二次函數(shù)中平行四邊形通用解決方法

1、. 探究1在圖1中，線(xiàn)段AB，CD，其中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)。假設(shè)A-1，0，B3，0，那么E點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)；假設(shè)C-2，2，D-2，-1，那么F點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)；2在圖2中，線(xiàn)段AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為Aa，b，Bc，d，求出圖中AB中點(diǎn)D的坐標(biāo)用含a，b，c，d的代數(shù)式表示，并給出求解過(guò)程；歸納無(wú)論線(xiàn)段AB處于直角坐標(biāo)系中的哪個(gè)位置，當(dāng)其端點(diǎn)坐標(biāo)為Aa，b，Bc，d，AB中點(diǎn)為Dx，y 時(shí)，x=_，y=_；不必證明運(yùn)用在圖2中，一次函數(shù)y=x-2與反比例函數(shù)的圖象交點(diǎn)為A，B。求出交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；假設(shè)以A，O，B，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)利用上面的結(jié)論求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)。以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性

2、問(wèn)題是近年來(lái)中考的熱點(diǎn)，其圖形復(fù)雜，知識(shí)覆蓋面廣，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求高對(duì)這類(lèi)題，常規(guī)解法是先畫(huà)出平行四邊形，再依據(jù)“平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等或“平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分來(lái)解決由于先要畫(huà)出草圖，假設(shè)考慮不周，很容易漏解為此，筆者另辟蹊徑，借助探究平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)解決這一類(lèi)題1 兩個(gè)結(jié)論，解題的切入點(diǎn)數(shù)學(xué)課標(biāo)，現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中沒(méi)有線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，也沒(méi)有平行四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，我們可幫助學(xué)生來(lái)探究，這可作為解題的切入點(diǎn)。1.1 線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)公式平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為(x1,y1)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(x2,y2)，那么線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,).圖1

3、證明 ： 如圖1，設(shè)AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP,yP).由xP-x1=x2-xP，得xP=，同理yP=，所以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,).1.2 平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式圖2ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)，那么：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD.證明： 如圖2，連接AC、BD，相交于點(diǎn)E點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，E點(diǎn)坐標(biāo)為(,).又點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，圖3E點(diǎn)坐標(biāo)為(,).xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD.即平行四邊形對(duì)角線(xiàn)兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等2 一個(gè)根本領(lǐng)實(shí)，解題的預(yù)備知識(shí)如圖3，不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)A

4、、B、C，在平面內(nèi)另找一個(gè)點(diǎn)D，使以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形答案有三種：以AB為對(duì)角線(xiàn)的ACBD1，以AC為對(duì)角線(xiàn)的ABCD2，以BC為對(duì)角線(xiàn)的ABD3C3 兩類(lèi)存在性問(wèn)題解題策略例析與反思3.1 三個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形的存在性問(wèn)題例1 拋物線(xiàn)y=x2-2x+a(a0與y軸相交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為M.直線(xiàn)y=x-a分別與x軸、y軸相交于B、C兩點(diǎn)，并且與直線(xiàn)AM相交于點(diǎn)N.(1)填空：試用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)M與N的坐標(biāo)，那么M(), N()；(2)如圖4，將NAC沿y軸翻折，假設(shè)點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N恰好落在拋物線(xiàn)上，AN與x軸交于點(diǎn)D，連接CD，求a的值和四邊形AD的面積；

5、(3)在拋物線(xiàn)y=x2-2x+a(a0上是否存在一點(diǎn)P，使得以P、A、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，試說(shuō)明理由.解：(1)M(1,a-1)，N(,-)；(2)a=-；S四邊形AD=；(3)由條件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(,-).設(shè)P(m,m2-2m+a).當(dāng)以AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，由平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式解題時(shí)熟練推導(dǎo)出，得：圖4,.P1(,-)；當(dāng)以AN為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，得:,(不合題意，舍去).當(dāng)以為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，得:,.P2(-,).在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P1(,-)和P2(-,)，使得以P、A、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.反思：三個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)

6、出拋物線(xiàn)上第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程組求解.這種題型由于三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線(xiàn)段中哪條為對(duì)角線(xiàn)不清楚，往往要以這三條線(xiàn)段分別為對(duì)角線(xiàn)分類(lèi)，分三種情況討論.3.2 兩個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形存在性問(wèn)題圖5例2如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三點(diǎn).1求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；2點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，要使以點(diǎn)Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿(mǎn)足條件點(diǎn)P的坐標(biāo).解 ：1易求拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=；(2)由題意知點(diǎn)Q在y軸上，設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(0,t)；點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,).盡管點(diǎn)Q在y軸上，也是個(gè)動(dòng)

