天然腸衣搭配的線性規(guī)劃模型2

1、天然腸衣搭配的線性規(guī)劃模型摘要天然腸衣（以下簡(jiǎn)稱為腸衣）制作加工是我過(guò)的一個(gè)傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)，對(duì)我國(guó)出口經(jīng)濟(jì)影響深遠(yuǎn)。本文我們將對(duì)腸衣原料的搭配方案進(jìn)行深入的探討。我們要達(dá)到的目標(biāo)有兩個(gè)：第一，先對(duì)每種規(guī)格的原料單獨(dú)成捆，使其捆數(shù)盡可能多；第二，在目標(biāo)的基礎(chǔ)上，盡可能提高原料的利用率，在允許的誤差范圍內(nèi)，使成品捆數(shù)達(dá)到最大化。針對(duì)以上兩個(gè)目標(biāo)，我們通過(guò)大量不同模型的篩選，發(fā)現(xiàn)線性規(guī)劃模型可以很好的解決問(wèn)題，于是我們建立以下兩個(gè)線性規(guī)劃模型：對(duì)于D題中的問(wèn)題：在題中所給兩張表的數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，我們只簡(jiǎn)單的考慮每種規(guī)格的原料單獨(dú)成捆，即不同類規(guī)格的原料不相互成捆。于是根據(jù)要求將每種長(zhǎng)度每捆所需的原料加起來(lái)，

2、長(zhǎng)度總和會(huì)等于89米；每捆中每種長(zhǎng)度的所需的根數(shù)加起來(lái)，根數(shù)總和會(huì)等于20根；再對(duì)變量進(jìn)行一些條件限制，再用Lingo軟件進(jìn)行編程和求解，就可以得到每種規(guī)格原料單獨(dú)成捆的最大值，且每捆中對(duì)不同長(zhǎng)度的原料所需要的根數(shù)。將每種規(guī)格所得到的捆數(shù)最大值相加，便是組成成品捆數(shù)總和的最大值。對(duì)于D題中的其余的問(wèn)題：在問(wèn)題的基礎(chǔ)上，我們將改進(jìn)第一個(gè)模型，考慮并允許一定的誤差，即每捆總長(zhǎng)度允許有米的誤差，總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)少一根，且可以將原料進(jìn)行降級(jí)使用，也就是說(shuō)考慮不同規(guī)格的材料在多余的情況下可摻雜使用，這樣可以盡可能使材料的利用率達(dá)到最大，成品的捆數(shù)達(dá)到最大化。那么我們將對(duì)模型進(jìn)行進(jìn)一步的推廣與優(yōu)化，具體模

3、型改進(jìn)如下：在模型的基礎(chǔ)上，我們將增加變量和誤差性分析，將原料不同的長(zhǎng)度和根數(shù)設(shè)為變量，這樣計(jì)算出來(lái)的結(jié)果比較符合實(shí)際。最后我們對(duì)所建模型進(jìn)行靈敏度分析檢驗(yàn)，以及對(duì)其評(píng)價(jià)與推廣。關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃 靈敏性分析 Lingo一、 問(wèn)題重述天然腸衣經(jīng)過(guò)清洗整后被分割成長(zhǎng)度不等的小段，既為原料。然后由工人變丈量變心算，將其按指定根數(shù)和總長(zhǎng)度組成成品。原料按長(zhǎng)度分檔，通常以0.5米為一檔，如33.5米按3米計(jì)算，3.53.9米按3.5米算，以此類推。通常成品規(guī)格有下表中3種：最短長(zhǎng)度最大長(zhǎng)度根數(shù)總長(zhǎng)度36.52089713.588914589為了提高生產(chǎn)效率，公司計(jì)劃改變組裝工藝，先丈量所有原料，建立一個(gè)

4、原料表，根據(jù)對(duì)成品和原料的描述，設(shè)計(jì)一個(gè)原料搭配方案，工人根據(jù)這個(gè)方案“照方抓藥”進(jìn)行生產(chǎn)。公司對(duì)搭配方案有以下具體要求：（1） 對(duì)于給定的一批原料，裝出的成品捆數(shù)越多越好；（2） 對(duì)于成品捆數(shù)相同的方案，最短長(zhǎng)度最長(zhǎng)的成品越多，方案越好；（3） 為提高原料使用率，總長(zhǎng)度允許有±0.5米的誤差，總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)少一根；（4） 某種規(guī)格對(duì)應(yīng)原料如果出現(xiàn)剩余，可以降級(jí)使用。如長(zhǎng)度為14米的原料可以和長(zhǎng)度介于713.5米的進(jìn)行捆扎，成品屬于713.5米的規(guī)格；（5） 為了食品保鮮，要求在30分鐘內(nèi)產(chǎn)生方案。最后建立上述問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)題中所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解，給出搭配方案。二、基本假設(shè):

