概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題及答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題及答案第八章1.設(shè)X1,X2,|,Xn是從總體X中抽出的樣本，假設(shè)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，Ho：未知，給定oo和顯著性水平(o2檢驗統(tǒng)計量及否定域.試求假設(shè)Ho:選統(tǒng)計量noXii1onXXi,122_(2n),對于給定的顯著性水平,2，,查分布表求出臨界值2(2n),可見Ho:122|(2n)2,所以(，122(2n)22_、(2n),從而P12(2n)o的否定域為P2(2n)2.某種零件的尺寸方差為(2n).1.21,對一批這類零件檢查6件得尺寸數(shù)據(jù)(毫米):32.56,29.66,31.64,3o.oo,21.87,3103。設(shè)零件尺寸服從正態(tài)分布，問這批零件的平均尺

2、寸能否認為是32.50毫米(0.05).解問題是在2已知的條件下檢驗假設(shè)Ho:32.50Ho的否定域為|u|u/2其中X32.50:29.4632.50八八一u.n2.456.771.1Uo.0251.96,因|u|6.771.96,所以否定H。，即不能認為平均尺寸是32.5毫米。3 .設(shè)某產(chǎn)品的指標(biāo)服從正態(tài)分布，它的標(biāo)準(zhǔn)差為100,今抽了一個容量為26的樣本，計算平均值1580,問在顯著性水平0.05下，能否認為這批產(chǎn)品的指標(biāo)的期望值不低于1600。解問題是在2已知的條件下檢驗假設(shè)H0:1600H0的否定域為uu/2,其中uX1600屆158016005.11.02.100100u0.051

3、.64.因為u1.021.64U0.05,所以接受H。，即可以認為這批產(chǎn)品的指標(biāo)的期望值不低于1600.4 .一種元件，要求其使用壽命不低于1000小時，現(xiàn)在從這批元件中任取25件，測得其壽命平均值為950小時，已知該元件壽命服從標(biāo)準(zhǔn)差為100小時的正態(tài)分布，問這批元件是否合格？(0.05)2解設(shè)元件壽命為X,則XN(,100),問題是檢驗假設(shè)H0:1000.H。的否定域為uu0.05,其中X10009501000LCLu.2552.5100u0.051.64因為u2.51.64u0.05所以否定H0,即元件不合格.5 .某批礦砂的5個樣品中饃含量經(jīng)測定為X(%)：3.25,3.27,3.24

4、,3.26,3.24設(shè)測定值服從正態(tài)分布，問能否認為這批礦砂的饃含量為3.25(0.01)?2解問題是在2未知的條件下檢驗假設(shè)H。：3.25H0的否定域為|t|t/2(4)c215_2cX3.252,S(Xi5X)0.00017,S0.0134i1to.4.6041,X3.25.3.2523.25,t52.240.345S0.013因為|t|0.3454.6041t0.005(4)所以接受H0,即可以認為這批礦砂的饃含量為3.25.6.糖廠用自動打包機打包，每包標(biāo)準(zhǔn)重量為100公斤，每天開工后要檢驗一次打包機工作是否正常，某日開工后測得9包重量(單位：公斤)如下：99.3, 98.7,100.

5、5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5問該日打包機工作是否正常(0.05;已知包重服從正態(tài)分布)？o19解X99.98,S2-(XiX)2)1.47,S1.21,8i1問題是檢驗假設(shè)H0:100H。的否定域為|t|t/2(8).其中,X100-99.98100t一；930.05S1.21t0.025(8)2.306因為|t|0.052.306t0.025(8)所以接受H。，即該日打包機工作正常.7.按照規(guī)定，每100克罐頭番茄汁中，維生素C的含量不得少于21毫克，現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的一批罐頭中抽取17個，測得維生素C的含量(單位：毫克)如下(1) 21,20,23,21

