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文檔簡介
1、精品文檔用心整理北師大版九年級下冊數(shù)學重難點突破 知識點梳理及重點題型鞏固練習【學習目標】1. 理解圓及其有關概念,理解弧、弦、圓心角的關系;探索并了解點與圓、直線與圓的位置關系,探索并掌握圓周角與圓心角的關系、直徑所對的圓周角的特征;2. 了解切線的概念,探索并掌握切線與過切點的半徑之間的位置關系,能判定一條直線是否為圓的切線,會過圓上一點畫圓的切線;3. 了解三角形的內(nèi)心和外心,探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓;4. 了解正多邊形的概念,掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法;會計算弧長及扇形的面積;【要點梳理】要點一 、 圓的定義、性質(zhì)及與圓有關的角1 圓的定義(1) 線段
2、OA繞著它的一個端點O旋轉一周,另一個端點A所形成的封閉曲線,叫做圓.(2) 圓是到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形.要點詮釋:圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大??;確定一個圓應先確定圓心,再確定半徑,二者缺一不可;圓是一條封閉曲線.2圓的性質(zhì)(1) 旋轉不變性:圓是旋轉對稱圖形,繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合;圓是中心對稱圖形,對稱中心是圓心.在同圓或等圓中,兩個圓心角,兩條弧,兩條弦,兩條弦心距,這四組量中的任意一組相等,那么它所對應的其他各組分別相等.(2) 軸對稱:圓是軸對稱圖形,經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸.(3) 垂徑定理及推論:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的
3、兩條弧.平分弦( 不是直徑) 的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.弦的垂直平分線過圓心,且平分弦對的兩條弧.平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心,且垂直平分此弦.平行弦夾的弧相等.要點詮釋:在垂經(jīng)定理及其推論中:過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧,在這五個條件中,知道任意兩個,就能推出其他三個結論. (注意: “過圓心、平分弦”作為題設時,平分的弦不能是直徑)3與圓有關的角(1) 圓心角:頂點在圓心的角叫圓心角.圓心角的性質(zhì):圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).(2) 圓周角:頂點在圓上,兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.圓周角的性質(zhì):圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一
4、半.同弧或等弧所對的圓周角相等;在同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等. 90 °的圓周角所對的弦為直徑;半圓或直徑所對的圓周角為直角 .如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形.圓內(nèi)接四邊形的對角互補;外角等于它的內(nèi)對角.要點詮釋:(1) 圓周角必須滿足兩個條件:頂點在圓上;角的兩邊都和圓相交.(2) 圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.要點二 、 與圓有關的位置關系1 判定一個點P 是否在 O上設 O的半徑為, OP= ,則有點 P 在 O 外;點 P 在 O 上;點 P 在 O 內(nèi) .要點詮釋:點和圓的位置關系和點到圓心的距離的數(shù)量關系是相對應的
5、,即知道位置關系就可以確定數(shù)量關系;知道數(shù)量關系也可以確定位置關系.2判定幾個點在同一個圓上的方法A1、 A2、An時,在 O 上 .3直線和圓的位置關系設 O 半徑為R,點O到直線的距離為.(1) 直線 和 O沒有公共點直線和圓相離.(2) 直線和O有唯一公共點直線和O相切.(3) 直線和O有兩個公共點直線和O相交.4切線的判定、性質(zhì)(1) 切線的判定:經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.(2) 切線的性質(zhì):圓的切線垂直于過切點的半徑.經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點.經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過圓心.(3) 切線長:從圓外一點作圓的切線,
