計算電磁學結(jié)課論文

1、計算電磁學學習心得 姓名： 桑dog 學號： 班級： 聯(lián)系方式：前言計算電磁學是科技的重要領(lǐng)域它的研究涉及到應用計算機求解電磁方程它的重要性基于麥克斯韋方程唯一的可以描述小到亞原子大到天體尺度的所有物理現(xiàn)象的方程, 。而且, 麥克斯韋方程式對于結(jié)果擁有很強的預測能力: 對于一個復雜問題的麥克斯韋方程的解通常可以準確的預知實驗結(jié)果。因此, 麥克斯韋方程的解對于提高我們對復雜系統(tǒng)之物理現(xiàn)象的洞察力和設(shè)計復雜系統(tǒng)的能力均有極大幫助所以, 成功求解麥克斯韋方程式擁有廣泛的應用前景: 例如納米技術(shù), 電腦微電子電路, 電腦芯片設(shè)計, 光學, 納米光學, 微波工程, 遙感, 射電天文學, 生物醫(yī)學工程,

2、逆散射和成象等等。這篇文章的安排如下：第一章介紹了計算電磁學的重要意義以及發(fā)展狀況。第二章介紹了計算電磁學中解決問題的方法分類。第三章對主要的數(shù)值方法進行了簡介。第四章展望了計算電磁學的發(fā)展趨勢。II第1章 計算電磁學的重要性在現(xiàn)代科學研究中，“科學試驗，理論分析，高性能計算”已經(jīng)成為三種重要的研究手段Salon S J .Proceeding s of COMPUMAG Conference on the Computation of Electromagne tic Fields, Saratoga Spring , USA, July 13-17, 20032 謝德馨,唐任遠.計算電磁學

3、近年來的若干重要成果-第15屆COMPUMAG會議概述J.電工技術(shù)學報,2005,20(9):1-6.。在電磁學領(lǐng)域中，經(jīng)典電磁理論只能在11 種可分離變量坐標系中求解麥克斯韋方程組或者其退化形式，最后得到解析解。解析解的優(yōu)點在于：l 可將解答表示為己知函數(shù)的顯式，從而可計算出精確的數(shù)值結(jié)果;l 可以作為近似解和數(shù)值解的檢驗標準;l 在解析過程中和在解的顯式中可以觀察到問題的內(nèi)在聯(lián)系和各個參數(shù)對數(shù)值結(jié)果所起的作用。這種方法可以得到問題的準確解，而且效率也比較高，但是適用范圍太窄，只能求解具有規(guī)則邊界的簡單問題3 盛新慶. 計算電磁學要論第二版M. 安徽中國科學技術(shù)大學出版社2008年160-1

4、61.。當遇到不規(guī)則形狀或者任意形狀邊界問題時，則需要比較復雜的數(shù)學技巧，甚至無法求得解析解。20 世紀60 年代以來，隨著電子計算機技術(shù)的發(fā)展，一些電磁場的數(shù)值計算方法也迅速發(fā)展起來，并在實際工程問題中得到了廣泛地應用，形成了計算電磁學研究領(lǐng)域，已經(jīng)成為現(xiàn)代電磁理論研究的主流。簡而言之，計算電磁學是在電磁場與微波技術(shù)學科中發(fā)展起來的，建立在電磁場理論基礎(chǔ)上，以高性能計算機技術(shù)為工具，運用計算數(shù)學方法，專門解決復雜電磁場與微波工程問題的應用科學。相對于經(jīng)典電磁理論分析而言，應用計算電磁學來解決電磁學問題時受邊界約束大為減少，可以解決各種類型的復雜問題。原則上來講，從直流到光的寬廣頻率范圍都屬于

5、該學科的研究范圍。近幾年來,電磁場工程在以電磁能量或信息的傳輸、轉(zhuǎn)換過程為核心的強電與弱電領(lǐng)域中顯示了重要作用。4 謝德馨唐任遠王爾智白保東. 計算電磁學近年來的若干重要成果J. 電工技術(shù)學報,2003年第18卷第5期.5 洪偉. 計算電磁學研究進展J東南大學學報(自然科學版), 2002, (03) . 6 袁偉良. 時域有限差分法關(guān)鍵問題研究及其應用D. 西安電子科技大學, 2004, (01) . 第2章 計算電磁學的分類2.1 時域方法與譜域方法電磁學的數(shù)值計算方法可以分為時域方法(Time Domain或TD)和頻域方法(Frequeney Domain或FD)兩大類。時域方法對Ma

