二次函數(shù)綜合問題之拋物線及直線交點個數(shù)問題

1、.二次函數(shù)綜合問題之拋物線與直線交點個數(shù)12021在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=2x2+mx+n經(jīng)過點A0，2，B3，41求拋物線的表達(dá)式及對稱軸；2設(shè)點B關(guān)于原點的對稱點為C，點D是拋物線對稱軸上一動點，記拋物線在A，B之間的局部為圖象G包含A，B兩點假設(shè)直線CD 與圖象G有公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求點D縱坐標(biāo)t的取值X圍考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值專題：計算題分析：1將A與B坐標(biāo)代入拋物線解析式求出m與n的值，確定出拋物線解析式，求出對稱軸即可；2由題意確定出C坐標(biāo)，以及二次函數(shù)的最小值，確定出D縱坐標(biāo)的最小值，求出直線BC解析式，令x=

2、1求出y的值，即可確定出t的X圍解答：解：1拋物線y=2x2+mx+n經(jīng)過點A0，2，B3，4，代入得：，解得：，拋物線解析式為y=2x24x2，對稱軸為直線x=1；2由題意得：C3，4，二次函數(shù)y=2x24x2的最小值為4，由函數(shù)圖象得出D縱坐標(biāo)最小值為4，設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，將B與C坐標(biāo)代入得：，解得：k=，b=0，直線BC解析式為y=x，當(dāng)x=1時，y=，那么t的X圍為4t點評：此題考察了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及函數(shù)的最值，熟練掌握待定系數(shù)法是解此題的關(guān)鍵22021石景山區(qū)二模：拋物線與x軸交于A2，0、B4，0，與y軸交于C0，41求拋物

3、線頂點D的坐標(biāo)；2設(shè)直線CD交x軸于點E，過點B作x軸的垂線，交直線CD于點F，將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段EF總有公共點試探究：拋物線向上最多可以平移多少個單位長度，向下最多可以平移多少個單位長度.考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式專題：探究型分析：1先設(shè)出過A2，0、B4，0兩點的拋物線的解析式為y=ax+2x4，再根據(jù)拋物線與y軸的交點坐標(biāo)即可求出a的值，進(jìn)而得出此拋物線的解析式；2先用待定系數(shù)法求出直線CD解析式，再根據(jù)拋物線平移的法那么得到1中拋物線向下平移m各單位所得拋物線的解析式，再將此解析式與直線CD的解析式聯(lián)立，根據(jù)兩函數(shù)圖

4、象有交點即可求出m的取值X圍，進(jìn)而可得到拋物線向下最多可平移多少個單位；同理可求出拋物線向上最多可平移多少個單位解答：解：1設(shè)拋物線解析式為y=ax+2x4，C點坐標(biāo)為0，4，a=，1分解析式為y=x2+x+4，頂點D坐標(biāo)為1，；2分2直線CD解析式為y=kx+b那么，直線CD解析式為y=x+4，3分E8，0，F(xiàn)4，6，假設(shè)拋物線向下移m個單位，其解析式y(tǒng)=x2+x+4mm0，由消去y，得x2+xm=0，=2m0，0m，向下最多可平移個單位5分假設(shè)拋物線向上移m個單位，其解析式y(tǒng)=x2+x+4+mm0，方法一：當(dāng)x=8時，y=36+m，當(dāng)x=4時，y=m，要使拋物線與EF有公共點，那么36+m

5、0或m6，0m36；7分方法二：當(dāng)平移后的拋物線過點E8，0時，解得m=36，當(dāng)平移后的拋物線過點F4，6時，m=6，由題意知：拋物線向上最多可以平移36個單位長度，7分綜上，要使拋物線與EF有公共點，向上最多可平移36個單位，向下最多可平移個單位點評：此題考察的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，有一定的難度32021豐臺區(qū)一模二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象如下圖，其頂點坐標(biāo)為M1，41求二次函數(shù)的解析式；2將二次函數(shù)的圖象在x軸下方的局部沿x軸翻折，圖象的其余局部保持不變，得到一個新的圖象，請你結(jié)合新圖象答復(fù)：當(dāng)直線y

