圓錐曲線聯(lián)立及韋達(dá)定理

1、圓錐曲線聯(lián)立及韋達(dá)定理1、圓錐曲線與直線的關(guān)系橢圓與雙曲線與給定直線的關(guān)系通過(guò)聯(lián)立方程所得解的情況來(lái)判定：橢圓： x2y2a2b21 (a f b f 0)雙曲線： x2y21 (a、 b f 0)a2b2直線： ykxm(PS：這里并沒(méi)有討論橢圓的焦點(diǎn)在y 軸、雙曲線的焦點(diǎn)在y 軸及直線斜率不存的情況，做題需要補(bǔ)充 )（ 1）橢圓與雙曲線聯(lián)立：(PS ：聯(lián)立時(shí)選擇不通分，原因？看完就知道了)類(lèi)一元二次方程：Ax 2BxC0A (12k22 ) ，所以 A f 0 ，即方程為一元二次方程。ab判別式：B24AC化解得：4(1k2m22 )a2b22a b1) 當(dāng) p 0 ，方程無(wú)實(shí)根，直線與橢

2、圓沒(méi)有交點(diǎn)；2) 當(dāng) 0 ，方程有兩個(gè)相同的根，直線與橢圓相切；（相切是因?yàn)橹馗皇侵挥幸粋€(gè)根）3) 當(dāng) f 0 ，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，直線與橢圓相交 .（ 2）雙曲線與直線聯(lián)立：類(lèi)一元二次方程中，1k22kmA ( a2b2 ) ， B(b2 )1)當(dāng) A0, B0 時(shí)，方程為10 ，無(wú)解，直線與雙曲線相離； （此時(shí)為漸近線）2) 當(dāng) A 0, B 0 時(shí)，方程為一元一次方程， 只有一個(gè)解， 直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn) （此時(shí)為漸近線的平行線）3) 當(dāng) A 0, p 0 時(shí)，一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)解，直線與雙曲線相離；4) 當(dāng) A 0,0 時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)解，直線與雙曲線相切；

3、5)當(dāng) A0,f 0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，直線與雙曲線相交.PS：注意雙曲線與直線聯(lián)立和橢圓與直線聯(lián)立的方程及最后判定的異同！2、聯(lián)立方程與韋達(dá)定理（ 1）韋達(dá)定理：Ax2BxC0 運(yùn)用韋達(dá)定理的前提：A0,0x xB ， x xC ， x x( x x)24x x2121212121AAA（ 2）橢圓與直線聯(lián)立相關(guān)的韋達(dá)定理：2kmx1x2b2；1k2a2b2m21x1 x2b2；k21a2b2由 ykxm 可得到關(guān)于 y 的韋達(dá)定理：2my1y2a2；1k 2a2b2m2k 2y1 y2a2k 2；1a2b21k 2m22k2b2a2b2y1 y2a；1k2a2b2（ 3）雙曲線與直線聯(lián)立相關(guān)的韋達(dá)定理：2kmx1x2b2；1k 2a2b2m21x1 x2b2；1k2a2b2由 ykxm 可得到關(guān)于 y 的韋達(dá)定理：2my1y2a2；1k 2a2b2m2k 2y1 y2a2k 2；1a2b22k1k 2m2y1 y2a2b2a2b2；1k2a2b2PS：1、所有韋達(dá)定理所得的結(jié)果分母都一樣，之后的處理就不需要通分；2、記住部分結(jié)論（聯(lián)立的一元二次方程和判別式必須記?。?huì)事半功倍；3、雙曲線相關(guān)的式子與橢圓相關(guān)式子的區(qū)別，所有帶b2 項(xiàng)變號(hào)。原因：橢圓的雙曲線方程化解