第一章計(jì)算聲學(xué)中的數(shù)值計(jì)算及誤差分析

1、前言l海洋環(huán)境前言l已知一組不同深度處的聲速值，如何得到任意深度處的聲速值？函數(shù)插值函數(shù)插值/曲線擬合曲線擬合深度（m）0.050.0100.0200.0300.0400.0500.0800.0聲速(m/s)1510.51510.41505.81500.81496.01492.01488.11483.21000.01200.02000.03000.04000.01482.61482.41498.01516.61534.8前言1480149015001510152015301540155015601570-5000-4500-4000-3500-3000-2500-2000-1500-1000-

2、5000聲 速 剖 面 圖聲 速 (m/s)深度(m)前言l聲線軌跡如何計(jì)算？聲線軌跡如何計(jì)算？數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分1z2z210220cos)(coszzdzznr)()(0zcczn聲線從深度傳播到深度所經(jīng)過的水平距離為前言問題問題：利用射線聲學(xué)模型對(duì)海洋聲場進(jìn)行求解 l偽彩色圖前言前言l已知目標(biāo)散射場指向性的實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果如圖所示，已知目標(biāo)散射場指向性的實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果如圖所示，如何比對(duì)其與理論計(jì)算的結(jié)果的誤差？如何比對(duì)其與理論計(jì)算的結(jié)果的誤差？曲線擬合曲線擬合130鋁球散射聲場指向性頻率28fkHz6 . 7kal隨機(jī)共振系統(tǒng)對(duì)微弱信號(hào)的檢測隨機(jī)共振系統(tǒng)對(duì)微弱信號(hào)的檢測 非線性雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)

3、 利用四階龍格庫塔算法求解微分方程求解微分方程求解前言)(2)cos(03tDtAbxaxx前言00.511.522.533.54x 104-3-2-10123x 10-3輸 入 周 期 信 號(hào)前言00.511.522.533.54x 104-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2輸 入 周 期 信 號(hào) +噪 聲前言00.511.522.533.54x 104-2-1.5-1-0.500.511.52SR處 理 后 信 號(hào)前言l必要性：現(xiàn)代科學(xué)研究和高技術(shù)的發(fā)展越來越需要借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，水聲領(lǐng)域也不例外l本課程的主要內(nèi)容：介紹聲學(xué)理論與實(shí)驗(yàn)研究以及研究過程中常

4、用的一些數(shù)值分析方法，其中數(shù)值算法主要包括：誤差分析、方程組求解、非誤差分析、方程組求解、非線性方程求解、插值法、最小二乘與曲線擬合、線性方程求解、插值法、最小二乘與曲線擬合、數(shù)值微積分、常微分方程求解數(shù)值微積分、常微分方程求解。第一章第一章 數(shù)值計(jì)算中的誤差分析數(shù)值計(jì)算中的誤差分析l內(nèi)容提要：內(nèi)容提要：了解數(shù)值計(jì)算的任務(wù)和特點(diǎn)，掌握絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字、數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)以及設(shè)計(jì)算法的原則。l重點(diǎn)內(nèi)容：重點(diǎn)內(nèi)容：絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字的概念，數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì) 1 數(shù)值計(jì)算的對(duì)象、任務(wù)與特點(diǎn) l對(duì)象：對(duì)象：數(shù)值計(jì)算方法是研究科學(xué)與工程技術(shù)中數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解及其理論的一個(gè)分支，涉

5、及代數(shù)、微積分、微分方程等的數(shù)值解問題。l任務(wù)：任務(wù)：研究適合在計(jì)算機(jī)上使用的數(shù)值計(jì)算方法及相關(guān)理論，如方法的收斂性、穩(wěn)定性和誤差分析等；還要根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)研究如何設(shè)計(jì)計(jì)算方法，做到計(jì)算時(shí)間短、占用內(nèi)存小。l學(xué)習(xí)目的：學(xué)習(xí)目的：提高應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的能力。 1 數(shù)值計(jì)算的對(duì)象、任務(wù)與特點(diǎn)l數(shù)值計(jì)算流程：數(shù)值計(jì)算流程：l特點(diǎn)：特點(diǎn)：既具有數(shù)學(xué)的抽象性與嚴(yán)格性，又具有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)際實(shí)驗(yàn)的技術(shù)性，是一門與計(jì)算機(jī)緊密結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的有著自身研究方法與理論體系的計(jì)算數(shù)學(xué)課程。 2 誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)一、誤差的來源與分類一、誤差的來源與分類1. 分類分類l過失誤差：過失誤差：人為造成，

