第六章關(guān)于鞅方法定價(jià)

1、第六章 鞅方法定價(jià)在上一章的二項(xiàng)樹(shù)模型下，我們證明了，當(dāng)完備市場(chǎng)中不成在套利機(jī)會(huì)時(shí)，市場(chǎng)存在唯一概率等價(jià)鞅測(cè)度可以 用來(lái)給期權(quán)和期貨定價(jià)。在這一章，我們先在二項(xiàng)樹(shù)模型下詳細(xì)解釋等價(jià)鞅測(cè)度的含義。接著，我們討論一般結(jié)果。我們將證明，這個(gè)結(jié)果在比二項(xiàng)樹(shù)模型更復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中也成立。在許多背景下，我們并不需要利用市場(chǎng)均衡來(lái)給衍生資產(chǎn)定價(jià)，而是利用套利定價(jià)原理來(lái)進(jìn)行定價(jià)如果證券市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)，則衍生證券的價(jià)格完全由別的長(zhǎng)期證券的價(jià)格過(guò)程來(lái)決定。在這個(gè)定價(jià)的過(guò)程中，我們通常把一個(gè)長(zhǎng)期證券集的價(jià)格過(guò)程視為給定而來(lái)進(jìn)行定價(jià)。這樣就自然產(chǎn)生一個(gè)問(wèn)題：如何確定被我們視為給定的價(jià)格過(guò)程不存在套利機(jī)會(huì)？?jī)r(jià)格過(guò)程

2、不存在套利機(jī)會(huì)的充分必要條件是，通過(guò)變換概率測(cè)度和對(duì)價(jià)格過(guò)程進(jìn)行某種正規(guī)化之后，這些價(jià)格過(guò)程是鞅過(guò)程。無(wú)套利和鞅過(guò)程之間的這種特殊關(guān)系也可以直接用來(lái)對(duì)衍生證券進(jìn)行定價(jià)。作為一個(gè)應(yīng)用，我們將用這種方法來(lái)對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，得到期權(quán)定價(jià)的一種新的方法。1二項(xiàng)樹(shù)模型中的等價(jià)鞅測(cè)度在二項(xiàng)樹(shù)模型中模型圖1一期二項(xiàng)式生成過(guò)程這里=股票在時(shí)間的價(jià)格=股票價(jià)格上漲的概率=一期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率=股票價(jià)格上漲的乘子=股票價(jià)格下跌的乘子在每一期末，股票價(jià)格或者以概率漲為，或者以概率跌為。 每期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為。對(duì)的限制為，這是無(wú)套利條件。直觀地可以看出，無(wú)論是（這時(shí)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率總比股票的風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)率高）還是（這時(shí)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率總

3、比股票的風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)率低），都存在套利機(jī)會(huì)。等價(jià)鞅測(cè)度的含義：等價(jià)的含義：當(dāng)實(shí)際的概率為正時(shí)，也為正。條件期望直觀解釋?zhuān)涸谀撤N條件下的期望值。例子：用密度函數(shù)來(lái)刻畫(huà)例子：在二項(xiàng)樹(shù)下的條件期望鞅的含義：即，和均是鞅過(guò)程。 等價(jià)鞅測(cè)度存在性：定義，則 從的定義可以看出，無(wú)套利條件成立當(dāng)且僅當(dāng)大于0而小于1（即，是概率）。等價(jià)鞅測(cè)度唯一性：上面定義的是使得下式成立（即股票和期權(quán)價(jià)格的折現(xiàn)值是鞅）的唯一概率。（Martingales are associated with “fair” gambles because expected values always equal current values.

4、 In finance, this sense of fairness translates into prices and a pricing system with no arbitrage opportunities.）性質(zhì)：在一個(gè)二項(xiàng)樹(shù)模型中，股票和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券之間不存在套利機(jī)會(huì)的充分必要條件是存在唯一的等價(jià)鞅測(cè)度。證明：例子：無(wú)套利驗(yàn)證例子：期貨合約的無(wú)套利定價(jià)例子：不完備市場(chǎng)的等價(jià)鞅測(cè)度不唯一。注：(1) The importance of this proportion to option pricing cannot be overstated. It takes an econ

5、omic notion of no arbitrage opportunities and transforms it into a mathematical notion of a martingale. As a mathematical notion, theorems can be proven, formulas derived, and computations performed, which would be impossible using the economic notion alone.(2) 推廣：利率衍生產(chǎn)品，利率是隨機(jī)的，以商品為標(biāo)的物的衍生產(chǎn)品，外匯衍生產(chǎn)品。2

6、一般經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)2.1 不確定性經(jīng)濟(jì)環(huán)境我們考慮一個(gè)具有唯一易腐消費(fèi)品的證券市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)。如果沒(méi)有特別地強(qiáng)調(diào)，我們用表示不確定經(jīng)濟(jì)環(huán)境中具有有限狀態(tài)的狀態(tài)空間，用F=表示信息結(jié)構(gòu)，對(duì)任意。和第一章一樣，我們假設(shè)到時(shí)間，投資者就完全知道真實(shí)的狀態(tài)且Ø,。證券市場(chǎng)具有+1種長(zhǎng)期證券，以作為指標(biāo)。長(zhǎng)期證券的特征由其紅利過(guò)程來(lái)刻畫(huà)，這里表示以消費(fèi)品為單位，在時(shí)間支付的隨機(jī)紅利。紅利過(guò)程適應(yīng)于F。為使得分析簡(jiǎn)化，我們不妨假設(shè)第0種長(zhǎng)期證券直到時(shí)間才支付紅利，在時(shí)間，不管哪個(gè)狀態(tài)發(fā)生，支付的紅利均為一個(gè)單位的消費(fèi)品。從這個(gè)假設(shè)我們可以看出，第0種證券事實(shí)上是一種期的面值為1的折現(xiàn)債券。第0種證券在時(shí)間的

