湖大大一高數(shù)第一章函數(shù)

1、返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 廣義地說(shuō)，初等數(shù)學(xué)之外的數(shù)學(xué)都是高等數(shù)學(xué)，也廣義地說(shuō)，初等數(shù)學(xué)之外的數(shù)學(xué)都是高等數(shù)學(xué)，也有將高中階段較深入的代數(shù)、幾何以及簡(jiǎn)單的集合論有將高中階段較深入的代數(shù)、幾何以及簡(jiǎn)單的集合論邏輯稱為邏輯稱為中等數(shù)學(xué)中等數(shù)學(xué)，把它作為小學(xué)、初中的初等數(shù)學(xué)，把它作為小學(xué)、初中的初等數(shù)學(xué)與本科階段的與本科階段的高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)的過渡。通常認(rèn)為，高等數(shù)學(xué)的過渡。通常認(rèn)為，高等數(shù)學(xué)是簡(jiǎn)單的是簡(jiǎn)單的微積分學(xué)微積分學(xué)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，深入的代數(shù)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，深入的代數(shù)學(xué)，幾何學(xué)，以及他們之間交叉所形成的一門基礎(chǔ)學(xué)學(xué)，幾何學(xué)，以及他們之間交叉所形成的一門基礎(chǔ)學(xué)科，主要包括微積分學(xué)科，主

2、要包括微積分學(xué),其他方面各類課本略有差異。其他方面各類課本略有差異。什么是高等數(shù)學(xué)?返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)初等數(shù)學(xué)研究的是常量，高等數(shù)學(xué)研究的是變量。初等數(shù)學(xué)研究的是常量，高等數(shù)學(xué)研究的是變量。 高等數(shù)學(xué)是理、工科院校一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科。高等數(shù)學(xué)是理、工科院校一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科。作為一門科學(xué)，高等數(shù)學(xué)有其固有的特點(diǎn)作為一門科學(xué)，高等數(shù)學(xué)有其固有的特點(diǎn)：高度高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性。抽象。抽象性是數(shù)學(xué)最基本、最顯著的特點(diǎn)性是數(shù)學(xué)最基本、最顯著的特點(diǎn)有了高度抽象有了高度抽象和統(tǒng)一，我們才能深入地揭示其本質(zhì)規(guī)律，才能和統(tǒng)一，我們才能深入地揭示其本

3、質(zhì)規(guī)律，才能使之得到更廣泛的應(yīng)用。嚴(yán)密的邏輯性是指在數(shù)使之得到更廣泛的應(yīng)用。嚴(yán)密的邏輯性是指在數(shù)學(xué)理論的歸納和整理中，無(wú)論是概念和表述，還學(xué)理論的歸納和整理中，無(wú)論是概念和表述，還是判斷和推理，都要運(yùn)用邏輯的規(guī)則，遵循思維是判斷和推理，都要運(yùn)用邏輯的規(guī)則，遵循思維的規(guī)律。的規(guī)律。 初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的區(qū)別初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的區(qū)別返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 人類社會(huì)的進(jìn)步，與數(shù)學(xué)這門科學(xué)的廣泛應(yīng)用是分不人類社會(huì)的進(jìn)步，與數(shù)學(xué)這門科學(xué)的廣泛應(yīng)用是分不開的。尤其是到了現(xiàn)代，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和普及使得開的。尤其是到了現(xiàn)代，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和普及使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域更加拓寬，現(xiàn)代數(shù)學(xué)正成為科技發(fā)展的數(shù)學(xué)的應(yīng)

4、用領(lǐng)域更加拓寬，現(xiàn)代數(shù)學(xué)正成為科技發(fā)展的強(qiáng)大動(dòng)力，同時(shí)也廣泛和深入地滲透到了社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域。強(qiáng)大動(dòng)力，同時(shí)也廣泛和深入地滲透到了社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域。因此，學(xué)好高等數(shù)學(xué)對(duì)我們來(lái)說(shuō)相當(dāng)重要。因此，學(xué)好高等數(shù)學(xué)對(duì)我們來(lái)說(shuō)相當(dāng)重要。要想學(xué)好高等數(shù)學(xué)，至少要做到以下四點(diǎn)要想學(xué)好高等數(shù)學(xué)，至少要做到以下四點(diǎn): 所以說(shuō)，所以說(shuō)，數(shù)學(xué)也是一種思想方法，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是思數(shù)學(xué)也是一種思想方法，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是思維訓(xùn)練的過程。維訓(xùn)練的過程。返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)首先，首先，理解概念理解概念。數(shù)學(xué)中有很多概念。概念反映。數(shù)學(xué)中有很多概念。概念反映的是事物的本質(zhì)的是事物的本質(zhì),弄清楚了它是弄清楚了它是如何定義如何定義的

