空間中點、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、空間中點、直線、平面之間的位置關(guān)系一、內(nèi)容歸納總結(jié)1、四個公理公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。符號語言：。公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。 三個推論： 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面 它給出了確定一個平面的依據(jù)。公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線（兩個平面的交線）。符號語言：。公理4：（平行線的傳遞性）平行與同一直線的兩條直線互相平行。符號語言：。2、空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1.概念 異面直線及夾角：把不在

2、任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。 已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O作直線，我們把與所成的角（或直角）叫異面直線所成的夾角。（易知：夾角范圍） 定理：空間中如果一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補。（注意：會畫兩個角互補的圖形）2.位置關(guān)系：3、空間中直線與平面之間的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有三種：4、空間中平面與平面之間的位置關(guān)系平面與平面之間的位置關(guān)系有兩種：二、直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1.內(nèi)容歸納總結(jié)（1）四個定理定理定理內(nèi)容符號表示分析解決問題的常用方法直線與平面平行的判定平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行在已知平面

3、內(nèi)“找出”一條直線與已知直線平行就可以判定直線與平面平行。即將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題”平面與平面平行的判定一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行判定的關(guān)鍵：在一個已知平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問題”轉(zhuǎn)化為“線面平行問題”直線與平面平行的性質(zhì)一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行平面與平面平行的性質(zhì)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行三、直線、平面平垂直的判定及其性質(zhì)1.內(nèi)容歸納總結(jié)（一）基本概念1.直線與平面垂直：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面垂直，記作。直線

4、叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面。直線與平面的公共點叫做垂足。2. 直線與平面所成的角：角的取值范圍：。3.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。二面角的記法： 二面角的取值范圍： ； 兩個平面垂直：直二面角。（二）四個定理定理定理內(nèi)容符號表示分析解決問題的常用方法直線與平面垂直的判定一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。在已知平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與已知直線垂直就可以判定直線與平面垂直。即將“線面垂直”轉(zhuǎn)化為“線線垂直”平面與平面垂直的判定一個平面過另一平面的垂線，則這兩個平面垂直。（滿足條

5、件與垂直的平面有無數(shù)個）判定的關(guān)鍵：在一個已知平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問題”轉(zhuǎn)化為“線面平行問題”直線與平面垂直的性質(zhì)同垂直與一個平面的兩條直線平行。平面與平面垂直的性質(zhì)兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直與交線的直線與另一個平面垂直。解決問題時，常添加的輔助線是在一個平面內(nèi)作兩平面交線的垂線四、考點分析考點一：平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用點、線共面問題的證明方法：（1）納入平面法：先確定一個平面，再證有關(guān)點、線在此平面內(nèi)。 （2）輔助平面法：先證有關(guān)點、線確定平面，再證其余點、線確定平面，最后證明平面、重合。證明多線共點問題的常用方法：先證其中兩條直線交于一點，再證交點在第

6、三條直線上。例1平面l，點A，點B，且Cl，C，又ABlR，如圖所示，過A、B、C三點確定的平面為，則是()A直線ACB直線BCC直線CRD直線AR解析：由已知條件可知，C，ABlR，AB，R.又C，R，故CR.答案：C例2如圖所示，ABCDA1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論正確的是()AA、M、O三點共線BA、M、O、A1不共面CA、M、C、O不共面DB、B1、O、M共面解析：連接A1C1，AC，則A1C1AC，A1、C1、C、A四點共面A1C平面ACC1A1.MA1C，M平面ACC1A1.又M平面AB1D1，M為平面ACC1A1與AB

7、1D1的公共點同理OA為平面ACC1A1與平面AB1D1的公共點A、M、O三點共線. 答案：A練習：設(shè)P表示一個點，a、b表示兩條直線，、表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確的命題是()Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；b，P，PPbA B CD解析：當aP時，Pa，P，但a，錯；aP時，錯；如圖，ab，Pb，Pa，由直線a與點P確定唯一平面，又ab，由a與b確定唯一平面，但經(jīng)過直線a與點P，與重合，b，故正確；兩個平面的公共點必在其交線上，故正確答案：D考點二：空間兩條直線的位置關(guān)系空間中，對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形（梯形）中位線的性質(zhì)、

8、線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)。例1正方體AC1中，E、F分別是線段BC、CD1的中點，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是()A相交B異面C平行D垂直解析：如圖所示，直線A1B與直線外一點E確定的平面為A1BCD1，EF平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交. 答案：A練習：1.若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是AA. l至少與l1，l2中的一條相交B. l與l1，l2都相交C. l至多與l1，l2中的一條相交D. l與l1，l2都不相交2.右圖是正四面體凡人平面展開圖，G、H、M、N分別