7、價(jià)格以表示，；而第（）種證券在時(shí)間的分紅后價(jià)格以表示。因?yàn)閮r(jià)格過(guò)程是分紅后的價(jià)格，所以有。自然地，我們假設(shè)和是關(guān)于可測(cè)的。因?yàn)樵诮?jīng)濟(jì)均衡中能夠確定的只是證券的相對(duì)價(jià)格，所以不失一般性，我們假設(shè)長(zhǎng)期證券的價(jià)格以唯一的消費(fèi)品為單位，即消費(fèi)品的價(jià)格為1。經(jīng)濟(jì)中有個(gè)個(gè)體，以作為指標(biāo)。每個(gè)個(gè)體具有時(shí)間可加的效用函數(shù)，這些函數(shù)是單調(diào)增的、嚴(yán)格凹的、可微的。我們假設(shè)，這個(gè)假設(shè)保證所有個(gè)體都選擇嚴(yán)格正的消費(fèi)。我們假設(shè)個(gè)體的主觀概率為，并且任意不確定狀態(tài)的概率大于0。我們假設(shè)個(gè)體擁有的稟賦是長(zhǎng)期證券，份額為，表示個(gè)體在時(shí)間0擁有的第0種證券的份數(shù)。表示個(gè)體在時(shí)間0擁有的第種證券的份數(shù)。為了避免退化情形，我們假設(shè)

8、對(duì)每個(gè)個(gè)體而言，³0，³0且存在某個(gè)使得>0。定義1：一個(gè)交易策略是一個(gè)維過(guò)程,這里，和分別表示個(gè)體在時(shí)間的交易發(fā)生前，持有的從時(shí)間-1到時(shí)間的第0種證券和第證券的份數(shù)。一個(gè)交易過(guò)程一定是一個(gè)可料過(guò)程。我們引入記號(hào)定義2：一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃是一個(gè)適應(yīng)于F的過(guò)程：，這里表示以唯一消費(fèi)品為計(jì)量單位，個(gè)體在時(shí)間的隨機(jī)消費(fèi)。定義3：一個(gè)交易策略稱(chēng)為可行的，如果它是可料的且存在一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃使得，對(duì)于任意有 ， （2-1）這里，。我們用H表示所有的可行的策略形成地集合。注：1. 關(guān)系（2-1）是一種自然的預(yù)算約束：在期收入（包括證券組合的市場(chǎng)值和紅利）用于消費(fèi)和下一期的投資（購(gòu)買(mǎi)下一期

9、的證券組合）。2. 因?yàn)?，且?duì)所有的而言，所以（2-1）的左邊為0，從而（2-1）變成+即在期末，所有的財(cái)富都用于消費(fèi)。3. 在（1-24）中的消費(fèi)計(jì)劃稱(chēng)為是由交易策略融資的，以來(lái)表示。我們用C表示所有由可行交易策略融資的消費(fèi)計(jì)劃的集合。4. 因?yàn)橐粋€(gè)長(zhǎng)期證券是由它在每個(gè)時(shí)間的紅利來(lái)刻畫(huà)地，所以我們可以把由可行交易策略融資地消費(fèi)計(jì)劃視為長(zhǎng)期證券。2.2 套利、狀態(tài)價(jià)格和鞅正如我們?cè)谇把灾刑岬降囊粯?，本章的主要目的之一在于，給定價(jià)格系統(tǒng)，如何確定其余衍生資產(chǎn)的價(jià)格。因此，我們第一步就是驗(yàn)證這個(gè)價(jià)格系統(tǒng)是否具有某種意義上的“合理性”，以及為了滿(mǎn)足這種合理性該價(jià)格系統(tǒng)應(yīng)該滿(mǎn)足的條件。因?yàn)閷?duì)合理性的要

10、求越弱，這種合理性的應(yīng)用也就越強(qiáng)，所以我們下面給出價(jià)格系統(tǒng)為了具有某種合理性應(yīng)該滿(mǎn)足的條件，并使得這個(gè)條件盡可能地弱。從最理想的角度出發(fā)，這個(gè)價(jià)格系統(tǒng)具有的合理性也應(yīng)該是一個(gè)均衡價(jià)格系統(tǒng)應(yīng)該具有的。因?yàn)榻?jīng)濟(jì)中的個(gè)體具有非滿(mǎn)足性，所以要使得一個(gè)價(jià)格系統(tǒng)是均衡的，這個(gè)價(jià)格系統(tǒng)就不能存在套利機(jī)會(huì)。因此我們把這個(gè)均衡價(jià)格系統(tǒng)具有的性質(zhì)作為價(jià)格系統(tǒng)必須滿(mǎn)足的合理性。下面給出目前經(jīng)濟(jì)環(huán)境中套利機(jī)會(huì)的嚴(yán)格定義。定義3：一個(gè)套利機(jī)會(huì)指的是由某個(gè)可行交易策略融資的消費(fèi)計(jì)劃，滿(mǎn)足下列條件：1是非負(fù)的，且至少存在某個(gè)時(shí)間，使得>0的概率嚴(yán)格為正。2直觀上來(lái)說(shuō)，一個(gè)套利機(jī)會(huì)就是不花錢(qián)就能進(jìn)行消費(fèi)。一個(gè)價(jià)格系統(tǒng)如

