切線的性質(zhì)定理

1、切線的性質(zhì)定理第一頁(yè)，共48頁(yè)。復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧1.切線的判定定理切線的判定定理2.切線的判定方法：切線的判定方法：（）定義（）定義（）切線的判定定理（）切線的判定定理.( 2 ) d=r 直線與圓相切直線與圓相切已知直線過(guò)圓上一點(diǎn)：已知直線過(guò)圓上一點(diǎn)：(連半徑，證垂直）連半徑，證垂直）不明確直線是否過(guò)圓上一點(diǎn)：不明確直線是否過(guò)圓上一點(diǎn)： (作垂直，證半徑）作垂直，證半徑）經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線徑的直線是圓的切線直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切。相切。第二頁(yè)，共48頁(yè)。第三頁(yè)，共48頁(yè)。課前訓(xùn)練

2、課前訓(xùn)練1.如圖，如圖， O的半徑的半徑OAOB，點(diǎn)，點(diǎn)D在在OB的延長(zhǎng)線的延長(zhǎng)線上，連接上，連接AD交交 O于于Q，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作直線作直線PQ交交OD于點(diǎn)于點(diǎn)C，若，若CD=CQ。求證：求證：PQ是是 O的切線。的切線。第四頁(yè)，共48頁(yè)。已知：如圖，同心圓已知：如圖，同心圓O O，大圓的弦，大圓的弦 AB=CDAB=CD，且，且ABAB是小圓的切線，切點(diǎn)為是小圓的切線，切點(diǎn)為E E 求證：求證：CDCD是小圓的切線是小圓的切線第五頁(yè)，共48頁(yè)。如圖，已知如圖，已知OO中，中，ABAB是直徑，是直徑， 過(guò)過(guò)B B點(diǎn)作點(diǎn)作OO的切線的切線BCBC，連結(jié)，連結(jié)COCO若若 ADOCADOC交交O

3、O于于D D 求證：求證：CDCD是是OO的切線的切線 通過(guò)通過(guò)證明三角形全等證明三角形全等證明垂直證明垂直. . 第六頁(yè)，共48頁(yè)。如圖，AD是BAC的平分線，P為BC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PA=PD. 求證：PA與O相切.ABDCPO通過(guò)證明兩角互余，證明垂直的通過(guò)證明兩角互余，證明垂直的 第七頁(yè)，共48頁(yè)。如圖，如圖，AB=ACAB=AC，ABAB是是OO的直徑，的直徑， OO交交BCBC于于D D，DMACDMAC于于M M 求證：求證：DMDM與與OO相切相切. .通過(guò)證平行來(lái)證明垂直的通過(guò)證平行來(lái)證明垂直的 D第八頁(yè)，共48頁(yè)。如圖，已知：如圖，已知：ABAB是是 O O的直徑，點(diǎn)的直

4、徑，點(diǎn)C C 在在 O O上，且上，且CAB=30CAB=300 0，BD=OBBD=OB，D D在在 ABAB的延長(zhǎng)線上的延長(zhǎng)線上. . 求證：求證：DCDC是是 O O的切線的切線根據(jù)圓周角定理的推論根據(jù)圓周角定理的推論3 3證明垂直的證明垂直的 第九頁(yè)，共48頁(yè)。如圖，如圖，AB是是 O的直徑的直徑,CDAB， 且且OA2=ODOP. 求證：求證：PC是是 O的切線的切線.根據(jù)圓周角定理的推論根據(jù)圓周角定理的推論3 3證明垂直的證明垂直的 第十頁(yè)，共48頁(yè)。已知：如圖，已知：如圖，AC，BD與與 O切于切于 A、B，且，且ACBD，若，若COD=900. 求證：求證：CD是是 O的切線的