6、=x+n與這個新圖象有兩個公共點時，求n的取值X圍考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象與幾何變換分析：1確定二次函數(shù)的頂點式，即可得出二次函數(shù)的解析式2求出兩個邊界點，繼而可得出n的取值X圍解答：解：1因為M1，4是二次函數(shù)y=x+m2+k的頂點坐標(biāo)，所以y=x124=x22x3，2令x22x3=0，解之得：x1=1，x2=3，故A，B兩點的坐標(biāo)分別為A1，0，B3，0如圖，當(dāng)直線y=x+nn1，經(jīng)過A點時，可得n=1，當(dāng)直線y=x+n經(jīng)過B點時，可得n=3，n的取值X圍為3n1，翻折后的二次函數(shù)解析式為二次函數(shù)y=x2+2x+3當(dāng)直線y=x+n與二次函數(shù)y=x2+2x+3的圖象只有

7、一個交點時，x+n=x2+2x+3，整理得：x2x+n3=0，=b24ac=14n3=134n=0，解得：n=，n的取值X圍為：n，由圖可知，符合題意的n的取值X圍為：n或3n1點評：此題考察了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的知識，難點在第二問，關(guān)鍵是求出邊界點時n的值42021關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+k1=0有實數(shù)根，k為正整數(shù)1求k的值；2當(dāng)此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=2x2+4x+k1的圖象向下平移8個單位，求平移后的圖象的解析式；3在2的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的局部沿x軸翻折，圖象的其余局部保持不變，得到一個新的圖象請你結(jié)合這個新的圖象答

8、復(fù)：當(dāng)直線y=x+bbk與此圖象有兩個公共點時，b的取值X圍考點：二次函數(shù)綜合題專題：綜合題分析：1綜合根的判別式及k的要求求出k的取值；2對k的取值進(jìn)展一一驗證，求出符合要求的k值，再結(jié)合拋物線平移的規(guī)律寫出其平移后的解析式；3求出新拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，再分別求出直線y=x+b經(jīng)過點A、B時的b的取值，進(jìn)而求出其取值X圍此題第二問是難點，主要是不會借助計算淘汰不合題意的k值解答：解：1由題意得，=168k10k3k為正整數(shù)，k=1，2，3；2設(shè)方程2x2+4x+k1=0的兩根為x1，x2，那么x1+x2=2，x1x2=當(dāng)k=1時，方程2x2+4x+k1=0有一個根為零；當(dāng)k=2時，x1x

9、2=，方程2x2+4x+k1=0沒有兩個不同的非零整數(shù)根；當(dāng)k=3時，方程2x2+4x+k1=0有兩個一樣的非零實數(shù)根1綜上所述，k=1和k=2不合題意，舍去，k=3符合題意當(dāng)k=3時，二次函數(shù)為y=2x2+4x+2，把它的圖象向下平移8個單位得到的圖象的解析式為y=2x2+4x6；3設(shè)二次函數(shù)y=2x2+4x6的圖象與x軸交于A、B兩點，那么A3，0，B1，0依題意翻折后的圖象如下圖當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過A點時，可得b=；當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過B點時，可得b=由圖象可知，符合題意的bb3的取值X圍為b3依圖象得，要圖象y=x+bb小于k與二次函數(shù)圖象有兩個公共點時，顯然有兩段而因式分解得y=2x

10、2+4x6=2x1x+3，第一段，當(dāng)y=x+b過1，0時，有一個交點，此時b=當(dāng)y=x+b過3，0時，有三個交點，此時b=而在此中間即為兩個交點，此時b第二段，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的局部沿x軸翻折后，開口向下的局部的函數(shù)解析式為y=2x1x+3 顯然，當(dāng)y=x+b與y=2x1x+33x1相切時，y=x+b與這個二次函數(shù)圖象有三個交點，假設(shè)直線再向上移，那么只有兩個交點因為b3，而y=x+bb小于k，k=3，所以當(dāng)b=3時，將y=x+3代入二次函數(shù)y=2x1x+3整理得，4x2+9x6=0，0，所以方程有兩根，那么肯定不將有直線與兩截結(jié)合的二次函數(shù)圖象相交只有兩個公共點這種情況故舍

