教學(xué)課件數(shù)學(xué)分析

1、2 直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算 二重積分計(jì)算的要點(diǎn)是把它化為定積分. 這里有多種方法, 其中最常用的是在直角坐標(biāo)系下化為累次積分. 一、在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 二、在 x 型或 y 型區(qū)域上二重積分的 計(jì)算 三、在一般區(qū)域上二重積分的計(jì)算 一、在矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 ( ,)f x y , ,Da bc d 定理定理21. .8 設(shè)設(shè) 在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域 , ,xa b ( ,)ddcf x yy上可積上可積, 且對(duì)每個(gè)且對(duì)每個(gè) 積分積分 存在存在, 則累次積分則累次積分 d( ,)d( ,)ddbdbdacacxf x yyf x yyx 也存在也存在, 且且( ,)dd( ,)d

2、 .(1)bdacDf x yxf x yy ( )( ,)d ,dcF xf x yy( )F x證證 令令 定理要求證明定理要求證明 在在 , a b上可積上可積, 且積分的結(jié)果恰為二重積分且積分的結(jié)果恰為二重積分. 為此為此, , a b ,c d對(duì)區(qū)間對(duì)區(qū)間 與與 分別作分割分別作分割 01,raxxxb 01.scyyyd 按這些分點(diǎn)作兩組直線按這些分點(diǎn)作兩組直線 (1,2,1),ixxir (1,2,1),kyyks 21 4 圖圖Oyxcdab1ixixi ky1kyik 把矩形把矩形 D 分為分為 rs 個(gè)小矩形個(gè)小矩形(圖圖21-4). 記記 ik 為小矩為小矩 11, ,(

3、1,iikkxxyyi 2, ;1,2, ).r ks 形形 ( ,)f x yik ikM設(shè)設(shè) 在在 上的上確界和下確界分別為上的上確界和下確界分別為 和和 ikm1,iixx ,i . 在區(qū)間在區(qū)間 中任取一點(diǎn)中任取一點(diǎn) 于是就有不等于是就有不等 式式 1(,)d,kkyikkiikkymyfyyMy 其中其中 1.kkkyyy 因此因此 11()(,)d,ssdikkiiikkckkmyFfyyMy11111(),(2)rsrrsikkiiiikkiikiikmyxFxMyx 1.iiixxx ik ikd其中其中 記記 的對(duì)角線長(zhǎng)度為的對(duì)角線長(zhǎng)度為 , ,于是于是 ,|max.iki

4、kTd 由于二重積分存在由于二重積分存在, 由定理由定理21. .4, 當(dāng)當(dāng) |0T時(shí)時(shí), 使使 ,ikkii kmyx,ikkii kMyx和和有相同的極限有相同的極限, 且極限且極限 ( ,)d.Df x y |0T值等于值等于因此當(dāng)因此當(dāng)時(shí)時(shí), 由不等式由不等式 (2) 可得可得: : | |01lim()( ,)d.riiTiDFxf x y (3)|0T1max0,ii rx 由于當(dāng)由于當(dāng) 時(shí)時(shí), 必有必有因此由定積因此由定積 分定義分定義, (3)式左邊式左邊| |01lim()( )dd( ,)d .rbbdiiaacTiFxF xxxf x yy ( ,)f x y , ,Da

5、 bc d 定理定理21. . 9 設(shè)設(shè) 在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域 ,yc d ( ,)dbaf x yx上可積上可積, 且對(duì)每個(gè)且對(duì)每個(gè) 積分積分存在存在, 則累次積分則累次積分 也存在也存在, 且且 ( ,)dd( ,)d .dbcaDf x yyf x yx 定理定理21. 9的證明與定理的證明與定理21. 8相仿相仿. .( ,)f x y , ,Da bc d 特別當(dāng)特別當(dāng)在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域上連續(xù)上連續(xù) 時(shí)時(shí), 則有則有dc( , )dd( , )dd( , )d .bdbacaDf x yxf x yyyf x yx d( ,)d( ,)dddbdbcacayf x yxf x yy

