空間解析幾何與向量代數(shù)六

1、空間解析幾何與向量代數(shù)3一、向量代數(shù)(i) 有關(guān)空間直角坐標(biāo)系下點坐標(biāo)的問題。1. ( 4)在空間直角坐標(biāo)系中，指出以下各點在哪個卦限？(A)(2,- 3,4)(B) (2,3,- 4)(C) (2, - 3, - 4)(D) (一 2, - 3,4)解：(A )W(B )V( C )W( D )m32. (6 )假設(shè) A(1A1, 3), B(1,3, 0)，那么 AB 中點坐標(biāo)為(1,1,), | AB |= 5.2 3. ( 7 )求(a,b,c)點關(guān)于(1)各坐標(biāo)面(2)各坐標(biāo)軸(3)坐標(biāo)原點的對稱點坐標(biāo)。解: (1) xoy-(a,b, -c), yoz (-a, b,c), xoz

2、 -(a,b,c) x /a, -b, -c), y ( a'b, c), z ( a, -b, c) (3 ) o(0,0,0) -(-a,-b,-c)4. ( 4)假設(shè)點M的坐標(biāo)為(x, y,z)，那么向徑OM用坐標(biāo)可表示為(x, y, z)或lx, y, z?.5. ( 8)一邊長為a的立方體放置在xoy面上，其下底面的中心在坐標(biāo)原點，底面的頂點在x軸和-a,0, a), (0, a, a)y軸上，求它各頂點的坐標(biāo)。解:(a,0,0), (0, a,0),(2 2 2 26.( 7) A(-1,2,-4) , B(6,-2, t)，且 | AB 卜 9，求(1) t; ( 2)線

3、段 AB 的中點坐 標(biāo)55解:(10 或-8,(2)( , 0,-2)或(，0,-6)22(ii) 有關(guān)向量概念及向量線性運算的坐標(biāo)表示。cos2 :cos2 二7. ( 8)設(shè)兩點MM4八2,1)和M2(3, 0,2)，計算M1M2的模、方向余弦、方向角及 單位向量12 12兀解:(1 )模 2, (2)(，-Q,:22 23& (6 )假設(shè)：，:,為向量a的方向角，貝V cos2sin “：亠 sin , ； sin 2 9. (6)設(shè) m =(3, 5, 8 ) , n =(2,4,7)和 p = (5,1-4 ), 求向量 a =4m +3n p 在 x 軸上的投影及在 y 軸

4、上的分向量。彳 - - -解：(1) 13, ( 2) 7j ( a =4m 3n 一 p 二 4(3,5,8) 3(2, 一4,一7) 一( 5,1,-4)Z軸的夾角為，另外兩個方向角相等，6= (13,7,15)10. ( 6 )點P的向徑OP為單位向量，且與解: 丿匕 1 冷11(6 )向量a 與各坐標(biāo)軸成相等的銳角| a |=2.3 ，求 a 的坐標(biāo)。解: 因為 3cos2同理 ay求點pa勺坐標(biāo)。=1= cos 3，所以3=2，故 a =(2,2,2)=a cos 二=2 3 ax3= 2(iii) 向量的數(shù)量積與向量積及其坐標(biāo)運算。12. (4 )以下關(guān)系式錯誤的選項是 ( D )

5、2 2(A) a b = b a (B) a b - -b a (C) a =| a |(D) a a = 013. ( 7)設(shè) a ( 3,1,2 ) , b =( 1,2,1),求 a b 與 ?b.解：a b = -1 , a b - -3,5,7 :14. (7)設(shè) a =(2,-3, 2), b = (-1,1, 2), c =(1,0,3)，求(a b) c.2-3 2解：(a><b)c = 112 = 1110 3(iv) 用向量的坐標(biāo)來判斷向量間的特殊位置關(guān)系，會求一向量在另一向量上的投影。 15?確定以下各組向量間的位置關(guān)系：V - 才才(1) ( 4 ) a=(