5、、的、有什有什么性質(zhì)么性質(zhì)，才能真正地理解一個(gè)概念。，才能真正地理解一個(gè)概念。 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)其次，其次，掌握定理掌握定理。定理是一個(gè)正確的命題，分為條件。定理是一個(gè)正確的命題，分為條件和結(jié)論兩部分。對(duì)于定理除了要掌握它的條件和結(jié)論和結(jié)論兩部分。對(duì)于定理除了要掌握它的條件和結(jié)論以外，還要搞清它的適用范圍，做到有的放矢。以外，還要搞清它的適用范圍，做到有的放矢。 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)第三第三,在弄懂例題的基礎(chǔ)上在弄懂例題的基礎(chǔ)上做適量的習(xí)題做適量的習(xí)題。要特別提。要特別提醒的是，課本上的例題都是很典型的，有助于理解概醒的是，課本上的例題都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意

6、不同例題的特點(diǎn)和解法，在理念和掌握定理，要注意不同例題的特點(diǎn)和解法，在理解例題的基礎(chǔ)上做適量的習(xí)題。做題時(shí)要善于總結(jié)解例題的基礎(chǔ)上做適量的習(xí)題。做題時(shí)要善于總結(jié)- 不僅總結(jié)方法，也要總結(jié)錯(cuò)誤。這樣，做完之后不僅總結(jié)方法，也要總結(jié)錯(cuò)誤。這樣，做完之后才會(huì)有所收獲，才能舉一反三。才會(huì)有所收獲，才能舉一反三。 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)第四，第四，理清脈絡(luò)理清脈絡(luò)。對(duì)所學(xué)的知識(shí)要有一個(gè)整體的把。對(duì)所學(xué)的知識(shí)要有一個(gè)整體的把握，及時(shí)總結(jié)知識(shí)體系，這樣不僅可以加深對(duì)知識(shí)的握，及時(shí)總結(jié)知識(shí)體系，這樣不僅可以加深對(duì)知識(shí)的理解，還會(huì)對(duì)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)有所幫助。理解，還會(huì)對(duì)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)有所幫助。 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)

7、下頁(yè)微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想，無(wú)限細(xì)分無(wú)限細(xì)分就是微分，就是微分，無(wú)限求和無(wú)限求和就就是積分。是積分。l什么是微積分？什么是微積分？返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 微積分是近代數(shù)學(xué)發(fā)展的里程碑微積分是近代數(shù)學(xué)發(fā)展的里程碑微積分的建立是人類頭腦最偉大的創(chuàng)造之一，微積分的建立是人類頭腦最偉大的創(chuàng)造之一，一部微積分發(fā)展史，是人類一步一步頑強(qiáng)地認(rèn)一部微積分發(fā)展史，是人類一步一步頑強(qiáng)地認(rèn)識(shí)客觀事物的歷史，是人類理性思維的結(jié)晶。識(shí)客觀事物的歷史，是人類理性思維的結(jié)晶。它給出的一整套科學(xué)方法，開創(chuàng)了科學(xué)的新紀(jì)它給出的一整套科學(xué)方法，開創(chuàng)了科學(xué)

8、的新紀(jì)元，并因此加強(qiáng)與加深了數(shù)學(xué)的作用。恩格斯元，并因此加強(qiáng)與加深了數(shù)學(xué)的作用。恩格斯說(shuō)說(shuō):“在一切理論成就中，未必再有什么像在一切理論成就中，未必再有什么像17世世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的紀(jì)下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個(gè)地方我們看到人類精最高勝利了。如果在某個(gè)地方我們看到人類精神的純粹的和惟一的功績(jī)，那就正是在這里。神的純粹的和惟一的功績(jī)，那就正是在這里。” 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)微積分是建立在實(shí)數(shù)、函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的。微積分是建立在實(shí)數(shù)、函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的。函數(shù)是微積分研究的函數(shù)是微積分研究的 對(duì)象；對(duì)象；極限的思