11、去綜上，b點評：考察知識點：一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)及函數(shù)圖象的平移與翻折，最后還考到了與一次函數(shù)的結(jié)合等問題不錯的題目，難度不大，綜合性強(qiáng)，考察面廣，似乎是一個趨勢或熱點52021東城區(qū)二模關(guān)于x的方程1mx2+4mx+3=01假設(shè)方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值X圍；2假設(shè)正整數(shù)m滿足82m2，設(shè)二次函數(shù)y=1mx2+4mx+3的圖象與x軸交于A、B兩點，將此圖象在x軸下方的局部沿x軸翻折，圖象的其余局部保持不變，得到一個新的圖象請你結(jié)合這個新的圖象答復(fù)：當(dāng)直線y=kx+3與此圖象恰好有三個公共點時，求出k的值只需要求出兩個滿足題意的k值即可考點：二次函數(shù)綜合題分析：1根據(jù)方程

12、有兩個不相等的實數(shù)根，由一元二次方程的定義和根的判別式可求m的取值X圍；2先求出正整數(shù)m的值，從而確定二次函數(shù)的解析式，得到解析式與x軸交點的坐標(biāo)，由圖象可知符合題意的直線y=kx+3經(jīng)過點A、B從而求出k的值解答：解：1=4m2121m=m+22，由題意得，m+220且1m0故符合題意的m的取值X圍是m2且m1的一切實數(shù) 2正整數(shù)m滿足82m2，m可取的值為1和2又二次函數(shù)y=1mx2+4mx+3，m=24分二次函數(shù)為y=x2+2x+3A點、B點的坐標(biāo)分別為1，0、3，0依題意翻折后的圖象如下圖由圖象可知符合題意的直線y=kx+3經(jīng)過點A、B可求出此時k的值分別為3或17分注：假設(shè)學(xué)生利用直

13、線與拋物線相切求出k=2也是符合題意的答案點評：此題考察了二次函數(shù)綜合題1考察了一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：0方程有兩個不相等的實數(shù)根2得到符合題意的直線y=kx+3經(jīng)過點A、B是解題的關(guān)鍵6在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx+m23m+2與x軸的交點分別為原點O和點A，點B4，n在這條拋物線上1求B點的坐標(biāo)；2將此拋物線的圖象向上平移個單位，求平移后的圖象的解析式；3在2的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的局部沿x軸翻折，圖象的其余局部保持不變，得到一個新的圖象請你結(jié)合這個新的圖象答復(fù)：當(dāng)直線y=x+b與此圖象有兩個公共點時，b的取值X圍考點：二次函數(shù)綜合題專題：壓軸

14、題分析：1把原點坐標(biāo)代入拋物線，解關(guān)于m的一元二次方程得到m的值，再根據(jù)二次項系數(shù)不等于0確定出函數(shù)解析式，再把點B坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出n的值，即可得解；2根據(jù)向上平移縱坐標(biāo)加解答即可；3把直線解析式與拋物線解析式聯(lián)立，消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)=0求出b的值，然后令y=0求出拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，再求出直線經(jīng)過拋物線與x軸左邊交點的b值，然后根據(jù)圖形寫出b的取值X圍即可解答：解：1拋物線經(jīng)過原點O，m23m+2=0，解得m1=1，m2=2，當(dāng)m=1時，=0，m=2，拋物線的解析式為y=x2+3x，點B4，n在這條拋物線上，n=×42+3×4=8+12=4，點

15、B4，4；2拋物線的圖象向上平移個單位，平移后的圖象的解析式y(tǒng)=x2+3x+；3聯(lián)立，消掉y得，x2+3x+=x+b，整理得，x25x+2b7=0，=524×1×2b7=0，解得b=，令y=0，那么x2+3x+=0，整理得，x26x7=0，解得x1=1，x2=7，拋物線與x軸左邊的交點為1，0，當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點1，0時，×1+b=0，解得b=，當(dāng)直線y=x+b與此圖象有兩個公共點時，b的取值X圍為b或b點評：此題是二次函數(shù)綜合題，主要利用了解一元二次方程，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換，難點在于3求出直線與拋物線有三個交點時的b值，作出圖

16、形更形象直觀7關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+2x+k1的圖象與x軸有交點，k為正整數(shù)1求k的值；2當(dāng)關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+2x+k1與x軸的交點的橫坐標(biāo)均是負(fù)整數(shù)時，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+2x+k1的圖象向下平移4個單位，求平移后的圖象的解析式；3在2的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的局部沿x軸翻折，圖象的其余局部保持不變，得到一個新的圖象請你結(jié)合這個新的圖象答復(fù)：當(dāng)直線y=b3與此圖象有兩個公共點時，b的取值X圍考點：二次函數(shù)綜合題分析：1綜合根的判別式及k的要求，求出k的取值；2對k的取值進(jìn)展一一驗證，求出符合要求的k值，再結(jié)合拋物線平移的規(guī)律寫出其平移后的解析式；3求出

