高考-數(shù)列知識點

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 第一講 數(shù)列1.1數(shù)列的概念1、數(shù)列的定義：按一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列. 注意：數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn).2、 數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項. 各項依次叫做這個數(shù)列的第1項，第2項，第項，.其中數(shù)列的第1項也叫作首項。3、 數(shù)列的一般形式：，或簡記為，其中是數(shù)列的第項1.2數(shù)列的分類1、根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分：有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是有窮數(shù)列無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.例如數(shù)

2、列1，2，3，4，5，6，是無窮數(shù)列2、根據(jù)數(shù)列項的大小分：遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列。遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列。常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列。擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列1.3數(shù)列的通項公式與前項和1、數(shù)列的通項公式 如果數(shù)列的第項與之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式. 注意：（1）并不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式；（2）一個數(shù)列的通項公式有時是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，； 它的通項公式可以是，也可以是.（3）數(shù)列通項公式的作用：求數(shù)列中任意一項；檢驗?zāi)硵?shù)

3、是否是該數(shù)列中的一項. （4）數(shù)列的通項公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第項，又是這個數(shù)列中所有各項的一般表示2、數(shù)列的前項和數(shù)列的前項逐個相加之和：；當(dāng)時；當(dāng)時，.故.1.4數(shù)列的表示方法數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法（解析式法、圖象法、列表法）有聯(lián)系.1、通項公式法（解析式法）：如果數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。2、 圖象法：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，可以用函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形具體方法是以項數(shù)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項為縱坐標(biāo)，即以為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點。所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點

4、都在軸的右側(cè)，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù)從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢3、列表法相對于列表法表示一個函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用表示第一項，用表示第二項，用表示第項，依次寫出成為，簡記為4、遞推公式法遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式。遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。如數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89，的遞推公式為：.1.5等差數(shù)列的基本概念1、等差數(shù)列的定義：（d為常數(shù)）（）；2、等差數(shù)列通項公式： ， 首項:，公差:d，末項: 推廣： 從而；

5、3、等差中項（1）如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項即：或（2）等差中項：數(shù)列是等差數(shù)列4、等差數(shù)列的前n項和公式：（其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)d0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0）特別地，當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)時，是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項（項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項和等于項數(shù)乘以中間項）5、等差數(shù)列的判定方法 （1） 定義法：若或(常數(shù)) 是等差數(shù)列 （2） 等差中項：數(shù)列是等差數(shù)列 （3）數(shù)列是等差數(shù)列（其中是常數(shù)）。（4） 數(shù)列是等差數(shù)列,（其中A、B是常數(shù)）。1.6等差數(shù)列的性質(zhì)（1）當(dāng)公差時，等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.（

6、2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當(dāng)時,則有，特別地，當(dāng)時，則有.注：，（4）若、為等差數(shù)列，則都為等差數(shù)列（5）若是等差數(shù)列，則 ，也成等差數(shù)列 （6）數(shù)列為等差數(shù)列,每隔k(k)項取出一項()仍為等差數(shù)列（7）等差數(shù)列的前n項和，前m項和，則前m+n項和（8）求的最值法一：因等差數(shù)列前項是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項和的最大值是所有非負項之和即當(dāng) 由可得達到最大值時的值 （2） “首負”的遞增等差數(shù)列中，前項和的最小值是所有非正項之和。即 當(dāng) 由可得達到最小值時的

7、值或求中正負分界項法三：直接利用二次函數(shù)的對稱性：由于等差數(shù)列前n項和的圖像是過原點的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時，取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對稱軸為1.7等比數(shù)列的基本概念1、等比數(shù)列的定義：，稱為公比2、通項公式：， 首項：；公比：推廣：， 從而得或3、等比中項（1）如果成等比數(shù)列，那么叫做與的等差中項即：或注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項，并且它們的等比中項有兩個（兩個等比中項互為相反數(shù)）（2）數(shù)列是等比數(shù)列4、等比數(shù)列的前n項和公式：(1) 當(dāng)時， (2) 當(dāng)時，（為常數(shù)）5、等比數(shù)列的判定方法（1）用定義：對任意的n,都有為等比數(shù)列 （2） 等比中項

8、：（0）為等比數(shù)列（3） 通項公式：為等比數(shù)列（4） 前n項和公式：為等比數(shù)列1.8等比數(shù)列的性質(zhì)(1) 當(dāng)時 等比數(shù)列通項公式是關(guān)于n的帶有系數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比 前n項和，系數(shù)和常數(shù)項是互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比(2) 對任何m,n,在等比數(shù)列中,有,特別的,當(dāng)m=1時,便得到等比數(shù)列的通項公式.因此,此公式比等比數(shù)列的通項公式更具有一般性。(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),則.特別的,當(dāng)n+m=2k時,得注：(4) 列,為等比數(shù)列,則數(shù)列, (k為非零常數(shù)) 均為等比數(shù)列.(5) 數(shù)列為等比數(shù)列,每隔k(k)項取出一項()仍為等比數(shù)列(6) 如果是各項均為

9、正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列是等差數(shù)列(7) 若為等比數(shù)列,則數(shù)列，成等比數(shù)列(8) 若為等比數(shù)列,則數(shù)列, , 成等比數(shù)列(9) 當(dāng)時， 當(dāng)時，, 當(dāng)q=1時,該數(shù)列為常數(shù)列（此時數(shù)列也為等差數(shù)列）; 當(dāng)q<0時,該數(shù)列為擺動數(shù)列.(10)在等比數(shù)列中, 當(dāng)項數(shù)為2n (n)時,. 1.9遞推求通項公式類型1 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。類型2 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。類型3 （其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。類型4 （其中p，q均為常數(shù)，）。 （,其中p，q, r均為常數(shù)） 。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法（待定系數(shù)法）：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足1.10數(shù)列求和1直接法：即直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。（1）等差數(shù)列的求和公式： （2）等比數(shù)列的求和