11、果具有套利機(jī)會(huì)就不可能是一個(gè)均衡的價(jià)格系統(tǒng)，因?yàn)槊總€(gè)非滿(mǎn)足的個(gè)體都會(huì)利用這種套利機(jī)會(huì)，從而市場(chǎng)不可能是出清的。在本節(jié)剩下的內(nèi)容里，我們?nèi)喂潭硞€(gè)個(gè)體的主觀概率，所有的計(jì)算都在這個(gè)概率之下得到的，為了記號(hào)簡(jiǎn)單，我們簡(jiǎn)記為。當(dāng)證券市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)時(shí)，任意一種長(zhǎng)期證券的價(jià)格過(guò)程和它的積累紅利，如果以第0種證券為單位，具有如下的性質(zhì)：在任意時(shí)間，它們?cè)趯?lái)任意時(shí)間的和的條件期望等于它們?cè)跁r(shí)間的和。這里的期望是某個(gè)概率下期望，這個(gè)概率不必等同于個(gè)體的主觀概率，但和個(gè)體的主觀概率有某種等價(jià)性。等價(jià)地，長(zhǎng)期證券的價(jià)格和它的積累紅利之和，以第0種證券為單位，在一個(gè)新的概率之下是一個(gè)鞅過(guò)程。因?yàn)闊o(wú)套利條件是一

12、個(gè)經(jīng)濟(jì)均衡的必要條件，所以每個(gè)均衡價(jià)格系統(tǒng)都具有這種鞅性質(zhì)。我們可以證明這種鞅性質(zhì)也是價(jià)格系統(tǒng)不具有套利機(jī)會(huì)的充分條件。在具體討論這些性質(zhì)之前，我們先給出鞅的定義。定義4：一個(gè)過(guò)程是一個(gè)在概率之下適應(yīng)于F的鞅，如果對(duì)任意有，這里表示在概率之下關(guān)于的條件期望。如果C中 兩個(gè)消費(fèi)計(jì)劃，分別是由H中的可行策略和融資地，則對(duì)于任意常數(shù)a和b，消費(fèi)計(jì)劃a+b可由策略融資，從而策略是可行的，而a+b屬于C，所以C是所有適應(yīng)過(guò)程形成的空間L的線性子空間。性質(zhì)1：價(jià)格系統(tǒng)無(wú)套利當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)嚴(yán)格增的線性函數(shù)R´L®R，使得對(duì)任意 C有。證明：我們?cè)O(shè)R+´L+=，M= C ，由于

13、C是線性空間，所以M也是線性空間。從而價(jià)格系統(tǒng)無(wú)套利當(dāng)且僅當(dāng)錐R+´L+與線性子空間M的交集是空集。由分離超平面定理，存在一個(gè)非零的線性函數(shù)使得，對(duì)任意 M和任意非零的 R+´L+有。因?yàn)镸是線性空間，所以對(duì)任意 M有，因此對(duì)任意非零的 R+´L+有，這說(shuō)明是嚴(yán)格增的。反過(guò)來(lái)，如果存在由某個(gè)可行交易策略融資的套利機(jī)會(huì)，則對(duì)任意 C有，這導(dǎo)致矛盾。下面的結(jié)果給出了在空間R´L上的線性函數(shù)的Riesz表示定理。引理：對(duì)于每個(gè)線性函數(shù)R´L®R，存在唯一的Î R´L，使得對(duì)任意Î R´L有。如果是嚴(yán)格

14、增的，則是嚴(yán)格正的。為了研究方便，我們把任何嚴(yán)格正的適應(yīng)過(guò)程稱(chēng)為緊縮算子。一個(gè)緊縮算子稱(chēng)為狀態(tài)-價(jià)格緊縮算子，如果對(duì)任意有 （2-2） （2-3）當(dāng)時(shí)，（2-2）的左、右兩邊均為0。我們能夠證明一個(gè)緊縮算子為狀態(tài)-價(jià)格緊縮算子當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意交易策略有 （2-4）這說(shuō)明一個(gè)交易策略在任何時(shí)間的市場(chǎng)值等于由它產(chǎn)生地將來(lái)消費(fèi)的狀態(tài)價(jià)格期望折現(xiàn)值。價(jià)格系統(tǒng)的收益過(guò)程定義為；0，1。給定一個(gè)緊縮算子，緊縮收益過(guò)程為；0，1。我們可以把這種緊縮過(guò)程當(dāng)作是一種計(jì)量單位變換。我們可以證明是狀態(tài)-價(jià)格緊縮算子當(dāng)且僅當(dāng)狀態(tài)-價(jià)格緊縮收益過(guò)程是一個(gè)鞅。定理1：價(jià)格系統(tǒng)不存在套利機(jī)會(huì)當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)狀態(tài)-價(jià)格緊縮算子