6、xwell方程按時間步進后求解有關(guān)場量。最著名的時域方法是時域有限差分法(Finite Difference Time Domain或FDTD)。這種方法通常適用于求解在外界激勵下場的瞬態(tài)變化過程。若使用脈沖激勵源，一次求解可以得到一個很寬頻帶范圍內(nèi)的響應。時域方法具有可靠的精度，更快的計算速度，并能夠真實地反應電磁現(xiàn)象的本質(zhì)，特別是在諸如短脈沖雷達目標識別、時域測量、寬帶無線電通訊等研究領(lǐng)域更是具有不可估量的作用。頻域方法是基于時諧微分、積分方程，通過對N個均勻頻率采樣值的傅立葉逆變換得到所需的脈沖響應，即研究時諧(Time Harmonic)激勵條件下經(jīng)過無限長時間后的穩(wěn)態(tài)場分布的情況，使

7、用這種方法，每次計算只能求得一個頻率點上的響應。過去這種方法被大量使用，多半是因為信號、雷達一般工作在窄帶。當要獲取復雜結(jié)構(gòu)時域超寬帶響應時，如果采用頻域方法，則需要在很大帶寬內(nèi)的不同頻率點上的進行多次計算，然后利用傅立葉變換來獲得時域響應數(shù)據(jù)，計算量較大；如果直接采用時域方法，則可以一次性獲得時域超寬帶響應數(shù)據(jù)，大大提高計算效率。特別是時域方法還能直接處理非線性媒質(zhì)和時變媒質(zhì)問題，具有很大的優(yōu)越性。時域方法使電磁場的理論與計算從處理穩(wěn)態(tài)問題發(fā)展到能夠處理瞬態(tài)問題，使人們處理電磁現(xiàn)象的范圍得到了極大的擴展。頻域方法可以分成基于射線的方法(Ray-based)和基于電流的方法(Current-b

8、ased)。前者包括幾何光學法(GO)、幾何繞射理論(GTD)和一致性繞射理論(UTD)等等。后者主要包括矩量法(MoM)和物理光學法(PO)等等?；谏渚€的方法通常用光的傳播方式來近似電磁波的行為，考慮射向平面后的反射、經(jīng)過邊緣、尖劈和曲面后的繞射。當然這些方法都是高頻近似方法，主要適用于那些目標表面光滑，其細節(jié)對于工作頻率而言可以忽略的情況。同時，它們對于近場的模擬也不夠精確。另一方面，基于電流的方法一般通過求解目標在外界激勵下的感應電流進而再求解感應電流產(chǎn)生的散射場，而真實的場為激勵場與散射場之和?；陔娏鞯姆椒ㄖ凶钪氖蔷亓糠ā＞亓糠▏栏窠⒃诜e分方程基礎(chǔ)上，在數(shù)字上是精確的。其實，

9、我們并不能判斷它是一種低頻方法或者是高頻方法，只是矩量法所需要的存儲空間和計算時間隨未知元數(shù)的快速增長阻止了其對高頻情況的應用，因而它只好被限定在低頻至中頻的應用上。物理光學法可以認為是矩量法的一種近似，它忽略了各子散射元間的相互禍合作用，這種近似對大而平滑的目標是適用的，但是目標上含有邊緣、尖劈和拐角等外形的部件時，它就失效了。當然，對于簡單形狀的物體，PO法還是一個常用的方法，畢竟，它的求解過程很迅速，并且所需的存儲空間也非常少(O(N)。2.2 積分方程法與微分方程法從求解的方程形式又可以分成積分方程法(IF)和微分方程法(DE)。IE法與DE法相比，特點如下：l IE法的求解區(qū)域維數(shù)比