17、新拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，再分別求出直線y=x+b經(jīng)過點A、B時的b的取值，進(jìn)而求出其取值X圍解答：解：1由題意得，=44k10k2k為正整數(shù)，k=1，2；2設(shè)方程x2+2x+k1=0的兩根為x1，x2，那么x1+x2=2，x1x2=k1當(dāng)k=1時，圖象y=x2+2x+k1與x軸有一個交點為0，0，不合題意；當(dāng)k=2時，圖象y=x2+2x+k1與x軸有一個交點為1，0，符合題意；綜上所述，k=2符合題意當(dāng)k=2時，二次函數(shù)為y=x2+2x+1，把它的圖象向下平移4個單位得到的圖象的解析式為：y=x2+2x3；3設(shè)二次函數(shù)y=x2+2x3的圖象與x軸交于A、B兩點，那么A3，0，B1，0依題意翻

18、折后的圖象如下圖當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過A點時，可得b=；當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過B點時，可得b=由圖象可知，符合題意的bb3的取值X圍為：b點評：此題主要考察了一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)及函數(shù)圖象的平移與翻折，最后還考到了與一次函數(shù)的結(jié)合等問題不錯的題目，難度不大，綜合性強(qiáng)82021東城區(qū)一模：關(guān)于x的一元二次方程mx24m+1x+3m+3=0 m11求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；2設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2其中x1x2，假設(shè)y是關(guān)于m的函數(shù)，且y=x13x2，求這個函數(shù)的解析式；3將2中所得的函數(shù)的圖象在直線m=2的左側(cè)局部沿直線m=2翻折，圖象的其余局部保持不變，得到一個新的圖象

19、請你結(jié)合這個新的圖象答復(fù)：當(dāng)關(guān)于m的函數(shù)y=2m+b的圖象與此圖象有兩個公共點時，b的取值X圍考點：一次函數(shù)綜合題專題：壓軸題分析：1列式表示出根的判別式，再根據(jù)0，方程有兩個不相等的實數(shù)根證明；2利用求根公式法求出x1、x2，然后代入關(guān)系式整理即可得解；3作出函數(shù)圖象，然后求出m=2時的函數(shù)值與以及m=1時的翻折圖象的對應(yīng)點的坐標(biāo)，再代入直線解析式求出b值，然后結(jié)合圖形寫出b的取值X圍即可解答：1證明：=4m+124m3m+3=4m24m+1=2m12，m1，2m120，方程有兩個不等實根；2解：x=，兩根分別為=3，=1+，m1，01，11+2，x1x2，x1=3，x2=1+，y=x13x

20、2，=331+，=，所以，這個函數(shù)解析式為y=m1；3解：作出函數(shù)y=m1的圖象，并將圖象在直線m=2左側(cè)局部沿此直線翻折，所得新圖形如下圖，m=2時，y=，m=1時，y=3，函數(shù)圖象直線m=2左側(cè)局部翻折后的兩端點坐標(biāo)為3，3，2，當(dāng)m=3時，2×3+b=3，解得b=9，當(dāng)m=2時，2×2+b=，解得b=，所以，此圖象有兩個公共點時，b的取值X圍9b點評：此題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了根的判別式，求根公式法解一元二次方程，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題，難點在于3確定出翻折局部的兩個端點的坐標(biāo)以及有兩個交點時的b的取值X圍，作出圖形更形象直觀92021門頭溝區(qū)一模關(guān)于x的一元二次方程1求證：無論m取任何實數(shù)，方程都有兩個實數(shù)根；2當(dāng)m3時，關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B 兩點點A在點B的左側(cè)，與y軸交于點C，且2AB=3OC，求m的值；3在2的條件下，過點C作直線lx軸，將二次函數(shù)圖象在y軸左側(cè)的局部沿直線l翻折，二次函數(shù)圖象的其余局部保持不變，得到一個新的圖象，記為G請你結(jié)合圖象