5、切線.根據(jù)根據(jù)綜合運(yùn)用解題第十一頁(yè)，共48頁(yè)。探索新知探索新知M假設(shè)假設(shè)L與與OA不垂直，過(guò)不垂直，過(guò)O作作OML，垂足為，垂足為M，根據(jù)，根據(jù)“垂線垂線段最短段最短”的性質(zhì)，有的性質(zhì)，有OMOA。這。這就是說(shuō)圓心到直線就是說(shuō)圓心到直線L的距離小于半的距離小于半徑，于是徑，于是L就要與就要與第十二頁(yè)，共48頁(yè)。如圖，如圖，AB為為 O的直徑，的直徑，C為為 O上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，AD和過(guò)和過(guò)C點(diǎn)點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為的切線互相垂直，垂足為D。求證：。求證：AC平分平分DAB例題選講例題選講第十三頁(yè)，共48頁(yè)。例題選講例題選講第十四頁(yè)，共48頁(yè)。隨堂訓(xùn)練隨堂訓(xùn)練第十五頁(yè)，共48頁(yè)。隨堂訓(xùn)練隨堂訓(xùn)練

6、第十六頁(yè)，共48頁(yè)。隨堂訓(xùn)練隨堂訓(xùn)練第十七頁(yè)，共48頁(yè)。拓展應(yīng)用拓展應(yīng)用第十八頁(yè)，共48頁(yè)。PABCD臺(tái)風(fēng)路臺(tái)風(fēng)路經(jīng)范圍經(jīng)范圍如圖所如圖所示示第十九頁(yè)，共48頁(yè)。、切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)。、切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)。、切線和圓心的距離等于半徑。、切線和圓心的距離等于半徑。、切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。、切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。、經(jīng)過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)。、經(jīng)過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)。、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心。、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心。6、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的直徑與切線垂直。、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的直徑與切線垂直。第二十頁(yè)，共48頁(yè)。 如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，就可推出第三

7、個(gè) (1)垂直于切線；垂直于切線； (2)過(guò)切點(diǎn)；過(guò)切點(diǎn)； (3)過(guò)圓心過(guò)圓心 推論推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn) 推論推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心第二十一頁(yè)，共48頁(yè)。 已知：已知：直線直線a與圓與圓o相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)M,直線直線b經(jīng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M且垂直于直線且垂直于直線a。 求證：求證：直線直線b經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心o 證明：假設(shè)直線b經(jīng)不過(guò)圓心o，連接OM,則OM與直線b交于點(diǎn)M,因?yàn)橹本€a與圓o相切于點(diǎn)M,所以O(shè)M直線a，又因?yàn)橹本€b直線a，所以O(shè)M直線b（平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線平

8、行），這與“OM與直線b交于點(diǎn)M”矛盾，所以，直線b經(jīng)過(guò)圓心o。即經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心.第二十二頁(yè)，共48頁(yè)。求證：如果圓的兩條切線互相平行，則連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)的線求證：如果圓的兩條切線互相平行，則連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)的線段是直徑。段是直徑。 已知：AB、CD是 O的兩條切線，E、F為切點(diǎn),且ABCD 求證：連結(jié)E、F的線段是直徑。 證明：連結(jié)EO并延長(zhǎng) AB切 O于E，OEAB，ABCD，OECD CD是 O切線，F(xiàn)為切點(diǎn)， OE必過(guò)切點(diǎn)F EF為 O直徑第二十三頁(yè)，共48頁(yè)。已知已知:AB:AB是半是半OO直徑，直徑，CDABCDAB于于D D， ECEC是切線，是切線，E E為切點(diǎn)為切點(diǎn)

9、 求證：求證：CE=CFCE=CFEBDOCFA第二十四頁(yè)，共48頁(yè)。 O。ABP過(guò)圓外一點(diǎn)可以引圓的幾條切線？過(guò)圓外一點(diǎn)可以引圓的幾條切線？第二十五頁(yè)，共48頁(yè)。在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的切線上，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的切線上，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。OPAB切線切線與與切線長(zhǎng)切線長(zhǎng)是一回事嗎？是一回事嗎？它們有什么區(qū)別與聯(lián)系它們有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？呢？ 切線切線:不可以度量。不可以度量。切線長(zhǎng)：切線長(zhǎng)：可以度量?？梢远攘?。B第二十六頁(yè)，共48頁(yè)。 OABP思考思考：已知已知 O切線切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，把圓沿著直線為切點(diǎn)，把圓沿

