“等時圓”模型的基本規(guī)律及應用

1、圖2“等時圓”模型的基本規(guī)律及應用（此文章已發(fā)表于考試雜志）前段時間在網(wǎng)上發(fā)了一個帖子“等時圓規(guī)律有哪些應用"，居然有同志認為是“等勢圓”吧。而在物理教學中，借助各種模型，把抽象問題具體化，把復雜問題簡單化，能使得物理問題便于理解和接受。基于此我對“等時圓”規(guī)律和應用闡述如下：一、何謂“等時圓”如圖1所示，ad、bd、cd是豎直面內三根固定的光滑細桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為最低點。每根桿上都套有一個小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0）,用ti、t2、t3依次表示各，t環(huán)到達d所用的時間,則（）<t2<t3>

2、;t2>t3>t1>t2=t2=t3解析：選任一桿上的環(huán)為研究對象，受力分析并建立坐標如圖所示,設圓半徑為R,由牛頓第二定律得，mgcosma再由幾何關系，細桿長度L2Rcos1設下滑時間為t,則L'at22由以上三式得，t2R可見下滑時間與細桿傾角無關，所以.gD正確。由此題我們可以得出一個結論。結論：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達圓周最低點的時間相等。推論：若將圖1倒置成圖2的形式，同樣可以證明物體從最高點由靜止開始沿不同的光滑細桿到圓周上各點所用的時間相等。象這樣的豎直圓我們簡稱為“等時圓”。關于它在解題中的應用，我們看下面的例子:、“等時

3、圓”的應用1、可直接觀察出的“等時圓”例1:如圖3,通過空間任一點A可作無限多個斜面，若將若干個小物體從點A分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時滑下，那么在同一時刻這些小物體所在位置所構成的面是A.球面B.拋物面C.水平面D.無法確定解析：由“等時圓”可知，同一時刻這些小物體應在同一“等時圓”上，所以A正確。例2:如圖4,位于豎直平面內的固定光滑圓軌道與水平面相切于M直，與豎直墻相切于點A,豎直墻上另一點B與M勺連線和水平面的夾角為600,C是圓環(huán)軌道白圓心，D是圓環(huán)上與Mg得很近的一點（DMI小于CM。已知在同一時刻：a、b兩球分別由A、B兩點從靜止開始沿光滑傾斜直軌道運動到M嵐；c球由C點

4、自由下落到M嵐；d球從D點靜止出發(fā)沿圓環(huán)運動到 M直。則：（A、a球最先到達M點、b球最先到達M點C c球最先到達M點、d球最先到達M點解析:設圓軌道半徑為R,“等時圓”理論，ta= 4R=2 R ,g . gt b> t a;爐故自由落體運動tc= J空；而d球滾下是一個單擺模型,g擺長為4 2g,所以C正確。CA、B處于等時圓周上，且 P點處于等時圓的最低點時,2、運用等效、類比自建“等時圓”例3:如圖5所示，在同一豎直線上有A、B兩點，相距為h,B點離地高度為H,現(xiàn)在要在地面上尋找一點巳使彳導從A、B兩點分另向點P安放的光滑木板，滿足物體從靜止開始分別由A和B沿木板下滑到P點的時間

5、相等，求O、P兩點之間的距離OP。解析：由“等時圓”特征可知，當即能滿足題設要求。如圖6所示，此時等時圓的半徑為:-hR01PH一2所以Opr2(h)2JH(Hh)例4:如圖7,AB是一傾角為。的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚，在P與AB輸送帶間建立管道（假使光滑），使原料從p處以最短的時間到達輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應為多大解析：借助“等時圓”，可以過P點的豎直線為半徑作圓，要求該圓與輸送帶AB相切,如圖所示，C為切點，。為圓心。顯然，沿著PC弦建立管道，原料從P處到達C點處的時間與沿其他弦到達“等時圓”的圓周上所用時間相等。因而，要使原料從P處到達輸送帶上所用時間最短，需

6、沿著PC建立管道。由幾彳S關系可得：PC與豎直方向間的夾角等于。三、“形似質異”問題的區(qū)分1、還是如圖1的圓周，如果各條軌道不光滑，它們的摩擦因數(shù)均為小小滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0）到達圓環(huán)底部的時間還等不等解析：bd的長為2Rcos。，bd面上物體下滑的加速度為a=gcos0-gsin0,4Rcosgsinggtan?？梢妕與。有關。cO,其下端都固定于底部2、如圖9,圓柱體的倉庫內有三塊長度不同的滑板a。b。300、450、600。若有三個圓心0,而上端則擱在倉庫側壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為小孩同時從a、b、c處開始下滑（忽略阻力），則（Aa處小孩最先到O點B、b處小孩最先到O點Cc處小孩最先到。點D、a、c處小孩同時到。點解析：三塊滑塊雖然都從同一圓柱面上下滑，但a、b、c