河北工業(yè)大學線性代數(shù)考試試題紙

1、1、2、3、河北工業(yè)大學考試試題紙(A卷)題號一二三四五六七八九總分題分151532141410100課程名稱線性代數(shù)備注：、填空題(每小題學生不得在試題紙上答題(含填空題、選擇題等客觀題)3分，共15分)已知組的通解為0111101111011110且adbc2,則A1=2是三元齊次線性方程組Ax0的兩個不同的解，且R(A)2,則該方程4、已知向量組1(1,0,0)T,2(1,0,1)T,3(1,2,0)T4(1,3,1)，則R(4)5、設三階方陣A與對角陣diag(1,1,3)相似,2E、單項選擇題1、設1,2,(每小題3分，共15分)n是n維列向量，且1，2,n1,1,2,n2、3、4、

2、5、(A)1(B)0(C)2(D)2n設A(A)1(A)(C)二次型2,2,|代|1/2,(B)23是向量空間2X1A100A2，則A1(D)4(C)1/2R3的一個基，則下列仍是R3的一個基的是(3,22,23,21,2,24x24x3t2(B)2txX23(B)(D)12,23,312,2123,2x1X34x2X3是正定二次型，Mt應滿足(A)設A為n階方陣，A為A的伴隨矩陣，且R(A)2t0(C)0t1(D)n2,則A的秩為(A)n1(CH(DIO三、計算題（每小題8分,共332分)1121、已知Aj是行列式D52103121的兀i、a,j1,2,3,4）的代數(shù)余子式,計算A13求：a

3、為何值時，方程組有唯一解、在方程組有無窮多個解時，用其對應的齊次線性方程組的基礎解系表示其通解。2五、（14分）已知頭二次型f（Xi,X2）5xi4xiX2A2325312、設A010111,101B125103,求矩陣X，使具滿足XAXB;3、設A為n階方陣，且|A2,計算A11偵A)3；4、設1(1,2,0)丁，2(1,a2,3a)T5(1,b2,a2b)T,(1,3,3)T,求：a、b為何值時,能由1,2,3線性表小，且表小唯-,并求出表小式。四、（14分）已知線性方程組A33；無解、有無窮多個解;2X22,(D寫出f的矩陣A;(2)求f的秩;(3)求正交變換XPY（必須寫出正交變換矩陣

4、P）,把f化為標準形。六、證明題1、（6分）（共10分）設1,2,3,4是齊次線性方程組AX1,2,3,0的一個基礎解系，證明：123,234,ax1X2X3aXiax2X32XiX2ax321,34也是該方程組的一個基礎解系；2、（4分）設A為2n1階方陣，且AAtE,A0,證明:0。河北工業(yè)大學教務處試題標準答案及評分標準用紙課程名稱:線性代數(shù)（A卷）3、k（12）,kR;4、3;5、3.一、填空題（每小題3分，共15分）二、選擇題（每小題3分，共15分）1、C2、A3、B4三、解答題（每小題8分，共32分）131125132A|33A23A33201125012ca（3分）、D5、D0（

5、8分）2分）由XAXB（EA）XB1101110120因（EA,B）10120-01111102530033310031c/O01020（OR）00111所以31X=2011（8分）*11AAA12A1,（2分）所A*（匕）12A13A3.（4分）分）5A16分）5n5n1=5一2（8（2分）1，2，311111111解法一:（A,）2a2b23-0ab103aa2b303aa2b3X11X22X33-11110ab1（4分）00ab0故當a0且ba時，方程組有唯一解，即能由1,2,3線性表示,且表不'式唯-（6分）10011a此時（A,）0101a0010（11一）a11a2-（8分

6、）11a2b2a(ab)3aa2b故當a0且b能由1,2,3線性表示，且表示式(1(8分)(2分)11111111此時，（A,）2a2b230ab103aa2b303aa2b311110ab100ab0a時，方程組（1）有唯一解，即唯一；（4分）10011a0101a(4分)001012a四（14分）、a11a11a3系數(shù)矩陣為A1a1，增廣矩陣為B1a12,11a11a211a2（1)解法一B0a11a001a1a23a311a201aa10(4分）00(1a)(a2)3a3當a1且a2時，R（B）R（A）3,方程組有唯一解;1122當a2時，B-0330,R(B)3,R(A)2,方程組無解

7、；00091112當a1時，B0000,R(B)R(A)13,方程組有無窮多0000解。(7分)解法a11A1a1(a2)(a1)2,11a(4分)所以原方程組的通解為xC11c22C1,C2為任意常當a1且a2時，A0,R(A)3R(B),方程組有唯一解;當a2時，B21112111252210013023020,R(B)3,R(A)2,方程組無解；當a1時，B1111112210110020R(B)R(A)13,方程111組有解。(7分)(2)在方程組有無窮多個解時，方程20無得同解方程組組00x0窮X2多X32,取X2特X30,個得原解*2,0,0T;.(9分)在X1X2X3中取TX2,

8、X3T1,0,0,1T,得原方程組對應齊次線性方程組的基礎解系為11,1,0T,2T1,0,1;(12分)*數(shù)。(14分)注：此題基礎解系有很多種表示形式，改卷時需注意。142分)(2)1040R(A)22；3分)1)(6)，的特征值為16分)P21時，解方程（A1,2)T;6時，解方程(2,1)T;1,2(AE)x4A6E=26E)x1由A6E=得基礎解系P1,得基礎解系1<512分)則有正交陣P1_2方把和正交變換2_1_55xPy,把f化為標準形fy；6y22.(14分)注：此題基礎解系有很多種表示形式，故正交陣P有多種形式，改卷時需注意。六、證明題1、（6分）證法一：由其次線性方

9、程組解的性質(zhì)知4，3341，434都是Ax0的解;2分)則有AK,1,2,3,4),A(101011001111011110,所以K可逆,10100110001100013,R(K)4,所以K可逆，從而R(B)R(A).又因為1,4是Ax0的一個基礎解系，故它們線性無關(guān),R(A)4,于是R(B)4,解向量組2，3,4線性無關(guān)，故是該方程組的個基礎解系。6分)證法二:由其次線性方程組解的性質(zhì)知3341解；設k11k22k33(k1k3)1(k1k2)2因為1,2,3,4是Axk1k30k1k20k2k31k40kk2k3k40k440,則有Ax02分)(k1k2k3k4)3(k2k30的一個基礎解系，它們線性無關(guān),1010110011110111其系數(shù)行列式為1,方程組有唯一零解k1k4)4故有0,k2k3k40,所以解