競(jìng)賽輔導(dǎo)專題2：一元一次方程

1、北京十二中初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)專題二：一元一次方程（2講）方程是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容最簡(jiǎn)單的方程是一元一次方程，它是進(jìn)一 步學(xué)習(xí)代數(shù)方程的基礎(chǔ)，很多方程都可以通過(guò)變形化為一元一次方程來(lái)解決本 講主要介紹一些解一元一次方程的基本方法和技巧.用等號(hào)連結(jié)兩個(gè)代數(shù)式的式子叫等式如果給等式中的文字代以任何數(shù)值， 等式都成立，這種等式叫恒等式.一個(gè)等式是否是恒等式是要通過(guò)證明來(lái)確定的.如果給等式中的文字（未知數(shù)）代以某些值，等式成立，而代以其他的值，則 等式不成立，這種等式叫作條件等式條件等式也稱為方程使方程成立的未知 數(shù)的值叫作方程的解方程的解的集合，叫作方程的解集解方程就是求出方程 的解集.只含有一個(gè)未

2、知數(shù)（又稱為一元），且其次數(shù)是1的方程叫作一元一次方程.任 何一個(gè)一元一次方程總可以化為 ax=b（a工0）的形式，這是一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形 式（最簡(jiǎn)形式）解一元一次方程的一般步驟：（1）去分母； 去括號(hào)；（3）移項(xiàng)； 合并同 類項(xiàng)，化為最簡(jiǎn)形式ax=b； 方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得出方程的解.一元一次方程ax=b的解由a，b的取值來(lái)確定：（1）若技護(hù)山則方程有唯一解K = -；a若a=0,且b=0,方程變?yōu)? x=0，則方程有無(wú)數(shù)多個(gè)解； 若a=0,且bM0,方程變?yōu)?x=b，則方程無(wú)解.【例題與提高】1 if 121 33- - x - - x - - = x + -例1解方程：24從

3、習(xí)44【分析】用兩種思路求解該方程：解法1從里到外逐級(jí)去括號(hào).解法2按照分配律由外及里去括號(hào)例2已知下面兩個(gè)方程：3(x+2)=5x,4x-3(a -x)=6x -7(a -x)有相同的解，試求a的值.a的值.【分析】本題解題思路是從方程中求出 x的值，代入方程，求出例3已知方程2(x+1)=3(x -1)的解為a+2,求方程22(x+3) -3(x-a)=3a的解.北京十二中初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)例4解關(guān)于x的方程(mx-n)(m+n)=0 .分析 這個(gè)方程中未知數(shù)是x，m n是可以取不同實(shí)數(shù)值的常數(shù)，因此需要討論m, n 取不同值時(shí)，方程解的情況.例 5 解方程：(a+x -b)(a -b-x)

4、=(a 2-x)(b 2+x)-a2b2.分析 本題將方程中的括號(hào)去掉后產(chǎn)生x2項(xiàng)，但整理化簡(jiǎn)后，可以消去x2,也就是說(shuō), 原方程實(shí)際上仍是一個(gè)一元一次方程.例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是關(guān)于x的一元一次方程，求代數(shù)式199(m+x)(x -2m)+m的值.北京十二中初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)例7已知關(guān)于x的方程a(2x-1)=3x-2無(wú)解，試求a的值.例8 k為何正數(shù)時(shí)，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正數(shù)？-.?i來(lái)確定：a(1)若b=0時(shí)，方程的解是零；反之，若方程 ax=b的解是零，則b=0成 若ab>0時(shí)，則方程的解是正數(shù)；反之，若方程 ax=b的解是正數(shù), 則ab

5、>0成立.(3)若abv0時(shí)，則方程的解是負(fù)數(shù)；反之，若方程 ax=b的解是負(fù)數(shù), 則abv 0成立.北京十二中初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)北京十二中初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)2 ax2bx2cx+ + 例 9 若 abc=1,解方程"- + ° + -:- - “ :- + '二-'【分析】像這種帶有附加條件的方程，求解時(shí)恰當(dāng)?shù)乩酶郊訔l件可使方程的求解 過(guò)程大大簡(jiǎn)化.例10若a，b，c是正數(shù)，解方程:【分析】用兩種方法求解該方程。注意觀察，巧妙變形，是產(chǎn)生簡(jiǎn)單優(yōu)美解法所不 可缺少的基本功之一.例11設(shè)n為自然數(shù)，x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，解方程：nn +1)2x +x

6、.分析 要解此方程，必須先去掉，由于n是自然數(shù)，所以n與(n+1)2i申必有一個(gè)是偶數(shù)，因此 V乂是整數(shù).因?yàn)閲?guó)是整數(shù)，2xt 3xt,，nx都是整數(shù)，所以x必是整數(shù).例12已知關(guān)于x的方程:j2X-x +142北京十二中初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)北京十二中初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)且a為某些自然數(shù)時(shí)，方程的解為自然數(shù)，試求自然數(shù) a的最小值.北京十二中初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)【強(qiáng)化練習(xí)】1 解下列方程:2 .解下列關(guān)于x的方程:a 2(x-2) -3a=x+1；3x + 2abaz + b33. 辺為何值時(shí)，方程）彳二仗-有無(wú)數(shù)多個(gè)解？無(wú)解?3 L 64 .當(dāng)k取何值時(shí)，關(guān)于 x的方程3（x+1）=5-kx，分別有:

7、（1）正數(shù)解；（2）負(fù)數(shù)解；（3）不大于1的解.北京十二中初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)1、（ 2001年湖南常德中考題）已知|3x -12，則X二（）11(A)1( B) -(C) 1 或(D)無(wú)解332. (1996年“希望杯” 賽 題)若 |x=a,則 |xa=().(A) 0 或 2a(B) x_a( C) a _x ( D) 0 3. （2001年重慶市競(jìng)賽題）若12000 x 2000 1= 20 2000 貝U x等于（(A) 20 或21( B) 20 或 21(C) 19 或 21( D) 19 或214. （ 1997年四川省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）方程|x-5|42x = _5的根是5. （

8、2000年山東省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）已知關(guān)于x的方程mx 2 =2（m x）的解滿足1 |X 一 I 一1 =0,則 x 的值是（）.22222（A） 10 或（B） 10 或（C） 10 或（D） 10 或55556. （ 2000年重慶市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）方程|5x+6|=6x-5的解是.7.（“迎春杯”競(jìng)賽題）解方程|x 3|-|x-1|=x - 18. (2000年“希望杯”競(jìng)賽題)若a <0，則2000 a - 11 |a |等于().(A) 2007 a (B) 2007a (C) 1989a (D) 1989a9.(“江漢杯”競(jìng)賽題)方程| x ' 1 | ' | x ' 99 | ' | x - 2| = 1992共有()個(gè)解.(A) 4(B) 3(C) 2( D) 110. (第11屆“希望杯”競(jìng)賽題)適合|2a| |2a-1 |=8的整數(shù)的值的個(gè)數(shù)有()(A) 5(B) 4(C) 3( D) 211. (1999年武漢市競(jìng)賽題)若a - 0, b < 0則使|x - a | |x - b |=a - b成立的的取值范圍是.12. ( 1998年“希望杯”競(jìng)賽題)適合關(guān)系式|3x-4|3x