6、x 2() d,Dxy 0,1 0,1.D 例例1 計(jì)算計(jì)算 其中其中 解解 應(yīng)用定理應(yīng)用定理21. 8 (或定理或定理21. 9), 有有 11200( ,)dd() dDf x yxxyy 3310(1)7d.336xxx對(duì)于一般區(qū)域?qū)τ谝话銋^(qū)域, 通?？梢苑纸鉃槿缦聝深悈^(qū)域來(lái)進(jìn)通?？梢苑纸鉃槿缦聝深悈^(qū)域來(lái)進(jìn) 行計(jì)算行計(jì)算.稱平面點(diǎn)集稱平面點(diǎn)集12( ,)|( )( ),(4)Dx yyxyyxaxb 為為x型區(qū)域型區(qū)域(圖圖21-5(a); 稱平面點(diǎn)集稱平面點(diǎn)集12( ,)|( )( ),(5)Dx yxyxxycyd 為為y型區(qū)域型區(qū)域(圖圖21-5(b).二、在 x 型或 y 型區(qū)域

7、上二重積分的計(jì)算這些區(qū)域的特點(diǎn)是當(dāng)這些區(qū)域的特點(diǎn)是當(dāng) D 為為 x 型區(qū)域時(shí)型區(qū)域時(shí), 垂直于垂直于 x 軸軸 的直線的直線00()xx axb 至多與區(qū)域至多與區(qū)域 D 的邊界交于的邊界交于 21 5 圖圖(a) x 型型區(qū)區(qū)域域Oxcd(b) y 型型區(qū)區(qū)域域DyOxcdab2( )yyx1( )yyxDy兩點(diǎn)兩點(diǎn); 當(dāng)當(dāng) D 為為 y 型區(qū)域時(shí)型區(qū)域時(shí), 直線直線 00()yy cyd 至至 多與多與 D 的邊界交于兩點(diǎn)的邊界交于兩點(diǎn). 定理定理21. 10 若若 ( ,)f x y在如在如 (4) 式所示的式所示的 x 型區(qū)域型區(qū)域 D 12( ),( )yxyx , a b上連續(xù)上連

8、續(xù), 其中其中 在在 上連續(xù)上連續(xù), 則則 21( )( )( ,)dd( ,)d .byxayxDf x yxf x yy 即二重積分可化為先對(duì)即二重積分可化為先對(duì) y、后對(duì)后對(duì) x 的累次積分的累次積分. . 1( )yx2( )yx , a b證證 由于由于 與與在閉區(qū)間在閉區(qū)間上連續(xù)上連續(xù), 故存故存 在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域 , ,a bc dD (如圖如圖21-5(a). 現(xiàn)作一現(xiàn)作一 定義在定義在 , ,a bc d 上的函數(shù)上的函數(shù) ( ,),( ,),( ,)0,( ,).f x yx yDF x yx yD ( ,)F x y , ,a bc d 容易知道函數(shù)容易知道函數(shù) 在在

9、 上可積上可積, 而且而且 , ,( , )d( , )dd( , ) dbdacDa bc df x yF x yxF x yy 2211()()()()d( ,) dd( ,) d .byxbyxayxayxxF x yyxf x yy類似可證類似可證, 若若 D 為為 (5) 式所示的式所示的 y 型區(qū)域型區(qū)域, 其中其中 1( ),xy2( )xy ,c d在在上連續(xù)上連續(xù), 則二重積分可化為先則二重積分可化為先 對(duì)對(duì) x、后對(duì)后對(duì) y 的累次積分的累次積分 21( )( )( ,)dd( ,)d .dxycxyDf x yyf x yx 0,x 例例2 設(shè)設(shè) D 是由直線是由直線 1

10、y yx 及及圍成的區(qū)域圍成的區(qū)域(圖圖21-6), 試計(jì)算試計(jì)算: 22edyDIx 的值的值.yxyx216 圖圖1DO解解 若用先對(duì)若用先對(duì) y、后對(duì)后對(duì) x 的積分的積分, 則有則有 21120ded .yxIxxy由于由于 2ey 的原函數(shù)無(wú)法求得的原函數(shù)無(wú)法求得, 因此改用另一種順序因此改用另一種順序 的累次積分來(lái)計(jì)算的累次積分來(lái)計(jì)算: : 2211230001deded3yyyIyxxyy2110111ee.663ey 2221112200011d ee2 ed66yyyyyyy 例例3 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分d,D 其中其中D為由直線為由直線 2 ,yx 2xy 3xy 及及