9、想是微積分的基礎(chǔ)，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，一步就是要理解到，一步就是要理解到，“極限極限”引入的必要性：引入的必要性：學(xué)習(xí)微積分學(xué)，首要的學(xué)習(xí)微積分學(xué)，首要的極限思想貫穿整個(gè)微積分的始終，極限思想的把握關(guān)系極限思想貫穿整個(gè)微積分的始終，極限思想的把握關(guān)系到對(duì)微積分思想的確立，微積分理論的掌握和運(yùn)用以及到對(duì)微積分思想的確立，微積分理論的掌握和運(yùn)用以及數(shù)學(xué)思維的建立數(shù)學(xué)思維的建立 。第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)第二節(jié)第二節(jié) 初等函數(shù)初等函數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 若若a屬于集合屬于集合A的元素，則稱的元素，則稱a屬

10、于屬于A，記作，記作 ;否則否則稱稱a不屬于不屬于A ,記作記作 （或（或 ）。）。Aa Aa Aa 第一節(jié)第一節(jié) 函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)函數(shù)的概念及其基本性質(zhì) 含有限元素的集合稱為有限集，不含任何元素的集合稱含有限元素的集合稱為有限集，不含任何元素的集合稱為空集；用為空集；用表示空集。表示空集。 不是有限集也不是空集的集合不是有限集也不是空集的集合稱為無(wú)限集。稱為無(wú)限集。一一.集合及其運(yùn)算集合及其運(yùn)算集合集合：具有某種確定性質(zhì)的對(duì)象的全體，簡(jiǎn)稱集。：具有某種確定性質(zhì)的對(duì)象的全體，簡(jiǎn)稱集。集合的元素集合的元素：組成集合的各個(gè)對(duì)象。：組成集合的各個(gè)對(duì)象。 用大寫的英文字母用大寫的英文字母A、B、

11、C表示集合，用小寫的表示集合，用小寫的英文字母英文字母a、b、c表示集合的元素。表示集合的元素。返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 表示集合的方法表示集合的方法:(1)列舉法列舉法將集合的元素一一列舉出來(lái)，寫在一個(gè)花括號(hào)內(nèi)；將集合的元素一一列舉出來(lái)，寫在一個(gè)花括號(hào)內(nèi)；(2)描述法描述法在花括號(hào)內(nèi)指明集合元素所具有的性質(zhì)。在花括號(hào)內(nèi)指明集合元素所具有的性質(zhì)。 一般，用一般，用N表示自然數(shù)集，用表示自然數(shù)集，用Z表示整數(shù)集，用表示整數(shù)集，用Q表示表示有理數(shù)集，用有理數(shù)集，用R表示實(shí)數(shù)集表示實(shí)數(shù)集返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)子集子集設(shè)設(shè)A，B是兩個(gè)集合，若是兩個(gè)集合，若A的每個(gè)元素都是的每個(gè)元素都是B的元素，的元

12、素，則稱則稱A是是B的子集，記作的子集，記作A B(或或B A ),讀作讀作A被被B包包含（或含（或B包含包含A ）.若若A B，且有元素，且有元素aB ，但，但a A，則說(shuō)，則說(shuō)A是是B的真的真子集子集，記作，記作A B.規(guī)定規(guī)定: A.相等相等若若A B ，且，且B A，則稱，則稱A與與B相等相等,記作記作A=B.返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)并集并集由屬于由屬于A或?qū)儆诨驅(qū)儆贐的所有元素組成的集合的所有元素組成的集合稱為稱為A與與B的并集記作的并集記作A B ，即，即 AB =x|xA或或xB交集交集由同時(shí)屬于由同時(shí)屬于A與與B的元素組成的集稱為的元素組成的集稱為A與與B的交集，記的交集，記作

13、作AB ，即，即AB =x|xA且且xBABAB差集差集由屬于由屬于A但不屬于但不屬于B的元素組成的集稱的元素組成的集稱為為A與與B的差集，記作的差集，記作AB，即，即|BxAxxBA 但但AB返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)定理定理1 設(shè)設(shè)A，B，C為三個(gè)集合，則為三個(gè)集合，則(1) AB =B A ， AB = BA ； (交換律交換律)(2) (AB)C= A(BC)， (AB)C= A(BC)； (結(jié)合律結(jié)合律) (3) (AB)C=(AC)(BC)， (AB)C=(AC)(BC)， (A - B)C=(AC)-(BC)； (分配律分配律) (4) AA =A ， AA =A ； (冪等律冪等