9、為DE、BE、EF、EC的中點在這個正四面體中：(1) GH與EF平行；(2) BD與MN為異面直線；(3) GH與MN成60角；(4) DE與MN垂直以上四個命題，正確的命題序號是：(2)(3)(4)考點三：平行關(guān)系的判斷與性質(zhì)證明直線與平面平行的方法：（1） 若用定義直接判斷，一般用反證法。（2） 用判定定理來證明，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找（或作）一條直線與已知直線平行。（3） 應(yīng)用兩平面平行的性質(zhì)，即兩平面平行時，其中一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面。判斷平面與平面平行的方法：（1） 利用定義。（2） 利用面面平行的判定定理。（3） 利用面面平行的判定定理的推論。 （4） 利用面面平行的傳

10、遞性 （， ，則）。（5） 利用線面垂直的性質(zhì)（l丄，l丄，則）例1：若m，n為兩條不重合的直線，為兩個不重合的平面，則下列命題中正確的是()A若m，n都平行于平面，則m，n一定不是相交直線B若m，n都垂直于平面，則m，n一定是平行直線C已知，互相平行，m，n互相平行，若m，則nD若m，n在平面內(nèi)的射影互相平行，則m，n互相平行解析：A中，m，n可為相交直線；B正確；C中，n可以平行，也可以在內(nèi)；D中，m，n也可能異面答案：B例2、設(shè)a，b表示直線，表示不同的平面，則下列命題中正確的是()A若a且ab，則bB若且，則C若a且a，則D若且，則解析：對于A選項，若a且ab，則b或b，故A選項不正確

11、；對于B選項，若且，則或與相交，故B選項不正確；對于C選項，若a且a，則或與相交，故C選項不正確排除A、B、C三選項，故選D.答案：D練習：在空間內(nèi)，設(shè)l，m，n是三條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題中為假命題的是()A，l，則lBl，l，m，則lmCl，m，n，lm，則lnD，則或解析：對于A，如果兩個相交平面均垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面，該命題是真命題；對于B，如果一條直線平行于兩個相交平面，那么該直線平行于它們的交線，該命題是真命題；對于C，如果三個平面兩兩相交，有三條交線，那么這三條交線交于一點或相互平行，該命題是真命題；對于D，當兩個平面同時垂直于第三個

12、平面時，這兩個平面可能不垂直也不平行，D不正確答案：D考點四：垂直關(guān)系的判斷與性質(zhì)例1：1設(shè)，為不重合的平面，m，n為不重合的直線，則下列命題正確的是()A若，n，mn，則mB若m，n，mn，則nC若n，n，m，則mD若m，n，mn，則解析：與，兩垂直平面的交線垂直的直線m，可與平行或相交，故A錯；對B，存在n情況，故B錯；對D，存在情況，故D錯；由n，n，可知，又m，所以m，故C正確答案：C例2：如圖，在四面體DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中點，則下列正確的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且

13、平面ADC平面BDE解析：因為ABCB，且E是AC的中點，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因為AC在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE，所以選C.答案：C例3、如圖所示，直線PA垂直于O所在的平面，ABC內(nèi)接于O，且AB為O的直徑，點M為線段PB的中點現(xiàn)有結(jié)論：BCPC；OM平面APC；點B到平面PAC的距離等于線段BC的長其中正確的是() ABCD解析：對于，PA平面ABC，PABC.AB為O的直徑，BCAC.BC平面PAC.又PC平面PAC，BCPC；對于，點M為線段PB的中點，OMPA.PA平面PAC，OM平面PAC；

14、對于，由知BC平面PAC，線段BC的長即是點B到平面PAC的距離，故都正確答案：B練習：如圖，PA圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E、F分別是點A在PB、PC上的正投影，給出下列結(jié)論：AFPBEFPBAFBCAE平面PBC.其中正確結(jié)論的序號是_解析：由題意知PA平面ABC，PABC.又ACBC，PAACA，BC平面PAC.BCAF.AFPC，BCPCC，AF平面PBC，AFPB. 又AEPB，AEAFA，PB平面AEF.PBEF.故正確答案：考點五：線面角、二面角的求法求直線與平面所成的角的一般步驟：通過找直線在平面上的投影來完成；把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一 個三角形中

15、求解。作二面角的平面角可以通過垂線法得到，在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的 棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角。例1 如圖，在四棱錐PABCD中，ADBC，ABAD，ABPA，BC2AB2AD4BE，平面PAB平面ABCD，(1)求證：平面PED平面PAC；(2)若直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為，求二面角APCD的平面角的余弦值解析：(1)如圖所示，取AD的中點F，連接BF，則FD綊BE，所以四邊形FBED是平行四邊形，所以FBED.因為RtBAF和RtCBA中，2，所以RtBAFRtCBA，易知BFAC，所以EDAC.又因為平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，ABPA，所以PA平面ABCD，ED平面ABCD，所以PAED，因為P