15、。證明：假設(shè)不存在套利機(jī)會(huì)，則有性質(zhì)1知道，存在一個(gè)嚴(yán)格增的線性函數(shù)R´L®R，使得對(duì)任意 C有。再由前面的引理有，存在一個(gè)緊縮算子使得對(duì)任意Î R´L有。從而對(duì)任意策略有0。我們證明（2-2）、（2-3），或者等價(jià)地，我們證明是一個(gè)鞅。顯然是一個(gè)鞅。我們下面考慮風(fēng)險(xiǎn)證券。一個(gè)隨機(jī)過(guò)程是鞅當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意有限停時(shí)有。對(duì)于任意第種風(fēng)險(xiǎn)證券和任意有限停時(shí)，考慮交易策略：；如果，則；如果，則=1，如果，則=0。因?yàn)閷?duì)任意策略有0。所以0。這說(shuō)明第種風(fēng)險(xiǎn)證券的緊縮收益過(guò)程滿(mǎn)足。因?yàn)槭侨我獾?，所以是一個(gè)鞅。因此是一個(gè)鞅。這證明了無(wú)套利隱含著存在一個(gè)狀態(tài)-價(jià)格緊縮算

16、子。反過(guò)來(lái)是顯然的。如果一個(gè)證券的價(jià)格僅僅是這種證券的紅利的期望折現(xiàn)值，則無(wú)論從計(jì)算方面還是從概念方面而言，都會(huì)得到大大地簡(jiǎn)化。當(dāng)然，在一個(gè)具有風(fēng)險(xiǎn)厭惡者的市場(chǎng)中，這一般是不可能的。但是，通過(guò)調(diào)整原有的概率測(cè)度，我們能夠接近這種刻畫(huà)證券價(jià)格的方法。下面我們引入等價(jià)鞅測(cè)度的概念。定義5：給定價(jià)格系統(tǒng)，我們稱(chēng)概率測(cè)度等價(jià)于原概率測(cè)度，如果對(duì)于而言的所有零概率事件，對(duì)于而言也具有相同的零概率；一個(gè)等價(jià)概率測(cè)度稱(chēng)為等價(jià)鞅測(cè)度，如果對(duì)于任意下式滿(mǎn)足， （2-5）這里，表示在概率測(cè)度下的條件期望。直觀上說(shuō)，如果以第0種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券為計(jì)量單位，則在概率測(cè)度下，所有證券（顯然也包括第0種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券）的價(jià)格是鞅過(guò)

17、程。我們很容易證明，是一個(gè)等價(jià)鞅測(cè)度當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意交易策略有：對(duì)于任意。 （2-6）由定義的緊縮算子g定義了折現(xiàn)收益過(guò)程。術(shù)語(yǔ)“等價(jià)鞅測(cè)度”中“鞅”來(lái)源于下列的等價(jià)性。引理：一個(gè)等價(jià)于的概率測(cè)度是關(guān)于價(jià)格系統(tǒng)的等價(jià)鞅測(cè)度當(dāng)且僅當(dāng)折現(xiàn)收益過(guò)程對(duì)于概率測(cè)度而言是一個(gè)鞅。 我們下面證明價(jià)格系統(tǒng)無(wú)套利和存在等價(jià)鞅測(cè)度之間的等價(jià)性。由定理1我們知道，無(wú)套利等價(jià)于存在狀態(tài)-價(jià)格緊縮算子。設(shè)是由Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)定義的概率測(cè)度，即滿(mǎn)足，對(duì)于任意的隨機(jī)變量有。因?yàn)槭菄?yán)格正的，所以和等價(jià)。關(guān)于的密度過(guò)程定義為。從而對(duì)于任意時(shí)間和，任意的可測(cè)的隨機(jī)變量有. (2-7)（見(jiàn)Karatzas and S

18、hreve 1992, P193, Lemma 5.3）。固定任意時(shí)間，考慮交易策略：當(dāng)時(shí)，。由（2-4）我們有。 （2-8）由（2-7）和（2-8）以及狀態(tài)-價(jià)格緊縮算子的定義，我們得到（2-5）。所以我們證明了下面的定理。定理2：價(jià)格系統(tǒng)無(wú)套利當(dāng)且僅當(dāng)存在等價(jià)鞅測(cè)度。而且是狀態(tài)-價(jià)格緊縮算子當(dāng)且僅當(dāng)?shù)葍r(jià)鞅測(cè)度具有密度過(guò)程，由定義。我們已經(jīng)證明了等價(jià)鞅測(cè)度的存在性。下面的性質(zhì)給出了等價(jià)鞅測(cè)度的唯一性。性質(zhì)2：假設(shè)且市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)，則市場(chǎng)是完備的當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一的等價(jià)鞅測(cè)度。證明：假設(shè)市場(chǎng)是完備的。設(shè)、是兩個(gè)等價(jià)鞅測(cè)度。我們必須證明=。設(shè)是任意事件。因?yàn)槭袌?chǎng)是完備的，所以存在交易策略使得其