6、1,1,-2) 與 b=(-2,-2,4) a II b(2) ( 4 ) a = (2, -3,1) 與 b = (4,2,-2) a_b16. ( 7 )求向量 a =(4,-3,4) 在向量 b =(2,2,1)上的投影解:prjba =cos(a, b) = aPHb|(v) 用向量積來計算有關(guān)平行四邊形和三角形的面積問題。17.( 7)：OA=i 3k , OB = j ? 3k，求 OAB 的面積。解:s也=AOA漢OB = 心218. ( 7) lABC三頂點在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為A(X1, yj, B(X2, y2),C(X3, ys),X1y11S 解：也BC 12X

7、2y21X3y31那么如何用向量積的方法來求出.ABC的面積？19. (7 )試找出一個與 a =(1,2,1),b =(0,1,1)同時垂直的向量(1,-1,1)川、綜合應(yīng)用題型：(i)涉及到代數(shù)向量(即用坐標(biāo)表達式表示的具體向量)的綜合計算問題。20.( 10 )三點 M,(2,2,1),M 2(1,1,1),M s(2,1,2)，( 1 )求 MM2M3 ；(2)求與MjMz' IQMb同時垂直的單位向量解: (1)M2M1 =(1,1,0) M 2M3 =(1,0,1), cos(M 2M1,M2MsA12故? M1M 2M3 (M1M2 M 2M3)21. ( 8 )M1M2

8、 M2M3 A(1,0,0), B(0,2,1)試在z軸上求一點C ,使厶ABC的面積最小。解：設(shè) C(0,0,z) , A2(5z2 -2z 5)=、平面方程 三點式平面方程的求法，根據(jù)一般式方程指出平面的特殊位置。26. ( 7 )求過三點 M1 (2, T,4), M 2( T,3,-2), M 3(0,2,3)的平面方程。ijk-34_6 =(14,9,一 1)-23-1解:因為平面的法向量為n - M1M2XM1M3 =假設(shè)A(Xi, %,乙),B(X2, y2乙),C(X3, y, Z3)不共線，你能給出過此三點的平面方程嗎故 14 (x -0) 9 ( y -2) -z (z -

9、3) = 0.14x 9y - z -15 = 0x -xj y y z 7X2 -禺 y - y 1 Z2 7 = 0 X 3 Xi y3yi Z3Zi27.指出以下平面方程的位置特點，并作示意圖：(1)( 5 )y - 3 = 0 ；x - 2y 3z - 8 = 0.(2)( 5)3y 2z = 0 ；(3)( 5 )解：(1)過點(0,3,0)且平行于坐標(biāo)面 xoz的平面。(2) 過x軸且垂直于坐標(biāo)面 yoz的平面。(3) 截距分別為8,-4,8的平面。3(ii)二平面垂直與平行的判定。28.判定以下兩平面之間的位置關(guān)系：(1) (4 ) x 2y4z=0 與 2x 4y8z=1.(2

10、) (4 ) 2xy 3z =1 與 3x2z = 4.(iii)二平面夾角的計算(夾角規(guī)定為0,)。21 2(-1) 1 2 1解:cos-=2,故匕29.(4 )求兩平面x-y,2z-6=0 和2x,y,z-5 = 0的夾角解(1)平行；(2)垂直3+ 8 30( 4 )點(1,2,3 )至U平面 3x ? 4y -12z 1A0 的距離 d36+12,3242122(iv)點到平面距離的計算。(7 )求 Ax By Cz DA i = 0 與 Ax By Cz D 2 二 0 之間的距離。31. 八D1在 Ax By Cz D 1 = 0 上取一點 ( 0,0,-Di0 + 0 - C+

