基本不等式求最值的策略分析報(bào)告

1、 例談?dòng)没静坏仁角笞钪档乃拇蟛呗哉静坏仁剑ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）是高中必修五不等式一章的重要容之一，也是高考常考的重要知識(shí)點(diǎn)。從本質(zhì)上看，基本不等式反映了兩個(gè)正數(shù)和與積之間的不等關(guān)系，所以在求取積的最值、和的最值當(dāng)中，基本不等式將會(huì)煥發(fā)出強(qiáng)大的生命力，它將會(huì)是解決最值問(wèn)題的強(qiáng)有力工具。本文將結(jié)合幾個(gè)實(shí)例談?wù)勥\(yùn)用基本不等式求最值的三大策略。關(guān)鍵字：基本不等式 求和與積的最值 策略 一、 基本不等式的基礎(chǔ)知識(shí)1基本不等式：如果，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。在基本不等式的應(yīng)用中，我們需要注意以下三點(diǎn)：“一正”：、b是正數(shù)，這是利用基本不等式求最值的前提條件。“二定”：當(dāng)兩正數(shù)的和是定值時(shí)，積有最大

2、值；當(dāng)兩正數(shù)的積是定值時(shí)，和有最小值。“三相等”：是的充要條件，所以多次使用基本不等式時(shí)，要注意等號(hào)成立的條件是否一致。二、 利用基本不等式求最值的四大策略策略一 利用配湊法，構(gòu)造可用基本不等式求最值的結(jié)構(gòu)通過(guò)簡(jiǎn)單的配湊（湊系數(shù)或湊項(xiàng)）后，使原本與基本不等式結(jié)構(gòu)不一致的式子，變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)一致，再利用均值不等式求解最值。題型一 配湊系數(shù)例1 設(shè)，求函數(shù)的最大值。分析：因?yàn)椴皇莻€(gè)定值，所以本題無(wú)法直接運(yùn)用基本不等式求解。但湊系數(shù)將4拆為后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求其最大值。解：因?yàn)?，所以 故當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.所以原式的最大值為.題型二 配湊項(xiàng)1 配湊常數(shù)項(xiàng)例2 已知，求函數(shù)的最大值。

3、2分析：因，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)。另外，又不是常數(shù)，所以對(duì)要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)。解：因?yàn)椋?所以 所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，y取最大值1.2 配湊一般項(xiàng)例3 （2010年高考文科卷第11題）設(shè)，則的最小值是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4分析：如果要利用基本不等式來(lái)求和的最小值，就必須出現(xiàn)積的定值。考慮到， 即，所以配湊這兩項(xiàng)。解：因?yàn)?，所以，故而，所以故w224當(dāng)且僅當(dāng)ab1，a(ab)1時(shí)等號(hào)成立，如取a,b，式子取得最小值4.故選擇答案D策略二 遇到分式，可嘗試分離后再用基本不等式題型一：配湊分子，分離分式對(duì)于分子次數(shù)比分母高的分式不等式，可嘗試先對(duì)分子進(jìn)行配

4、湊，使之出現(xiàn)與分母一樣的項(xiàng)，然后分離得到可用基本不等式求解的結(jié)構(gòu)。例4 求的最小值。2分析：可先將分子配湊出含有的項(xiàng)，再將其分離。解：因?yàn)椋运援?dāng)且僅當(dāng)所以的最小值為2.題型二：同除分子，分離分母對(duì)于分母次數(shù)比分子高的分式不等式，可嘗試上下同除以分子，使分母出現(xiàn)互倒的結(jié)構(gòu)，再用基本不等式求最值。例5 求的值域.分析：題目沒(méi)有交代的取值圍，此題需要分類討論。解：當(dāng)時(shí)，分子分母同除以,則（1） 當(dāng)，所以, 當(dāng)且僅當(dāng)（2） 當(dāng)，故，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)，=0綜上可知，y的取值圍是策略三 遇到根式，可嘗試平方后再用基本不等式例6 求函數(shù)的最大值.分析：觀察式子的結(jié)構(gòu)，可以看到，所以將式子平方后，便可構(gòu)造出可

5、用基本不等式的結(jié)構(gòu)。解：將兩邊平方，得又因?yàn)閥>0，所以當(dāng)且僅當(dāng)2，即所以y的最大值是.策略四 利用1的性質(zhì)，合理代換后再用基本不等式“1”是一個(gè)特殊的數(shù)，任何式子乘以1，式子仍不變。所以如果題目條件給出某個(gè)式子的值為1，則可在要求最值的式子上乘以這個(gè)式子，從而構(gòu)造出可用基本不等式的形式。例7 設(shè)，且，求的最小值.分析：由于，所以=，故可用基本不等式求最值.解：由于，所以=又由于，故所以=，當(dāng)且僅當(dāng)所以，原式的最小值為2.總結(jié)以上四種策略，是用基本不等式解決最值問(wèn)題的常用方法。無(wú)論是配湊系數(shù)與項(xiàng)、分離分子與分母、平方去根號(hào)，還是利用“1”整體代換，其目的只有一個(gè)，那就是構(gòu)造出和為定值或者是積為定值的兩項(xiàng)，然后才可用基本不等式。構(gòu)造可用基本不等式的結(jié)構(gòu)，是解決此類最值問(wèn)題的根本所在。參考文獻(xiàn)1人民教育 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué)必修5A版 2004.5第一版 第五章2