第1章第一章習題答案

1、第一章 函數(shù)11集合與函數(shù)習題 1。11 求下列函數(shù)的自然定義域：（1） y =3x + 2由3x + 2 ³ 0 ，得定義域為 x ³ - 2 。31（2） y =1 - x2由1 - x 2 ¹ 0 ，得定義域為 x ¹ ±1。1（3） y =4 - x 2由4 - x 2 > 0 ，得定義域為(- 2,2)。（4） y = tan(x +1)pp由 x + 1 ¹ kp +, k Î Z 得定義域為 x ¹ kp +-1, k Î Z.2（5） y = arcsin(x - 3)由 x - 3

2、Î-1,1，得定義域為 x Î2,4。（6） y = ln(x +1)2由 x + 1 > 0 ，得定義域為 x > -1。2x + 1 sin px（7） y =ìx + 1 ³ 0,由，得定義域為 x > -1且 x Ï Z 。ípx ¹ kp , k Î Zî2 求下列函數(shù)的值域：（1） y = x 2 , x Î-10,0由-10 £ x £ 0 ，得0 £ x 2 £ 100.（2） y = lg x, x Î(0,1

3、0由0 < x £ 10, 得lg x £ 1。Î0,1（3） y =由0 £ x £ 1 ，得0 £ x - x 2 £ 1 ，所以0 £x - x 2 £ 1 。421, x Î (0,1)（4） y =1 - x1由0 < x < 1 ，得0 < 1 - x < 1 ，所以> 1.1 - x3 把半徑為 R 的一圓形鐵皮，自中心處剪去中心角為a 的一扇形后圍成一無底圓錐。試將這圓錐的體積表示為a 的函數(shù)。解：圓錐的底圓周長為鐵皮被剪后所剩扇形的弧長，即

4、R(2p - a )，所以圓錐的底圓半徑為R(2p - a )2p， 圓 錐 的 母 線 長 顯 然 為 R， 所 以 圓 錐 的 高 為R 2 (2p - a )24p 2R 4pa - a 22pR 2 -=，由此得圓錐體積為：1R 2 (2p - a )2R 4pa - a 2R3 (2p - a )2 4pa - a 2V =p，其中0 < a < 2p 。=4p 22p24p 23f (x) 和 g(x)是否相同？為什么？4 下列各題中，函數(shù)（1） f (x) = lg x 2 , g(x) = 2 lg x;f (x) 的定義域為 x ¹ 0 ，而 g(x)的

5、定義域為 x > 0 ，所以兩函數(shù)不同。（2） f (x) = x, g(x) =x2g(（3） f (f (x) = 3 x4 -，與 f (x) 對應法則不同，是不同的函數(shù)。3 , g(-1-1 與 g(x)具有相同的定義域和對應法則，是兩個相同的函數(shù)。（4） f (x) = 1, g(pg(x)的定義域為 x ¹ kp +, k Î Z ，與 f (x) 的定義域不同，是兩個不同的函數(shù)。2（5） f (x) = x -1 , g(x) =1;x2 -1x + 1f (x) 的定義域為 x ¹ ±1，而 g(x)的定義域為 x ¹ -

6、1，所以兩個函數(shù)不同。（6） f (x) = x, g(x) = ( x )2g(x)的定義域為 x ³ 0 ，與 f (x) 的定義域不同，它們是兩個不同的函數(shù)。（7） f (x) = 1, g(g(;= 1，它與 f (x) 的定義域和對應法則都相同，是兩個相同的函數(shù)。-1, g(x) =x2 -1;（8） f (f (x) 的定義域為 x ³ 1， g(x)的定義域為 x ³ 1和 x £ -1，所以它們是兩個不同的函數(shù)。（9） f (x) = lg x 2 , g(x) = 2 lg x ;g(2 ，它與 f (x) 的定義域和對應法則都一樣，是

7、兩個相同的函數(shù)。x（10），它與 g(x)的定義域和對應法則都一樣，是兩個相同的函數(shù)。5. 設(shè) f (x) 為定義在(- l,l) 內(nèi)的奇函數(shù)，若 f (x) 在(0, l )內(nèi)單調(diào)遞增，證明 f (x) 在(- l,0)內(nèi)也單調(diào)遞增。證明：設(shè) - l < x1 < x2 < 0 ，則 0 < -x2 < -x1 < l ， 所 以 f (- x2 ) < f (- x1 ) ，而 f (- x) = - f (x)，所以 f (x1 ) < f (x2 )。6. 設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在(- l,l) 上的。證明：（1）（2）兩個偶函數(shù)的和

8、是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)；兩個奇函數(shù)的商是偶函數(shù)，兩個偶函數(shù)的商是偶函數(shù)。（3）證明：設(shè) f1 (x), f2 (x)為奇函數(shù)， g1 (x), g2 (x)為偶函數(shù)。（1） (g1 + g2 )(- x) = g1 (- x)+ g2 (- x) = g1 (x)+ g2 (x) = (g1 + g2 )(x);( f1 + f2 )(- x) = f1 (- x)+ f2 (- x) = - f1 (x)- f2 (x) = -( f1 + f2 )(x);（2） (g1 g2 )(- x) = g1

9、 (- x)g2 (- x) = g1 (x)g2 (x) = (g1 g2 )(x);( f1 f2 )(- x) = f1 (- x)f2 (- x) = (- f1 (x)(- f2 (x) = f1 (x)f2 (x) = ( f1 f2 )(x);( f1 g1 )(- x) = f1 (- x)g1 (- x) = - f1 (x)g1 (x) = -( f1 g1 )(x);f1 (- x)- f1 (x)f1 (x)æ f1 öæ f1 ö（3） ç÷(- x) =÷(x);f (- x) = - f (x)