11、 D2由點到平面的距離公式得CA B2 C2D2 - D jA B2 C2(v) 用點法式方程建立與平面有關(guān)的未知平面方程32.求滿足以下條件的平面方程：(1)(7)平行 y 軸，且過點 p(1,-5,1)和 Q(3,2,-1).解：設(shè)所求平面為Ax Cz D = 0，將P,Q代入得A = _D ,C = - D2 2 故所求平面為x ? z - 2 = 0(7)過點(1,2,3)且平行于平面2x y 2z A0.解：2(x -1) (y -2)2(z-3) = 0即 2x y 2z -10 = 0(3) ( 7)過點 M ,1,1,1)和 M2(0,1,-1)且垂直于平面 x y A0.解：

12、所求平面為 Ax By Cz0，于是有A B A0A B C D=0 , B-C D=0解得 D =0 B = C A = -2B , - 2Bx By Bz = 0即 2x -y -z = 0二、直線方程X2淤1y - 力2 -zy-乙 乙-乙(i) 兩點式直線方程的計算。33. (4)過點皿1(為， ,乙)，皿2區(qū)2,乙2)的直線方 程為(ii) 一般式方程轉(zhuǎn)化為對稱式方程。4-1x + y + z + 1 = 0,、2x _ y + 3z + 4 =1解：s =J k51 =(4, 一 1, 一 3)，取 x=0,y=1 得 z =34. (7 )用對稱式方程及參數(shù)式方程表示直線故直線的

13、對稱式方程為口的距離2(1)( 4)x =4t=(1,-2,-3) 一(- 1,2,3)直線參數(shù)式方程為< y = -t 十 15 z = 3t + l.4(iii) 兩直平行或垂直的判定35.判別以下各直線之間的位置關(guān)系:L1 : -x 1 =與 L2x =12t,> y = 2 +t, z = 3.解：S = (-1,2,3)，S2 = (2,1,0)，s, S2 = 0所以J _ L2(2) (4) L1 : X'2x + y _1 =0,3x + z2 =0.解:sA =(-1,2,3) , S2 二所以L. II L2(iv) 點x 136- (7)求原點到T=y

14、-2x = 2t 1 X 1z - 3解：方法(1 )化鼻=y 2 =為參數(shù)方程 y = t ? 22 2z = 2t 3點(0,0, 0)到直線上任意點二 9t220t 14+鳥2+忙竺/99 VI方法(2)過點(0, 0,0)與且直線垂直的平面方程為2(x -0) (y -0)2(z -0) =0x = 2t 1將直線 L化為y = t ? 2代入直線L的垂面方程，得t 口z = 2t 3所以(0, 0, 0)在直線L上的垂足為(118 7，一，一)9 9 9所求距離為叫(爭+孑+少飛語-了四、平面與直線綜合題(i) 直線與平面的交點計算。_- z 4 一 一- _38. ( 5 )求直線

15、x - 2二y - 3與平面2x y ? z - 6 = 0的交點。2z 4 解：(1 )令 x -2 二 y -3 t2代入平面得 2(t2) (t 3)(2t4) - 6 = 0 , t = -1所求交點為(1,2,2)(ii) 點在平面的投影計算。39. ( 7 )求點M (5,0,-3)在平面二：x ? y - 2z T = 0上的投影。解：過M (5,0, -3)且與二:x ? y - 2z T = 0垂直的直線方程為x -5 y z 3t1 1 -2代入得 t 5 t - 2( -2t - 3)1 = 0= t = -2 x =3,y = -2,z =1,故在平面二：x ? y -

16、2z ? 1 = 0上的投影為(3,-2,1)(iii) 直線與平面特殊位置關(guān)系的判定。X 1 V 十 1 z+1II40. (4 )設(shè) L :與二:2x ? ?2y i"2z = 2，貝V ( C )-421-1(A) L_二(B) L 二，L 二一一 (C) L 二二 L( D) L 與二夾角為一(i)涉及線面關(guān)系的綜合計算。2x 2y +4z 7 = 0,(7 )求過點(2,0,-3)且與直線丿垂直的平面萬程。_3x +5y -2z +1 = 0.j k解:-24 一 16(1, 1, 1)-2所求平面方程為(x _2) _(y 0) _(z ? 3) = 0即 x-y-z-5

