段分類思想方法教學(xué)六、初中階段分類思想方法教學(xué) ?策略：策略：2、根據(jù)幾何圖形的位置關(guān)系分類、根據(jù)幾何圖形的位置關(guān)系分類垂線性質(zhì)垂線性質(zhì)三線八角三線八角三角形高的位置三角形高的位置三角形外心的位置三角形外心的位置三角形全等的條件三角形全等的條件等腰三角形邊和角計算等腰三角形邊和角計算勾股定理的應(yīng)用勾股定理的應(yīng)用四邊形的分類四邊形的分類與圓有關(guān)的位置關(guān)系與圓有關(guān)的

18、位置關(guān)系圓周角定理圓周角定理相似三角形的對應(yīng)關(guān)系相似三角形的對應(yīng)關(guān)系1.2.3.策略舉例策略舉例4.5.策略舉例策略舉例已知已知 O的半徑為的半徑為5cm，AB、CD是是 O的的弦，且弦，且AB=8cm，CD=6cm，ABCD，則，則AB與與CD之間的距離為之間的距離為_ （1cm或或7cm）已知已知 O1和和 O2相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)P，半徑分別為，半徑分別為1cm 和和3cm則則 O1和和 O2的圓心距為的圓心距為_ （2cm或或4cm）6.7.策略舉例策略舉例8.9.策略舉例策略舉例七、分類思想方法在新課探究中的應(yīng)用舉例七、分類思想方法在新課探究中的應(yīng)用舉例 探究三角形全等的條件探究三角形全

19、等的條件 問題問題 ：探究三角形全等的條件探究三角形全等的條件 標(biāo)準(zhǔn)：標(biāo)準(zhǔn)：1、元素個數(shù)；、元素個數(shù)；2、元素內(nèi)容、位置、元素內(nèi)容、位置 分類：分類：6大類，大類，14小類小類研究：研究：證明證明 歸納：歸納：（1）判斷兩個三角形是否全等至少）判斷兩個三角形是否全等至少 需要三個條件；（需要三個條件；（2）能夠判斷兩個）能夠判斷兩個 三角形全等的方法有：三角形全等的方法有： SSS、SAS、ASA、AAS。 八、分類思想方法在中考綜合題中的應(yīng)用舉例八、分類思想方法在中考綜合題中的應(yīng)用舉例已知關(guān)于的一元二次方程已知關(guān)于的一元二次方程 有實(shí)數(shù)根，為有實(shí)數(shù)根，為正整數(shù)正整數(shù).（1）求）求k的值；的值；（2）當(dāng)此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于）當(dāng)此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于x的二次的二次函數(shù)函數(shù) 的圖象向下平移的圖象