6、可以避免l非過失誤差：非過失誤差：無法避免2 誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)2. 誤差來源誤差來源l模型誤差模型誤差：數(shù)學(xué)模型是通過對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象和簡化數(shù)學(xué)模型是通過對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象和簡化建立的，是一種近似描述。建立的，是一種近似描述。l觀測誤差觀測誤差：測量工具精度與測量手段的限制。測量工具精度與測量手段的限制。l截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差：由數(shù)值方法求得的數(shù)學(xué)問題的近似解與數(shù)學(xué)由數(shù)值方法求得的數(shù)學(xué)問題的近似解與數(shù)學(xué)模型的精確解之間的誤差，是數(shù)值計(jì)算方法固有的。模型的精確解之間的誤差，是數(shù)值計(jì)算方法固有的。 l舍入誤差舍入誤差：計(jì)算機(jī)位數(shù)的限制。由于計(jì)算機(jī)的字長是有計(jì)算機(jī)位數(shù)的

7、限制。由于計(jì)算機(jī)的字長是有限的，對(duì)參與計(jì)算的數(shù)據(jù)和最后得到的計(jì)算結(jié)果，都必然限的，對(duì)參與計(jì)算的數(shù)據(jù)和最后得到的計(jì)算結(jié)果，都必然用有限位小數(shù)代替無窮位小數(shù)。用有限位小數(shù)代替無窮位小數(shù)。l絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差：設(shè)某一量的精確值為：設(shè)某一量的精確值為 ，其近似值為，其近似值為 ，則稱，則稱 為近似值為近似值 的絕對(duì)誤差，簡稱誤差的絕對(duì)誤差，簡稱誤差 時(shí)稱時(shí)稱 為弱近似值或虧近似值；為弱近似值或虧近似值； 時(shí)稱時(shí)稱 為強(qiáng)近似值或盈近似值。為強(qiáng)近似值或盈近似值。絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差限：如果存在：如果存在 ，使得，使得 ，則稱，則稱 為近似值為近似值 的絕對(duì)誤差限，簡稱誤

8、差限或精度。的絕對(duì)誤差限，簡稱誤差限或精度。（測量時(shí)，測量工具最小刻度的一半）（測量時(shí)，測量工具最小刻度的一半） 越小，表示近似值越小，表示近似值 的精度越高。的精度越高。 在工程技術(shù)上常用在工程技術(shù)上常用 表示近似值的精度或精確值的表示近似值的精度或精確值的范圍。范圍。2 誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)x*x*)(xxxE*x0)(xE0)(xE*x*x0*)(xxxE*x*x*xxl相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限相對(duì)誤差相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差與精確值之比，即：絕對(duì)誤差與精確值之比，即 稱為近似值的相對(duì)誤差。稱為近似值的相對(duì)誤差。 實(shí)際中，由于精確值實(shí)際中，由于精確值

9、 一般無法知道，所以常取一般無法知道，所以常取 作為近似值作為近似值 的相對(duì)誤差。的相對(duì)誤差。相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限：若存在：若存在 ，使得，使得 ，則稱，則稱 為近似值為近似值 的相對(duì)誤差限。的相對(duì)誤差限。注意注意：絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限與：絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限與 有相同的量綱，相對(duì)誤差有相同的量綱，相對(duì)誤差 和相對(duì)誤差限是無量綱的，工程中常以百分?jǐn)?shù)來表示。和相對(duì)誤差限是無量綱的，工程中常以百分?jǐn)?shù)來表示。2 誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)xxxxxExEr*)()(x*)(xxxxEr*x0*)(xxxxEr*xx例例1.1 國際大地測量學(xué)會(huì)建議光速采用國際大地測量學(xué)會(huì)建議光速采用其含義是絕對(duì)誤差限為多少？而其相對(duì)誤差限為多少？其含義是絕對(duì)誤差限為多少？而其相對(duì)誤差限為多少？2 誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)smc/2 . 1299792458l有效數(shù)字有效數(shù)字 描述描述：如果近似值：如果近似值 的絕對(duì)誤差限是某一位的半個(gè)單位，的絕對(duì)誤差限是某一位的半個(gè)單位，就稱其就稱其“準(zhǔn)確準(zhǔn)確”到這一位，且從該位開始直到到這一位，且從該位開始直到 的第一位的第一位非零數(shù)值共有非零數(shù)值共有n位，則稱近似數(shù)位，則稱近似數(shù) 有有n位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。有效數(shù)字既能表示近似值的大小，又能表示其精確程有效數(shù)字既