10、著直線OP對(duì)折對(duì)折,你能你能發(fā)現(xiàn)什么發(fā)現(xiàn)什么?12第二十七頁(yè)，共48頁(yè)。請(qǐng)證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。請(qǐng)證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。APOBPA = PBOPA=OPB證明：證明：PAPA，PBPB與與OO相切，點(diǎn)相切，點(diǎn)A A，B B是切點(diǎn)是切點(diǎn) OAPAOAPA，OBPBOBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtRtAOPRtAOPRtBOP(HL)BOP(HL) PA = PB OPA=OPB試用文字語(yǔ)言敘試用文字語(yǔ)言敘述你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)述你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論論第二十八頁(yè)，共48頁(yè)。PA、PB分別切分別切 O于于A、BPA = PBOPA=OPB 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它從圓外一點(diǎn)引圓的

11、兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。切線的夾角。 幾何語(yǔ)言幾何語(yǔ)言:反思反思：切線長(zhǎng)定理為證明：切線長(zhǎng)定理為證明線段相等線段相等、角相等角相等提供新的方法提供新的方法OPAB第二十九頁(yè)，共48頁(yè)。APOB 若連結(jié)兩切點(diǎn)若連結(jié)兩切點(diǎn)A A、B B，ABAB交交OPOP于點(diǎn)于點(diǎn)M.M.你又能得出你又能得出什么新的結(jié)論什么新的結(jié)論? ?并給出證明并給出證明. .OP垂直平分垂直平分AB證明：證明：PAPA，PBPB是是OO的切線的切線, ,點(diǎn)點(diǎn)A A，B B是切點(diǎn)是切點(diǎn) PA = PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形是

12、等腰三角形，PMPM為為頂角頂角的平分線的平分線 OP垂直平分垂直平分ABM第三十頁(yè)，共48頁(yè)。APO。B 若延長(zhǎng)若延長(zhǎng)PO交交 O于點(diǎn)于點(diǎn)C，連結(jié)，連結(jié)CA、CB，你又你又能得出什么新的結(jié)論能得出什么新的結(jié)論? ?并給出證明并給出證明. .CA=CB證明：證明：PAPA，PBPB是是OO的切線的切線, ,點(diǎn)點(diǎn)A A，B B是切點(diǎn)是切點(diǎn) PA = PB OPA=OPB PC=PCPC=PC PCA PCB AC=BCAC=BCC第三十一頁(yè)，共48頁(yè)。探究：探究：PA、PB是是 O的兩條切的兩條切線，線，A、B為切點(diǎn)，直線為切點(diǎn)，直線OP交于交于 O于點(diǎn)于點(diǎn)D、E，交，交AB于于C。BAPOCE

13、D（1）寫(xiě)出圖中所有的垂直關(guān)系）寫(xiě)出圖中所有的垂直關(guān)系OAPA，OB PB，AB OP（3）寫(xiě)出圖中所有相等的線段）寫(xiě)出圖中所有相等的線段（2）寫(xiě)出圖中與）寫(xiě)出圖中與OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPCOA=OB=OD=OE, PA=PB, AC=BC, AE=BE 第三十二頁(yè)，共48頁(yè)。已知：如圖已知：如圖,PA,PA、PBPB是是OO的切線，切點(diǎn)分別是的切線，切點(diǎn)分別是A A、B B，Q Q為為ABAB上一點(diǎn)，過(guò)上一點(diǎn)，過(guò)Q Q點(diǎn)作點(diǎn)作OO的切線，交的切線，交PAPA、PBPB于于E E、F F點(diǎn)，已知點(diǎn)，已知PA=12CMPA=12CM，求，求PEFPEF的周長(zhǎng)。的周長(zhǎng)。

14、EAQPFBO易證易證EQ=EA, FQ=FB,EQ=EA, FQ=FB, PA=PB PA=PB PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PF+FQ=PB=PAPB=PA=12cm=12cm周長(zhǎng)為24cm第三十三頁(yè)，共48頁(yè)。 變式：變式：如圖所示如圖所示PA、PB分別切分別切圓圓O于于A、B，并與圓，并與圓O的切線分別相交于的切線分別相交于C、D，已知，已知PA=7cm，(1)求求PCD的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)(2) 如果如果P=46,求求COD的度數(shù)的度數(shù)C OPBDAE第三十四頁(yè)，共48頁(yè)。和三角形各邊都相切的圓叫做和三角形各邊都相切的圓叫做三角形三角形的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形，內(nèi)切