14、律) (5) A= A ， A=; 若若A B，則，則ABB，ABA (吸收律吸收律) 特別地，由于特別地，由于AB A AB， 所以有，所以有，A(AB)A，A(AB)A集合運(yùn)算的基本法則：集合運(yùn)算的基本法則：返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)二二.區(qū)間與鄰域區(qū)間與鄰域 設(shè)設(shè)a和和b都是實(shí)數(shù)，將滿足不等式都是實(shí)數(shù)，將滿足不等式axb的所有實(shí)數(shù)組的所有實(shí)數(shù)組成的數(shù)集稱為成的數(shù)集稱為開區(qū)間開區(qū)間，記作，記作(a,b)即即 (a,b) =x|axb,a和和b稱為開區(qū)間稱為開區(qū)間(a,b)的端點(diǎn)的端點(diǎn),這里這里a (a,b)且且b (a,b).數(shù)集數(shù)集 a,b=x|axb為為閉區(qū)間閉區(qū)間,a和和b也稱為閉區(qū)間

15、也稱為閉區(qū)間a,b的端點(diǎn)的端點(diǎn) , aa,b且且ba,b.數(shù)集數(shù)集a,b)=x|axb和和(a,b=x|axb為為半開半閉間半開半閉間.以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間,數(shù)數(shù)b-a稱為稱為區(qū)間長(zhǎng)度區(qū)間長(zhǎng)度. 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)無(wú)限區(qū)間無(wú)限區(qū)間.|),(.|),.|),(.|,(,|),(正無(wú)窮大與負(fù)無(wú)窮大分別表示與記號(hào)xaxaxaxabxxbbxxbRxx返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)為這鄰域的半徑。的中心為這鄰域稱點(diǎn)記作鄰域的為點(diǎn)稱數(shù)集是某一正數(shù)是一個(gè)給定的實(shí)數(shù)設(shè),),(,| :,000000 xxUxxxxxx00 x() 0 x 0 xx|0|),( ),(,),(0

16、0000000 xxxxUxUxxxU即記作鄰域的去心為稱.)(),(,00000的某去心鄰域的某鄰域和分別表示用徑時(shí)當(dāng)不需要指出鄰域的半xxxUxU返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)三、函數(shù)概念例例 考慮圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)nnrSn sin2,5 ,4 ,3 n3S5S4S6S圓內(nèi)接正圓內(nèi)接正n 邊形邊形Orn )返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)因變量因變量自變量自變量.)(,000處處的的函函數(shù)數(shù)值值為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)稱稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxfDx .),(稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的值值域域函函數(shù)數(shù)值值全全體體組組成成的的數(shù)數(shù)集集DxxfyyW 數(shù)集數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的叫做這個(gè)函數(shù)的定義域定義域)(xfy 定義定義1

17、 設(shè)設(shè) 和和 是兩個(gè)變量，是兩個(gè)變量， 是一個(gè)給定的數(shù)集，如果是一個(gè)給定的數(shù)集，如果對(duì)于每個(gè)對(duì)于每個(gè) ，變量，變量 按照一定法則總有確定的數(shù)值按照一定法則總有確定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱與它對(duì)應(yīng)，則稱 是是 的函數(shù)，記為的函數(shù)，記為xyDDx yyx有時(shí)也將函數(shù)的定義域記為有時(shí)也將函數(shù)的定義域記為 ，值域記為，值域記為 fDfW返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)()0 x)(0 xf自變量自變量因變量因變量對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: :定義域定義域與與對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則.xyDW約定約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義的定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值一切實(shí)數(shù)值.21xy

18、 例例如如，1 , 1 : D211xy 例例如如，)1 , 1(: D返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)要使數(shù)學(xué)式子有意義，要使數(shù)學(xué)式子有意義，x必須滿足必須滿足.1142的的定定義義域域求求函函數(shù)數(shù) xxy21 ,1,2,01,042 xxxxx由由此此有有即即因此函數(shù)的定義域?yàn)橐虼撕瘮?shù)的定義域?yàn)?1,2例例1解解返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)例例2 2.)3(,212101)(的的定定義義域域求求函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3: fD故故返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)函數(shù)的圖形函數(shù)的圖形: :.)(),(),(的的圖圖形形函函

19、數(shù)數(shù)稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)集集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 如果自變量在定義如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)函數(shù).222是多值函數(shù)例如，ayx返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)1.復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù),uy 設(shè)設(shè),12xu 21xy 定義定義: 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(ufy 的的定定義義域域fD, 而而函函數(shù)數(shù))(xu 的的值值域域?yàn)闉?Z, 若若 ZDf, 則則稱稱函函數(shù)數(shù))(xfy 為為x的的復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù).,自自變變量量x,中中間間變變量量u,因因變