6、,19,15,13,16,(2) 17,20,29,18,22,16,25.已知維生素C的含量服從正態(tài)分布，試檢驗這批罐頭的維生素含量是否合格。(0.025)解設(shè)X為維生素C的含量，則XN(,2),X20,S2419.625,S20.485,n17.問題是檢驗假設(shè)H。：21.(1)Ho:21.(2)選擇多計量t并計算其值：,X21-2021tn170.20S20.485(3)對于給定的0.025查t分布表求出臨界值t(n)to.025(16)2.2.(4)因為to.025(16)2.200.20t。所以接受Ho,即認為維生素含量合格.8.某種合金弦的抗拉強度XN(,2),由過去的經(jīng)驗知1056

7、0(公斤/厘米2),今用新工藝生產(chǎn)了一批弦線，隨機取10根作抗拉試驗，測得數(shù)據(jù)如下：10512,10623,10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666,10670.問這批弦線的抗拉強度是否提高了？(0.05)2解X10631.4,S6558.89,S80.99,n10.問題是檢驗假設(shè)H0:10560(1)H0:10560.(2)選統(tǒng)”量并計算其值.X10560.10631.410560t:n:10S80.992.772(3)對于0.05,查t分布表，得臨界值t(9)t0.05(9)1.833.(4)因t0.05(9)1.8332.772t,故否定H。即認

8、為抗拉強度提高了。9.從一批軸料中取15件測量其橢圓度，計算得S0.025,問該批軸料橢圓度的總體方差與規(guī)定的20.0004有無顯著差別？(0.05,橢圓度服從正態(tài)分布)。一_22解S0.025,S20.00065,n15,問題是檢驗假設(shè)H。：20.0004(1)H0:220.0004.2(2)選統(tǒng)計量2并計算其值2(n1)S220140.000650.000422.752.(3)對于給定的0.05,查2分布表得臨界值2/2(14)2.025(14)26.119,12/2(14)0.975(14)5.629.222(4)因為0.9755.62922.75。磔26.119所以接受H。，即總體方差

9、與規(guī)定的20.0004無顯著差異。10.從一批保險絲中抽取10根試驗其熔化時間，結(jié)果為42,65,75,78,71,59,57,68,54,55.問是否可以認為這批保險絲熔化時間的方差不大于80?(0.05,熔化時間服從正態(tài)分布).2_,2解X62.4,S121.82,n10,問題是檢驗假設(shè)H。：80.22(1)Ho:800；2(2)選統(tǒng)計量2并計算其值9121.828013.705_2(n1)S202(3)對于給定的0.05,查分布表得臨界值22(n1)0.05(9)16.919.22(4)因13.70516.9190.05,故接受H0,即可以認為方差不大于80。11.對兩種羊毛織品進行強度

10、試驗，所得結(jié)果如下第一種138,127,134,125;第二種134,137,135,140,130,134.問是否一種羊毛較另一種好？設(shè)兩種羊毛織品的強度都服從方差相同的正態(tài)分布。(0.05)2解設(shè)第一、二種織品的強度分別為X和Y,則XN(1,),2YN(2,)2X131,S36.667,n14Y135,S；35.2,n26問題是檢驗假設(shè)H0:12(3) H0:12(2)選統(tǒng)計量T并計算其值.TXYnn213113546(n11)S2(n21)SHn1n2336.667535.2,46:n1n22:4621.295(3)對于給定的0.05,查t分布表得臨界值t/2(n1n22)t0.025(

11、8)2.3069.(4)因為|t|1.2952.3069tog©),所以接受假設(shè)，即不能說一種羊毛較另一種好。12.在20塊條件相同的土地上,同時試種新舊兩個品種的作物各十塊土地,其產(chǎn)量(公斤)分別為舊品種78.1,72.4,76.2,74.3,77.4,78.4,76.0,75.5,76.7,77.3;新品種79.1,81.0,77.3,79.1,80.0,79.1,79.1,77.3,80.2,82.1;設(shè)這兩個樣本相互獨立，并都來自正態(tài)總體(方差相等)，問新品種的產(chǎn)量是否高于舊品種？(0.01)2.解設(shè)X為新品種產(chǎn)量，Y為舊品種產(chǎn)量；XN(1,),2.YN(2,),問題是檢驗假