6、這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長.(4) 切線長定理:從圓外一點作圓的兩條切線,它們的切線長相等,這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.要點三 、 三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形1 三角形的內(nèi)心、外心(1) 三角形的內(nèi)心:是三角形三條角平分線的交點,它是三角形內(nèi)切圓的圓心,在三角形內(nèi)部,它到三角形三邊的距離相等,通常用“I ”表示 .(2) 三角形的外心:是三角形三邊中垂線的交點,它是三角形外接圓的圓心,銳角三角形外心在三角形內(nèi)部,直角三角形的外心是斜邊中點,鈍角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三個頂點的距離相等,通常用O表示.要點詮釋:(1) 任何一個三角形
7、都有且只有一個內(nèi)切圓,但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形;(2) 解決三角形內(nèi)心的有關問題時,面積法是常用的,即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半,即(S 為三角形的面積,P 為三角形的周長,r 為內(nèi)切圓的半徑).(3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別:名稱確定方法圖形性質(zhì)(1)OA=OB=OC; (2) 外心不一 定在三角形內(nèi)部(1) 到三角形三邊距離相等;(2)OA、 OB、 OC分別平分BAC、ABC、ACB; (3) 內(nèi)心在三角形內(nèi)部.2圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1) 四個點都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形,圓內(nèi)接四邊形對角互補,外角等于內(nèi)對角(2) 各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊
8、形,圓外切四邊形對邊之和相等.要點四 、 圓中有關計算1 圓中有關計算圓的面積公式:,周長.圓心角為、半徑為R的弧長.,半徑為R,弧長為的扇形的面積.要點詮釋:(1) 對于扇形面積公式,關鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的 ,即;(2) 在扇形面積公式中,涉及三個量:扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角,知道其中的兩個量就可以求出第三個量.(3) 扇形面積公式, 可根據(jù)題目條件靈活選擇使用,它與三角形面積公式有點類似,可類比記憶;類型一、圓的有關概念及性質(zhì). 如圖,已知O 是以數(shù)軸的原點過點P 且與OA平行(或重合)的直線與(4) 扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系:.O 為圓心,半徑
9、為1 的圓,AOB=45° , 點 P 在數(shù)軸上運動,若O有公共點, 設 OP=x,則x的取值范圍是()C 0x2 D x>2關鍵是通過平移,確定直線與圓相切的情況,求出此時OP的值C;本題考查了直線與圓的位置關系問題Q,連接OQ,變式 】如圖,已知O是以數(shù)軸的原點為圓心,半徑為1 的圓,AOB=4°,點5P在數(shù)軸上運動,若P( x, 0),則x 的取值范圍是(過點P 且與OB平行的直線于O有公共點,設A0< x1 C- 2 x< 0 或0< x2 D x> 1O是以數(shù)軸的原點為圓心,半徑為1 的圓,AOB=4°,5過點P且與OB平行
10、的直線與O相切時,假設切點為D, OD=D P =1,OP=2 , 0< OP2 ,同理可得,當OP與 x 軸負半軸相交時,- 2 OP< 0, - 2 OP< 0,或0< OP2 故選C類型二、弧、弦、圓心角、圓周角的關系及垂徑定理2如圖所示,已知在O中,AB是O的直徑,弦CGAB于D,F(xiàn) 是O上的點,且CF CB ,BF 交 CG于點E,求證:CE BE主要用垂徑定理及其推論進行證明證法一:如圖(1) ,連接BC, AB 是O 的直徑,弦CG AB,CB GB CF BC , CF GB CCBECE BE證法二:如圖(2) ,作ON BF,垂足為N,連接OE AB
11、 是O 的直徑,且AB CG,CB BG CB CF , CF BC BG BF CG, ON OD ONEODE 90°,OE OE, ON OD, ONEODE,NE DE11 BN BF , CD CG , 22 BN CD,BN-EN CD-ED,BE CE證法三:如圖(3) ,連接OC交 BF于點N CF BC , OC BF AB 是O的直徑,CG AB, BG BC , CF BG BCBFCG , ON OD OC OB, OC-ON OB-OD,即 CNBD又CNEBDE 90°,CENBED, CNEBDE,CE BE【總結升華】在平時多進行一題多解、一