20、變量量y四四.復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)注意注意: :1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的函數(shù)的;,arcsin uy 例例如如;22xu )2arcsin(2xy 2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成構(gòu)成.,2cotxy 例例如如,uy ,cot vu .2xv 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)2. 反函數(shù)反函數(shù) 設(shè)設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閄,值域?yàn)橹涤驗(yàn)閅f(x) x,且且f(x)滿滿足足:對(duì)任意的對(duì)任意的x1,x2,若若x1 x2,則則f(x1)f(x2).此時(shí)此時(shí),

21、對(duì)任意的對(duì)任意的y,必存在唯一確定的必存在唯一確定的x滿足滿足y=f(x),換言之換言之,對(duì)對(duì)Y中的中的任何一個(gè)任何一個(gè)y,通過函數(shù)通過函數(shù)y=f(x),可以反解出唯一的一個(gè)可以反解出唯一的一個(gè)x,使得使得y與這個(gè)與這個(gè)x相對(duì)應(yīng)相對(duì)應(yīng),根據(jù)函數(shù)定義根據(jù)函數(shù)定義,x是是y的函數(shù)的函數(shù).這個(gè)函數(shù)的自這個(gè)函數(shù)的自變量是變量是y,因變量是因變量是x,定義域是定義域是Y,值域是值域是X.稱之為稱之為y=f(x)的的反反函數(shù)函數(shù).記為記為x=f-1(y) 習(xí)慣上用習(xí)慣上用x表示自變量表示自變量,y表示因變量表示因變量,因此反函數(shù)常寫成因此反函數(shù)常寫成y=f 1(x). 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 關(guān)于反函數(shù)

22、還有一些常用結(jié)論：關(guān)于反函數(shù)還有一些常用結(jié)論：(1) y=f(x)(定義域?yàn)槎x域?yàn)閄,值域?yàn)橹涤驗(yàn)閅)存在反函數(shù)存在反函數(shù)y=f-1(x) (xY)的充要條件是對(duì)任意的的充要條件是對(duì)任意的x1,x2X，若，若x1x2，則，則f(x1)f(x2)(2)若若y=f(x)，xX存在反函數(shù)存在反函數(shù)y=f-1(x)，則在同一直角坐，則在同一直角坐標(biāo)系標(biāo)系xOy中，中，y=f(x)和和y=f -1(x)的函數(shù)圖形關(guān)于直線的函數(shù)圖形關(guān)于直線y=x對(duì)對(duì)稱稱返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè))(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP反函數(shù) xfy1返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)例例 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ,求求f

23、-1(x+1).)1(1)1(xxxxf,11, 1)1(,0,1)(yuyuuuuufy從而令令 u=x+l 則則0,1)1(11)1( ,11)( 11 xxxxfuufy因因此此所所以以解解返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)五五.函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的基本性質(zhì)1. 單調(diào)性單調(diào)性定義定義3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在實(shí)數(shù)集在實(shí)數(shù)集D上有意義，對(duì)任意的上有意義，對(duì)任意的x1，x2D，且且 x10，使得對(duì)任意的，使得對(duì)任意的x (a,b),有有 f(x) M,或或 M f(x) M.注意到注意到f(x)表表示函數(shù)示函數(shù)y= f(x)的圖形上點(diǎn)的圖形上點(diǎn)(x, f(x)的縱坐的縱坐標(biāo)標(biāo),因此因此,y=f(x)在

24、在(a,b)內(nèi)有界在幾何上表內(nèi)有界在幾何上表示示y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖形必夾內(nèi)的函數(shù)圖形必夾在兩平行于在兩平行于x軸的直線軸的直線y=M之間之間.反之反之亦然亦然. 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)例如例如: 函數(shù)函數(shù)y=sinx在其定義域在其定義域(-,+)內(nèi)是有界的，內(nèi)是有界的，因?yàn)閷?duì)任一因?yàn)閷?duì)任一x(-,+)都有都有|sinx|1.函數(shù)函數(shù) 在在(0,1)內(nèi)無(wú)上界，但有下界內(nèi)無(wú)上界，但有下界xy1 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)4.周期性周期性例如例如,函數(shù)函數(shù)f(x)=sinx的周期為的周期為2 ; f(x)=tanx的周期是的周期是 .若若T為為f(x)的周期，則的周期，則f