12、設(shè)H0:12X79.43,S22.2246,n110Y76.23,Sf3.3245,n210選統(tǒng)方t量T并計算其值：TXYn1n2(n1出2)，(小1)S2(n21慮n1n279.4376.231800495=-142956(2.22463.3245)9；20對給定白00.01,查t分布表得臨界值t(18)t0.01(18)2.5524.因為T4.29562.5524Loi(18)故接受H0,即新品種高于舊品種13.兩臺機床加工同一種零件，分別取6個和9個零件，量其長度得一2一2S10.345,S20.357，假定零件長度服從正態(tài)分布，問可否認為兩臺機床加工的零件長度的方差無顯著差異？(0.0

13、5),一2一一一一解S10.345,n16,S；0.357,n29問題是檢驗假設(shè)Ho：選統(tǒng)方t量F并計算其值0.9664F甕0.345S0.357對給定白0.05查F分布表得臨界值F/2（5,8）Fo.o25（5,8）4.65,L、1"F0.975（5,8）0.1479.6.76因Fo.975（5,8）0.14790.9664F4.65Fo.o25（5,8）故接受H。，即無顯著差異.13.甲、乙兩臺機床加工同樣產(chǎn)品，從它們加工的產(chǎn)品中各抽取若干，測得直徑(單位：mm)為甲：20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9;乙：19.7,20.8,20.5

14、,19.8,19.4,20.6,19.2.問甲、乙兩臺機床加工的精度有無顯著差異？(0.05,產(chǎn)品直徑服從正態(tài)分布。)22.解設(shè)甲加工的直徑為X,乙為Y.XN(1,1),Y-N(2,2).2X19.925,S20.2164,n18問題是檢驗假設(shè)S；0.3967,n27H022選統(tǒng)at量F并計算其值§0.2164F-0.5455.S>0.3967對于給定的0.05,查F分布表得臨界值F/2(7,6)F0.025(7,6)5.70,1F0.975(7,6)0.19535.12因F0.975(7,6)0.19530.5455FF0.025(7,6)5.70,故接受H。,即精度無顯著差

15、異.14.一顆骰子擲了120次，得下列結(jié)果：點數(shù)123456出現(xiàn)次數(shù)232621201515問骰子是否勻稱？（0.05）解用X表示擲一次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，其可能值為1,2,3,4,5,6。問題是檢驗假設(shè)I1,2,|,6.這里k6,Pi0n120,2(ni20)2964.82020(25)H0:RP（XI）,6npi020,Ai故(26) k（口n一1610 1npi01,22_222查分布表，得臨界值（k1）0.05（5）11.071因為4.81.0710.05故接受H0,即骰子勻稱。15.從一批滾珠中隨機抽取50個，測得它們的直徑（單位：mm）為15.015.815.215.115.914.7

16、14.815.515.615.315.115.315.015.615.714.814.514.214.914.915.215.015.315.615.114.914.214.615.815.215.915.215.014.914.814.515.115.515.515.115.115.015.314.714.515.515.014.714.614.2是否可以認為這批鋼珠的直徑服從正態(tài)分布？（0.05）解數(shù)據(jù)中最小的為14.2,最大者為15.9,設(shè)a14.05,b16.15,欲把16.1514.05a,b分成七個（相等的）區(qū)間，則區(qū)間長度（組距）為0.3得7分點y14.35,y214.65,y1

17、4.95,y15.25,y15.55,y15.85.它們把實數(shù)軸分成七個不相交的區(qū)間，樣本值分成了七組：iyi1yini114.353214.3514.655314.6514.9510414.9515.2516515.2515.558615.5515.856715.852設(shè)鋼珠的直徑為X,其分布函數(shù)為F（x）,我們的問題是檢驗假設(shè):H0:F（x）（X一）.其中，2未知.在Ho成立之下，和2的極大似然估計為X15.1,X)20.1849,0.43.11 1n一(Xini1在上面的表中第1組和第7組的頻數(shù)過小，把它們并入相鄰的組內(nèi)，即分成5組，分點為ti14.65,t214.95,t315.25,

