培訓_車燈線光源的優(yōu)化模型

1、車燈線光源的優(yōu)化模型（2002年全國大學生數(shù)學建模競賽A題）1. 問題重述安裝在汽車頭部的車燈的形狀為一旋轉拋物面，車燈的對稱軸水平地指向正前方，其開口半徑36毫米，深度21.6毫米。經(jīng)過車燈的焦點，在與對稱軸相垂直的水平方向，對稱地放置一定長度的均勻分布的線光源。要求在某一設計規(guī)范標準下確定線光源的長度。該設計規(guī)范在簡化后可描述如下：在焦點F正前方25米處的A點放置一測試屏，屏與FA垂直，用以測試車燈的反射光。在屏上過A點引出一條與地面相平行的直線，在該直線A點的同側取B點和C點，使AC = 2AB = 2.6米。要求C點的光強度不小于某一額定值（可取為1個單位），B點的光強度不小于該額定值

2、的兩倍（只須考慮一次反射）。請解決下列問題：(1) 在滿足該設計規(guī)范的條件下，計算線光源長度，使線光源的功率最小。(2) 對得到的線光源長度，在有標尺的坐標系中畫出測試屏上反射光的亮區(qū)。(3) 討論該設計規(guī)范的合理性。2. 基本假設與符號約定為了討論問題方便，我們做如下的假設：(1) 車燈采用的大都是鹵鎢材料作為燈絲，鹵鎢燈絲在發(fā)光工作時，燈絲中間的亮度最強，兩端的亮度稍弱。但在實際工作中，這種亮度的差別不是很大，所以我們認為線光源發(fā)出的光強的分布是均勻的。(2) 通常，當光源與反射面之間的距離比光源尺寸大得多時(10倍以上)，才能把該光源當成點光源來處理。而一般的汽車前照燈中，燈絲的長度是3

3、7mm，而反射面的焦距為1540mm，因而不能作為點光源來處理。而根據(jù)(1)的假設，我們將燈絲看成是光強均勻分布的線狀光源。如果將燈絲分成若干微小段dl，由于dl的長度相對于反射面的焦距來說足夠小，所以我們將其作為 1一個點光源來處理。(3) 理論上，一個點光源照射到測試屏上某一點的光強，可以分為點光源直接射到測試屏上的光強和經(jīng)過拋物面反射到測試屏上的光強兩部分。但由于題目只要求測試車燈的反射光，故我們只考慮后者(事實上，點光源直接射到測試屏上的光強相對于經(jīng)過拋物面反射到測試屏上的光強顯得非常微弱，可以忽略不計)。(4) 根據(jù)光的疊加性，n個點光源共同對測試屏上某一點的作用效果，就等于各個光源

4、對該點單獨作用效果的疊加。如果把線光源上各點對測試屏的作用效果作和，即可得線光源在測試屏上的作用效果。(5) 假設光的傳播過程是理想的，如：旋轉拋物面反射系數(shù)為1，即無反射衰減；不考慮光的二次反射、折射、干涉和衍射；光在傳播中無能量損失，等等。(6) 為了處理上的方便，文中涉及到的長度量統(tǒng)一以mm為單位。在此，我們也約定文中所用符號如下：3. 問題(1)：計算線光源長度，使線光源的功率最小3.1 問題的分析與模型的建立綜合考察本問題，可以看出這是一個幾何光學與非線性優(yōu)化相結合的問題。根據(jù)題意，車燈的形狀為一旋轉拋物面，車燈的對稱軸水平地指向正前方，其開口半徑36毫米，深度21.6毫米；經(jīng)過車燈

5、的焦點F，在與對稱軸相垂直的水平方向，對稱地放置一定長度的均勻分布的線光源；在焦點F正前方25米處的A點放置一測試屏，屏與FA垂直，用以測試車燈的反射光。簡單的示意圖參見圖3.1。圖3.1 題目示意圖由于車燈是一個旋轉拋物面，而不是球面。因此，根據(jù)文獻1中對于近軸光線及焦平面的定義和性質，燈絲發(fā)出的光線不能作為近軸光線來簡化處理，也就是說，經(jīng)過旋轉拋物面后反射光線并不相互平行。所以，我們在處理過程中必須嚴格按照光的反射定律2，求出發(fā)射光線。根據(jù)光學知識我們知道，用光照度可以衡量被照物上的光強度。如果我們記線光源的長度為l，總功率為W，線光源在測試屏上B點與C點的光照度(反射被照物的光強度)分別