10、 = f (x) = ç ffè 2 øè 2 ø222g1 (- x)g1 (x)æ g1 öæ g1 öç÷(- x) =g÷(x);g (- x) = g (x) = ç gè2 øè2 ø227 證明：定義在對稱區(qū)間上的任何函數(shù)都可唯一表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和。證明： 唯一性： 若 f (x) = g(x)+ h(x) ，其中 g(x) 為偶函數(shù)， h(x) 為奇函數(shù)， 則f (- x) = g(- x)+ h

11、(- x) = g(x)- h(x)，所以只能是g(x) = f (x)+ f (- x), h(x) = f (x)- f (- x).2存在性：令 g(x) =2, h(x) = f (x)+ f (- x)2 f (x)- f (- x)2. 易驗證 f (x) = g(x)+ h(x) ，且g(x)為偶函數(shù)， h(x)為奇函數(shù)。8 下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪些既非偶函數(shù)又非奇函數(shù)？（1） y = x 2 (1 - x 2 )定義域為 R ，且 y(- x) = (- x)2 (1- (-（2） y = 3x 2 - x3y(1) = 2, y(-1) = 4 ，所以既不是

12、奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。2 )= y(x)，所以是偶函數(shù)。1 - x 2（3） y =1 + x 21 - (- x)21 + (- x)21 - x 2() = y( )定義域為 R ，且 y - x=x ，所以是偶函數(shù)。1 + x 2+1)（4） y =定義域為 R ，且 y(- x) = (-（5） y = sin x - cos x + 1+1) = -+1) = -y(x)，所以是奇函數(shù)。ppæöæöy= 2, y -= 0ç 2 ÷ç2 ÷，所以既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。èø

13、2;øa x + a - x（6） y =2- x) = a+ ax定義域為 R ，且 y(- x= y( )x ，所以是偶函數(shù)。2a x - a - x（7） y =2a - x- ax定義域為 R ，且 y(- x) = - y(x) ，所以是奇函數(shù)。2（8） y = lg(x +x2 +1)R定義域為，且= - lg(x + 1)= - y(x)，所以是奇æö1y(-)ö+ 1÷ = lgç÷2x +2èøè x +x + 1 ø2函數(shù)。9 下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函

14、數(shù)，指出其周期。（1） y = cos(x - 2)因為cosx 為周期函數(shù)，周期為2p（2） y = cos 4x，所以本函數(shù)也為周期函數(shù)，周期為2p 。因為cosx 為周期函數(shù)，周期為2p ，所以本函數(shù)也為周期函數(shù)，周期為 2p= p。42（3） y = 1 + sin px因為sin x 為周期函數(shù)，周期為2p ，所以本函數(shù)也為周期函數(shù)，周期為 2p = 2 。p（4） y = x cos x若其為周期函數(shù)，則存在 T > 0 ，使得 (x + T )cos(x + T ) = x cos x ，令 x = 0 ，得p2æ pöæ pöT c

15、osT = 0 ，所以cosT = 0 ；令 x =+T ÷cosç+ T ÷ = 0 ，由此得sin T= 0 ，得çè 2øè 2ø。所以 x cosx 不是周期函數(shù)。這是一個（5） y = sin 2 x2p1 - cos 2x，所以本函數(shù)為周期函數(shù)，周期為= p 。因為sin x =10222求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1） y = 3 x +1y 3= x + 1, x = y 3 -1，所以反函數(shù)為 y = x3 - 1.1 - x（2） y =1 + x(1+ x)y = 1- x, (1+ y)x = 1

16、- y, x = 1- y , 所以反函數(shù)為 y = 1 - x 。1+ y1 + xax + b(ad - bc ¹ 0)（3） y =cx + d(cx + d )y = ax + b, (cy - a)x = b - dy, x = b - dy ，所以反函數(shù)為 y = b - dx .cy - acx - a（4） y = 2 sin 3x -£ x £ p öpæç6 ÷è6øppy1y1x易得-£ 3x £，所以3x = arcsin, x =arcsin，所以反函數(shù)為 y

17、 =arcsin。2223232（5） y = 1+ ln(x + 2)ln(x + 2) = y -1, x + 2 = e y-1, x = e y-1 - 2, 所以反函數(shù)為 y = ex-1 - 2.2 x（6） y =2 x+ 1(2yy2 1 - yx2 1 - x=, x = log, 所以反函數(shù)為 y = log。1 - y（7） y = 1 æÎ (0,+¥).2 çè2 y ±4 y 2 + 41x -= 2 y, x 2 - 2 yx - 1 = 0, x =x= y ±y 2 + 1,由x >

18、0,應取2x = y +y 2 + 1 ，所以反函數(shù)為 y = x +x2 +1 。設(shè) f (x) 的定義域 D = 0,1，求下列各函數(shù)的定義域：11（1） f (x 2 );由0 £ x 2 £ 1 ，得-1 £ x £ 1.f (sin x)（2）由0 £ sin x £ 1，得2kp £ x £ (2k +1)p , k Î Z.（3） f (x + a)(a > 0)由0 £ x + a £ 1，得- a £ x £ 1 - a 。（4） f (x + a)+ f (x - a)(a > 0).ì0 £ x + a £ 1,ì- a £ x £ 1 - a,11所以當 a >時，定義域為空集；當 a =時，定由í，得íî0 £ x - a £ 1îa £ x £ 1 + a2211義域為 x =；當0 < a <時，定義域為a,1 - a。22ì1, xï< 1,f (x) = í0, x= 1, , g(x)