角函數(shù)輔助角公式化簡

1、(I)求函數(shù)fx的對稱中心;三角函數(shù)輔助角公式化簡一、解答題1 .已知函數(shù)fxsin2xcos2x，xR3(1)求fx的對稱中心；(2)討論fx在區(qū)間,-上的單調(diào)性.342 .已知函數(shù)fx4sinxcosxJ3.3 ,(1)將fx化簡為fxAsinx的形式，并求fx最小正周期;(2)求fx在區(qū)間一,一上的最大值和最小值及取得最值時(shí)46x的值.3.已知函數(shù)fx4tanxsin(1)求fx的最小正周期;(2)求fx在區(qū)間一,一上的單調(diào)遞增區(qū)間及最大值與最小值.44,3cos2x3sinxcosx211)求函數(shù)fx的最小正周期T及最大值;(2)求函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間5.已知函數(shù)fx冗冗冗cos2x

2、-2sinxsinx一344(i)求函數(shù)fx的最小正周期和圖象的對稱軸方程;一TTTT(n)求函數(shù)fx在區(qū)間-上的值域,1226.已知函數(shù)fx,3sinxcosx21cosx一.(n)fx在0,上的單調(diào)區(qū)間7 .已知函數(shù)fx4cosxsinx1,求6(1)求fx的最小正周期；(2)求函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間(3)求fx在區(qū)間一，一上的最大值和最小值64sinx,3cosx?cos-x一一一28 .設(shè)函數(shù)fx2.tanx(1)求fx的最小正周期；討論fx在區(qū)間0,上的單調(diào)性.9 .已知函數(shù)fx2/3sinxcosx2cosx1,(I)求fx的最大值和對稱中心坐標(biāo)；(n)討論fx在0,上的單調(diào)性。1

3、0 .已知函數(shù)5卜sinxcosx.(1)求人用的最小正周期；(2)若關(guān)于x的方程f(x)卜1a/1=在X上有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)白的取值范圍11.設(shè)fxsinxcosxcos2x一4求fx的單調(diào)遞增區(qū)間;銳角ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若fq0,a1,bcJ3,求bc的值.2nit?12.已知函數(shù)=5inrinxco5Ksinsinx.362(1)求函數(shù)fix的單調(diào)增區(qū)間;(2)AABC的內(nèi)角4B,而對的邊分別是a,b,c,若=：”2,且MBC的面積為，求工的值.、4n,13 .設(shè)函數(shù)f僅)=8$()+2cosX3(i)求fx的最大值，并寫出使闡最大值時(shí)k的集合；3(2)

4、已知aab匚中，角A、,B、匚的邊分別為a、bsG若f(B+Q=ib*c=2，求的最小值.2114 .已知fxJ3sinxcosxcosx,其中0,右fx的年小正周期為4.2(1)求函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)銳角三角形ABC中，2accosBbcosC,求fA的取值范圍.15 .已知&=(sinx,cosx),b=(cos小，sin小)(|小|0),設(shè)函數(shù)f(x)=1?b,2222且f(x)的最小正周期為Tt.(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.17.已知函數(shù)fxAsinx(A0,0,一)的部分圖象如圖所示2(1)求函數(shù)fx的解析式;19 .已知fx2cosxsi

5、nx-J3sinxcosxsin2x，6(1)求函數(shù)yfx的單調(diào)遞增區(qū)間；uuvuuu/(2)設(shè)ABC勺內(nèi)角A滿足fA2,而ABACJ3，求邊BC的最小直20 .已知函數(shù)fxcos一xJ3cosxcosx2(1)求fx的最小正周期和最大值；3(2)討論fx在一士上的單調(diào)性.4421.已知fx2j3cos2xsin2xJ31xR,求：(1)fx的單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)x,時(shí)，求fx的值域.4422.已知函數(shù)。乂)=2$in卜X+力一0e會變幾3為偶函數(shù)，且函數(shù)二*乂，圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為:(2)如何由函數(shù)y 2sinx的通過適當(dāng)圖象的變換得到函數(shù)f x的圖象，寫出變換過程(縱坐標(biāo)不變)，然