6、為EB(l)和EC(l)，則設計規(guī)范可表示為：EB(l) 2K，EC(l) K。而問題(1)是求出最優(yōu)的線光源長度，使得滿足設計規(guī)范并且功率最小，于是求解問題(1)就歸結為求解如下的優(yōu)化問題：minWs.t. EB(l)2K, EC(l)K (3.1)由于光源的功率W與光源的發(fā)光強度I及其產生的光通量正相關3，因而用光源的發(fā)光強度I或產生的光通量可以衡量光源的功率，于是問題(3.1)又可以相應地轉化為如下的優(yōu)化問題(3.2)：minIs.t. EB(l)2K, EC(l)K (3.2)求解上述模型(3.1)或(3.2)，關鍵之處是EB(l)和EC(l)(即B點與C點的光照度)的計算。在假設(4

7、)中我們指出：根據(jù)光的疊加性，n個點光源共同對測試屏上某一點的作用效果，就等于各個光源對該點單獨作用效果的疊加；如果把線光源上各點對測試屏的作用效果作和，即可得線光源在測試屏上的作用效果。因而，不妨考慮按照如下路線解決B點與C點的光照度計算問題(參見圖3.2)：(1) 對于測試屏上的任意一點Q '，如果我們能夠得到線光源上任意一點P(可看作點光源)發(fā)出的光線經(jīng)反射面上一點Q反射到測試屏上Q '點的光照度，進而又能夠得到所有將P反射到Q '點的反射點Q的軌跡，那么將其疊加即可得到線光源上任意一點P對測試屏上任意一點Q '的作用效果。(2) 將P對測試屏上任意一點Q

8、 '的作用效果在線光源上進行疊加，即可得到線光源測試屏上任意一點Q '的作用效果，進而可以求得EB(l)和EC(l)。為此，我們進行如下的詳細討論。3.2 反射點的軌跡分析首先，我們建立坐標系如圖3.2：取車燈旋轉拋物面的定點為原點0，0A為z軸方向，y軸平行于燈絲。設線光源的長度為l，P是位于線光源上的一個點(可看作點光源)，從P點發(fā)出的光線經(jīng)反射面上一點Q反射出去反射到測試屏上的Q '點。圖3.2 建立坐標系示意圖1. 拋物面的焦距根據(jù)解析幾何，在此坐標系下旋轉拋物面的方程為x2 + y2 = 2pz。將拋物面上的一個已知點(車燈邊緣上的點)G(36, 0, 21.

9、6)帶入上述方程，可解得p = 30。于是旋轉拋物面在此坐標系下的曲面方程為：x2+y2z=或x2 + y2 = 60z (3.3) 60從而，根據(jù)f = p/2，可知其焦距為f = 15mm，焦點的坐標為F(0, 0, 15)。2. 相應各點的坐標顯然，位于線光源上的點P的坐標為P(0, w, 15)，w-l/2, l/2；令r2 = x2 + y2，則反射點Q的坐標為Q(x, y, r2/60)。根據(jù)題意，還可求得：測試屏上點Q '的坐標為Q '(x', y', 25015)，點A的坐標為A(0, 0, 25015)，點B的坐標為B(0, 1300, 250

10、15)，點C的坐標為C(0, 2600, 25015)。3. 反射光線的方向向量假設位于點P(0, w, 15)的點光源發(fā)出的光線經(jīng)反射面上一點Q(x, y, z)反射出去反射到測試屏上的Q '點，令r2 = x2 + y2，則反射點的坐標為Q(x, y, r2/60)。若記入射光線PQ形成的向量為a，則可以計算得a =(x, y - w, r2/60 - 15)；若記旋轉拋物面F(x, y, z)= x2/60 + y2/60 - z = 0(即x2 + y2 = 60z)上反射點Q處的外法線向量為n，則n =(Fx, Fy, Fz)=(x/30, y/30, -1)。于是，利用線段

11、PQ、n所在直線的部分線段以及Q 'Q上的部分線段可以做一個菱形，如圖3.3。設反射光線QQ '的一個方向向量為c。從圖3.3可以看出，b為與n方向相同的向量，且|b| = 2|HK|，而HK則是向量a在b上(也就是在n上)的投影，于是b =2(a,nnn)=2(a,n) c = a - b |n|n|n|2從而容易計算得c =(cx, cy, cz)，其中2xyww(2y2-r2-900)r4+1800r2-3600yw+810000cx=2，cy=，cz= (3.4) 22r+900r+90060(r+900)圖3.3 反射光線的方向向量4. 測試屏上受光點B和C的反射點的

12、軌跡如果我們考慮將測試屏上的受光點Q '取作點C(0, 2600, 25015)，也就是說，點光源P(0, w, 15)的發(fā)出的光線經(jīng)反射面上一點Q(x, y, r2/60)反射到測試屏上的C點，則由cQC，應有kcx = -x，kcy = 2600 - y，kcz = 25015 - r2/60 (3.5)其中k為常數(shù)。于是帶入(3.5)式，可得：r2+900x = 0或者k=- 2yw(1) 如果x = 0。因為r2 = x2 + y2，所以r2 = y2，帶入(3.4)式和(3.5)式，有w(2y2-y2-900)=2600-yk2y+900 422ky+1800y-3600yw

