北大附中高考數(shù)學專題復習導數(shù)與微分經(jīng)點答疑(四)

1、學科：數(shù)學教學內(nèi)容：導數(shù)與微分經(jīng)點答疑四11什么是高階導數(shù)？我們知道函數(shù)的導數(shù)是而導數(shù)仍是可導的，它的導數(shù)是這種導數(shù)的導數(shù)就稱為對y對x的二階導數(shù)一般地我們有：函數(shù)yfx的導數(shù)仍是x的函數(shù)，假設函數(shù)的導數(shù)存在，那么稱的導數(shù)為yfx的二階導數(shù)記作相應地，把yfx的導數(shù)叫作函數(shù)yfx的一階導數(shù)同樣，假設二階導數(shù)的導數(shù)存在，那么稱其導數(shù)為yfx的三階導數(shù)記作一般地，假設n1階導數(shù)的導數(shù)存在，那么稱其導數(shù)為yfx的n階導數(shù)記作這里的n稱為導數(shù)的階數(shù)二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)假設yfx具有n階導數(shù)，也常說成函數(shù)fx為n階可導由以上高階導數(shù)的定義可以看出，要求n階導數(shù)，需要求出n1階導數(shù)，要求n1

2、階導數(shù)，需要求出n2階導數(shù)，要求二階導數(shù)，需要求出一階導數(shù)，因此要求高階導數(shù)，只需要進行一連串通常求導數(shù)的運算即可例1 求n次多項式的各階導數(shù)思路啟迪 首先求出fx的一階、二階、三階等階數(shù)較低的n階導數(shù)，從中找出導數(shù)與導數(shù)階數(shù)的關(guān)系可見，每經(jīng)一次求導運算，多項式的次數(shù)就降低一次繼續(xù)求導下去，易知：是一個常數(shù)，由此有即n次多項式的一切階數(shù)高于n的導數(shù)都等于零思路啟迪 要證明這個等式成立，而在此等式的左邊含有，只要能正確求y對x的兩階導數(shù)，將y及代入等式左邊并驗證其為零即可標準證法例4 求ysinx的n階導數(shù)思路啟迪 求sinx的n階導數(shù)的關(guān)鍵是找出n階導數(shù)與導數(shù)的階數(shù)的關(guān)系，為此我們可以先求出較

3、低n階導數(shù)，從中歸納出導數(shù)與導數(shù)的階數(shù)的關(guān)系即可12怎樣求隱函數(shù)的導數(shù)？前面所討論的函數(shù)求導方法，函數(shù)都是因變量y已經(jīng)寫成自變量x的明顯表達式y(tǒng)fx的形式，這樣的函數(shù)稱為顯函數(shù)但有時我們所遇到的函數(shù)關(guān)系不是明顯地用顯函數(shù)形式表示的情形如方程2x5y10及它們都表示x、y之間的函數(shù)關(guān)系一般地我們把由方程Fx，y0表示的因變量y自變量x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)fx稱為隱函數(shù)對于隱函數(shù)，有時可以根據(jù)確定隱函數(shù)關(guān)系的方程找出顯函數(shù)形式y(tǒng)fx，從而可利用前面的求導方法把它的導數(shù)找出來，但有時要把這個隱函數(shù)表示成顯函數(shù)的形式是比擬復雜的，有時甚至是不可能的，這時要利用前面的方法求導數(shù)就比擬困難，甚至不可能，因此，我

4、們有必要尋求隱函數(shù)的求導方法實際上，對于隱函數(shù)我們不需要把它表示成顯函數(shù)的形式，就可以把它的導數(shù)求出來方法是：將確定隱函數(shù)的方程的兩端同時對x求導注意到y(tǒng)表示x的函數(shù)，求導過程中，遇到變量y，把y看中間變量，先對y求導，再乘以y對x的導數(shù)即遇到變量y要利用復合函數(shù)的求導法那么這樣，我們可以得到一個關(guān)于的一元一次方程，解出即可思路啟迪 由于y是x的函數(shù)，可將y寫成x的函數(shù)的形式y(tǒng)x，那么可寫成思路啟迪 由于方程所確定的是y為x的函數(shù)，可將y寫成x的形式y(tǒng)x，那么該方程可寫成于是由隱函數(shù)的求導法那么得標準解法 將方程兩端對x求導，并利用函數(shù)的求導法那么得13什么是對數(shù)求導法？它主要適用于哪些類型函