6、后把所得圖象向左平移一個(gè)單641.，一(3)右f,求sin的值.42618.已知函數(shù)f區(qū)=Tn+slnxcosxcos2x(1)求函數(shù)Y=f(其在0萬上的單調(diào)遞增區(qū)間;7177r3n(2)若.一旦f求3+7的值。312512224.已知函數(shù)fx2J3sinxcos2sin2x1.(1)求函數(shù)fx的對稱中心和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若將函數(shù)fx圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短到原來的位長度，得到函數(shù)gx的圖象，求函數(shù)gx的表達(dá)式.k1. (1)對稱中心為 一 一,0212參考答案kZ；(2)增區(qū)間為，減區(qū)間為，6436【解析】試題分析：利用降募公式和輔助角公式將已知函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦(2

7、)首先求出函數(shù)的性質(zhì)來求對稱中心，其對稱中心能使函數(shù)值為0,從而角的終邊在x軸上;函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)自變量的取值范圍來求落在給定范圍上的的單調(diào)區(qū)間.試題解析：1)由已知令2x1 cos2x,-21 cos 2x32sin2x41-cos2x41 . sin 22x(2)令 2k2x令2k2x2k 6一,k Z , 12對稱中心為一 ,012Z.k Z,增區(qū)間為6，kZ,增區(qū)間為3，k,k上的增區(qū)間為2.(1)fx2sin2x一時(shí),4xminx時(shí),12xmax2.【解析】試題分析：(1)由三角函數(shù)的公式化簡可得2sin2x,由周期公式可得答案；(2)由x的范圍可得一2x一63數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)

8、性，可得最值及對應(yīng)的x值.試題解析：的范圍，可得f(x)的范圍，結(jié)合三角函(1)fx4sinxcosxcossinxsin3332sinxcosx2、3sin2x.3所以T-2（2）因?yàn)樗詓in2x32x當(dāng)2xEx6一時(shí),4xmin2,1,當(dāng)2x一，即x2時(shí),12min2.3.(2)fx最大彳t為-2最小值為【解析】試題分析：（1）化簡函數(shù)的解析式得x2sin，12根據(jù)t_2周期；（2）先求出函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間,再求其與區(qū)間的交集即可；根據(jù)2x一的取值范圍確定函數(shù)在3-,-上的最大值與最小值。44試題解析:(1)fx4tanxcosxcos一34sinxcosx3sin2x、31cos2

9、xsin2x3cos2x2sin2x所以fx的最小正周期T(2)令z2x一，函數(shù)32sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是2k2k2x2k,124Bx|12k1251212,kZ,易知所以，當(dāng)x時(shí)，fx在區(qū)間,上單調(diào)遞增。12 44 42xsin2x1,32sin2x2fx最大值為2,最小值為-1.點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是將函數(shù)化成f（x）=Asin（wx+（）的形式后，把wx+（）看成一個(gè)整體去處理，特別是在求單調(diào)區(qū)間的時(shí)候，要注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減，如果30,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將3化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò).54. (1)T,最大值為1(2)k,kkZ1212【解析】試題分析：（1）先根據(jù)二倍角

10、公式以及輔助角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)形式，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最小正周期T及最大彳I;（2）根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)列不等式一 2k22x 一 32k k Z ,解得函數(shù)2f x的單調(diào)遞增區(qū)間.試題解析：解:3 1 cos2x1 .八一 sin2x21sin2x 2逐cos2x 2sin2x當(dāng)2x(1) T2k2kk12取最大值為令 一2k22x2kf x的單調(diào)增區(qū)間為12125. （1）答案見解析；（2）【解析】試題分析:（1）整理函數(shù)的解析式可得f xsin 2x,則函數(shù)的最小正周期為T對稱軸方程為xkkZ;3（2）結(jié)合函數(shù)的定義域和（1）中整理的函數(shù)的解析式可得函數(shù)的值域?yàn)樵囶}解析:(1)

11、Q f x cos 2x 32sin x sin x 44k由2xk-kZ，得xkZ6223函數(shù)圖象的對稱軸方程為xk-kZ3(2)Qx，一，2x,一122636因?yàn)閒 x sin 2x 一在區(qū)間 6-,-上單調(diào)遞增，在區(qū)間 -,-上單調(diào)遞12 33 2減，所以當(dāng)x時(shí)，fx取最大值13又Qff-1,當(dāng)x時(shí)，fx取最小值12222122所以函數(shù)fx在區(qū)間一,一上的值域?yàn)?1122256k,6. (1),1,kZ(2)0,一2123【解析】試題分析：（1） f x囪sinxcosxcos2xsin2x1,令262x 一 k解得x即可（n ）求f x在0, 6上的單調(diào)區(qū)間，則令2k2x2k一解得x,

