連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布函數(shù)

1、一、概率密度的定義與性質(zhì)一、概率密度的定義與性質(zhì)二、常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布二、常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布三、內(nèi)容小結(jié)三、內(nèi)容小結(jié)第第2.32.3節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量 及其分布函數(shù)及其分布函數(shù)性質(zhì)性質(zhì). 0)(,)1( xpx對(duì)任意的對(duì)任意的.d)()(12 xxp證明證明 .d)()(xxpF 1.,)(,d)()(),(,)(簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱概概率率密密度度率率密密度度函函數(shù)數(shù)的的概概稱稱為為其其中中為為連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量則則稱稱有有使使對(duì)對(duì)于于任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)非非負(fù)負(fù)函函數(shù)數(shù)若若存存在在的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為，為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè)XxpXttpxFxxpXxFXx 一、

2、概率密度的定義與性質(zhì)一、概率密度的定義與性質(zhì)1.定義定義.連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的分分布布函函數(shù)數(shù)是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)11 xxpSd)(1Sxxpxd)( 2證明證明.d)(xxpxx 21)()(1221xFxFxXxP xxpxd)( 11x 2x xxp0)( 211221xxdxxpxFxFxXxP)()()() 3().()(,)()(xpxFxxp 則則有有處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若4)(aFaXP ,d)(xxpa 1aXPaXP xxpxxpad)(d)( )(1aF xxpxxpad)(d)( .d)(xxpa 同時(shí)得以下計(jì)算公式同時(shí)得以下計(jì)算公式P40.教材注意注意

3、 對(duì)于任意可能值對(duì)于任意可能值 a ,連續(xù)型隨機(jī)變量取連續(xù)型隨機(jī)變量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP證明證明aXP . 0 由此可得由此可得xxpxaaxd)(lim 0連續(xù)型隨機(jī)變量的概率與區(qū)間的開閉無(wú)關(guān)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率與區(qū)間的開閉無(wú)關(guān)bXaP bXaP bXaP .bXaP . 0 aXP設(shè)設(shè)X為為連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 ，X=a 是不可能是不可能事件事件,則有則有, 0 aXP若若是不可能事件是不可能事件aX . 0 aXP若若 X 為離散型隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量, 注意注意連連續(xù)續(xù)型型離離散散型型是是不不可可能能事事件件則則不不能能確確定定aX .)3(

4、;2)2(;,)1(:., 1,arcsin, 0)(的概率密度的概率密度隨機(jī)變量隨機(jī)變量的值的值系數(shù)系數(shù)求求的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX 例例1,()lim( )xaFaF x故有故有解解 (1) 因?yàn)橐驗(yàn)?X 是連續(xù)型隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量,( )lim( )-xaF aF x,)(連續(xù)連續(xù)所以所以xF aaBAarcsin aaBAarcsin即即BA2 , 0 BA2 , 1 .1 B ., 1,arcsin121, 0)(axaxaaxaxxF所所以以,21 A解解之之得得)2(aF 0)2arcsin(121

5、aa6121 2)2(aXaP )( aF .32 )()(xFxp 的概率密度為的概率密度為隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X)3( ., 0,122其其它它axaxa.)(;)(;)(.,)(2713210432230 XPXkxxxkxxpX求求的分布函數(shù)的分布函數(shù)求求確定常數(shù)確定常數(shù)其它其它具有概率密度具有概率密度隨機(jī)變量隨機(jī)變量設(shè)設(shè)解解,d)()( 11xxp由由例例2的的概概率率密密度度為為知知由由Xk61)2( .,)(其它其它04322306xxxxxp, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得 . 4, 1, 43,d)22(d6, 30,d6, 0, 0)(3030

6、 xxxxxxxxxxxFxx得得由由 xxxpxFd)()( . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即271)3( XP)1()27(FF .4841 二、常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布二、常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布).,(,),(,)(baUXbaXbxaabxpX記為記為區(qū)間上服從均勻分布區(qū)間上服從均勻分布在區(qū)間在區(qū)間則稱則稱其它其它具有概率密度具有概率密度設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義 011. 均勻分布均勻分布boaxp )(概率密度概率密度函數(shù)圖形函數(shù)圖形 ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函數(shù)分布函數(shù)xo)(xF a b

7、 141教材P例例3 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 在在 2, 5 上服從均勻分布上服從均勻分布, 現(xiàn)現(xiàn)對(duì)對(duì) X 進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè) ,試求至少有兩次觀測(cè)值試求至少有兩次觀測(cè)值大于大于3 的概率的概率. X 的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 .,)(其它其它05231xxp設(shè)設(shè) A 表示表示“X 的觀測(cè)值大于的觀測(cè)值大于 3”,解解即即 A= X 3 .2 YP.2720 因而有因而有設(shè)設(shè)Y 表示表示“3次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于3的次數(shù)的次數(shù)”,則則., 323BY 32132232033213233 3)( XPAP由由于于,32d3153 x.,.,)(分布分

8、布的指數(shù)的指數(shù)服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱則稱為常數(shù)為常數(shù)其中其中的概率密度為的概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義XxxexpXx0000 2. 指數(shù)分布指數(shù)分布 某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如例如無(wú)線電元件的壽命無(wú)線電元件的壽命 , 電力設(shè)備的壽命電力設(shè)備的壽命, 動(dòng)物的壽動(dòng)物的壽命等都服從指數(shù)分布命等都服從指數(shù)分布.應(yīng)用與背景應(yīng)用與背景分布函數(shù)分布函數(shù) . 0, 0, 0,1)(xxexFx 例例4 設(shè)某類日光燈管的使用壽命設(shè)某類日光燈管的使用壽命 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 =1/2000的指數(shù)分布的指數(shù)分布(單位單位:小時(shí)小時(shí))(1)任