11、所圍的所圍的 三角形區(qū)域三角形區(qū)域(圖圖21-7).解解 當(dāng)把當(dāng)把 D 看作看作 x 型區(qū)域型區(qū)域 時(shí)時(shí), 相應(yīng)的相應(yīng)的 122 ,01,( ),( )23,12.xxxy xyxxx 217 圖圖Ox122yx 231D2Dy3xy 2xy 所以所以 1212230122dddddddxxxxDDDxyxy12012d3d22xxxxxx1222013333.442xxx例例4 求兩個(gè)底面半徑相同的直交圓柱所圍立體的體求兩個(gè)底面半徑相同的直交圓柱所圍立體的體 積積 V. 解解 設(shè)圓柱底面半徑為設(shè)圓柱底面半徑為a, 兩個(gè)圓柱方程為兩個(gè)圓柱方程為 222222.xyaxza 與與利用對(duì)稱性利用對(duì)

12、稱性, 只要求出在第一卦限只要求出在第一卦限(即即 0,0,xy 0z )部分部分(見第十章圖見第十章圖10-9)的體積的體積, 然后再乘以然后再乘以8 即得所求的體積即得所求的體積. .第一卦限部分的立體是一曲頂柱第一卦限部分的立體是一曲頂柱 所以它的體積為所以它的體積為 220,0.yaxxa D: :22,zax底為底為四分之一圓域四分之一圓域 體體, ,曲頂為曲頂為 221d8DVax 22302()d.3aaxxa于是于是316.3Va 222200ddaaxxaxy三、在一般區(qū)域上二重積分的計(jì)算邊界為分段光滑曲線的有界閉域邊界為分段光滑曲線的有界閉域, ,一般可把它分解一般可把它分

13、解 成有限個(gè)除邊界外無(wú)公共成有限個(gè)除邊界外無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)的 x 型區(qū)域或型區(qū)域或 y 型區(qū)型區(qū) 域域. .如圖如圖21-8 所示所示, ,D 被分被分 218 圖圖OxIIIIIIyD為為 x 型區(qū)域型區(qū)域, 為為 y 型區(qū)域型區(qū)域. II解成三個(gè)區(qū)域解成三個(gè)區(qū)域, 其中其中 、 IIII22( , ) 24,( , )Dx yxxyxf x yD例例5 設(shè)設(shè) 為為 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), ,試將二重積分試將二重積分 ( , )d dDIf x yx y化為不同順序的累次積分化為不同順序的累次積分. yx解解 (1)先對(duì)先對(duì)積分積分, 再對(duì)再對(duì)積分積分. 221( , )24,02 ,D

14、x yxxyxxx123DDDD (見圖見圖21-9), 其中其中 為此設(shè)為此設(shè) Ox219 圖圖2D3D1Dy24222( , )42,02 ,Dx yxxyxxx 223( , )44,24 .Dx yxxyxxx所以有所以有 222224220204d( , )dd( , )dxxxxxxxxIxf x yyxf x yy224424d( , )d .xxxxxf x yy xy(2) 先對(duì)先對(duì)積分積分, 再對(duì)再對(duì)積分積分. 類似地有類似地有: 1234,DGGGG (見圖見圖21-10)21 10 圖圖Ox2G3G1G4Gy122122224124d( , )dyyIyf x yx22

15、124111d( , )dyyyf x yx22124224d( , )dyyyf x yx22111124d( , )dyyyf x yx例例6 計(jì)算計(jì)算1d d ,4Dxyx y其中其中0,1 0,1.D 解解 記記 (見圖見圖 21-11) 11( , )0,4Dx y xyD21( , )0.4Dx y xyD21 11 圖圖Ox11D2D14xy 1y則又有則又有 111( , )1,1 ,44Dx yyxx21110, 0,1( , ) 0,1 .444Dx yyxx 12111d d()d d()d d444DDDxyx yxyx yxyx y111 41 41dd4xxxyy3131ln2ln26416641631ln2.32811 411d2432xxx1 401d42xx11 41d32xx1 4111 4001 4011dddd44xxxyyxxyy(2) 若若(, )( , ),fx yf x y 則則 1( , )d d2( , )d d ,DDf x yx yf x yx y復(fù)習(xí)思考題 1. 若可求面積的區(qū)域若可求面積的區(qū)域D滿足條件滿足條件: ( , )(, ),x yDx yD ( , )f x yD又設(shè)又設(shè)在在上可積上可積. 證明證明: ( , )d d0;