北京市石景山區(qū)屆高三上學期期末考試數(shù)學(理)試題

1、石景山區(qū)2022 2022學年第一學期期末考試試卷高三數(shù)學理本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘請務必將答案答在答題卡上，在試卷上作 答無效考試結(jié)束后上交答題卡 第一局部選擇題共40分2,4 ,那么(Cu A)B、選擇題共8小題，每題5分，共40分在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求1 設集合 U 1,2,3,4 , A 1,2 , B4.設m, n是不同的直線, 是不同的平面,以下命題中正確的選項是A.1,2B.2,3,4C.3,4D.1,2,3,42假設復數(shù)Z1i ,Z23Z2i那么2Z1A.1 3iB.2 ic.1 3iD. 3 i3. AC為平行四邊形ABCD的一條對角線，A

2、B(2,4), AC(1,3),那么 AD A. (2,4)B.(3,7)C.(1,1)D ( 1, 1)5.執(zhí)行右面的框圖，假設輸出結(jié)果為3,那么可輸入的實數(shù)X值的個數(shù)為A. 1B. 2C. 3D. 4A.假設m/,n,m n，貝UB.假設m/,n,m n，貝U/C.假設m/,n,m/n，那么丄D.假設m/,n,m/n，那么/6假設從1,2,3,9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為奇數(shù)，那么不同的取法共有A. 60 種B. 63 種7.8.C. 65 種D. 66 種某三棱錐的三視圖如下列圖，該三棱錐的體積是C. 2在整數(shù)集Z中，被k 5n k n20223 ;B. 45除所得余數(shù)為k的

3、所有整數(shù)組成一個“類Z , k 0,1,2,3,4 .給出如下四個結(jié)論:整數(shù)a,b屬于同一 “類的充要條件是其中，正確結(jié)論的個數(shù)為.A. 1B. 2C.第二局部非選擇題共110分，記為D.二、填空題共6小題，每題5分，共30分.yx,9.不等式組yx,表示的平面區(qū)域 S的面積為4，那么a假設點P(x,y) S，那么z 2x y的最大值為.10.如右圖，從圓 O外一點P引圓O的割線PAB和PCD ,PCD 過圓心 O， PA 1,AB 2,PO 3 ,那么圓0的半徑等于111 在等比數(shù)列an中，ai=?,a4二4，那么公比q=；a! + a2 + a3 + + an =12.在 ABC中，假設a

4、 2, B 60 ,b 、7，那么BC邊上的高等于 2 213定點A的坐標為(1,4)，點F是雙曲線乂 1的左焦點，點P是雙曲線右支412上的動點，貝U | PF | PA的最小值為 1 114. 給出定義：假設 m < x m + (其中m為整數(shù))，那么m叫做離實數(shù)x最近的整數(shù),2 2記作x，即x= m.在此根底上給出以下關于函數(shù)f(x)=x x的四個命題：1 1 y=f (x)的定義域是 R，值域是(，； 點(k,0)是y=f (x)的圖像的對稱中心，其中 k Z ； 函數(shù)y=f (x)的最小正周期為1 ；1 3 函數(shù)y=f(x)在(，上是增函數(shù).2 2那么上述命題中真命題的序號是

5、三、解答題共6小題，共80分解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15. 本小題共13分函數(shù) f(x) sin2x(sinx cosx) cos xI求f (x)的定義域及最小正周期；n求f (x)在區(qū)間 ，一 上的最大值和最小值.6 416. 本小題共14分如圖 1,在 Rt ABC 中， C 90 , BC 3, AC 6 . D、E 分別是 AC、AB上的點，且DE / /BC，將 ADE沿DE折起到 A,DE的位置，使 A,D CD，如圖2.I求證： BC 平面ADC ；n假設CD 2，求BE與平面ABC所成角的正弦值;川當D點在何處時， A B的長度最小，并求出最小值.圖117.

