趣味數(shù)學(xué)故事之關(guān)于“四色問題”的證明

1、.興趣數(shù)學(xué)故事之關(guān)于“四色問題的證明興趣數(shù)學(xué)故事之關(guān)于“四色問題的證明“四色問題是世界數(shù)學(xué)史上一個非常著名的證明難題，它要求證明在平面地圖上只要用四種顏色就能使任何復(fù)雜形狀的各塊相鄰區(qū)域之間顏色不會重復(fù)，也就是說互相之間都有交界的區(qū)域最多只能有四塊。一百五十多年來有許多數(shù)學(xué)家用了很長時間，化了很多精力才能證明這個問題。前些日子報刊上曾有報道說：有好幾位大學(xué)生用好幾臺電子計算機(jī)結(jié)合起來化了十幾個小時才證明了這個問題。本人在二十多年前就知道有這么一個“四色問題，可一直找不到證明它的方法。如今我剛接觸到“拓?fù)鋵W(xué)，其實(shí)用“拓?fù)鋵W(xué)原理一分析，“四色問題就象當(dāng)年歐拉把“七橋問題看成是經(jīng)過四個點(diǎn)不重復(fù)的七條

2、線段的“一筆畫一樣簡單，連一般的小學(xué)生都能證明它。根據(jù)“拓?fù)鋵W(xué)原理，任何復(fù)雜形狀的每一塊區(qū)域都可看成是一個點(diǎn)，兩塊區(qū)域之間互相有交界的可看成這兩點(diǎn)之間有連線，只要證明在一個平面內(nèi)，互相之間都有連線的點(diǎn)不會超過四個，也就證明了“四色問題。平面內(nèi)的任意一個點(diǎn)A可與許許多多的點(diǎn)B、C、DX、Y、Z有連線如圖1所示，同樣B點(diǎn)也可與其它點(diǎn)有連線，C、DX、Y、Z各點(diǎn)也可與其它點(diǎn)有連線。但有一個原那么：各連線之間不能互相穿插，因?yàn)橐坏┐┎寰蜁a(chǎn)生一條連線隔斷另一條連線如圖2所示，BC的連線就隔斷了AD的連線。但有人會說：兩點(diǎn)間的連線可有許多條，AD連線可繞到B點(diǎn)或C點(diǎn)以外圖2中虛線所示不就沒有穿插了嗎？可

3、是這樣一繞就產(chǎn)生一個結(jié)果：原來在一個封閉圖形外的點(diǎn)變成了封閉圖形內(nèi)的點(diǎn)。下面就通過對封閉圖形的分析來證明互相之間都有連線的點(diǎn)不超過四個。一個點(diǎn)本身或兩個點(diǎn)之間的連線都可形成一個或多個封閉圖形如圖3所示。三個互相之間都有連線的點(diǎn)從A點(diǎn)連到B點(diǎn)再到C點(diǎn)又回到A點(diǎn)如圖4所示，必定會造成圖形的封閉。封閉圖形上的點(diǎn)假設(shè)多于四點(diǎn)如圖5所示，從第三點(diǎn)C起各點(diǎn)與第一點(diǎn)A的連線又將整個封閉圖形分割成許多小的封閉圖形。因此得出結(jié)論：同一平面上任何三個互相之間都有連線的點(diǎn)，它們之間的連線必定會形成至少一個封閉圖形。我們況且叫作三點(diǎn)連線封閉定律。平面上任何第四點(diǎn)可以是在上述三點(diǎn)連線構(gòu)成的封閉圖形內(nèi)，也可以在封閉圖形外

4、如圖6中D點(diǎn)和D點(diǎn)，D點(diǎn)可分別與A、B、C點(diǎn)有連線，D點(diǎn)也可分別與A、B、C點(diǎn)有連線。D點(diǎn)與A、B、C點(diǎn)的連線把封閉圖形ABC分割成三個小的封閉圖形，D點(diǎn)與A、B、C點(diǎn)的三條連線中一定有一條被夾在另兩條中間，圖6中DA線被DB線與死記硬背是一種傳統(tǒng)的教學(xué)方式,在我國有悠久的歷史。但隨著素質(zhì)教育的開展,死記硬背被作為一種僵化的、阻礙學(xué)生才能開展的教學(xué)方式,漸漸為人們所摒棄;而另一方面,老師們又為進(jìn)步學(xué)生的語文素養(yǎng)煞費(fèi)苦心。其實(shí),只要應(yīng)用得當(dāng),“死記硬背與進(jìn)步學(xué)生素質(zhì)并不矛盾。相反,它恰是進(jìn)步學(xué)生語文程度的重要前提和根底。這個工作可讓學(xué)生分組負(fù)責(zé)搜集整理,登在小黑板上,每周一換。要求學(xué)生抽空抄錄并

5、且閱讀成誦。其目的在于擴(kuò)大學(xué)生的知識面,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會,熱愛生活,所以內(nèi)容要盡量廣泛一些,可以分為人生、價值、理想、學(xué)習(xí)、成長、責(zé)任、友誼、愛心、探究、環(huán)保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以積累40多那么材料。假如學(xué)生的腦海里有了眾多的鮮活生動的材料,寫起文章來還用亂翻參考書嗎?DC線夾在中間，A點(diǎn)被封閉圖形BCD所包圍，與D點(diǎn)在封閉圖形ABC中情況一樣。因此得出結(jié)論：同一平面上任何四個互相之間都有連線的點(diǎn)中，必定有一個點(diǎn)被另三個點(diǎn)連線所形成的封閉圖形所包圍。我們況且叫作四點(diǎn)連線包圍定律。那么平面上有沒有第五點(diǎn)能分鷯肷鮮鏊牡愣加辛?吣?？首先这抵X宓鉋假設(shè)要與第四點(diǎn)D有連線就必須也在封閉

6、圖形ABC里面，其次這第五點(diǎn)不能落在各條連線上，否那么會隔斷這條連線。第五點(diǎn)只能落在E1、E2、E3位置如圖7所示，而這三個位置上的點(diǎn)分別只能與包圍它的小封閉圖形上的三個點(diǎn)有連線，而不能與第四點(diǎn)有連線，假設(shè)要有連線必定會隔斷其它連線。因此得出結(jié)論：同一平面上任何互相之間都有連線的點(diǎn)最多只能有四個，假設(shè)第五點(diǎn)要與這四點(diǎn)有連線，必定會使其中兩點(diǎn)的連線中斷。我們況且叫作五點(diǎn)連線必斷定律。這就是要求證明的“四色問題。以上是在同一平面上證明了“四色問題。假如各區(qū)域圖是分布在立體形的外表比方地球儀，我們根據(jù)拓?fù)鋵W(xué)根本原理可以把這個立體形看成扁平形的，把圖6中的D點(diǎn)看成在平面前，把D點(diǎn)看成在平面后，這兩點(diǎn)假設(shè)要有連線除非從平面中穿孔而過或者從立體形外表外的空間跨過去，否那么這兩點(diǎn)被封閉圖形ABC所隔開是不可能有連線的。這個立體形可以是只要中間不穿孔的任何形狀，因?yàn)椴还苣阃獗砣绾卫饫饨墙恰纪共黄?，從拓?fù)鋵W(xué)來看都與球形是一樣性質(zhì)的，這好比一個氣球在充氣前可以是任何形狀，充氣后總是接近球形。但立體形中間有穿孔的情況就不同了，它最后不會變成球形只能變成車輪內(nèi)胎狀的環(huán)形，前面的第四點(diǎn)與后面的第五點(diǎn)能