“等時(shí)圓”模型的基本規(guī)律及應(yīng)用

1、圖2“等時(shí)圓”模型的基本規(guī)律及應(yīng)用（此文章已發(fā)表于考試雜志）前段時(shí)間在網(wǎng)上發(fā)了一個(gè)帖子“等時(shí)圓規(guī)律有哪些應(yīng)用"，居然有同志認(rèn)為是“等勢(shì)圓”吧。而在物理教學(xué)中，借助各種模型，把抽象問(wèn)題具體化，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，能使得物理問(wèn)題便于理解和接受?；诖宋覍?duì)“等時(shí)圓”規(guī)律和應(yīng)用闡述如下：一、何謂“等時(shí)圓”如圖1所示，ad、bd、cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，d點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套有一個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫(huà)出），三個(gè)滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0）,用ti、t2、t3依次表示各，t環(huán)到達(dá)d所用的時(shí)間,則（）<t2<t3>

2、;t2>t3>t1>t2=t2=t3解析：選任一桿上的環(huán)為研究對(duì)象，受力分析并建立坐標(biāo)如圖所示,設(shè)圓半徑為R,由牛頓第二定律得，mgcosma再由幾何關(guān)系，細(xì)桿長(zhǎng)度L2Rcos1設(shè)下滑時(shí)間為t,則L'at22由以上三式得，t2R可見(jiàn)下滑時(shí)間與細(xì)桿傾角無(wú)關(guān)，所以.gD正確。由此題我們可以得出一個(gè)結(jié)論。結(jié)論：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點(diǎn)的時(shí)間相等。推論：若將圖1倒置成圖2的形式，同樣可以證明物體從最高點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿不同的光滑細(xì)桿到圓周上各點(diǎn)所用的時(shí)間相等。象這樣的豎直圓我們簡(jiǎn)稱(chēng)為“等時(shí)圓”。關(guān)于它在解題中的應(yīng)用，我們看下面的例子:、“等時(shí)

3、圓”的應(yīng)用1、可直接觀察出的“等時(shí)圓”例1:如圖3,通過(guò)空間任一點(diǎn)A可作無(wú)限多個(gè)斜面，若將若干個(gè)小物體從點(diǎn)A分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下，那么在同一時(shí)刻這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是A.球面B.拋物面C.水平面D.無(wú)法確定解析：由“等時(shí)圓”可知，同一時(shí)刻這些小物體應(yīng)在同一“等時(shí)圓”上，所以A正確。例2:如圖4,位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓軌道與水平面相切于M直，與豎直墻相切于點(diǎn)A,豎直墻上另一點(diǎn)B與M勺連線(xiàn)和水平面的夾角為600,C是圓環(huán)軌道白圓心，D是圓環(huán)上與Mg得很近的一點(diǎn)（DMI小于CM。已知在同一時(shí)刻：a、b兩球分別由A、B兩點(diǎn)從靜止開(kāi)始沿光滑傾斜直軌道運(yùn)動(dòng)到M嵐；c球由C點(diǎn)

4、自由下落到M嵐；d球從D點(diǎn)靜止出發(fā)沿圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到 M直。則：（A、a球最先到達(dá)M點(diǎn)、b球最先到達(dá)M點(diǎn)C c球最先到達(dá)M點(diǎn)、d球最先到達(dá)M點(diǎn)解析:設(shè)圓軌道半徑為R,“等時(shí)圓”理論，ta= 4R=2 R ,g . gt b> t a;爐故自由落體運(yùn)動(dòng)tc= J空；而d球滾下是一個(gè)單擺模型,g擺長(zhǎng)為4 2g,所以C正確。CA、B處于等時(shí)圓周上，且 P點(diǎn)處于等時(shí)圓的最低點(diǎn)時(shí),2、運(yùn)用等效、類(lèi)比自建“等時(shí)圓”例3:如圖5所示，在同一豎直線(xiàn)上有A、B兩點(diǎn)，相距為h,B點(diǎn)離地高度為H,現(xiàn)在要在地面上尋找一點(diǎn)巳使彳導(dǎo)從A、B兩點(diǎn)分另向點(diǎn)P安放的光滑木板，滿(mǎn)足物體從靜止開(kāi)始分別由A和B沿木板下滑到P點(diǎn)的時(shí)間

5、相等，求O、P兩點(diǎn)之間的距離OP。解析：由“等時(shí)圓”特征可知，當(dāng)即能滿(mǎn)足題設(shè)要求。如圖6所示，此時(shí)等時(shí)圓的半徑為:-hR01PH一2所以O(shè)pr2(h)2JH(Hh)例4:如圖7,AB是一傾角為。的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚(yáng)，在P與AB輸送帶間建立管道（假使光滑），使原料從p處以最短的時(shí)間到達(dá)輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為多大解析：借助“等時(shí)圓”，可以過(guò)P點(diǎn)的豎直線(xiàn)為半徑作圓，要求該圓與輸送帶AB相切,如圖所示，C為切點(diǎn)，。為圓心。顯然，沿著PC弦建立管道，原料從P處到達(dá)C點(diǎn)處的時(shí)間與沿其他弦到達(dá)“等時(shí)圓”的圓周上所用時(shí)間相等。因而，要使原料從P處到達(dá)輸送帶上所用時(shí)間最短，需

6、沿著PC建立管道。由幾彳S關(guān)系可得：PC與豎直方向間的夾角等于。三、“形似質(zhì)異”問(wèn)題的區(qū)分1、還是如圖1的圓周，如果各條軌道不光滑，它們的摩擦因數(shù)均為小小滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0）到達(dá)圓環(huán)底部的時(shí)間還等不等解析：bd的長(zhǎng)為2Rcos。，bd面上物體下滑的加速度為a=gcos0-gsin0,4Rcosgsinggtan?？梢?jiàn)t與。有關(guān)。cO,其下端都固定于底部2、如圖9,圓柱體的倉(cāng)庫(kù)內(nèi)有三塊長(zhǎng)度不同的滑板a。b。300、450、600。若有三個(gè)圓心0,而上端則擱在倉(cāng)庫(kù)側(cè)壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為小孩同時(shí)從a、b、c處開(kāi)始下滑（忽略阻力），則（Aa處小孩最先到O點(diǎn)B、b處小孩最先到O點(diǎn)Cc處小孩最先到。點(diǎn)D、a、c處小孩同時(shí)到。點(diǎn)解析：三塊滑塊雖然都從同一圓柱面上下滑，但a、b、c