18、t415.55.14.6515.1p1F(t1)()1(1.04)0.14920.4314.9515.1P2F(t2)F(t1)(二)0.14920.431(0.35)0.14920.2140.36320.2736P3F(t3)F(t2)(合魯)0.43(0.35)0.36321555151P4F(t4)F(t3)(-)0.43(1.04)0.63680.21815.5515.1P51F(t4)1(;-一)0.14520.43統(tǒng)計量(nnPi)2iniPinpininpi(ninpi)2(ninpi)2/npi180.14927.460.540.29160.039092100.214010.7

19、-0.70.490.045793160.273613.682.325.38240.39345480.218010.9298.410.77156580.14527.260.740.54760.0754350150015.12161.24997i1nPi的值計算如下表:即21.24997,對于0.05查2分布表得臨界值2(2)黑5.991.22因1.249975.9910.05(2),故接受H。，即認為鋼珠直徑服從正態(tài)分布N(15.1,0.1849).16.設(shè)A(匚'，b,i1,2,3,A(-,2),假設(shè)隨機變量X在(0,2)222上是均勻分布的，今又X進彳T100次獨立觀察，發(fā)現(xiàn)其值落入

20、A(i1,2,3,4)的頻數(shù)分別為30,20,36,14,問均勻分布的假設(shè)，在顯著性水平為0.05下是否可信。解檢驗假設(shè)：H0：XU0,2檢驗計算表如下：iniPinPininpi/2(nnp)nPi1301425512201425513361425114.844141425-114.841001100011.68統(tǒng)計量2(n一咀)11.68,2-2(41)iinpi2對于0.05,查得0.05(3)7.815因為211.687.815盆(3)所以不接受H。，即不能相信X-U0,2.習(xí)題九1.一批由同樣原料織成的布，用五種不同的染整工藝處理，然后進行縮水試驗，設(shè)每種工藝處理4塊布樣，測得縮水率

21、的結(jié)果如下表縮水】率布樣節(jié)AA2A3A4A514.36.16.59.39.527.87.38.38.78.833.24.28.67.211.446.54.18.210.17.8問不同的工藝對布的縮水率是否有顯著的影響（0.01）解m5,n1n2n3n4n54,n20,查附表5得Fo.oi(m1,nm)F。.。9,15)4.89.序號AA2A3A4A5mi1P12(147.9)22014.36.16.59.39.51093.7227.87.38.38.78.8Q1149.2533.24.28.67.211.446.54.18.210.17.8R1170.92niX八ijj121.821.731.

22、635.337.5147.9SeRQ2ni21.67X-ijj1475.24470.89998.561246.091406.254597.03SAQP21nXijnij1131.82112.24252.34316.03358.491149.2555.53niw2SRPXijj1131.82112.24252.34316.03358.491170.9277.2方差分析表方差來源平方和自由度均方F值工藝誤差55.5321.6741513.88251.44479.6095*總和77.2019因為9.60954.89,所以工藝對縮水率有顯著影響.2.燈泡廠用4種不同配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡，今

23、從中分別抽樣進行使用壽命的試驗，得到下表的結(jié)果(單位：小時)，問這幾種配料方案對使用壽命有無顯著影響？(0.01)試驗萬壽命A1A2A3A116001850146015102161016401550152031650164016001530416801700162015705170017501640160061720一1660168071800一1740一8_一一1820一解m4,ni7,叫5,%8,56,n26,查附表5得Fo.oi(m1,nm)F0.0i(3,22)4.82為簡化計算從上表的試驗結(jié)果中都減去1600再除以10得下表壽命序號AlA2A3A44i11025T4-9214-563