25、(x)有無(wú)窮多個(gè)周期，有無(wú)窮多個(gè)周期，kT(kZ)都是都是f(x)的周期通常函數(shù)的周期是指它的最小正周期的周期通常函數(shù)的周期是指它的最小正周期(如果存在的如果存在的話話) 定義定義7 設(shè)設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈(f),若存在常數(shù)若存在常數(shù)T0,使得對(duì)使得對(duì)任意的任意的xD(f),有有xTD(f),且且f(xT)=f(x),則稱則稱f(x)為為周期函數(shù)周期函數(shù),T稱為稱為f(x)的周期的周期返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)思考題思考題設(shè)設(shè)0 x，函函數(shù)數(shù)值值21)1(xxxf ，求求函函數(shù)數(shù))0()( xxfy的的解解析析表表達(dá)達(dá)式式.1._)(ln31)(2的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?，則函數(shù)，則

26、函數(shù)，的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)椤⒑瘮?shù)、函數(shù)xfxf._32復(fù)合而成的函數(shù)為復(fù)合而成的函數(shù)為，、由函數(shù)、由函數(shù)xueyu ._2lnsin4復(fù)合而成復(fù)合而成由由、函數(shù)、函數(shù)xy 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)._)0()()(_)0)(_)(sin_10)(52的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?，的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?，的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)椋瑸闉椋┑亩x域）的定義域（，則，則，的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)椤⑷?、?aaxfaxfaaxfxfxfxf習(xí)題習(xí)題1-1: 1(2)(3),2(1)(3),3(1),4,5(1)(2),6,8(2),9返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)思考題解答思考題解答設(shè)設(shè)ux 1則則 2111uuuf ,112

27、uu 故故)0(.11)(2 xxxxf1.返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)2、,3ee； 3、2xey 4、xvvuuy2,ln,sin kk2,21 ,aa 212101 ,aaaa 5、-1,1, . 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)第二節(jié)第二節(jié) 初等函數(shù)初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)1. 常值函數(shù)常值函數(shù)常值函數(shù)常值函數(shù)y=C,其中其中C為常數(shù)其定義域?yàn)闉槌?shù)其定義域?yàn)?- ,+ ).其對(duì)應(yīng)其對(duì)應(yīng)規(guī)則是對(duì)于任何規(guī)則是對(duì)于任何x (- ,+ ),x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y恒等于恒等于常數(shù)常數(shù)C其函數(shù)圖形為平行于其函數(shù)圖形為平行于x軸的直線軸的直線. 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)2. 冪函數(shù)冪

28、函數(shù)函數(shù)函數(shù) 稱為冪函數(shù)稱為冪函數(shù).)( 是是常常數(shù)數(shù) xy 無(wú)論無(wú)論 為何值為何值,函數(shù)在函數(shù)在(0,+)內(nèi)總是有定義的內(nèi)總是有定義的.返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)指數(shù)函數(shù)的定義域是指數(shù)函數(shù)的定義域是(,+),圖象通過圖象通過點(diǎn)點(diǎn)(0,1),且總在且總在x軸上方軸上方.當(dāng)當(dāng)a1時(shí)時(shí),函數(shù)是單調(diào)增加的；函數(shù)是單調(diào)增加的；當(dāng)當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)當(dāng)0a0,a1)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù).返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)科學(xué)技術(shù)中常用以科學(xué)技術(shù)中常用以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為底的對(duì)數(shù)函數(shù)y=logex,它被稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù)，簡(jiǎn)記作它被稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù)，簡(jiǎn)記作 y=lnx返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下

29、頁(yè)5三角函數(shù)三角函數(shù)常用的三角函數(shù)有常用的三角函數(shù)有正弦函數(shù)正弦函數(shù) y=sinx; 余弦函數(shù)余弦函數(shù) y= cosx ;正切函數(shù)正切函數(shù) y=tanx； 余切函數(shù)余切函數(shù) y=cotx;正割函數(shù)正割函數(shù)y=secx； 余割函數(shù)余割函數(shù)y=cscx .其中自變量以弧度作單位來(lái)表示其中自變量以弧度作單位來(lái)表示返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是以正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是以2 為周期的周期函數(shù)，它們?yōu)橹芷诘闹芷诤瘮?shù)，它們的定義域都為的定義域都為(-,+),值域都為值域都為-1,1正弦函數(shù)是奇正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)正切函數(shù)正切函數(shù) 的