6、本小題共13分甲、乙、丙三人獨立破譯同一份密碼，甲、乙、丙各自破譯出密碼的概率分別為1 11一、-、p,且他們是否破譯出密碼互不影響 假設三人中只有甲破譯出密碼的概率為一2 34I求甲乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率；n求p的值；川設甲、乙、丙三人中破譯出密碼的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望 EX .18. 本小題共13分函數(shù)f(x)=ln x ax+1 a R是常數(shù).I求函數(shù)y=f(x)的圖象在點P(1,f(1)處的切線I的方程;n證明函數(shù) y=f(x)(x1)的圖象在直線l的下方；川討論函數(shù) y=f (x)零點的個數(shù).19. 本小題共14分橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為3，且

7、經(jīng)過點M (4,1)，直線2l:y=x+m交橢圓于不同的兩點 A B .I求橢圓的方程；n求m的取值范圍；川假設直線I不過點M，求證：直線 MA、MB的斜率互為相反數(shù).20. 本小題共13分定義：如果數(shù)列an的任意連續(xù)三項均能構成一個三角形的三邊長，那么稱an為“三角形數(shù)列對于"三角形數(shù)列 an，如果函數(shù)y f(x)使得bn f (an)仍為一個“三 角形數(shù)列，那么稱 y f (x)是數(shù)列an的“保三角形函數(shù) (n N*).Ian是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，假設f (x) kx(k 1)是數(shù)列an的“保三角形函數(shù)，求 k的取值范圍；n數(shù)列Cn的首項為2022 , Sn是數(shù)列Cn的

8、前n項和，且滿足4S.+1 3Sn 8052, 證明Cn是“三角形數(shù)列；川假設g(x) lg x是n中數(shù)列Cn的“保三角形函數(shù)，問數(shù)列Cn最多有多少解題中可用以下數(shù)據(jù)：lg2 0.301, lg3 0.477, lg2022 3.304石景山區(qū)2022 2022學年第一學期期末考試高三數(shù)學理科參考答案、選擇題共8小題，每題5分，共40分.題號12345678答案BADCCABC、填空題共6小題，每題5分，共30分.題號91011121314答案2； 6n 112； 2 一一23329(9 題、11題 第一空2分,第二空3分)三、解答題共6小題，共80分.15. 本小題共13分 I因為 COSX

9、 0,所以 x k + ,k Z .2所以函數(shù)f(x)的定義域為xl X k + ,k Z 2分2、sin 2x(sin x cosXf (x)cosx2sinx sin x+cos x =2sin2 x+sin2 x.2 sin(2 x- )1 5 分4T 7分n因為x ，所以丄 2x- 9分641244當2x-時，即x 時，f (x)的最大值為2 ； 11分444當2x- 時，即x時，f (x)的最小值為 八2+1. 13分42816. 本小題共14分I證明： 在厶 ABC 中， C 90,DE/BC, AD DEADDE .又 AD CD,CD DE D,AD 面BCDE.由BC面 BC

10、DE, AD BC.BCCD,CD BC C, BC 面 ADC.n如圖,以C為原點，建立空間直角坐標系.D(2,0,0), E(2,2,0), B(0,3,0), A(2,0,4).設n (x, y, z)為平面ABC的一個法向量,因為CB(0,3,0), CA (2,0,4)所以3y2x得 y=0, z= 1.所以n (2,0,1)為平面ABC的一個法向量.設be與平面ABC所成角為4所以BE與平面ABC所成角的正弦值為一 9分5川設 D(x,O,O),那么 4(x06x),A,B, (x-0)2 (0-3)2 (6-x-0)22x2-12x 45 12 分當x=3時，AB的最小值是3、3

11、 14分即D為AC中點時，AB的長度最小，最小值為3、. 3 17.本小題共13分記“甲、乙、丙三人各自破譯出密碼分別為事件A1, A2, A，依題意有11P(AJ ,P(A) ,P(A) p,且 A,A2,A3相互獨立.23I甲、乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率為12 21 P(A A) 1 - - _ 3分233n設“三人中只有甲破譯出密碼為事件B ,那么有P(B)P(A A A3):1|(1P)1P231所以1p1 14，p ；3川X的所有可能取值為0,1,2,3.所以P(X0) 4，P(X1)P (A1 A2A)p (AAA3)P (A1A2A3)1 1 131 2 11142 34

