03第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、中值定理、洛必達法則1. 中值定理(1) 羅爾中值定理如果函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)；在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；f(a)=f(b)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一個點匕,使得f仲=0.(2) 拉格朗日中值定理如果函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)；在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一個點：，使得f()=f(b)-f(a)b-a或f(b)f(a)=f'(勺(ba).推論1若V(a,b)，恒有f'(x)=0，貝Uf(x)三C(C為常數(shù)).推論2若V(a,b),恒有f'(x)=g'(x),則f(x)g(x)=C(C為常數(shù)).2. 洛必達法則型未定式0如果函

2、數(shù)f(x)和g(x)滿足：limf(x)=0,limg(x)=0;xK0x)x0 f(x)和g(x)在x°的某空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g'(x)#0；lim馬少=A(或*),X改g(x)貝Ulimf(x)=limf(x)=A(或°°).x兇g(x)x改g(x)二型未定式oO如果函數(shù)f(x)和g(x)滿足：limf(x)=°°,limg(x)=°°xjx0xjx0 f(x)和g(x)在x°的某空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g'(x)#0；lim平)=A(或叫)，xFg(x)5f(x)f(x)則lim=lim=A(或妙)

3、.x兇g(x)x)x0g(x)注若洛必達法則中的xtx°改為其它情形，結(jié)論仍成立，但要對條件作相應(yīng)修改.(3)8CO,08型未定式noo這兩種未定式經(jīng)過適當(dāng)變形就可化為0或型未定式.0:(4)0°,*°,1藝型未定式這三種未定式是藉指函數(shù)f(x)g(x)的極限，要先用恒等式f(x)g(x)_eg(x)lnf(x)0:轉(zhuǎn)化，這時右驪項的器指數(shù)g(x)Inf(x)是08型未正式，可化為一或一型0:未定式.第二個重要極限就屬于1口型未定式.1%型未定式的一般形式是v(x)lim1+u(x)，其中l(wèi)imu(x)=0,limv(x)=*.因為ln1+u(x)u(x),所以,

4、v(x),v(x)ln1，u(x)Ilimv(x)ln1u(x)limu(x)v(x)lim1+u(x)=lime=e=e這就是說，1*型未定式最終歸結(jié)到極限limu(x)v(x)上來.0注只有Y或型未定式才能用洛必達法則.如果當(dāng)xt"時，極0:11限中含有sinx,cosx，或當(dāng)xt0時極限中含有sin,cos,要慎用洛xx證明因此，在必達法則，如limJn；x，xsinx 洛必達法則只是充分條件； 洛必達法則常與其它求極限的方法(如無窮小的替換)結(jié)合起來使用.例1設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0,f(c)0,a<c<b,證

5、明：在(a,b)內(nèi)至少存在一個點，使得f()：0.由題中條件知，函數(shù)f(x)在a,c上滿足拉格朗日定理條件，(a,c)內(nèi)至少存在一個點烏，使得f(c)-f(a)f(c)f(1)=ca(c,b)內(nèi)至少存在一個點fM'fX©b-c>0,a<-<c；ca&，使得f(c)八=<0,c<-2<b.b-cf'(x)在(，烏)(U(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且連與)內(nèi)至少存在一個點-,使得,f0.同理，在f()又f(x)在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，續(xù)，再由拉格朗日定理知，在x例2證明：<ln(1+x)<x(x0).1方證明設(shè)f(t)=ln(1

6、+t),顯然它在0,x上滿足拉格朗日定理條件,因此，在(0,x)內(nèi)至少存在一個點使得1-ln(1+x)ln1=x,0<；<x,1x即ln(1x)=1xx.因0邕<x,所以<-<x.故1x1x<ln(1+x)<x(x>0).1x例3求lim(sinJx+1-sin衣).x_:解設(shè)f(t)=sinJt，貝Uft)=.因為在x,x+1(x>0)上2,t函數(shù)f(t)滿足拉格朗日中值定理的條件，即sinJx+1sinw'x=C0S蘭*,x<£<x+1,2.不妨試用此法.所以，原式=lim，=0.注當(dāng)被減函數(shù)與減函數(shù)中的自

7、變量之差為常數(shù)時，1e/例4求lim血.I00x0xJ1解令=u，貝Uxt0時，UTXx50!八=懼廠0u5050u495049u48原M=lim=lim-=limu.，euu,二eujeu注若直接用洛必達法則計算，所得結(jié)果比原極限還要復(fù)雜，讀者自行驗證.此時，變量替換可能是化難為易的有效方法.xsinx例5求lim-.xsinx2sinxe一ecosxesinxsinxxsinx3ee(sin2x-cosx)limx10cosxx50x-sinx=limx】02cosx/=1lixsinxeecosx解原式=limJ'01COsxxsinx/e-e一一=1limx0sinx=1+0=