10、DE法少一維，誤差僅限于求解區(qū)域的邊界，故精度高；l IE法適宜于求解無限域問題，而DE法用于無限域問題的求解時則要遇到網(wǎng)格截斷問題；l IE法產(chǎn)生的矩陣是滿的，階數(shù)小，DE法所產(chǎn)生的矩陣是稀疏的，但階數(shù)大；l IE法難處理非均勻、非線性和時變煤質(zhì)問題，而DE法則可以直接用于這類問題。因此，求解電磁場工程問題的出發(fā)點有四種方式：頻域積分方程(FDIE)、頻域微分方程(FDDE)、時域微分方程(TDDE)和時域積分方程(TDIE)。計算電磁學也可以分成基于微分方程的方法(Differential Equation)和基于積分方程的方法(Integral Equation)兩類。前者包括FDTD、

11、時域有限體積法FVTD、頻域有限差分法FDFD、有限元法FEM。在微分方程類數(shù)值方法中，其未知數(shù)理論上講應定義在整個自由空間以滿足電磁場在無限遠處的輻射條件。但是由于計算機只有有限的存貯量，人們引入了吸收邊界條件來等效無限遠處的輻射條件，使未知數(shù)局限于有限空間內(nèi)。即便如此，其所涉及的未知數(shù)數(shù)目依然龐大(相比于邊界積分方程而言)。同時，由于偏微分方程的局域性，使得場在數(shù)值網(wǎng)格的傳播過程中形成色散誤差。所研究的區(qū)域越大，色散的積累越大。數(shù)目龐大的未知數(shù)和數(shù)值耗散問題使得微分方程類方法在分析電大尺寸目標時遇到了困難。對于FEM方法，早期基于節(jié)點(Node-based)的處理方式非常有可能由于插值函數(shù)

12、的導數(shù)不滿足連續(xù)性而導致不可預知的偽解問題，使得這種在工程力學中非常成功的方法在電磁學領(lǐng)域內(nèi)無法大展身手，直到一種基于棱邊(Edge-based)的處理方式的出現(xiàn)后，這個問題才得以解決。積分方程類方法主要包括各類基于邊界積分方程(Boundary Integral Equation)與體積分方程(Volume Integral Equation)的方法。與微分類方法不同，其未知元通常定義在源區(qū)，比如對于完全導電體(金屬)未知元僅存在于表面，顯然比微分方程類方法少很多;而格林函數(shù)(Greens Function)的引入，使得電磁場在無限遠處的輻射條件己解析地包含在方程之中。場的傳播過程可由格林函

13、數(shù)精確地描述，因而不存在色散誤差的積累效應。2.3 計算電磁學常用方法匯總2.4 幾種主要方法之間的比較 這里對計算電磁學中幾種主要的數(shù)值方法進行簡單的比較，即時域有限差分法(FDTD)、有限元(FEM)、矩量法(MoM)、多極子法(MMP)、幾何光學繞射法(GTD)、物理光學繞射法(PTD)和傳輸線法(TLM)。表 21 計算電磁學中幾種主要的數(shù)值方法比較性能MoMGTD/PTDMMPFDTDFEMTLM使用求解的問題天線建模、線建模和表面結(jié)構(gòu)、導線結(jié)構(gòu)問題大電尺寸結(jié)構(gòu)的范圍的應用直接計算，不需要中間步驟可以直接求解麥克斯韋方程電的和物體幾何尺寸的特性可分開定義和處理所有的場分量可以在同一點

14、進行計算數(shù)值建模特點可以對任意結(jié)構(gòu)形狀的物體上的電流結(jié)構(gòu)建模在高頻散射問題中非常有效，例如雷達散射截面問題不需要存儲空間形狀參數(shù)可以克服FDTD中必需的階梯建?？臻g問題可用于非均勻煤質(zhì)建模和分析適于計算電磁場的區(qū)域輻射條件允許求解在輻射物體外的任何地點的E和H場滿足遠區(qū)平面波近似的空間，節(jié)省計算機資源很容易對非均勻煤質(zhì)的場問題建模適于分析復雜結(jié)構(gòu)，對內(nèi)部EM問題建模有效適于分析復雜結(jié)構(gòu)，對表面域建模很有效適于研究的問題計算天線參數(shù)、輸入阻抗、增益、雷達問題對內(nèi)部復雜煤質(zhì)問題可以有效地建模可以對非均勻煤質(zhì)問題建模比FDTD有較小的數(shù)值色散誤差數(shù)值建模中存在的問題對內(nèi)部區(qū)域建模問題困難大幾乎不提供