13、+810000=25015-y60(y2+900)60即y5 - (w + 2600)y4 + 1800y3 + (1498200w - 4680000)y2 +(9360000w + 810000)y - 1350810000w - 2106000000 = 0 (3.6)由于車燈的開口半徑為36mm，因此必有x2 + y2 = r2 362。通過計算可知，存在w0C -1.56，當w > w0C時，方程(3.6)不存在滿足r2 362的實根，即無反射點。而當w < w0C時，方程(3.6)存在兩個滿足r2 362的實根，即有兩個反射點，分別是Qi(0, yi, yi2/60)，

14、i = 1, 2。(2) 如果x 0。因為k = -(r2 +900)/2yw，帶入(3.5)式和(3.6)式，有r2+900w(2y2-r2-900)kcy = 2600 - y -=2600-y 22ywr+9002 x2 = 5200y - y2 - 900 x=±5200y-y-900kcz = 25015 - r2/60r2+900r4+1800r2-3600yw+810000r2 -=25015- 22yw60(r+900)60 y = 0或者y=3750w(考慮到r2 = x2 + y2 = 5200y - 900) 13(w-2600) y=從而 3750w(若y =

15、 0則x = 0，與x 0矛盾) 13(w-2600)x=±y-y2-900，y=3750w (3.7) 13(w-2600)由于車燈的開口半徑為36mm，因此必有x2 + y2 = r2 362。通過計算可知，僅當 -3.8119 < w < -1.5609時，方程組(3.7)存在滿足r2 362的一對實根，即有兩個反射點，分別是Q3(x, y, r2/60) 和Q4(-x, y, r2/60)，其中x2 + y2 = r2。對于B點，類似地可以求得：w0B -0.78，-1.906 < w < -0.7800005。3.3 光照度的計算我們仍然考慮如圖3.

16、2建立的坐標系：取車燈旋轉拋物面的定點為原點0，0A為z軸方向，y軸平行于燈絲。設線光源的長度為l，P是位于線光源上的一個點(可看作點光源)，從P點發(fā)出的光線經(jīng)反射面上一點Q反射出去反射到測試屏上的Q '點。1. 測試屏上點Q ' 的光照度由光學知識我們知道，光照度E描述的是點光源發(fā)出的光投射到某表面dS時該表面上的亮暗程度，計算公式為E=dIdScosI=cos 22dSdSRR其中R為點光源到受照表面dS的距離， 為光源發(fā)出的光束其軸線與面積微元dS的法線n所成的角度，I為點光源的光強度(詳細內容參見附錄)。根據(jù)假設(5)：光的傳播過程是理想的，即不考慮反射衰減，不考慮光的

17、二次反射、折射、干涉和衍射等等，因而，對以從P點出發(fā)經(jīng)反射面上點Q反射到測試屏上Q '點的光線，可以認為是直接從P '點照射到Q '點的光線(其中P '位于Q 'Q延長線上，且|P 'Q|=|PQ|，如圖3.2)。于是當P點發(fā)出的光線經(jīng)反射面上點Q反射到測試屏上Q '點時，Q '點的光照度為：E(Q')=Icos 2|PQ+QQ'|7 其中I為點光源P(或者點光源P ')的光強度， 為QQ '與z軸的夾角。從而，線光源一次反射光對Q '點總光照度為EQ'(l)=l/2-l/2E(Q&

18、#39;)dy (3.8)2. 線光源對B和C的光照度(即EB(l)和EC(l)的表達式)前面，我們已經(jīng)分析得到線光源一次反射光對測試屏上某點Q '的總光照度表達式(3.8)。如果我們考慮將測試屏上的受光點Q '取作點C(0, 2600, 25015)，也就是說，點光源P(0, w, 15)的發(fā)出的光線經(jīng)反射面上一點Q(x, y, r2/60)反射到測試屏上的C點，則位于點P(0, w, 15)的單位功率點光源經(jīng)Q點反射到C點的光照度近似為L=其中|PQ|=cos 24|PQ+QC|x2+(y-w)2+(r2/60-15)2，|QC|=x2+(2600-y)2+(25015-r2/60)2，而為QC與z軸的夾角，25015-r2/60。 cos=QC于是，長l的線光源一次反射光對C點的總光照度為EC(l)=其中 l/2-l/2E(C)dyE(C)=fi(C)/li=14cosiC,w-l/2,w002fi(C)=4|PQi|, i=1, 2Cw-30,w00,c