5、數(shù)的求導？對數(shù)求導法是將函數(shù)yfx兩端取絕對值由于求導之后絕對值同時去掉，因此常把取絕對值這一步省略，認為fx為正值，即lnfx有意義然后再兩端取對數(shù)取自然對數(shù)，它的導數(shù)形式比擬簡單這時我們就把它化成隱函數(shù)，然后再求出它的導數(shù)這種把顯函數(shù)取對數(shù)化成隱函數(shù)再求導的方法稱為對數(shù)求導法它常用于由假設干因式的積、商或根式組成的函數(shù)和冪指函數(shù)的求導運算對數(shù)求導法的優(yōu)點是：它把積變成和，把商變成差，把冪指變成積易知，和差的求導運算要比乘、商的求導運算簡單具體步驟如下：1兩端取絕對值常略去之后，再取自然對數(shù)2等式兩端分別對自變量求導舉例如下思路啟迪 在前面我們利用恒等式求出了該函數(shù)的導數(shù)，在此我們將利用隱函

6、數(shù)求導法求它的導數(shù)這里可將等式兩端取對數(shù)首先把它變成隱函數(shù)，再利用隱函數(shù)求導法標準解法 兩端取對數(shù)lnygxlnfx，兩端對x求導思路啟迪 該函數(shù)是由兩個函數(shù)的商構(gòu)成，而商的分子和分母都是由三個函數(shù)的積所構(gòu)成，假設直接利用商與積的求導法那么就比擬麻煩，但假設借助于兩端取對數(shù)，再利用隱函數(shù)的求導方法就比擬簡單標準解法 兩端取對數(shù)lnylnx1lnx2lnx3lnx4lnx5lnx6,兩端對x求導14怎樣利用導數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性？我們知道，如果函數(shù)fx在區(qū)間a，b內(nèi)是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么我們就說函數(shù)fx在區(qū)間a，b具有單調(diào)性，區(qū)間a，b稱為fx的單調(diào)區(qū)間那么怎樣利用導數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性呢？設函數(shù)

7、fx在a，b可導，那么曲線yfx處處有切線如圖3-4，曲線上每點的切線與x軸正向的夾角是銳角，即這時函數(shù)在a，b是增函數(shù)如圖3-5曲線上每點的切線與x軸正向的夾角為鈍角，即此時函數(shù)fx在a，b是減函數(shù)一般地，設函數(shù)yfx在區(qū)間I內(nèi)可導，如果對任意的點xI，有那么fx在I內(nèi)是增函數(shù)，假設對于任意的點xI，有那么fx在I內(nèi)為減函數(shù)思路啟迪 利用導數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性，首先要求函數(shù)的導數(shù)，然后確定導數(shù)在哪些范圍內(nèi)是正值，哪些范圍內(nèi)是負值，從而確定出函數(shù)的增減區(qū)間即當x，13，時，fx是增函數(shù)即當x1，3時，fx是減函數(shù)圖3-6即當x，0時，fx是增函數(shù)即當x0，時fx是減函數(shù)如圖3-7分析上面的例題，當

8、x<1或x>3時，單調(diào)增加，當1<x<3時，fx單調(diào)減少，而當x1或x3時，當x<0時單調(diào)增加；當x>0時，fx單調(diào)減少，而當x0時，這說明使點x可能是fx單調(diào)增加與單調(diào)減少的分界點因此討論可導函數(shù)的單調(diào)性，我們也可以按照以下步驟去作：即求出fx的導數(shù)，解出使的點，用這些點將fx的定義域分成假設干個區(qū)間，然后在各個區(qū)間上判別的符號，從而可得fx在各個區(qū)間上的單調(diào)性后兩步可用一個表格來完成列表由上表可知：fx在1與1，上是單調(diào)增加的；在1，1上是單調(diào)減少的15怎樣利用導數(shù)求可導函數(shù)的極值？函數(shù)在點O附近的任意點x，都有即函數(shù)在點O的值要比它附近的任意點的函數(shù)值