7、點(diǎn)，但可理解成一個(gè)定點(diǎn)，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動(dòng)了當(dāng)以AQ為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，由四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)公式得：-1+0=3+m，m=-4，P1(-4,7)；當(dāng)以BQ為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，得：-1+m=3+0，m=4，P2(4,)；當(dāng)以AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，得：-1+3=m+0，m=2，P3(2,-1).綜上，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P為P1(-4,7)、P2(4,)、P3(2,-1).反思：這種題型往往特殊，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在x軸y軸或?qū)ΨQ(chēng)軸或某一定直線(xiàn)上設(shè)出拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)假設(shè)在x軸上，縱坐標(biāo)為0，那么用平行四邊形頂點(diǎn)縱坐標(biāo)公式；假設(shè)在y軸上，橫坐標(biāo)為0，那么用平行四邊形頂點(diǎn)橫坐標(biāo)公式該動(dòng)點(diǎn)哪個(gè)坐標(biāo)就用與該坐

8、標(biāo)有關(guān)的公式本例中點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)t沒(méi)有用上，可以不設(shè)另外，把在定直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)看成一個(gè)定點(diǎn)，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動(dòng)了，分別以三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線(xiàn)段為對(duì)角線(xiàn)分類(lèi)，分三種情況討論. 例3 如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三點(diǎn)1求拋物線(xiàn)的解析式；2假設(shè)點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，AMB的面積為S求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；3假設(shè)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線(xiàn)y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)解：1易求拋物線(xiàn)的解析式為y=x2+x-4；2s=-m2-

9、4m(-4m0)；s最大=4過(guò)程略；3盡管是直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，這里也寫(xiě)出過(guò)程由題意知O(0,0)、B(0,-4).由于點(diǎn)Q是直線(xiàn)y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)Q(s,-s)，把Q看做定點(diǎn)；設(shè)P(m,m2+m-4).當(dāng)以O(shè)Q為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，圖6s=-2.Q1(-2+,2-)，Q2(-2-,2+)；當(dāng)以BQ為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，s1=-4，s2=0(舍).Q3(-4,4)；當(dāng)以O(shè)B為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，s1=4，s2=0(舍).Q4(4,-4).綜上，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q為Q1(-2+,2-)、Q2(-2-,2+)、Q3(-4,4)、Q4(4,-4).反思：該題中的點(diǎn)Q是直線(xiàn)y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(s,-s)，把Q看做定點(diǎn)

10、，就可根據(jù)平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程組了.4 問(wèn)題總結(jié) 這種題型，關(guān)鍵是合理有序分類(lèi)：無(wú)論是三定一動(dòng)，還是兩定兩動(dòng)，統(tǒng)統(tǒng)把拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)作為第四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其余三個(gè)作為定點(diǎn)，分別以這三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線(xiàn)段為對(duì)角線(xiàn)分類(lèi)，分三種情況討論，然后運(yùn)用平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式轉(zhuǎn)化為方程組這種解法，不必畫(huà)出平行四邊形草圖，只要合理分類(lèi)，有序組合，從對(duì)角線(xiàn)入手不會(huì)漏解，條理清楚，而且適用X圍廣其本質(zhì)是用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題，表達(dá)的是分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合的思想.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAOB的兩條直角邊OA、OB分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長(zhǎng)分別是方程x27x+12=0的兩根(OA0B)，動(dòng)點(diǎn)P

11、從點(diǎn)A開(kāi)場(chǎng)在線(xiàn)段AO上以每秒l個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)場(chǎng)在線(xiàn)段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。(2)求當(dāng)t為何值時(shí)，APQ與AOB相似，并直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)(3)當(dāng)t=2時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)M，使以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A1，0，B5，0，C0，三點(diǎn)1求拋物線(xiàn)的解析式；2在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；3點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形.假設(shè)存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)y=2x+4與y軸交于A點(diǎn)，與x軸交于B點(diǎn)，拋物線(xiàn)C1：y=x2+bx+c過(guò)A、B兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為C1求拋物線(xiàn)解析式及C點(diǎn)坐標(biāo)2向右平移拋物線(xiàn)C1，使平移后的拋物線(xiàn)C2恰好經(jīng)過(guò)ABC的外心，拋物線(xiàn)C1、C2相交于點(diǎn)D，求四邊形AOCD的面積3拋物線(xiàn)C2的頂點(diǎn)為M，設(shè)P為拋物線(xiàn)C1對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，Q為拋物線(xiàn)C1上一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)M、Q、P、B為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.假設(shè)存在，直接寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=3x3與x軸交于點(diǎn)A，與