17、 = 042. (7 )求過點(0,2,4)且與兩平面x 2A1和y -3z =2平行的直線方程。解:直線的方向向量為 s =(-2,3,1)故所直線方程為 2-2343. (7 )求過點M (3,1,-2)且通過z -414解:在直線.口二口:上取一點 P(4,-3,0)=(-8,9,22)MP=(1, 4,2), n = (1-4,2) (5,2,1) =-4所求平面方程為-8(x -3) ? 9(y -1) ? 22(z2八0y 2 z 344.(7 )直線.X -1，直線L2 :，求過L1且平-1 21即 8x -9y - 22z -59 =0皐1,-3,心解：n =行L2的平面方程。

18、在L1上任取一點(1,2,3),3) = 0 即 x _3y z 2 = 0故所求平面方程為(x -1) 3(y -2) (z點在直線上的投影問題。3-1 的對稱點45. ( 7 )求點M(4,1,-6)關(guān)于直線L :-解：直線X _1 y Z + 1L:的參數(shù)方程為 y = 3t2 (*)3-1z = -t -1過點M (4,1,-6 )與且直線L :垂直的平面方程為將(*)2(x -4)代入(*)3( y -1) -(z 6) = 02(2t1-4)3(3t -1) -(-t -1 6) =0= t =1.(*)即得垂足為Mo (3,3-2 ),2=3由山 1 x = 2 =3得y2zI

19、Z = 22 -2(ii)直線在平面上投影直線方程的計算。x+v_z_1=046. (7 )求直線丿'在平面x + y+z = 0上的投影直線方程、x_ y +z +1 =0.x + y _z_1 =0,解：過直線.X y + zA1-o .的平面束方程為x y -z -1 丁畝 x - y z 1 ) = 0即(1 " x (1 -, ) y (,-1) z ,-1=0A = -1由(1 ')1(1 一, )1( 一 1)1=0 得'x + y - z T = 0,y _ z_ 1 = 0,故直線.x-y+z+1=0.在平面x+y + z = 0上的投影直線

20、方程為x y z二0.測試題、選擇題1?點(a, b, c)關(guān)于 y軸的對稱點坐標(biāo)為 (A) (-a, -b, -c)(B) (-a,b, -c)(C) ( a,b,c)(D) (a, b,c)(A)30,45 ,60(B)45,60,90(C) 60,90 ,120(D)45,90 , 1352.以下哪組角可以作為某個空間向量的方向角3.平面*26y ? 3z - 3 = 0與xoy面夾角為 (C )TtJIJIJT(A)-(B) m(C)-(D)-6432x 2y 2z34.直線L :與平面n:x y z-3的位置關(guān)系為-(D )31-4(A)平行(B) 垂直(C)斜交(D) L在平面上二

21、、填空題1.過點M (1, 2, 3)且與yoz坐標(biāo)面平行的平面方程為x = 14J22.假設(shè) a =4，b =2，a 'b =4j2，貝 y a 匯耳=3.點(1,2, 1)到平面x 2y ? 2z -10 = 0的距離為1三、計算題1.設(shè) a =2, -'3,1, b = 1, -'1,3, c = 1, -'2, 0,求(a b) c.2-31一 r fc-r解：(a 匯 b) c = 1-13=21 -2 03.求點(-1, 2, 0)在平面x ? 2y - z ? 1二0上的投影解：過點(-1,2, 0)且與平面x ? 2y - z T = 0垂直的直線方程為:x - -1 t其參數(shù)方程為v y=2+2t代入平面方程x+2y z + 1 = 0得故投影為-,3 3兔4.求k的值，使直線丄八y二乞蟲與直線=y 5 Z 一 2相互垂直。2k k+1 53k2解：？ =2k,k 1,5S2 =3,1,k-2令 Si - Si =0 得x y 7四、9分求平面1被三個坐標(biāo)平面所截得的三角形面積a b c該平面與三個坐標(biāo)平面所圍的立體體積。abc式0，并求J Ad 二3解：點0,0,0到平面-=1的距離為a b c五