15、圓的圓心叫做三角形的的內(nèi)心內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做，這個(gè)三角形叫做圓的外切圓的外切三角形三角形。和多邊形的各邊都相切的圓叫做和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓多邊形的內(nèi)切圓，這個(gè)多邊形叫，這個(gè)多邊形叫做做圓的外切多邊形圓的外切多邊形。第三十五頁(yè)，共48頁(yè)。在在ABC中，中，ABC=500， ACB=750，點(diǎn)，點(diǎn)O是內(nèi)心，求是內(nèi)心，求BOC的度數(shù)。的度數(shù)。第三十六頁(yè)，共48頁(yè)。例例2、如圖，四邊形、如圖，四邊形ABCDABCD的邊的邊ABAB、BCBC、CDCD、DADA和圓和圓OO分別相切于點(diǎn)分別相切于點(diǎn)L L、M M、N N、P P， 求證：求證： AD+BC=AB+CD AD+BC=

16、AB+CDDLMNABCOP證明：由切線長(zhǎng)定理得證明：由切線長(zhǎng)定理得AL=APAL=AP，LB=MB,NC=MCLB=MB,NC=MC， DN=DPDN=DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即即 AB+CD=AD+BCAB+CD=AD+BC補(bǔ)充：補(bǔ)充：圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等第三十七頁(yè)，共48頁(yè)。 第三十八頁(yè)，共48頁(yè)。BDEFOCA如圖，如圖，ABC的內(nèi)切圓的半徑為的內(nèi)切圓的半徑為r, ABC的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為l,求求ABC的面積的面積S.解：解：設(shè)設(shè)ABC的內(nèi)切圓與三邊相切于的內(nèi)切圓與三邊相

17、切于D、E、F，連結(jié)連結(jié)OA、OB、OC、OD、OE、OF，則則ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF21212121 lr設(shè)設(shè)ABC的三邊為的三邊為a、b、c，面積為，面積為S，則則ABC的內(nèi)切圓的半徑的內(nèi)切圓的半徑 r2Sabc三角形的內(nèi)切圓的有關(guān)計(jì)算三角形的內(nèi)切圓的有關(guān)計(jì)算第三十九頁(yè)，共48頁(yè)。ABCEDFO 如圖，如圖，RtABC中，中，C90,BCa,ACb, ABc, O為為RtABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓. 求：求：RtABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓的半徑的半徑 r. 解：解：設(shè)設(shè)RtABC的內(nèi)切圓與三邊相切于的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、

18、F，連結(jié)，連結(jié)OD、OE、OF則則OAAC，OEBC，OFAB。abc2設(shè)設(shè)RtABC的直角邊為的直角邊為a、b，斜邊為，斜邊為c，則，則RtABC的的內(nèi)切圓的半徑內(nèi)切圓的半徑 r 或或rabc2ababc第四十頁(yè)，共48頁(yè)。 OABCDEF OABCDE思考思考：如圖，：如圖，AB是是 O的直徑，的直徑，AD、DC、BC是切線，點(diǎn)是切線，點(diǎn)A、E、B為切點(diǎn)，若為切點(diǎn)，若BC=9，AD=4，求，求OE的長(zhǎng)的長(zhǎng).第四十一頁(yè)，共48頁(yè)。例例1 1、已知：、已知：P P為為OO外一點(diǎn)，外一點(diǎn)，PAPA、PBPB為為OO的的切線，切線，A A、B B為切點(diǎn)，為切點(diǎn)，BCBC是直徑。是直徑。 求證：求證：ACOPACOPPACBDO第四十二頁(yè)，共48頁(yè)。練習(xí)練習(xí).如圖，如圖，ABC中中,C =90 ,它的它的內(nèi)切圓內(nèi)切圓O分別與邊分別與邊AB、BC、CA相切相切于點(diǎn)于點(diǎn)D、E、F，且，且BD=1