8、1.例6求limJnxln(1x).xT.2ln(1-x)(lnx)泉艾=lim=limx_0，.1x)0，11lnxx7求lim/tanx)ln(1R.x0因為=-2lim=2limx=0.x_01x)0,X2(1x)ln2(1-x)=lim七xAsinxcosxlntanxxa1a2-ann=lna1+lna2十lnan=ln(a1a2an),limln(1-x)lntanx=limx_0'x_01ln(1-x)2ln2(1-x)=lim(-2limln(i)=0,x)0sinxxa(1-x)cosx所以，原式=e°=1.注一般情況下，對數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)不“下放”，其原

9、因是導(dǎo)數(shù)運算變得復(fù)雜了.例6、例7是特例.nfax+a：+ax章例8求lim-2J(ai>0).fn)解因為,促尊十+a*nlnnlimx)。xxxx.所以，原式=eln(aia2、an)=aRa。.例9求下列極限(1刃型):1(1)ymU+sinx2)1®；(2)/11、x(3)limcos+sin.xF：xx解這三個極限都是1知未定式.(1)因為221sinxH.msinx=limx01cosxx01-cosxxim011+tanx凌!；l1+sinx)2.x=lim=2,x1012x2na1lna1a2lna2一-anlnan所以，原式=e2.(2)原式=ii1tanx-

10、sinx宓1sinx因為tanx-sinx11sinxx31=e2.sinx=limx)ox1-cosx2x1,cosx(1sinx)2所以，原式(3)原式=lim'icx尸11cossin-xx、222sin-x_2因為2xsin"limsini=lim=1,s、x2xf：2x所以，原式二、單調(diào)性、極值和曲線的凹凸性1. 單調(diào)性的判別法設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，(1) 牧在(a,b)，若f'(x)>0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)增加；(2) 牧在(a,b)，若f'(x)<0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)減少.2. 極值和凹凸性的

11、判別法(1) 極值存在的必要條件若函數(shù)f(x)在點x°可導(dǎo)，且f(x°)為極值，貝Uf'(xo)=0(x°稱為駐點).(2) 第一判別法設(shè)函數(shù)f(x)在點x°的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)且f'(xo)=0(或f'(x°)不存在)， 若x<x0時，f(x)A0;xx0時，f'(x)<0，則f(x0)為極大值； 若xex。時，f(x)<0；xax。時，f'(x)A0，貝Uf(x°)為極小值； 若x<x°與x>x0時，f(x)不變號，則f(x°)不是極值.(3) 第

12、二判別法設(shè)函數(shù)f(x)在點x0二階可導(dǎo)且f'(x0)=0,f“(x0)=0,則 當(dāng)f“(x°)<0時，f(x°)為極大值. 當(dāng)f»°)A0時，f(x°)為極小值. 注函數(shù)的不可導(dǎo)點也可能是極值點；駐點與不可導(dǎo)點稱為可疑極值點；兩個判別法都是充分條件；第二判別法只能用于判定駐點是極大值點還是極小值點.(4) 凹凸性的判別法設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo) g(a,b)，若f(x)a0,貝U曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凹的; WxE(a,b)，若f(x)<0，貝U曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凸的.(5) 拐點：曲線上

13、凹與凸或凸與凹的分界點.例10證明：.x(1)<ln(1+x)<x(xa0)；1x(2)(3)ln(1x)-arctanx1x1xln(x、1x12).一1x2(x0).證明(1)設(shè)f(x)=ln(1x)(x0),則xf(x)=>0,(1x)即函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+笛)內(nèi)嚴格單調(diào)增加.因此，當(dāng)f(x)=ln("x)一亢小0)=°,從而x.一<ln(1+x)(x>0).1x同理可證(2)ln(1+x)<x(x>0).所以<ln(1+x)cx(x>0).1xarctanx設(shè)f(x)=ln(1+x)(x芝0),則f(x)=

14、1+xln(x+偵1+x2)-5+x2f(0)=0,從而1+xln(x+Jl+x2)>Jl+x2(x>0).例11設(shè)0<a<b,證明：lnbA2(b-a)aab證明把inb2(ba)變形為mbina)(a+b)2(ba),并設(shè)aabf(x)=(inxina)(a+x)2(xa)(x>a),則1f(x)=(a+x)+(lnxina)2,xa1f(x)=xxx-a>0，x所以，當(dāng)xa時,f'(x)嚴格單調(diào)增加.于是，f'(x)Af'(a)=0,即f(x)也是嚴格單調(diào)增加的，從而f(x)af(a)=(lna-lna)(a+b)-2(a-a)

15、=0,因此f(b)=(lnb-lna)(a-b)-2(b_a)f(a)=0,故(lnb-lna)(a+b)2(b-a)，亦即lnb2(b：).注證明數(shù)字不等式就是要把數(shù)字不等式化為函數(shù)不等式，并通過函數(shù)的性質(zhì)來證明.輔助函數(shù)f(x)的取法是解決這類問題的關(guān)鍵.例12討論方程lnx-ax=0(a0)有幾個實根.解設(shè)f(x)=lnxax(x>0),則f(x)=1-a,xr.1f(x)=：0,x/.1令f(x)=a=0,得駐點：x1x=.a由f"(x)<0知，曲線y=f(x)在(0,+*)內(nèi)是凸的，x=】是函數(shù)f(x)的a1、1唯一極大值點，極大值為f-=ln-1.另外，又因為