19、消費(fèi)過(guò)程滿(mǎn)足，當(dāng)0時(shí)，。由（2-6）我們有。因?yàn)槭侨我馐录?，所以我們證明了=。反過(guò)來(lái)，假設(shè)存在唯一的等價(jià)鞅測(cè)度。設(shè)LH市場(chǎng)是完備的當(dāng)且僅當(dāng)I=J。由定理2我們知道，存在唯一的等價(jià)鞅測(cè)度當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一的狀態(tài)-價(jià)格緊縮算子，使得=1。假設(shè)。因?yàn)镮是J的線性子空間，所以在J中存在某個(gè)非零的y，在下訴意義下垂直于I：對(duì)任意有。設(shè) L定義為：對(duì)任意，這里的e>0充分小使得是嚴(yán)格正的。定義新的狀態(tài)-價(jià)格緊縮算子：，則由定理1的證明知道是一個(gè)不同于的狀態(tài)-價(jià)格緊縮算子，且滿(mǎn)足=1。這導(dǎo)致矛盾。所以，如果存在唯一的狀態(tài)-價(jià)格緊縮算子，使得=1，則市場(chǎng)必須是完備的。這種資產(chǎn)定價(jià)的鞅方法簡(jiǎn)化了很多看起來(lái)非

20、常復(fù)雜的資產(chǎn)定價(jià)問(wèn)題，例如美式期權(quán)的定價(jià)。鞅方法還可以在比這里更一般的環(huán)境中得到廣泛地應(yīng)用，例如，這里假設(shè)存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的債券只是為了研究的方便，我們可以以任意一種證券為計(jì)量單位來(lái)計(jì)算所有證券的價(jià)格及其積累紅利的折現(xiàn)值。2.3 狀態(tài)-價(jià)格和等價(jià)鞅測(cè)度的顯示表示在上一節(jié)，我們證明了價(jià)格系統(tǒng)無(wú)套利當(dāng)且僅當(dāng)存在等價(jià)鞅測(cè)度和狀態(tài)-價(jià)格緊縮算子。這是關(guān)于等價(jià)鞅測(cè)度和狀態(tài)-價(jià)格緊縮算子的存在性問(wèn)題。但在實(shí)際應(yīng)用中，僅僅知道存在性并不能解決問(wèn)題，我們還必須能夠顯示地表示等價(jià)鞅測(cè)度和狀態(tài)-價(jià)格緊縮算子。在這一章中，我們利用個(gè)體的效用函數(shù)來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。另外，在我們上面證明等價(jià)鞅測(cè)度的存在性時(shí)，我們?nèi)〉脑怕蕿槿我?/p>

21、一個(gè)個(gè)體的主觀概率，那么，當(dāng)我們?nèi)〉脑饔^概率不同時(shí)，是否會(huì)得到不同的等價(jià)鞅測(cè)度，從而對(duì)同一衍生證券而言，不同的個(gè)體是否會(huì)有不同的價(jià)格？我們會(huì)看到，盡管個(gè)體的原主觀概率不同，但當(dāng)市場(chǎng)是完備時(shí)，他們得到的等價(jià)鞅測(cè)度卻相同，從而對(duì)同一衍生證券而言，不同的個(gè)體會(huì)得到相同的價(jià)格。至于市場(chǎng)不是完備的情形，我們將在第八章中討論。給定價(jià)格系統(tǒng)，經(jīng)濟(jì)中個(gè)體解決如下的最優(yōu)化問(wèn)題：受約束于 （2-9）是由融資的這里表示在概率之下的期望。因?yàn)闋顟B(tài)數(shù)目是有限的且個(gè)體只選擇非負(fù)的消費(fèi)計(jì)劃，所以我們可以證明價(jià)格系統(tǒng)無(wú)套利當(dāng)且僅當(dāng)最優(yōu)化問(wèn)題（2-9）的解存在。定理3：價(jià)格系統(tǒng)無(wú)套利當(dāng)且僅當(dāng)最優(yōu)化問(wèn)題（2-9）的解存在。證明

22、：我們以H表示初始成本為的可行策略構(gòu)成的集合。定義集合Y=H。即，Y表示由稟賦出發(fā)的可行策略融資的消費(fèi)集合，顯然YÍ乘積空間。定義算子：®。如果在乘積空間上定義范數(shù)：對(duì)于任意xÎ, ，則是一個(gè)完備的度量空間。而算子是上的連續(xù)函數(shù)。當(dāng)價(jià)格系統(tǒng)無(wú)套利時(shí)，Y有上界，顯然Y有下界。從而在Y上有最大值，即最優(yōu)化問(wèn)題（2-9）的解存在。反過(guò)來(lái)，當(dāng)最優(yōu)化問(wèn)題（2-9）的解存在時(shí)，顯然不能存在套利機(jī)會(huì)。假設(shè)最優(yōu)化問(wèn)題（2-9）的解為。設(shè)由融資的消費(fèi)計(jì)劃為。由第一章的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法我們得到，對(duì)任意有（2-10）因?yàn)樵跁r(shí)間是已知的，（2-10）可以表示成（2-11）我們對(duì)（2-11）可