5、1. 切割過(guò)程中原料不發(fā)生損失；2. 工人技術(shù)嫻熟，不會(huì)出現(xiàn)誤差；三、符號(hào)說(shuō)明：各腸衣長(zhǎng)度的總根數(shù)(=)：各長(zhǎng)度分別使用的根數(shù)(=)：各腸衣的長(zhǎng)度(=)：第一種規(guī)格最多能裝的捆數(shù)：第二種規(guī)格最多能裝的捆數(shù)：第三種規(guī)格最多能裝的捆數(shù)：第一種規(guī)格的捆數(shù)：第二種規(guī)格的捆數(shù)：第三種規(guī)格的捆數(shù)： 所剩腸衣能被截出符合規(guī)格一的根數(shù)(=)：所有腸衣的總捆數(shù)四、模型建立（一）基本模型從問(wèn)題入手，我們不難得出我們應(yīng)該建立何種目標(biāo)。我們的目標(biāo)是根據(jù)某種規(guī)格的材料單獨(dú)包裝，盡可能使得包裝的捆數(shù)越多越好。所以我們的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)為所有成品包裝的捆數(shù)總和。由此我們可以建立以下的目標(biāo)函數(shù)： 模型目標(biāo) 1 模型目標(biāo)2 很明顯我

6、們可以看出這是一個(gè)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃模型方程。（二）建立基本模型 2.1模型根據(jù)題目，要設(shè)計(jì)一個(gè)使得捆數(shù)最多的情況，我們應(yīng)該注意以下幾個(gè)因素：1、不能把材料截?cái)嗵幚?，多余的材料?dāng)成廢料；2、盡量把未知量用的越少越好 模型分析46種不同規(guī)格的材料分別包裝成捆，在3-6.5m之間的腸衣為第一種規(guī)格且包裝的根數(shù)在20根，總長(zhǎng)度保持一定，單獨(dú)把這種的包裝成獨(dú)立的捆數(shù)。把第二種、第三種規(guī)格的材料也按照同樣的方法計(jì)算，算的最后的結(jié)果。模型求解通過(guò)問(wèn)題分析，我們得到：因?yàn)椴荒馨巡牧辖財(cái)嗵幚?，我們也一定要最大限度利用材料，使得捆?shù)最多。=;=/89;=/20;=(,);43;59;39;41;27; 28;34;

7、 21;(); 變量根數(shù)變量根數(shù)變量根數(shù)變量根數(shù)變量根數(shù)234227222816432454.484212592418452392025490412550615.1216201823520342135630211829491313035捆數(shù)1414.005144143.68541136.2135135所以=14+41+135=190模型模型分析及求解在誤差應(yīng)允許的范圍內(nèi)，每捆的總長(zhǎng)度可以上下波動(dòng)0.5m，根數(shù)可以少一根。由此我們可以建立以下的模型：=/89=/20腸衣的捆數(shù)可以少一根，所以19每捆腸衣的總長(zhǎng)度可以0.5m，所以88.5把后面兩種規(guī)格多余的材料來(lái)截成第一種規(guī)格的材料來(lái)使用，由此我

8、們可以得到以下式，所以=/89=/20把我們得到的不同算法的最多捆數(shù)來(lái)比較，較小的即是我們能得到的最佳捆數(shù)，所以=(,)=(,)第二種規(guī)格的腸衣可以裝成的捆數(shù)，所以第三種規(guī)格的腸衣裝成的捆數(shù)，所以剩下的材料即總材料減去用完的材料，所以()我們就可以得到總共的捆數(shù)，所以所以=186 五、模型的檢驗(yàn)與靈敏度分析（一）靈敏度分析靈敏度分析具有非常重要的意義，通過(guò)對(duì)靈敏度的分析，可以知道模型對(duì)哪些參數(shù)的變化敏感，從而可以確定各影響因子對(duì)模型的影響程度。六、模型的評(píng)價(jià)與推廣1、模型的優(yōu)點(diǎn) 對(duì)于模型，它的方案較簡(jiǎn)單，只是根據(jù)三種規(guī)格分別單獨(dú)裝在一起，計(jì)算方法簡(jiǎn)單，思路較清晰，易于理解；對(duì)于模型二，它是在模