12、23424，P(X2)P (A AA)P (AA2A)p (AAA3)11312 1 111123 42342344P(X3)=P (A A2A =1 111-2 3424 .X分布列為:5分7分8分X0123P111114244241111113所以，E(X) 0丄12丄3丄蘭.424424 122.本小題共13分1I f (x)= ax11分12分13分1分f(1)=a+1, ki=f (1)=1 a，所以切線I的方程為y f(1)=K(x 1)，即 y=(1 a)x. 3 分n令 F(x)=f(x)(1-a)x=Inx x+1 , x>0，那么11F (x)=1=(1 x),解 F

13、 (x)=0 得 x=1.xxx(0, 1)1(1,)F(x)0F(x)/最大值即函數(shù)y=f(x)(x 1)的圖像在直線 丨的下方. 8分In x + 1川令 f (x)=lnx ax+1 =0 , a =.x人 ,、In x+1,、，In x+11 (In x+1) In x令 g(x)=, g (x)=()=2= 廠,xxxx那么g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+)上單調(diào)遞減，當x=1時，g(x)的最大值為g(1)=1 .所以假設a>1，那么f (x)無零點；假設f (x)有零點，貝y a 1. 10分假設a = 1, f (x)=I nx ax+1 =0，由I知f (x)有

14、且僅有一個零點 x=1.假設a 0 , f (x)=Inx ax+1單調(diào)遞增，由幕函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比擬，知f (x)有且僅有一個零點或：直線 y=ax 1與曲線y=Inx有一個交點111假設0<a<1，解f (x)= a =0得x=,由函數(shù)的單調(diào)性得知 f (x)在x = 處取最 xaa11大值，f()=I n1。，由幕函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比擬知，當x充分大時f(x)<0，即f (x)aa11a在單調(diào)遞減區(qū)間(一,+ )有且僅有一個零點；又因為f(-)二<0,所以f (x)在單調(diào)遞aee1增區(qū)間(0,1)有且僅有一個零點a綜上所述，當a>1時，f(x)無零點；

15、當a=1或a 0時，f (x)有且僅有一個零點；當0<a<1時，f(x)有兩個零點. 13分19.本小題共14分I設橢圓的方程為%吿 1，因為e ，所以a2 4b2，a2 b2216 1 2 2又因為M(4,1)，所以右1，解得b 5,a20，a b2052 2n將 y x m代入1 并整理得 5x2 8mx 4m2 200,2052 2=(8m) -20(4m -20)>0,解得 5 m 5 . 7 分川設直線MA, MB的斜率分別為K和k2，只要證明k, k20.設 A(x, y,),BX, y2),那么 x1 x28m,X1X254m2520k1 k2 里X1y2 1(

16、yi 1)(x2 4) (y2 1)(x, 4)x24(為 4)(X24)分子 (X1 m1)(X24) (X2 m 1)(X14)2x1X2 (m 5)(X1 X2) 8(m 1)22(4m20) 8m(m 5) 8(m 1) 0所以直線MA、MB的斜率互為相反數(shù).14分20.本小題共13分1顯然 an n 1,an an 1an 2對任意正整數(shù)都成立，即an是三角形數(shù)列。因為k 1，顯然有f(an)f (an 1)f (an 2),由 f(an) f (an 1)f (ann n 12)得 k kkn2所以當k (1,5)時,2f (x) kx是數(shù)列an的保三角形函數(shù)8052,n由 4sn 1 3sn 8052,得 4 3sn兩式相減得4cn 1 3cn 0，所以G2022 *4經(jīng)檢驗，此通項公式滿足 4sn 13$8052.因為 C