12、題多證、一題多變的練習,這樣不但能提高分析問題的能力,而且還是溝通知識體系、學習知識,使用知識的好方法舉一反三:【 變式 】如圖所示,在O內(nèi)有折線OABC其中,OA=8,AB=12, A= B=60° , 則 BC的長為()A 19B 16C 18D 20如圖,延長AO交 BC于點D, 過 O作 OE BC于 E.則三角形ABD為等邊三角形,DA=AB=BD=1,2 OD=AD-AO=4在 Rt ODE中,ODE=6°,0DOE=3°0 , 則DE=1 OD=2, BE=BD-DE=102OE垂直平分BC, BC=2BE=20. 故選 D資料來源于網(wǎng)絡僅供免費交流
13、使用類型三、與圓有關的位置關系3一個長方體的香煙盒里,裝滿大小均勻的20 支香煙 . 打開煙盒的頂蓋后,二十支香煙排列成三行,如圖(1 )所示 . 經(jīng)測量,一支香煙的直徑 約為 0.75cm,長約為8.4cm.( 1)試計算煙盒頂蓋ABCD的面積(本小題計算結果不取近似值);( 2)制作這樣一個煙盒至少需要多少面積的紙張(不計重疊粘合的部分,計算結果精確到 0.1cm,3取 1.73).( 1)如圖(2) ,作O1E O2O333 3 333cmAB 2844ABCD的面積是:2)制作一個煙盒至少需要紙張:四邊形ABCD中,AD長為7 支香煙的直徑之和,易求;求的 O1E 長即可.AB長,只要
14、計算出如圖(2)中類型四、圓中有關的計算BD ,延長AE 交 BD 的延長線于點4 ( 2015?丹東)如圖,AB 是 O 的直徑,= ,連接ED、M ,過點 D 作 O 的切線交AB 的延長線于點C( 1 )若OA=CD=2 ,求陰影部分的面積;( 2)求證:DE=DM 解:如圖,連接OD , CD 是 O 切線, OD CD, OA=CD=2, OA=OD , OD=CD=2, OCD 為等腰直角三角形, DOC= C=45 °,S 陰影 =S OCD S 扇 OBD=4 ;( 2)證明:如圖,連接AD , AB 是 O 直徑, ADB= ADM=90 °,又 =, E
15、D=BD , MAD= BAD , 在 AMD 和 ABD 中, AMD ABD , DM=BD , DE=DM 【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、弦、弧之間的關系、扇形面積的計算,掌握切線的性質(zhì)定理和扇形的面積公式是解題的關鍵,注意輔助線的作法舉一反三:【 變式 】 ( 2015?貴陽)如圖,O 是 ABC 的外接圓,AB 是 O 的直徑,F(xiàn)O AB ,垂足為點O,連接 AF 并延長交O 于點D ,連接OD 交 BC 于點E,B=30 °, FO=2 ( 1 )求AC 的長度;2)求圖中陰影部分的面積(計算結果保留根號)【答案】解: ( 1) OF AB ,BOF=90 °
16、,B=30 °, FO=2 , OB=6, AB=2OB=12 ,又AB 為 O 的直徑,ACB=90 °, AC= AB=6 ;( 2)由(1)可知,AB=12 , AO=6,即AC=AO ,在 Rt ACF 和 Rt AOF 中, Rt ACF Rt AOF ,F(xiàn)AO= FAC=30 °,DOB=60 °,過點 D 作 DG AB 于點G, OD=6, DG=3 , S ACF+S OFD=S AOD= ×6×3 =9,即陰影部分的面積是9類型五、圓與其他知識的綜合運用如圖,ABC 是等邊三角形,D是 BC上任一點,求證:DB D
17、C DA .【思路點撥】由已知條件,等邊ABC可得60°角,根據(jù)圓的性質(zhì),可得ADB 60°,利用截長補短的方法可得一個新的等邊三角形,再證兩個三角形全等,從而轉移線段DC.【答案與解析】延長DB至點E,使BE DC,連結AEABC是等邊三角形ACBABC60°,AB ACADBACB60°四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形ABEACD在AEB和ADC中,AEBADC AE ADADB 60°AED是等邊三角形 AD DE DB BE BE DCDB DC DA.【總結升華】本例也可以用其他方法證明. 如:( 1)延長DC至F,使CFBD,連結AF,再證ACFABD,得出ADDF,從而DBCDDA.(2)在DA上截取DGDC,連結CG,再證BDCAGC,得出BDAG,從而DBCDDA.6如圖,直徑AB為 6 的半圓,繞A點逆時針旋轉60°,此時點B到了點B,則圖中陰影部分的面積是() .A. 3B. 6C. 5D. 4【答案】B;【解析】陰影部分的面積=以 AB為直徑的半圓的面積+扇形ABB的面積- 以 AB為直徑的半圓的面積=扇形ABB的面積則陰影部分的面積是:=6故選B【總結升華】根據(jù)陰影部分的面積=以 AB
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