15、有關(guān)天線參數(shù)的信息場強以外的其它參數(shù)必須進行計算對無邊界問題需要吸收邊界條件處理對無邊界問題需要對邊界進行建模比FDTD使用更多的計算資源計算機實現(xiàn)遇到的問題在非均勻煤質(zhì)中會遇到困難，要用大量的內(nèi)部資源，所以，通常只用于低頻問題只在高頻有效，不能提供任何電流分布的情況計算密集型，占用的計算量和內(nèi)存都很大，使用者必須熟悉多極子理論計算密集型，有數(shù)值色散誤差，內(nèi)存量大計算密集型，處理開放區(qū)域內(nèi)的封閉面上的未知場點問題難帶寬受色散誤差限制，不能解圍繞散射體和需要大空間的問題計算場強以外的其它物理量的能力只能計算遠區(qū)場計算場傳播和電流分布等參數(shù)很難同F(xiàn)DTD第3章 最主要數(shù)值方法介紹3.1 有限元法3

16、.1.1 歷史有限元方法是在20 世紀40 年代被提出, 在50 年代用于飛機設(shè)計。后來這種方法得到發(fā)展并被非常廣泛地應用于結(jié)構(gòu)分析問題中。目前, 作為廣泛應用于工程和數(shù)學問題的一種通用方法, 有限元法已非常著名。3.1.2 原理有限元法是以變分原理為基礎(chǔ)的一種數(shù)值計算方法。應用變分原理, 把所要求解的邊值問題轉(zhuǎn)化為相應的變分問題, 利用對場域的剖分、插值, 離散化變分問題為普通多元函數(shù)的極值問題, 進而得到一組多元的代數(shù)方程組, 求解代數(shù)方程組就可以得到所求邊值問題的數(shù)值解。一般要經(jīng)過如下步驟:l 區(qū)域離散化。即將場域或物體分為有限個子域，如三角形、四邊形、四面體、六面體等；l 選擇插值函數(shù)

17、。選擇插值函數(shù)的類型如多項式，用結(jié)點(圖形定點)的場值求取子域各點的場的近似值。插值函數(shù)可以選擇為一階(線性)、二階(二次)、或高階多項式。盡管高階多項式的精度高，但通常得到的公式也比較復雜；l 方程組公式的建立?？梢酝ㄟ^里茲方法或者迦遼金方法建立；l 選擇合適的代數(shù)解法求解代數(shù)方程, 即可得到待求邊值問題的數(shù)值解。3.1.3 特點l 最終求解的線性代數(shù)方程組一般為正定的稀疏系數(shù)矩陣；l 特別適合處理具有復雜幾何形狀物體和邊界的問題；l 方便于處理有多種介質(zhì)和非均勻連續(xù)煤質(zhì)問題；l 便于計算機實現(xiàn)，可以做成標準化的軟件包。3.2 矩量法3.2.1 歷史矩量法是計算電磁學中最為常用的方法之一。自

18、從二十世紀六十年代Harrington提出矩量法的基本概念以來，它在理論上日臻完善，并廣泛地應用于工程之中。特別是在電磁輻射與散射及電磁兼容領(lǐng)域，矩量法更顯示出其獨特的優(yōu)越性。3.2.2 原理矩量法的基本思想是將幾何目標剖分離散，在其上定義合適的基函數(shù)，然后建立積分方程，用權(quán)函數(shù)檢驗從而產(chǎn)生一個矩陣方程，求解該矩陣方程，即可得到幾何目標上的電流分布，從而其它近遠場信息可從該電流分布求得。矩量法可以分為三個基本的求解過程：離散化過程在這一過程中的主要目的是在于將算子方程化為代數(shù)方程。針對算子方程中算子的定義域適當?shù)剡x擇一組線性無關(guān)的基函數(shù)(或稱為展開函數(shù))，將未知函數(shù)在算子的定義域內(nèi)展開為基函數(shù)