30、定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閤xxycossintan,2)12(,|)(為為整整數(shù)數(shù)nnxRxxfD ,|)(為為整整數(shù)數(shù)nnxRxxfD xxxysincoscot 余切函數(shù)余切函數(shù) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)檎泻瘮?shù)和余切函數(shù)的值域都是正切函數(shù)和余切函數(shù)的值域都是(,+),且它們都且它們都是以是以 為周期的函數(shù)，它們都是為周期的函數(shù)，它們都是奇函數(shù)奇函數(shù).返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)正割函數(shù)正割函數(shù)y=secx;余割函數(shù)余割函數(shù)y=cscx.它們都是以它們都是以2 為周期的為周期的周期函數(shù)，且周期函數(shù)，且xxxxsin1csc cos1sec 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)6. 反三角函數(shù)

31、反三角函數(shù)反三角函數(shù)是各三角函數(shù)在其特定的單調(diào)區(qū)間上的反函數(shù)反三角函數(shù)是各三角函數(shù)在其特定的單調(diào)區(qū)間上的反函數(shù) .(1) 反正弦函數(shù)反正弦函數(shù)y=arcsinx是正弦函數(shù)是正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間在區(qū)間 上的反函數(shù)其上的反函數(shù)其定義域?yàn)槎x域?yàn)?1,1值域?yàn)橹涤驗(yàn)?,為為單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)。,2 2 ,2 2 (2) 反余弦函數(shù)反余弦函數(shù)yarccosx是是余弦函數(shù)余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間在區(qū)間0, 上的反函數(shù)其定義域?yàn)樯系姆春瘮?shù)其定義域?yàn)?1,1,值域?yàn)橹涤驗(yàn)?, .為單調(diào)減函為單調(diào)減函數(shù)。數(shù)。返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)(3) 反正切函數(shù)反正切函數(shù)y=arctanx是正切函數(shù)是正切函數(shù)y

32、=tanx在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)的反函數(shù)其內(nèi)的反函數(shù)其定義域?yàn)槎x域?yàn)?,+),值域?yàn)橹涤驗(yàn)?為單調(diào)為單調(diào)增函數(shù)。增函數(shù)。 ,2 2 ,2 2 (4) 反余切函數(shù)反余切函數(shù)y=arccotx是余切函數(shù)是余切函數(shù)y=cotx在區(qū)間在區(qū)間(0, )內(nèi)內(nèi)的反函數(shù)，其的反函數(shù)，其定義域?yàn)槎x域?yàn)?,+),值域?yàn)橹涤驗(yàn)?0, ).為單調(diào)減函為單調(diào)減函數(shù)。數(shù)。返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)二、初等函數(shù)二、初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次有限次四則運(yùn)算和四則運(yùn)算和有限次有限次復(fù)合復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成的運(yùn)算所構(gòu)成的能用一個(gè)解析式表示能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)稱為初等函的函數(shù)稱為初等函數(shù)，否則稱為非初等函數(shù)數(shù)，否則

33、稱為非初等函數(shù)1. 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) . 0, 1 0, 0 , 0, 1sgnxxxxy，的定義域的定義域D(f)=(- ,+ )，值域，值域R(f) =-1,0,1.xOy11 。幾個(gè)特殊的分段函數(shù)幾個(gè)特殊的分段函數(shù):返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)是偶函數(shù)是偶函數(shù),周期函數(shù)周期函數(shù),任何有理數(shù)都是它的周期，但沒有最任何有理數(shù)都是它的周期，但沒有最小正周期小正周期.為無(wú)理數(shù)為有理數(shù)xxxD, 0, 1)(狄利克雷函數(shù)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) ,0,0 ,xxxxxy絕對(duì)值函數(shù)絕對(duì)值函數(shù)定義域定義域D(f)=(- ,+ )，值域，值域R(f) =0, + ).xOy分段函數(shù)常常不是初等函數(shù)，分段函數(shù)

34、常常不是初等函數(shù)，但有些分段函數(shù)卻是初等函數(shù)。但有些分段函數(shù)卻是初等函數(shù)。如絕對(duì)值函數(shù)等。如絕對(duì)值函數(shù)等。返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)4 . 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過表示不超過 的最大整數(shù)的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)5 . 取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)例例1下列函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的?(1) y=cos2x；解解 令y=u2，u=cosx，則y=cos2