16、aJalim.f(x)=q，x)0xlim：f(x)=所以,11一當(dāng)ln1>0,即0<a<時，方程Inxax=0有2個實根；ae當(dāng)In1一1=0,即a=-時，方程Inxax=0有1個實根；ae(1) 當(dāng)In11<0,即a>-時，方程Inx-ax=0沒有實根.ae例13對一切實數(shù)x,函數(shù)f(x)滿足方程xf(x)3xf(x)-e頃v=Iim=Iime=1a0,xJ0xx0所以f(0)為極小值.例14確定函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d中的系數(shù)a,b,c,d,使(2,44)為駐點，(1,10)為拐點.解因為f(x)=3ax2+2bx+c,f"(x)=6

17、ax+2b,又(一2,44)為駐點，(1,一10)為拐點，且它們都在曲線上，所以12a-4b+c=0,8a+4b2c+d=44,6a2b=0,abcd=T0.解得=1e頊，(1) 若f(x)在點x=c(c#0)處有極值，試證它是極小值；(2) 若f(x)在點x=0處有極值，試證它是極小值.證明(1)因為f(x)二階可導(dǎo)，f(c)為極值，所以f'(c)=0.將x=c代入方程，得cf*(c)=1-e,1-e工因此f?c)=>0，即f(c)為極小值.c(2)因為f(x)連續(xù)，f(0)為極值，所以Iimf'(x)=f'(0)=0.j0又f(x)f(0)f(x)f(0)=I

18、im=Iim=Iimf(x)x_工-3f(x)2J0x-0xi0xx)or1-e，-3xf(x)2=Iim=IimxJ0xx)0三、函數(shù)的最大值和最小值求函數(shù)f(x)在a,b上的最大值和最小值的一般步驟：(1) 求出函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的可疑極值點處的函數(shù)值；(2) 求出f(a),f(b)；(3) 比較上述各函數(shù)值，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.例15求函數(shù)f(x)=x55x4+5x斜漸近線1在1,2上的最大值和最小解因為f(x)=5x420x3+15x2=5x2(x1)(x-3),令f(x)=0得駐點：x1=0,x2=1,x3=3(舍去).比較f(_1)=_12,f(0)=1

19、,f(1)=0,f(2)=9的大小，得fmax(1)=0，fmin(1)=-12.例16下水道的橫截面由矩形與半圓構(gòu)成，截面面積為定值A(chǔ),試問矩形的底為多少時，該截面周長最短？解如圖，設(shè)矩形的底為x,高為y,周長為l,由題意得即y所以l=x+2y+生x=2A+,1+生x，0<x<2、佇.2x4'，二.2A二_2A令l=+1+=0，得唯一駐點：x=2j.由問題的實際意x24.4二義，周長l的最小值只能在x=2j£處取得.故矩形的底x=2j£A時，該截面周長最短.四、曲線的漸近線1. 水平漸近線若limf(x)=c，則直線y=c為曲線y=f(x)的一條水平漸

20、近線.X-2. 垂直漸近線若limf(x)=°°，則直線x=x0為曲線y=f(x)的一條垂直漸近線.xJx0f(x)右limx)二x曲線y=f(x)的一條斜漸近線.limf(x)kx=b，則直線y=kx+b為x:.例17求下列曲線的漸近線:(1)y=；x-4x-5一1解(1)因為y=x-4x-51=ex-1；(3)(X1)(x-5)3xV=2x2x-3-1lim=0,即直線J'x4x5y=0為曲線的一條水平漸近線;廠1lim=妙，即直線x=-1為曲線的一條垂直漸近線;xx24x-5lim，即直線x=5為曲線的一條垂直漸近線.X)5x-4x-51(2)limYe1)=

21、*，即直線x=0為曲線的一條垂直漸近線;x*.1lim(ex1)=0,即直線x_:y=0為曲線的一條水平漸近線.xb=limf(x)-kx=limx八x_.x22x-3即直線y=x-2為曲線的一條斜漸近線.注例17(3)說明，若有理函數(shù)分子的次數(shù)比分母的次數(shù)大1時，它所表示的曲線一般會有斜漸近線.(3)因為y=,(x3)(x-1)所以_1lim=°°,即直xf22x-3線x=-3為曲線的一條垂直漸近線；_1lim=8,即直x1x2x-3線x=1為曲線的一條垂直漸近線；=1,f(x)k=limXf：x2x=limx以22x-3x=-2J1.求下列極限：limx-x2lnx(1)(2)一-1lim(2x1)ex2x(3)3gm°(1-2x)版;limcos-xxx21(5)xxlnxlnxlimxlx-lnx(6)lim(xa)xb(xb)xax)二(xab)2xab，(7)x-arcsinxlim;x0(arcsinx)(8)lim-arctan2x2x2;xr：、2(9)exe2xenx設(shè)不恒為常