19、的線性組合，并且取有限項近似，即：再將此式代入到算子方程中，利用算子的線性性質(zhì)，將算子方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，即于是，求解未知函數(shù)的問題就轉(zhuǎn)化為求解系數(shù)的問題。取樣檢驗過程為了使未知函數(shù)的近似函數(shù)與之間的誤差極小，必須進行取樣檢驗，在抽樣點上使加權(quán)平均誤差為零，從而確定未知系數(shù)。在算子的值域內(nèi)適當選擇一組線性無關(guān)的權(quán)函數(shù)(又稱為檢驗函數(shù))，將其與上述代數(shù)方程取內(nèi)積進行抽樣檢驗，即。利用算子的線性和內(nèi)積性質(zhì)，將其化為矩陣方程，得到于是求解代數(shù)方程的問題就轉(zhuǎn)化為求解矩陣方程的問題。矩陣的求逆過程一旦得到了矩陣方程，通過常規(guī)的矩陣求逆或求解線性方程組，就可以得到矩陣方程的解，從而確定展開系數(shù)，得到原算子

20、方程的解。3.2.3 特點l 矩量法是基于電磁場積分方程的數(shù)值方法，積分方程的主要優(yōu)點在于，一方面由于格林函數(shù)的引入，電磁場在無限遠處的輻射條件已經(jīng)解析的包含在積分方程之中，這樣未知量之間的關(guān)系可以準確的得到，避免數(shù)值色散；另一方面，它產(chǎn)生的未知數(shù)的數(shù)目一般都比微分類方程少很多，比較適用于計算電大尺寸的電磁散射。l 它是一種精確方法，其結(jié)果精度僅僅受到計算精度和計算模型精度的限制，因此它可以實現(xiàn)任意需要精度下的計算和求解； l 它是一種穩(wěn)定的計算方法，在整個矩量法的求解過程中，不易出現(xiàn)類似于其它計算方法計算過程中出現(xiàn)的“偽解”問題，同時它所得到的矩陣條件數(shù)好，求解、求逆容易；l 對于金屬表面，

21、矩量法可以利用邊界條件，直接簡化計算，從而導出金屬表面的積分方程，而其它方法則往往要完全計算整個實體的場分布，這就體現(xiàn)出矩量法在分析金屬表面問題時的優(yōu)越性。l 由于矩量法的全局性，矩量法所產(chǎn)生的矩陣為稠密矩陣，這樣經(jīng)典矩量法的數(shù)據(jù)存儲量和計算復雜度都很高。因此快速算法的研究成為矩量法應用研究中的一個熱點；題。3.3 時域有限差分算法3.3.1 歷史從Yee 于1966 年在解決電磁散射問題中時候提出最初思想到現(xiàn)在，時域有限差分算法已經(jīng)經(jīng)過了近四十年的發(fā)展。在此期間，人們不斷提出新的思想和方法來克服時域有限差分算法的以上缺點。例如，在時間步進算法上，除了傳統(tǒng)的Leap-Frog算法，還發(fā)展了線性

22、多步時間步進算法如Staggered Backward differentiation time integrator 和staggered Adams-Bashforth time integrator 、單步時間步進算法如Runge-Kutta 算法和Symplectic integrator propagator、偽譜算法如采用Laguerre多項式、交替方向隱式時間步進算法，等等；在空間離散上，除了傳統(tǒng)的基于Taylor級數(shù)展開定理的中心對稱有限差分格式，還發(fā)展了Discrete Singular Convolution (DSC)格式、Nonstandard finite diffe