23、以作如下的解釋?zhuān)鹤筮吺窃跁r(shí)間少消費(fèi)一份證券的邊際效用，右邊是在時(shí)間+1多一份證券帶來(lái)的邊際效用。在最優(yōu)消費(fèi)路徑上，左右應(yīng)該相等。注：由狀態(tài)-價(jià)格緊縮算子的定義（2-2），我們知道邊際效用函數(shù)就是狀態(tài)-價(jià)格緊縮算子。折現(xiàn)債券的價(jià)格也滿(mǎn)足類(lèi)似（2-10）的關(guān)系，在任意時(shí)間有。重復(fù)疊代上述關(guān)系，我們得到，對(duì)任意有。（2-12）由（2-11）、（2-12）我們可以看出，在任意主觀概率之下，長(zhǎng)期證券的價(jià)格過(guò)程一般來(lái)說(shuō)不是鞅。使得價(jià)格過(guò)程加上積累紅利在某個(gè)主觀概率之下是鞅的一個(gè)充分條件是，該個(gè)體是風(fēng)險(xiǎn)中性的，且沒(méi)有時(shí)間偏好。這時(shí)對(duì)于任意，=常數(shù)因此（2-11）、（2-12）變成，對(duì)于任意時(shí)間（2-13），

24、（2-14）這里表示在概率之下的條件期望。由（2-14）知利率為零。定義證券的積累紅利為：對(duì)任意在（2-13）兩邊同加上得到重復(fù)疊代上述關(guān)系，我們得到，對(duì)任意有。（2-15）從而在概率之下，價(jià)格過(guò)程加上積累紅利之和是鞅。當(dāng)沒(méi)有個(gè)體是風(fēng)險(xiǎn)中性者時(shí)，通過(guò)正規(guī)化和變換概率測(cè)度，長(zhǎng)期證券的價(jià)格加上紅利仍舊與鞅有關(guān)。正規(guī)化使得以某種長(zhǎng)期證券為單位的利率為零，而變換概率測(cè)度包容了風(fēng)險(xiǎn)回避。這是我們下面將要討論的內(nèi)容。我們首先定義折現(xiàn)價(jià)格系統(tǒng)和積累紅利過(guò)程如果，；，這里。是嚴(yán)格正的，否則就存在套利機(jī)會(huì)，例如在為零的時(shí)候買(mǎi)進(jìn)債券，一直持有到時(shí)間。所以上述的定義有意義。其次，我們定義新的概率測(cè)度如下對(duì)任意的，。

25、（2-16）注：5我們注意這個(gè)定義只不過(guò)是定理1的一個(gè)應(yīng)用。 6當(dāng)市場(chǎng)是完備的時(shí)候，最優(yōu)化問(wèn)題（2-9）可以變成第一章的最優(yōu)化問(wèn)題（1-9），從而最優(yōu)性一階條件變成（1-7）。由于（1-7）獨(dú)立于個(gè)體，所以由（2-16）知道，定義的新概率測(cè)度對(duì)所有個(gè)體均相同。從而這與性質(zhì)2一致。下面我們證明是一個(gè)定義在上的概率。我們必須證明：（1）對(duì)任意的有；（2）。因?yàn)檫呺H效用是嚴(yán)格正的，且，所以第一條是顯然的。其次， = =1，這里的第三個(gè)等式來(lái)源于（2-12）。下面我們證明在概率下，是鞅，即是等價(jià)鞅測(cè)度。首先我們給出當(dāng)時(shí)，給定，在概率下事件的條件概率 如果（2-17）類(lèi)似地，我們定義給定，在概率之下事件

26、的條件概率。當(dāng)時(shí)，我們有 =，（2-18）這里表示個(gè)體在時(shí)間當(dāng)事件發(fā)生時(shí)的最優(yōu)消費(fèi)，表示在概率之下事件發(fā)生的概率。由（2-12）我們知道當(dāng)時(shí)，（2-19）這里表示在時(shí)間當(dāng)事件發(fā)生時(shí)的債券價(jià)格。把（2-19）代入（2-18）我們有。（2-20）我們把（2-20）代入（2-10）得到，對(duì)所有 ，（2-21）這里表示在概率之下的條件期望。重新改寫(xiě)（2-21）我們得到。（2-22）我們比較（2-13）和（2-22）可以看出，這兩個(gè)式子具有相同的形式，只不過(guò)前者以消費(fèi)品為單位，期望在概率之下取得，而后者以折現(xiàn)債券為單位，期望在之下取得。采用由（2-13）得到（2-15）的方法，我們可以由（2-22）得到

27、，對(duì)于任意的有 。（2-23）我們證明了在概率下，是鞅。至于折現(xiàn)債券，在之下顯然為鞅。到此為此，我們證明了是等價(jià)鞅測(cè)度。注：7. 雖然我們只是利用某個(gè)個(gè)體的主觀概率和他的邊際效用來(lái)構(gòu)造等價(jià)鞅測(cè)度，但在這個(gè)等價(jià)鞅測(cè)度之下，對(duì)所有的個(gè)體而言，正規(guī)化的價(jià)格過(guò)程和正規(guī)化的紅利過(guò)程之和為鞅。 2.4 無(wú)套利和存在等價(jià)鞅測(cè)度等價(jià)性的一個(gè)應(yīng)用我們?cè)诘谝徽吕锝榻B多期證券市場(chǎng)的動(dòng)態(tài)完備性的時(shí)候，我們給出一個(gè)價(jià)格系統(tǒng)的例子，當(dāng)時(shí)只假設(shè)這個(gè)價(jià)格系統(tǒng)是無(wú)套利的?，F(xiàn)在我們利用無(wú)套利與存在等價(jià)鞅測(cè)度之間的等價(jià)性來(lái)證明這個(gè)價(jià)格系統(tǒng)確實(shí)不存在套利機(jī)會(huì)。為了討論方便，我們重新給出這個(gè)價(jià)格系統(tǒng)，見(jiàn)圖2-1。注意這三個(gè)證券直到時(shí)間

