微積分下 第二章二重積分

1、一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分重積分曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分第六章第六章 多元數(shù)量值函數(shù)積分學(xué)多元數(shù)量值函數(shù)積分學(xué)三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì) 第一節(jié)一、引例一、引例 二、二重積分的定義與可積性二、二重積分的定義與可積性 四、曲頂柱體體積的計算四、曲頂柱體體積的計算 二重積分的概念與性質(zhì) 解法解法: : 類似定積分解決問題的思想:一、引例一、引例1.1.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體:0),(yxfz底底 xoy 面上的閉區(qū)域 D頂頂: : 連續(xù)曲面?zhèn)让妫簜?cè)面：以D的邊界為準(zhǔn)線 ,母線平行于z軸的柱面求其體積.或“分割,代替,求和,取

2、極限” D),(yxfz 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 “大化小,常代變,近似和,求極限” D),(yxfz 1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個區(qū)域n,21以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個2)“常代變”在每個k, ),(kk3)“近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk則中任取一點小曲頂柱體（即分割）k),(kk機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （即近似代替）（即求和）4)“取極限”的直徑為定義kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk機動 目錄 上頁

3、 下頁 返回 結(jié)束 2. 2. 平面薄片的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量 有一個平面薄片, 在 xoy 平面上占有區(qū)域 D ,),(Cyx計算該薄片的質(zhì)量 M .度為),(),(常數(shù)若yx設(shè)D 的面積為 ,則M若),(yx非常數(shù) ,仍可用其面密 “大化小, 常代變,近似和, 求 極限” 解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D 為 n 個小區(qū)域,21n相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域 .D機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yx2)“常代變”中任取一點k在每個),(kk3)“近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取極限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk

4、則第 k 小塊的質(zhì)量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yx兩個問題的共性共性：(1) 解決問題的步驟相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小, 常代變, 近似和,取極限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量: 二、二重積分的定義及可積性二、二重積分的定義及可積性定義定義: :),(yxf設(shè)將區(qū)域 D 任意分成 n 個小區(qū)域),2,1(nkk任取一點,),(kkk若存在一個常數(shù) I , 使nkkkkfI10),(lim可積可積 , ),(yxf則稱Dyxfd),(),(yxfI為稱在D上的二重積分二重積分.稱為積分變量yx,積分和Dyxfd),

5、(積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 DyxfVd),(引例1中曲頂柱體體積:DyxMd),(引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果 在D上可積,),(yxf也常d,ddyx二重積分記作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 這時分區(qū)域D , 因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃 記作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(問題：問題： 1. 存在性存在性？ 2. 性質(zhì)性質(zhì)？ 3. 計算計算？若函數(shù)),(yxf),(yxf定理1. .在 D上可積可積.在有界閉區(qū)域 D上連續(xù), 則(證明略)三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)Dyx

6、fkd),(. 1( k 為常數(shù))Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 為D 的面積, 則 ),(2121無公共內(nèi)點DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特別,由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(則Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6.設(shè)),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面積為 ,MyxfmDd),(則有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 7.(二重積分

7、中值定理),(yxf設(shè)函數(shù),),(D),(),(fdyxfD證證: : 由性質(zhì)6 可知,MyxfmDd),(1由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在閉區(qū)域D上 為D的面積,則至少存在一點使使連續(xù),因此機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 220yx 0)ln(22 yx例例1.1.判斷的正負(fù).)0(dd)ln(122yxyxyx解：解：1yx當(dāng)時，故0)ln(22 yx又當(dāng)時，1 yx于是2)(yx 1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0dd)ln(122yxyxyx1111xyoD解解:2xy例例2 2 比較積分比較積分 與與ln()Dxy

8、 d 2ln()Dxyd 的大小的大小, , 其中其中D是三角形閉區(qū)域是三角形閉區(qū)域, , 三頂點各為三頂點各為(1,0),(1,1), (2,0).三角形斜邊方程三角形斜邊方程 在在D內(nèi)有內(nèi)有 12xye 0ln()1xy于是于是 2ln()ln()xyxy 2lnlnDDxy dxyd例例3. 3. 估計下列積分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: : D的面積為2001010214由于yx22coscos1001積分性質(zhì)5100200I102200即: 1.96 I 210101010D10011021xyo機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyo D8.8.設(shè)

9、函數(shù)),(yxfD位于x 軸上方的部分為D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對稱, 函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時,仍1D在D上d),(21Dyxf在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分,則有1:,221 yxDD 為圓域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xbad 四、曲頂柱體體積的計算四、曲頂柱體體積的計算設(shè)曲頂柱的底為bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲頂柱體體積為DyxfVd

10、),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面積為yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱體的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.4.求兩個底圓半徑為R直角圓柱面所圍的體積.xyzRRo解解: : 設(shè)兩個直圓柱方程為,222Ryx利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體

11、的頂為則所求體積為yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 二重積分的定義Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3. 曲頂柱體體積的計算二次積分法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 被積函數(shù)相同,且非負(fù), 思考與練習(xí)思考與練習(xí)yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解: : 321,III由它們的積分域范圍可知312II

12、I11xyo1.1. 比較下列積分值的大小關(guān)系:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.2.設(shè)D 是第二象限的一個有界閉域, 且 0 y 1, 則,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小順序為 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示: 因 0 y 1, 故;212yyyD故在D上有, 03x又因323321xyxyxyyox1D機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 3. 計算.dd)(sin2200yxyxI解解: :)cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind22000

13、2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4 4.證明:, 2d)cossin(122Dyx其中D為.10, 10yx解解: : 利用題中 x , y 位置的對稱性, 有d)cossin(22Dyxd)cossin(d)cossin(222221DDxyyxd)cossin(d)cossin(222221DDyyxxd)cossin(22Dxxd)sin(242Dx,1)sin(,1042212xx又D 的面積為1 , 故結(jié)論成立 .yox1D1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5 . 04 . 0I備用題備用題1.1.估計 的值, 其中D 為DxyyxI162d22. 20, 10yx解解: :被積函數(shù)16)(1),(2yxyxf2D 的面積41)0 , 0( fM的最大值),(yxfD上在51431)2, 1 (22