23、rence、基于窗函數(shù)法的中心對稱有限差分格式、最優(yōu)有限差分格式、FFT，等等。至此，時域有限差分算法已經(jīng)形成了龐大的一個算法族。3.3.2 原理時域有限差分(FDTD) 是電磁場的一種時域計算方法。傳統(tǒng)上電磁場的計算主要是在頻域上進行的, 這些年以來, 時域計算方法也越來越受到重視。它已在很多方面顯示出獨特的優(yōu)越性, 尤其是在解決有關(guān)非均勻介質(zhì)、任意形狀和復雜結(jié)構(gòu)的散射體以及輻射系統(tǒng)的電磁問題中更加突出。FDTD 法直接求解依賴時間變量的麥克斯韋旋度方程, 利用二階精度的中心差分近似把旋度方程中的微分算符直接轉(zhuǎn)換為差分形式, 這樣達到在一定體積內(nèi)和一段時間上對連續(xù)電磁場的數(shù)據(jù)取樣壓縮。電場和

24、磁場分量在空間被交叉放置, 這樣保證在介質(zhì)邊界處切向場分量的連續(xù)條件自然得到滿足。在笛卡兒坐標系電場和磁場分量在網(wǎng)格單元中的位置是每一磁場分量由4 個電場分量包圍著, 反之亦然。這種電磁場的空間放置方法符合法拉第定律和安培定律的自然幾何結(jié)構(gòu)。因此FDTD 算法是計算機在數(shù)據(jù)存儲空間中對連續(xù)的實際電磁波的傳播過程在時間進程上進行數(shù)字模擬。而在每一個網(wǎng)格點上各場分量的新值均僅依賴于該點在同一時間步的值及在該點周圍鄰近點其他場前半個時間步的值。這正是電磁場的感應原理。這些關(guān)系構(gòu)成FDTD 法的基本算式, 通過逐個時間步對模擬區(qū)域各網(wǎng)格點的計算, 在執(zhí)行到適當?shù)臅r間步數(shù)后, 即可獲得所需要的結(jié)果。3.

25、3.3 特點直接時域計算。FDTD直接把含時間變量的Maxwell旋度方程在Yee氏網(wǎng)格空間中轉(zhuǎn)換為差分方程。在這種差分格式中每個網(wǎng)格點上的電場(或磁場)分量僅與它相鄰的磁場(或電場)分量及上一時間步該點的場值有關(guān)。在每一時間步計算網(wǎng)格空間各點的電場和磁場分量，隨著時間步的推進，即能直接模擬電磁波及其與物體的相互作用過程。FDTD把各類問題都作為初值問題來處理，使電磁波的時域特性被直接反映出來。這一特點使它能直接給出非常豐富的電磁場問題的時域信息，給復雜的物理過程描繪出清晰的物理圖像。如果需要頻域信息，則只需對時域信息進行Fouricr變換。為獲得寬頻帶的信息，只需在寬頻譜的脈沖激勵下進行一次

26、計算。廣泛的適用性。由于FDTD的直接出發(fā)點是概括電磁場普遍規(guī)律的Maxwell方程，這就預示著這一方法具有最廣泛的適用性。近幾年的發(fā)展完全證實了這點。從具體的算法看，在FDTD的差分式中被模擬空間電磁性質(zhì)的參量是按空間網(wǎng)格給出的，因此，只需設(shè)定相應空間點以適應參數(shù)，就可模擬各種復雜的電磁結(jié)構(gòu)。媒質(zhì)的非均勻性、各向異性、色散特性和非線性等能很容易地進行精確模擬。由于在網(wǎng)格空間中電場和磁場分量是被交叉放置的，而且計算用差分代替了微商，使得介質(zhì)交界面上的邊界條件能自然得到滿足，這就為模擬復雜的結(jié)提供了極大的方便，任何問題只要能正確地對源和結(jié)構(gòu)進行模擬，F(xiàn)DTD就應該給出正確解答，不管是散射、輻射、傳輸、透入或吸收中的哪一種，也不論是瞬態(tài)問題還是穩(wěn)態(tài)問節(jié)約計算機的存儲空間和計算時間。很多復雜的電磁場問題不能計算往往不是沒有可選用的方法，而是計算條件的限制。當代電子計算機的發(fā)展方向是運用并行處理技術(shù)，以進一步提高計算速度。并行計算機的發(fā)展推動了數(shù)值計算中并行處理的研究，適合并行計算的發(fā)展將更多地發(fā)揮作用。如前面所指出的，F(xiàn)D