28、3才支付紅利。在時(shí)間3給出的就是支付的紅利。事件樹(shù)中的每個(gè)分支都有一個(gè)嚴(yán)格正的概率。在時(shí)間1，當(dāng)處于上面的結(jié)點(diǎn)時(shí)，設(shè)分別表示的條件概率。因?yàn)樽C券0的價(jià)格過(guò)程加上積累紅利在所有的時(shí)間點(diǎn)均為1，所以折現(xiàn)價(jià)格系統(tǒng)仍為原系統(tǒng)。如果存在等價(jià)鞅測(cè)度，則必須滿(mǎn)足下面的線性方程：（2-24）第一個(gè)方程表示條件概率的和應(yīng)該為1。后三個(gè)方程表示各種證券在時(shí)間2的價(jià)格與積累紅利之和的條件期望值等于在時(shí)間1的上結(jié)點(diǎn)的價(jià)格與積累紅利之和。方程組（2-24）的唯一解為我們把這些概率記在相應(yīng)的分支上。同樣地，我們解下列方程組得到所有的條件期望。在時(shí)間1的下結(jié)點(diǎn)解為。在時(shí)間0解為。我們能夠證明這些條件概率是使得價(jià)格加上積累紅

29、利為鞅的唯一概率，并且這些條件概率為嚴(yán)格正的。給出這些條件概率后，我們下面很容易計(jì)算等價(jià)鞅測(cè)度，它們?yōu)楦鱾€(gè)狀態(tài)的無(wú)條件概率=，這個(gè)概率測(cè)度等價(jià)于原概率測(cè)度，且使得價(jià)格加上積累紅利為鞅。從而我們證明了由圖2-1給出的價(jià)格系統(tǒng)無(wú)套利。由于市場(chǎng)是完備的，所以等價(jià)鞅測(cè)度是唯一的。這點(diǎn)在我們求方程組解的過(guò)程中看得很明顯。反過(guò)來(lái)，如果價(jià)格系統(tǒng)在某個(gè)結(jié)點(diǎn)不滿(mǎn)足鞅性質(zhì)，則我們可以在這個(gè)結(jié)點(diǎn)構(gòu)造套利機(jī)會(huì)。為了說(shuō)明這點(diǎn)，我們對(duì)圖2-1給出的價(jià)格系統(tǒng)作適當(dāng)?shù)母淖?，?jiàn)圖2-2，我們?cè)跁r(shí)間1的上結(jié)點(diǎn)把第二種證券的價(jià)格改為3。在時(shí)間1的上結(jié)點(diǎn)，使得證券的價(jià)格加上積累紅利為鞅的條件概率滿(mǎn)足這個(gè)方程組的解不存在。所以不存在等

30、價(jià)鞅測(cè)度。我們觀察這個(gè)價(jià)格系統(tǒng)馬上可以發(fā)現(xiàn)等價(jià)鞅測(cè)度不存在而存在套利機(jī)會(huì)的原因。在時(shí)間1的上結(jié)點(diǎn)，第二、三種證券的價(jià)格均為3，而在時(shí)間2的三種可能狀態(tài)，第二種證券的支付均大于第三種證券，在狀態(tài)，第二種證券的支付還大于3，所以第二種證券占優(yōu)于第一、第三種證券，所以存在套利機(jī)會(huì)。例如，賣(mài)空第一種證券、買(mǎi)第二種證券的策略就是套利機(jī)會(huì)。2.5 套利定價(jià)我們證明給定的價(jià)格系統(tǒng)無(wú)套利并找出等價(jià)鞅測(cè)度的一個(gè)主要目的是為了解決衍生資產(chǎn)的定價(jià)問(wèn)題。給定一個(gè)價(jià)格系統(tǒng)，如果我們找出了該系統(tǒng)的等價(jià)鞅測(cè)度，則以這個(gè)價(jià)格系統(tǒng)為參照物給出衍生資產(chǎn)的價(jià)格就變得相當(dāng)簡(jiǎn)單。這里有兩種方法，第一種是套期保值的思想，利用存在的長(zhǎng)期證

31、券把待定價(jià)的衍生資產(chǎn)的支付復(fù)合出來(lái)，由無(wú)套利原理，衍生資產(chǎn)的價(jià)格等于復(fù)合證券組合的初始成本。第二種方法利用等價(jià)鞅測(cè)度的定義來(lái)給出衍生資產(chǎn)的價(jià)格。這兩種方法都涉及到市場(chǎng)的完備性問(wèn)題。因?yàn)橐粋€(gè)長(zhǎng)期證券是由它在每個(gè)時(shí)間-事件下的支付來(lái)刻畫(huà)的，所以一個(gè)長(zhǎng)期證券等價(jià)于一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃，以后我們將交互使用這兩個(gè)名稱(chēng)。我們?cè)谶@一節(jié)將證明，當(dāng)價(jià)格系統(tǒng)不存在套利機(jī)會(huì)時(shí)，我們能精確地給出任何可交易的消費(fèi)計(jì)劃或者長(zhǎng)期證券隨著時(shí)間而變化的價(jià)格。因?yàn)橐环N衍生證券就是一種消費(fèi)計(jì)劃或者長(zhǎng)期證券，所以當(dāng)這種衍生證券是上市的且證券市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)時(shí)，我們也能給出這種衍生證券的價(jià)格。這時(shí)，我們稱(chēng)衍生證券是由套利定價(jià)的。定理4：當(dāng)證