9、型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提升的，因此，計(jì)算結(jié)果更精準(zhǔn)，對(duì)于不同批次、不同長(zhǎng)度和根數(shù)的原料也可以計(jì)算得出，即可移植性強(qiáng)，原料使用率也更高，更能符合實(shí)際。2、 模型的缺點(diǎn)由于這是在實(shí)際基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)理想化假設(shè)的數(shù)學(xué)模型，因此這個(gè)模型也存在一些缺陷：1、對(duì)于模型一，由于模型是建立在靜態(tài)模型下，即只是將題中所給的一批原料的長(zhǎng)度和根數(shù)的具體數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，也就是不可變性。所以模型不能很好的處理變化，可行性不大。2、對(duì)于模型二，由于增加了變量，加大了計(jì)算量，運(yùn)算起來(lái)較為復(fù)雜。3、 模型的改進(jìn)模型的原料使用率不高，所以在做改進(jìn)的時(shí)候可以針對(duì)這一方面具體操作，而模型的計(jì)算較復(fù)雜，量也較多，所以在做改進(jìn)的時(shí)候就針對(duì)這方面具體

10、操作。4、 模型的推廣該問(wèn)題可以推廣到多種情況，可以用來(lái)組合下料的問(wèn)題，既可以使原料剩余達(dá)到最少，又可以使成品達(dá)到最大化，即原料使用率最高。參考文獻(xiàn)1 J.P.伊格尼齊奧著，閔仲求等譯單目標(biāo)和多目標(biāo)線性規(guī)劃上海同濟(jì)大學(xué)出版社 19822 實(shí)用下料問(wèn)題，2011年9月11日3徐崇剛等，生態(tài)模型的靈敏度分析，2011年9月11日附錄表2 原材料描述表長(zhǎng)度3-3.43.5-3.94-4.44.5-4.95-5.45.5-5.96-6.46.5-6.9根數(shù)4359394127283421長(zhǎng)度7-7.47.5-7.98-8.48.5-8.99-9.49.5-9.910-10.410.5-10.9根數(shù)24

11、24202521232118長(zhǎng)度11-11.411.5-11.912-12.412.5-12.913-13.413.5-13.914-14.414.5-14.9根數(shù)3123225918253529長(zhǎng)度15-15.415.5-15.916-16.416.5-16.917-17.417.5-17.918-18.418.5-18.9根數(shù)3042284245495064長(zhǎng)度19-19.419.5-19.920-20.420.5-20.921-21.421.5-21.922-22.422.5-22.9根數(shù)526349352716122長(zhǎng)度23-23.423.5-23.924-24.424.5-24.92

12、5-25.425.5-25.9根數(shù)060001求出A的值 Linearization components added: Constraints: 5 Variables: 3 Integers: 2 Global optimal solution found. Objective value: 14.00000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 13 Variable Value Reduced Cost A 14.00000 -1.000000 A1 14.00000 0.000000 X1 43.00000 0.00000

13、0 X2 59.00000 0.000000 X3 39.00000 0.000000 X4 41.00000 0.000000 X5 15.10000 0.000000 X6 28.00000 0.000000 X7 34.00000 0.000000 X8 21.00000 0.000000 A2 14.00500 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 14.00000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.00000

14、0 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 11.90000 0.000000 10 0.000000 0.000000 11 0.000000 0.00000012 0.000000 0.000000同理可以得出B與C的值Local optimal solution found. Objective value: 41.00000 Extended solver steps: 3 Total solver iterations: 35 Variable Value Reduced Cost B 41.0000

15、0 -1.000000 B1 41.00000 0.000000 X9 24.00000 0.000000 X10 24.00000 0.000000 X11 20.00000 0.000000 X12 25.00000 0.000000 X13 21.00000 0.000000 X14 23.00000 0.000000 X15 21.00000 0.000000 X16 18.00000 0.000000 X17 31.00000 0.000000 X18 23.00000 0.000000 X19 22.00000 0.000000 X20 54.48000 0.000000 X21

16、18.00000 0.000000 X22 25.00000 0.000000 B2 43.68500 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 41.00000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 0.000000 0.000000 11 0.0

17、00000 0.000000 12 0.000000 0.000000 13 0.000000 0.000000 14 0.000000 0.000000 15 0.000000 0.000000 16 4.520000 0.000000 17 0.000000 0.000000 18 0.000000 0.000000Local optimal solution found. Objective value: 135.0000 Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 34 Variable Value Reduced Cost C

18、135.0000 -1.000000 C1 136.2079 0.000000 X23 35.00000 0.000000 X24 29.00000 0.000000 X25 30.00000 0.000000 X26 42.00000 0.000000 X27 28.00000 0.000000 X28 42.00000 0.000000 X29 45.00000 0.000000 X30 49.00000 0.000000 X31 50.00000 0.000000 X32 62.00000 0.000000 X33 52.00000 0.000000 X34 63.00000 0.000000 X35 49.00000 0.000000 X36 35.00000 0.000000 X37 27.00000 0.000000 X38 16.00000 0.000000 X39 12.00000 0.000000 X40 2.000000 0.000000 X41 0.000000 0.000000 X42 6.000000 0.000000 X43 0.000000 0.000000 X44 0.000000 0.000000 X45 0.000000 0.000000 X46 1.000000 0.000000 C2