12、對k賦值得結(jié)果262試題解析：(I) f x31cos2x1一sin2xsin2x-12226令2x 一 k ，得x6k212k故所求對稱中心為一，1,kZ212(n)令 2k - 2x - 2k26一，解得 k - x k ,k Z263又由于x0,，所以x0，3故所求單調(diào)區(qū)間為0，356點(diǎn)睛：三角函數(shù)的大題關(guān)鍵是對f(x)的化簡，主要是三角恒等變換的考查，化簡成y Asin wx類型，把wx+看成整體進(jìn)行分析7. (DT；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為k,k,kZ；(3)fx.1,36minf x miax2.【解析】試題分析：(1)由和差角公式及二倍角公式化簡得:f x 2sin2x 一 6最小正

13、周期;(2)由 2k 2x - 2k 6(3)由 一x 一得一646試題解析：,k Z可得增區(qū)間；222x ，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可得最值63Q f x 4cosxsin x 一64cosx sinx osx 221 2、.3sinxcosx 2cos2x 13sin2xcos2x2sin2x一.6fx的最小正周期T.(2)由2k2x-2k,kZ62解得kxk,kZ36函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為kQx64當(dāng)2x時(shí)，x666當(dāng)2x萬時(shí)，xf點(diǎn)睛：三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”(1)一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的區(qū)別和聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；(2)而看“函數(shù)名稱”看函

14、數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用公式，常見的有“切化弦”；(3)三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，如“遇到分式通分”等.miaxmin2.8.(1)T(2)x在區(qū)間0,上單調(diào)遞增，在區(qū)間,上單調(diào)遞減.12122【解析】試題分析：(先根據(jù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得fx的最小正周期;(2)根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求0,一)上單調(diào)區(qū)間,2即得fx在區(qū)間0,2上的單調(diào)性.試題解析：(1)fsinx、3cosx?cosxsinxcosx3cos2x令一2k22x-2k3212kxk12(kZ)在區(qū)間0,一12上單調(diào)遞增，在區(qū)間,-上單調(diào)

15、遞減.1229.(1)最大值為2,對稱中心為:,0k12；(n)遞增區(qū)間:0,一和3;遞減區(qū)間:【解析】試題分析：(1)由正弦的倍角公式和降募公式,f(x)可化簡為fx2sin2x一，可知最大值為2,對稱中心由62xk,解得x可求。(2)先6求得f(x)最大增區(qū)間與減區(qū)間，再與0,做交，即可求得單調(diào)性。試題解析：(I ) f xx= ,r所以對稱中心為: 2,12,0 k Z ;12(n)先求f(x)的單調(diào)增區(qū)間，由2k 22x 2k ,k Z ,解得62k , 一 k , k Z ,在0, 63上的增區(qū)間有0和-362sin2x,所以最大值為2,由2xk，解得66同理可求得f(x)的單調(diào)減區(qū)

16、間5-k,k,kZ,在0,上的減速區(qū)間有36遞增區(qū)間:50,和36；遞減區(qū)間:53,610.(1)口；(2)a的取值范圍為口川(qb+L3)【解析】試題分析：(1)由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系整理函數(shù)的解析式為：f(x)=2sin3,結(jié)合三角函數(shù)的周期公式可知T=冗.原問題等價(jià)于N呻1,結(jié)合函數(shù)的圖象可得或0。-卜聲，求解不等式可得a的取值范圍為口夠7口37用.試題解析：n(1)f(x)=2cosxcos(x6)3sin2x+sinxcosx=2 cos2x+ sinxcosxsin 2x + sinxcosxcos2x+sin2x=2sinT=兀.V|f(X)|-a+1=0=3*