9、都要小如圖3-8，這時，我們稱函數(shù)在點O取極小值而函數(shù)在點O附近的任意點x，都有，即函數(shù)在點O的值要比它附近的每一點的函數(shù)值都要大如圖3-9，這時，我們就說在點O取極大值一般地，設函數(shù)fx在點附近內(nèi)有定義，假設對點附近的每一點x，都有，我們就稱它為fx在點取極大值，是fx在點處的極大值，記作稱為函數(shù)fx的極大值點如果對點附近的所有點x，都有，我們就稱函數(shù)fx在點取極小值，是fx在點處的極小值，記作稱為函數(shù)fx的極小值點極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點函數(shù)的導數(shù)是，在點O的值是0，即在點O的左側(cè)，即當x<0時，有導數(shù)；在點O的右側(cè)，即當x>0時，導數(shù)函數(shù)在點O

10、取極小值函數(shù)的導數(shù)是在點O的左側(cè)，即當x<0時，有導數(shù)；在點O的右側(cè)，即當時，有導數(shù)函數(shù)在點O取極大值一般地，當函數(shù)fx在點的附近可導時，我們判別函數(shù)fx在點處取極大小值的方法是：1假設在點的左側(cè)，右側(cè)那么是極小值2假設在點的左側(cè)，右側(cè)那么是極大值從上面的討論，我們可以看到，假設fx在點可導，且在點取極值，那么有，即可導的極值點滿足但是滿足的點不一定是極值點，如，在O點處的值，但O不是fx的極值點一般地，我們求函數(shù)極值的步驟是：判別函數(shù)fx的導數(shù)在每個根兩側(cè)的符號，并根據(jù)的符號確定fx在是否取極值思路啟迪 求出并令得其根等，用將函數(shù)的定義域分成假設干個區(qū)間，在每個區(qū)間上用的符號列出y的增

11、減性所以，當x1時，有極小值；當x1時，有極大值列表16怎樣利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值？對于實際問題該怎樣解決？在生產(chǎn)實踐和工程技術(shù)中，常常遇到這樣一類問題：在一定條件下，怎樣使“產(chǎn)品最多、“收益最大、“用料最省、“本錢最低和“效率最高等問題，這類問題在數(shù)學上有時可歸納為求某函數(shù)的最大值或最小值問題如圖311，在閉區(qū)間a，b上，對于a，b，都有fxfb，fb就稱為fx在a，b上的最小值；對于a，b，有就稱為fx在a，b上的最大值一般地，設fx在區(qū)間I上有定義，假設存在點，使對每一點xa，b都有，那么稱fx在I上有最大值，記為M，即；假設存在點，使對每一點xa，b都有，那么稱函數(shù)f

12、x在I上有最小值，記為m即一般地，假設yfx在a，b上連續(xù)，那么fx在a，b上必有最大值與最小值但函數(shù)yfx在開區(qū)間a，b內(nèi)連續(xù)，那么不一定有最大值與最小值如在0，內(nèi)連續(xù)，但fx在0，內(nèi)沒有最大值與最小值從圖311可以看出，假設函數(shù)的最小值在區(qū)間a，b的內(nèi)部間取得，那么必在極小值點取得；假設函數(shù)的最大值在區(qū)間a，b的內(nèi)部取得，那么必在極大值點取得最大值與最小值也可能在端點取得，而在極值的討論中，我們可以看出，對于可導函數(shù)來說，極值點可能在使的點x處取得因此，對于可導函數(shù)來說，它的最大值與最小值假設在區(qū)間的內(nèi)部取得，只可能在使得的點取得根據(jù)以上分析，假設fx在a，b上連續(xù)且可導，那么求fx在a，b上的最大值與最小值的步驟為：2將fa,fb，進行比擬，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值思路啟迪 因為所給函數(shù)在3，4上可導，所以，只需把的點與端點的值比擬而可得出比擬可得，函數(shù)fx在x4取得它在3，4上的最大值f4142；在x1取得它在3，4上的最小值f17對于一個實際問題而言，如果在a，b內(nèi)部的根只有一個，而從實際含義分析知在a，b內(nèi)一定有最大值或最小值存在那么一般來說，就是所要求的最大值或最小值例2 一木材有直