32、券市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)時(shí)，如果一種消費(fèi)計(jì)劃或者長(zhǎng)期證券是上市的，則這種消費(fèi)計(jì)劃或者長(zhǎng)期證券是可由套利定價(jià)的證明：我們首先證明上市長(zhǎng)期證券在時(shí)間0具有唯一的分紅-前價(jià)格。設(shè)是可上市的，且由融資，由（2-1）我們知道動(dòng)態(tài)交易的成本為。這是在時(shí)間0的分紅-前價(jià)格。當(dāng)價(jià)格系統(tǒng)不存在套利機(jī)會(huì)時(shí)，這個(gè)價(jià)格是唯一的。如果價(jià)格不唯一，則存在另外一個(gè)可行的交易策略，使得由融資但具有不同的成本。不失一般性，假設(shè)我們?nèi)菀昨?yàn)證是一個(gè)可行的交易策略，由這個(gè)策略融資的消費(fèi)計(jì)劃在每期均為0，而該策略的初始成本為負(fù)，所以這就是一個(gè)套利機(jī)會(huì)。這導(dǎo)致矛盾。因此，如果從這個(gè)價(jià)格中減去時(shí)間0的紅利，我們知道任意上市消費(fèi)計(jì)劃在時(shí)間0的分

33、紅后價(jià)格也是唯一的。接下來(lái)，我們證明任意上市消費(fèi)計(jì)劃在時(shí)間具有唯一的分紅后價(jià)格。一個(gè)上市消費(fèi)計(jì)劃在任意時(shí)間的分紅后價(jià)格等于，為了從時(shí)間開(kāi)始采用動(dòng)態(tài)交易策略來(lái)復(fù)合該消費(fèi)計(jì)劃所需要的時(shí)間的消費(fèi)品的數(shù)量。由（2-1）我們知道，如果是由融資的，則在時(shí)間的價(jià)格為。我們采用和上面一樣的方法可以證明，當(dāng)市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)時(shí)，這個(gè)價(jià)格是唯一的。因此我們定義消費(fèi)計(jì)劃在時(shí)間的分紅后價(jià)格為。（2-25）類(lèi)似地，我們定義消費(fèi)計(jì)劃在時(shí)間的折現(xiàn)價(jià)格為 = =，（2-26）這里的最后一個(gè)等式來(lái)自（2-1），。當(dāng)價(jià)格系統(tǒng)無(wú)套利機(jī)會(huì)時(shí)，存在等價(jià)鞅測(cè)度，設(shè)為。我們最后證明在等價(jià)鞅測(cè)度之下，為鞅。給定價(jià)格系統(tǒng)，因?yàn)槭怯扇谫Y的，由自

34、融資預(yù)算約束（2-1）我們有，（2-27）（2-27）的左邊表示策略在時(shí)間的支付，右邊表示策略的初始成本加上從時(shí)間0到時(shí)間交易長(zhǎng)期證券所獲得的積累收益或者積累損失，再減去從時(shí)間0到時(shí)間的積累消費(fèi)。同樣地，我們可以得到（2-28），讓?zhuān)瑒t (2-29)因?yàn)?，所以?-27）變成=。（2-30）由（2-26）我們有=（2-31），把（2-31）代入（2-30），我們得到=。（2-32）在（2-32）兩邊關(guān)于求條件期望得到=。=（2-33）即，消費(fèi)計(jì)劃在時(shí)間的分紅后價(jià)格的折現(xiàn)值是將來(lái)消費(fèi)的折現(xiàn)值之和在下的條件期望。由（2-33）馬上可以得到，對(duì)任意有=。（2-34）由（2-34）我們有，對(duì)于=。（2-35）所以，我們證明了在等價(jià)鞅測(cè)度之下，為鞅。通過(guò)上面的證明我們知道，如果價(jià)格系統(tǒng)無(wú)套利機(jī)會(huì)，則不僅長(zhǎng)期證券的價(jià)格，而且上市消費(fèi)計(jì)劃的價(jià)格也具有鞅性質(zhì)。給定一個(gè)等價(jià)鞅測(cè)度，在這個(gè)測(cè)度之下取條件期望就能夠得到我們所要的價(jià)格。注：盡管個(gè)體對(duì)不確定狀態(tài)的主觀概率不同，但他們得到的上市消費(fèi)計(jì)劃的價(jià)格過(guò)程卻是一樣的。因?yàn)樯鲜邢M(fèi)計(jì)劃的價(jià)格過(guò)程是由無(wú)套利條件確定的，而套利機(jī)會(huì)的定義不依賴(lài)于任何個(gè)體的主觀概率。2.6 套利定價(jià)的一個(gè)例子考慮由圖（2-1）給出的價(jià)格系統(tǒng)。唯一的等價(jià)鞅測(cè)度由那些方程組的解給出，條件概率標(biāo)在圖中相應(yīng)的各個(gè)分支上。三個(gè)交易/消費(fèi)日是。第一種