35、x是由基本初等函數(shù)y=u2，u=cosx復(fù)合而成的返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)（）y=1ex1x1x1exy= eu，u=，則 y=是由基本初等 復(fù)合而成的函數(shù) ，uuey 解 令 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)（）（）y= lnarctan2xlnarctan2x解解 于是 y= 可以看成是由上述四個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合而成的。,arctan,ln,2xwwvvuuy令返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)小結(jié)函數(shù)的分類函數(shù)的分類:函數(shù)函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)非初等函數(shù)代數(shù)函數(shù)代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)有理函數(shù)無(wú)理函數(shù)無(wú)理函數(shù)有理整函數(shù)有理整函數(shù)( (多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)) )有理分函數(shù)有理分函數(shù)( (分式

36、函數(shù)分式函數(shù)) )習(xí)題習(xí)題1-2:1(1)(3),2(1)(2)(3),3(1)(3) 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)第三節(jié)第三節(jié) 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)一、成本函數(shù)一、成本函數(shù)固定成本固定成本(FC)：是不取決于產(chǎn)量多少的成本：是不取決于產(chǎn)量多少的成本.可變成本可變成本(VC)：是隨產(chǎn)量：是隨產(chǎn)量x的增加而增加的成本的增加而增加的成本.),(VCFC)(TC 表示產(chǎn)量表示產(chǎn)量其中其中xxx 總成本總成本(TC) ：由固定成本和可變成本組成：由固定成本和可變成本組成返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 對(duì)應(yīng)于總成本、固定成本和可變成本，有相應(yīng)的對(duì)應(yīng)于總成本、固定成本和可變成本，有相應(yīng)的平平均成本均

37、成本、平均固定成本平均固定成本和和平均可變成本平均可變成本，分別記作，分別記作AC、AFC和和AVC .)(VC)(AVC,)(FC)(AFC,)(TC)(ACxxxxxxxxx返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)二、收益函數(shù)二、收益函數(shù)收益收益 ：廠商銷售商品的收入：廠商銷售商品的收入. 收益分為總收益和平均收益收益分為總收益和平均收益總收益總收益(TR) ：是銷售量是銷售量x與銷售單價(jià)與銷售單價(jià)p的乘積的乘積.平均收益平均收益(AR) ：是銷售單位商品的收益是銷售單位商品的收益xxpx)TR(ARTR即即返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)三、三、 利潤(rùn)函數(shù)利潤(rùn)函數(shù)利潤(rùn)利潤(rùn)是廠商總收益和總成本的差額是廠商總收益和

38、總成本的差額,記作記作L,即即 L(x)=TR(x)-TC(x)當(dāng)當(dāng)TR(x)TC(x)時(shí)時(shí),廠商盈利；廠商盈利；當(dāng)當(dāng)TR(x)TC(x)時(shí)時(shí),廠商虧損；廠商虧損；當(dāng)當(dāng)TR(x)=TC(x)時(shí)時(shí),廠商不賠也不賺，廠商不賠也不賺，當(dāng)產(chǎn)量當(dāng)產(chǎn)量x0使得使得TR(x0)=TC(x0),即即L(x0)=0時(shí)時(shí),稱稱x0為盈虧平為盈虧平衡點(diǎn)產(chǎn)量衡點(diǎn)產(chǎn)量 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)四、四、 需求函數(shù)與供給函數(shù)需求函數(shù)與供給函數(shù) 一般降價(jià)使需求量增加一般降價(jià)使需求量增加,漲價(jià)使需求量減少漲價(jià)使需求量減少.若不考慮其若不考慮其他影響需求量的因素他影響需求量的因素(如消費(fèi)者收入等如消費(fèi)者收入等),可以認(rèn)為需求量可以認(rèn)為需求量Qd是價(jià)格是價(jià)格p的單調(diào)減函數(shù)的單調(diào)減函數(shù),稱為稱為需求函數(shù)需求函數(shù),記為記為Qd=fd(p) 最簡(jiǎn)單的需求函數(shù)是線性需求函數(shù)，即最簡(jiǎn)單的需求函數(shù)是線性需求函數(shù)，即Qd=a bp，其中其中a,b均為正常數(shù)均為正常數(shù) 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 一般漲價(jià)使供給量增加，降價(jià)使供給量減少一般漲價(jià)使供給量增加，降價(jià)使供給量減少.從而可以從而可以認(rèn)為供給量認(rèn)為供給量Qs是價(jià)格是價(jià)格p的單調(diào)增函數(shù)的單調(diào)增函數(shù),稱之為稱之為供給函數(shù)供給函數(shù),記為記為Qs=fs(p) 最簡(jiǎn)單的供給函數(shù)是線性供給函數(shù)最簡(jiǎn)單的供給函數(shù)是線性供