24、540748102§51015406126872014822niXj1Xij565829T91242niXijj1ij3136336484136121ni一'jnij1448672.8105.12560.1671286.092nX2八ijj17349829572642937-1“、2”一P(124)2591.385,Q1286,092,R293726C11SeRQ1650,908,SeSe16.509100C-f一八c1c-SAQP694,707,SASA6.947100方差分析表方差來源平方和自由度均方F值配料誤差6.94716.5093222.3130.7273.18總和

25、23.45625因為F3.184.82F0.01(3,22),故不顯著3.在單因素試驗方差分析模型式(9.2)中，i是未知參數(shù)(i1,21|,m),的點估計和區(qū)間估計.解因為XiN(i,2),所以i的點估計為？Xi,i1,2,1",m.22由定理9.1知Se/(nm),再由定理6.1知Xi與s2Xi與s2,S2j”,Sm獨(2) ni-2,(XijXi)相互獨立，又由Xij獨立，知1j1m_從而Se(ni1)S2與Xi獨立，又i1(Xii卜ni!LN(0,1)由t分布的定義知(Xii)nit(nm)/Se其中SeSe/(nm)對于給定的，查t分布表求出臨界值t/2(nm),使在上式括

26、號內(nèi)將i暴露出來得i在置信度1下的置信區(qū)間Xit/2(nm)J,Xit/2(nm)I:nini4.在單因素試驗方差分析模型式(9.2)中，2是未知參數(shù)，試證一J是2的無偏估計，且nm2的1下的置信區(qū)間為SeSe2j2./2(nm)i/2(nm)222一證：因為Se/(nm),所以E(Se/)nm,即ESe(nm)2于是ESe故一二是2的無偏估計；nm22因為Se/(nm).92.2.所以對于給定的，查分布表求出臨界值/2(nm)和i/2(nm)使得P(i2/2(nm)S22/2(nm)1式中將2暴露出來得P故2的置信度為1a2Znm)下的置信區(qū)間為Se12/2(nm)證畢SeSej2/2(nm

27、)1/2(nm)5.驗證式(9.24)的解a,b能使Q(a,b)(Yii1abxi)2達到最小值.證：a,b是函數(shù)Q(a,b)(Yii1abxi)2的駐點.而QQnA<2n,B2Xi,C2aabii2Qb2n2Xi2i1nACB24nXi2Xi由柯西不等式知而Q(a,b)存在最小值，故0,而A0,C0所以(a,a,b能使Q(a,b)達到最小值是Q(a,b)的極小點,.利用定理9.2證明，在假設(shè)H0:b0成立的條件下，統(tǒng)計量b-tSLxx-t(n2)并利用它檢驗9.2中例1所得的回歸方程的顯著性(0.01)證：因為bN(b,)所以匡國仁N(0,1)Lxx一b在Ho:b0成立的條件下一jLx

28、xN(0,1)22(n2)(n2)S22由t分布的定義知證畢今利用t統(tǒng)計量檢驗歸方程的顯著性.,b27.156c-CtLxx-6.0566.133Sxx118.734對于給定的0.01查t分布表得臨界值t0.01(10)2.7638.因為t6.1332.738t0.01(10),所以回歸方程顯著.利用定理9.2證明回3系數(shù)b的置信區(qū)間為It/2(n2),'Lxx5t/2(n2)Lxx并利用這個公式求9.2中例1的回歸系數(shù)b的置信區(qū)間(置信度為0.95).解由定理9.2知bb-t三。Lxxt(n2)對于給定的，查t分布表求出臨界值t/2(n2),使Pt/2)-S-Lxxt/2(n2)1在

29、上式的大括號內(nèi)，將b暴露出來得Pbt/2(n2)S_b,'Lxxt/2(n2)故b的置信度為1下的置信區(qū)間為1t/2(n2)S,.LxxIt/2(n2)-=,Lxx證畢27.156n12,S10.897,Lxx6.056to.025(10)2.228.所以b的置信度為0.95下的置信區(qū)間為(17.291,37.021).在鋼線碳含量x(%)對于電阻y(20C時，微歐)效應(yīng)的研究中，得到以下的數(shù)據(jù)x0.010.300.400.550.700.800.95y1518192122.623.826設(shè)對于給定的x,y為正態(tài)變量，且方差與x無關(guān).(1)求線性回歸方程yabx;(2)檢驗回歸方程的顯