17、1=帆x)畫出函數(shù)I在xC2的圖像，由圖可知會或然故a的取值范圍為11忑+1)u+L時(shí).11.(1)4k,-kkZb4【解析】試題分析:1)由三角恒等變換化簡得fxsin2x2k2x22k,kZ可解得增區(qū)間20得sinA,cosA,由余弦定理得3bcb2c21,即,32bc1即得bc試題解析:(1)由題意知sin2x1cos2x一22sin2x1sin2x1sin2x一22k2x2k2Z可得一4,kZ所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2)由0得sinA12又A為銳角，所以cosA由余弦定理得:cosA,222bca,即33bc2bcb2即32bc+knf-+km12.(2)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為36【解析

18、】試題分析：(1)由化一公式得ixi-sinxcosxsinx=nnn+2kn2x+-S=absinC=j3(2)，再由余弦定理得62化簡可得:3171(x i = sinxcosx - -sin v,-22(1)由得:兀n+ knr- + kn36函數(shù)HR的單調(diào)增區(qū)間為.OcCen由= 2,且AABC的面積為S = absinC =樞由余弦定理可得:C2 + 4 + 12-4s2viwy = 4jx|x = kn,k E z13. (1) 6,（2）a最小值為1.f(B + C)=2)由【解析】試題分析：（1）利用二倍角公式和兩角和差公式將原式子化一；（It1FlC0（2AT=JA=-到32

19、,3；由余弦定理得a最小為1；4K34n4rtf(x)=cos(2x-T+-2cosx=(co$2x&in一+sin2x$in-)(1)斤333113nA=333+(1+CO52x)在AABC|中，由余弦定理,=b+J=ibccos-(b+c9-3bc3他引2b+c2,be=l啟之1,由2當(dāng)b=c=l|時(shí)等號成立,日最小為1.點(diǎn)睛：（1）要求三角函數(shù)的最值，就要化成，一次一角一函數(shù)的形式；（2）巧妙利用三角函數(shù)值求得角A,再利余弦定理得邊的關(guān)系，得到最值;,、414.(1)4k,4k32，2,kZ(2)fA32【解析】試題分析：（1）先根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù):fxs

20、in2x,再根據(jù)正弦函數(shù)周期性質(zhì)求，并根據(jù)單調(diào)性性質(zhì)求單調(diào)增區(qū)間6A的取值范圍一,最小正周期為46(2)先根據(jù)正弦定理將邊化為角，由誘導(dǎo)公式及兩角和正弦公式化簡得B,根據(jù)銳角三角形得A取值范圍，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求f3試題解析：(1)fxsin2x1cos2xsin2x221人1fxsinx一，令2kx2k一，262262424kx4k,kZ,3342fx的單倜遞增區(qū)間為4k4kkZ.33，(2) . 2a c cosBbcosC , 2sinAsinC cosB sinBcosC ,1,B ，;銳角二角形 ABC,0 A 23215. ( I ) f (x) =sin (x+ ) , 2k 3

21、4一,2k , k Z; (n) a .66整理得：2sinAcosBsinA,cosB且02A,32a1A5,萬工a62A，一A,fA.624261224n【解析】試題分析：(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到(x)可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=8對稱,所以+ +k/，3進(jìn)而得到小二If(x)sin(x),再由f(3-x)=f利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解單調(diào)區(qū)間即可;(2)將f(x)的圖象向右平移一單位得g(x)=sinx,即sinx+10ax+cosx在x0,37E4一上恒成立，利用數(shù)形結(jié)合分別研究h(x)=sinx-cosx和小(x)=ax1即可.試題解析：(I) - f (x)=?=sinxco

22、s小+cosxsinsin(x+Y),再由fd-x)=f(x)可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=6對稱，7Er+ku, kcz,又 |3n2可得()=57r丫6_,657r【冗-Wx02k?t+,n:函數(shù)的遞增區(qū)間為2卜冗-6,2k冗+自,kGZ；re4一(n)由圖象平移易知g(x)=sinx,即sinx+10ax+cosx在x0,上恒成立.TT4一、也即sinx-cosxwax-1在xG0,上恒成立.7T加Vt-4.4令h(x)=sinx-cosx=乙sin(x-),x0,；小(x)=ax-1如下圖：h(x)的圖象在小(x)圖象的下方，p-(T)4-ZTa-則：akAB=4-二打，故aA.兀