9、取一只這種燈管任取一只這種燈管, 求能正常使用求能正常使用1000小時(shí)以小時(shí)以上的概率上的概率. (2) 有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000 小時(shí)以小時(shí)以上上, 求還能使用求還能使用1000小時(shí)以上的概率小時(shí)以上的概率. 120001,0,( )0, 0.xexF xxX 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解1000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 021 e10002000)2( XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607. 021 e指數(shù)分布的重

10、要性質(zhì)指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無(wú)記憶性無(wú)記憶性”.).,(,)(,)()(2202122NXXxexpXx記記為為的的正正態(tài)態(tài)分分布布或或高高斯斯分分布布服服從從參參數(shù)數(shù)為為則則稱稱為為常常數(shù)數(shù)其其中中的的概概率率密密度度為為設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量定定義義 3. 正態(tài)分布正態(tài)分布(或或高斯分布高斯分布)正態(tài)分布概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)分布概率密度函數(shù)的幾何特征;)1(對(duì)對(duì)稱稱曲曲線線關(guān)關(guān)于于x ;)(,)(xpx212取取得得最最大大值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ;)(,)(03 xpx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng);)4(處有拐點(diǎn)處有拐點(diǎn)曲線在曲線在x ,;(6)( )p xx當(dāng)當(dāng)固固定定改改變變的的大大小小時(shí)時(shí)圖圖

11、形形的的形形狀狀不不變變 只只是是沿沿著著軸軸作作平平移移變變換換;)5(軸軸為為漸漸近近線線曲曲線線以以 x.,)(,)7(圖圖形形越越矮矮越越胖胖越越大大圖圖形形越越高高越越瘦瘦越越小小而而形形狀狀在在改改變變不不變變圖圖形形的的對(duì)對(duì)稱稱軸軸的的大大小小時(shí)時(shí)改改變變當(dāng)當(dāng)固固定定xp正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)texFxtd21)(222)( 正態(tài)分布是最常見(jiàn)最重要的一種分布正態(tài)分布是最常見(jiàn)最重要的一種分布,例如例如測(cè)量誤差測(cè)量誤差; 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長(zhǎng)度、重量直徑、長(zhǎng)度、重量高度

12、等都近似服從正態(tài)分布高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景正態(tài)分布的應(yīng)用與背景 正態(tài)分布下的概率計(jì)算正態(tài)分布下的概率計(jì)算texFxtd21)(222)( xXP ? 原函數(shù)不是原函數(shù)不是初等函數(shù)初等函數(shù)方法一方法一:利用利用MATLAB軟件包計(jì)算軟件包計(jì)算方法二方法二:轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算).1, 0(,1, 0),(2NN記記為為態(tài)態(tài)分分布布的的正正態(tài)態(tài)分分布布稱稱為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正這這樣樣時(shí)時(shí)中中的的當(dāng)當(dāng)正正態(tài)態(tài)分分布布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為,21)(22 xexx 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示

13、為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為.,d21)(22 xtexxt 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)： 11(0)2（）(2)( )xx (- )=1-.225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解225. 1 XP)25. 1 ()2( 8944. 09772. 0 例例5 5 . 0828. 0 1,P X | 3.PX 1P X 11P X1 0.84130.1587| 3PX (3)( 3) 2(3) 1 2 0.9987 10.9974：正正態(tài)態(tài)分分布布與與標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布之之間間具具有有下下面面的的關(guān)關(guān)系系).1 ,

14、0(),(2NXZNX 則則若若引理引理證明證明的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為XZ xZP xXPxXP ,d21222)( xtte得得令令,ut xZP xuued2122),(x ).1 , 0( NXZ 故故 則當(dāng) 時(shí)，其分布函數(shù) 可以用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù) 表示，2( ,)XN ( )F x( ) x( )F xP Xx22()21d ,2t xet,tu令得P Zx221d2x ueu()x ( )F x2( ,),.XN P cXd已知求例7解：P cXd( )( )F dF c.dc 分布函數(shù)分布函數(shù)概率密度概率密度三、小結(jié)三、小結(jié)2. 常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的

15、分布 xttpxFd)()(.連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量1均勻分布均勻分布正態(tài)分布正態(tài)分布(或高斯分布或高斯分布)指數(shù)分布指數(shù)分布 正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景, 例如測(cè)量例如測(cè)量誤差誤差; 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ; 正常正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長(zhǎng)度、重量高度直徑、長(zhǎng)度、重量高度;炮彈的彈落點(diǎn)的分布等炮彈的彈落點(diǎn)的分布等, 都服從或近似服從正態(tài)都服從或近似服從正態(tài)分布分布.可以說(shuō)可以說(shuō),正態(tài)分布是自然界和社會(huì)現(xiàn)象中最正態(tài)分布是自然界和社會(huì)現(xiàn)象中最為常見(jiàn)的一種分布為常見(jiàn)的一種分布, 一個(gè)變量如果受到大量微小一個(gè)變量如果受到大量微小的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響, 那么這個(gè)變量一般那么這個(gè)變量一般是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量.3. 正態(tài)分布是概率論中最重要的分布正態(tài)分布是概率論中最重要的分布另一方面另一方面,有些分布有些分布(如二項(xiàng)分布、泊松分布如二項(xiàng)分布、泊松分布)的極的極限分布是正態(tài)分布限分布是正態(tài)分布.所以所以,無(wú)論在實(shí)踐中無(wú)論在實(shí)踐中,還是在理還是在理論上論上,正態(tài)分布都是概率論中最重要的一種分布正態(tài)分布都是概率論中最重要的一種分布.二項(xiàng)分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換二項(xiàng)分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換解解1 xxpd)(由由, 1d03 xKex,