30、著性；(3)求b的置信區(qū)間(置信度為0.95);(4)求y在x0.50處的置彳言度為0.95的預(yù)測區(qū)間.解我們用下表進行計算序號xy2x2yxy10.10150.012251.520.30180.093245.430.40190.163617.640.55210.302544111.5550.7022.60.49510.7615.8260.8023.80.64566.4419.0470.95260.902567624.73.8145.42.5953104.285.61平均0.54320.770.543,720.77Lxx27x2.5952.0640.531,Lyy2Yi2-7y3104.230

31、19.7584.45,LxyXYi7xy85.6178.9476.663,為12.55,Lxxbx13.95,所以回歸方程為13.9512.55x.其中UjLxy,QLyyU,Q查F分布表求出臨界值Fo.oi(1,5)Q.n216.62因為F503.6116.62Fo.oi(1,5),我們用方差分析表來檢驗回歸方程的顯著性方差分析表方差來源平方和自由度均方F值回歸U83.621U83.62U503.61Q乘U余Q0.8315Q0.166總和Lyy84.456所以回歸方程高度顯著(3)由第7題知，b的置信度為1下的置信區(qū)間為3/2(n2)：，St/2(n2).Lxx此處12.55,n7,20.0

32、5,t0.025(5)2.5706,S(Lyy/(n2)0.166.所以b的置信度為0.95下的置信區(qū)間為(11.112,13.987)(4)n7,x0.53,Lxx0.531,s0.407,t。.2.5706,x00.50.(xo)t/2(n1)Sj11(x0療nLxx1(0.50.543)22.57060.407.11.1270.531y013.9512.550.520.225故y在x0.50處的置信度為0.95的置信區(qū)間為(y0(0.5),y0(0.5)(19.105,21.345)9.在硝酸鈉(NaNO3)的溶解度試驗中，對不同的溫度t：C測得溶解于100ml水中的硝酸鈉質(zhì)量Y的觀測值

33、如下：t0410152129365168yi66.771.076.380.685.792.999.6113.6125.1從理論知Y與t滿足線性回歸模型式(9.20)(1)求Y的回歸方程；(2)檢驗回歸方程的顯著性(0.01);(3)求Y在t25c時的預(yù)測區(qū)間(置信度為0.95).解計算表如下序號tiyiti22yitiyi1066.704448.8902471.0165041.0028431076.31005821.6976341580.62256496.36120952185.74417344.491799.762992.98418630.412694.173699.912969980.01

34、3596.4851113.6260112904.965793.6968125.1462415560.018506.8234811.81014476317.8224646.6F26,y90.29Lttt：9產(chǎn)1014460844060,i19Ltytiy9fy24646.621106.83539.8,i19Lyyyi29y276317.8273224.363093.461bLy0.87187,aybt67.5313,LttS2(LyybLty)/71.0307,S1.0152Yt的回歸方程為y67.53130.87187t;(2)方差分析表如下方差來源平方和自由度均方F值回歸3086.25130

35、86.253086.25剩余7.2171.031.03總和3093.468=2996.36查F分布表求出臨界值Fo.oi(1,7)12.25因F2996.3612.25F.。7),故方程高度顯著1067.53130.871872589.3281t/2(n2)S小-(t0t)nLtt2.36461.01521.052.53Y在t25c時的置信度為0.95下的預(yù)測區(qū)間為(y°(25),y°(25)(86.79,91.85).000000000000 .某種合金的抗拉強度Y與鋼中含碳量x滿足線性回歸模型式(9.20)今實測了92組數(shù)據(jù)(Xi,yi)(i1,2,|,92)并算得X0.1255,y45.7