23、兀兀16. (1)f(x)=2sin(2x+)+1；(2)單倜遞增區(qū)間為一+kn,+kn,k6Z.【解析】試題分析：(1)先根據(jù)向量數(shù)量積得函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二倍角公式以及配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求(2)根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)列不等式：冗冗冗-2ku2x-2k冗，再解不等式可得增區(qū)間2623*丁-_-/上試題解析：解：(1)向量a=(2cos2,Vsin工)，匕=(cos2,2cos2),(0),r_-3卷一71貝U函數(shù)f(x)=i3?b=2cos2+2sin?cos上=coscox+1+?sinwx=2sin(3x+6+1,-f(x)的最小正周期為Tt,2兀Tt=G解得

24、3=2,工.1-f(x)=2sin(2x+6)+1；(2)令+2kn2x+62+2kn,k6Z,7T.即一+kjtxy=siny-sin(.v4伊),/匚R(4)復(fù)合變換v=sinx.kR畫f。卜也2小兇:%廣而YHvT并設(shè)JEy=sin(.v+),a曰&5n18.(1)。一)(一川m和6珀-410【解析】試題分析:整理函數(shù)的解析式為f(x)=sin(2x-|6(1)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)v=叱)在。樨上的單調(diào)遞增區(qū)間是5n一川6n n 343 - 4I = sln(2a- + - = 一6 610(2)由題意可得n4cos(2a-)=-65試題解析:nf(x)=sin(2x*)62kn

25、-y2n-m2kn+-kez(1)令262+knx-+kn,kz所以函數(shù)=加)在10川上的單調(diào)遞增區(qū)間為5rt(T(2)因?yàn)閚n?a-e(一網(wǎng)62n 4 cos(2a -)=-65H3f(a)=sin(2a-=-因?yàn)?5所以kn:nRknFt3434133-4f(a+一)-sin2a=sin(2a-)+-=sin(2a-Jcos-+cos(2a-Jsin-父*-=-12666666=2521019. (1)k-,kkZ；aminV42V373136【解析】試題分析：利用和差角及二倍角公式對函數(shù)化簡可得fx2sin2x6兀,兀)兀(1)令友+廣舒.，解不等式可得答案；(2)由fA2sin2A6及

26、0 A2lG-V3bc=(2-j3)lC5從而可求試題解析：(1)x/3si,n2x+cos2x=2sirL(2K+_)3siaz*casx+cosxsi n2由式Q4in(2A甲名.臨工即反8丑正bc=2,又ABC中，a%b%cL2bc8sA=b+JMbu2bc-Vg(2-)bc.5后訴向T陋n5k5n3n20. (1)冗，12在4,H上單調(diào)遞增；在支，7上單調(diào)遞減.【解析】試題分析：整理函數(shù)的解析式fXsin2xY3,則函數(shù)的最小正周期為325（2）結(jié)合（1）中函數(shù)的解析式和三角函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在一，J上單調(diào)遞增；在41253,3-上單調(diào)遞減.124試題解析：(1) f(x)=cosxs

27、inx一,cos2x出=cosxsinx2(1+cos2x)工起魚=2sin2xccos2x2C亞=sin(2x3)2,g因此f(x)的最小正周期為冗，最大值為12n3nnn.7n(2)當(dāng)x61a,不時(shí)，62x-3-t.nn.nn易知當(dāng)2x-32,即這x17時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，nn.Th5n當(dāng)2x-IT,即i1xx+巾試題解析：解：(1)6sinl*巾.對|xWR斤x)=f(x)恒成立,n/陽-wx+4)-2kn+n-1wx+41即：616/TITT力一=一又04+5,故62.f(x)=2sin卜x+-1=2coswm2nn=2一由題意得皿，所以w=2L()=28/=故儂二2852黑.皿4(2)將f(*的圖象向右平移6個(gè)單位后，得到4倍，縱坐標(biāo)不變，得到=M(K1的圖象.54代入自變量8即得皿的值；(2)先根再根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)求g(耳的單調(diào)遞減區(qū)間.1為偶函數(shù)，3=加卜x*小T卜6)的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長到原來的g(x)=2co$要求函數(shù)f x的遞減區(qū)間，只需 x滿足XFt2kn&2krt+n(kGZ)232n8n4kn*x4kn+(kEZ)即m3時(shí)，取即單調(diào)遞減,r2n8ni4k7l+/4kn+(kwz)因此釵乂：的單調(diào)遞減區(qū)間為I3i.點(diǎn)睛：三角