淺析分塊矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用

1、 共18頁(yè) 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院本科畢業(yè)論文 第18頁(yè)淺析分塊矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用作者姓名：周甜河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2007級(jí)2班性質(zhì)1：分塊矩陣都是可逆的，且逆矩陣為分塊初等矩陣。性質(zhì)2：分塊單位矩陣經(jīng)過(guò)一次分塊矩陣的初等變換后所得到的矩陣仍為分塊初等矩陣。摘要：分塊矩陣在高等代數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，矩陣的分塊運(yùn)算是矩陣運(yùn)算的一種重要方法。本文主要討論了分塊矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，初等變換，并舉例說(shuō)明和分析了分塊矩陣在解決矩陣特征值計(jì)算和有關(guān)矩陣證明等問(wèn)題中的應(yīng)用。利用分塊矩陣可以使階數(shù)比較高，比較復(fù)雜的矩陣和抽象矩陣的特征值問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)明而清晰。關(guān)鍵詞：分塊矩陣

2、 行列式 特征值 初等變換 矩陣的逆Tentative Analysis of Properties and Applications of Block MatricesAuthor Name：Zhou TianClass 2 Grade 2007 of Mathematics and Applied Mathematics of College Mathematics and Information Science of Henan Polytechnic University School Summary：Block matrices has a wide use in Advanced

3、Algebra. Operations of block matrices play an important role in the operation of matrices. This paper mainly illustrates the operation properties and the elementary transformations of block matrices. Several examples are given in the paper to show the applications of block matrices in calculating th

4、e eigenvalues of a matrix and proving a subject in connection with matrices. It is convenient to apply block matrices to deal with questions containing matrices with high order and complex appearances and calculating the eigenvalues of abstract matrices.Keywords: block matrices determinant eigenvalu

5、es elementary transformation the inverse of a matrix1引言在高等代數(shù)中，矩陣是一項(xiàng)非常重要的內(nèi)容，也是高等數(shù)學(xué)的很多分支研究問(wèn)題的工具。當(dāng)我們處理階數(shù)較高或者具有特殊結(jié)構(gòu)的矩陣時(shí)，用一般處理低階矩陣的方法，往往會(huì)比較困難，為了研究問(wèn)題的方便，也為了顯示出矩陣中某些部分的特性，我們常常把一個(gè)大型矩陣分成若干子塊。把每個(gè)子塊矩陣看成是一個(gè)元素，從而構(gòu)成分塊矩陣。分塊矩陣形象地揭示了一個(gè)復(fù)雜或是特殊矩陣的內(nèi)部本質(zhì)結(jié)構(gòu)。利用矩陣分塊可以把高階矩陣劃分為階數(shù)較低的“塊”，然后對(duì)這些以“塊”為單位的矩陣施行矩陣的運(yùn)算。本文就分塊矩陣的加法與數(shù)量乘法、乘法

6、、轉(zhuǎn)置、初等變換等運(yùn)算性質(zhì)，以及分塊矩陣在矩陣求逆、行列式展開等方面的應(yīng)用作了較為深入的研究。1.分塊矩陣的概念有時(shí)候，我們把一個(gè)大矩陣看成是由一些小矩陣組成的，就如矩陣是由數(shù)組成的一樣，特別是在運(yùn)算中，把這些小矩陣當(dāng)作數(shù)一樣來(lái)處理，這就是所謂的矩陣的分塊。設(shè)是一個(gè) 矩陣，若用若干橫線條將它分成塊，再用若干縱線條將它分成塊，于是，我們就得到了一個(gè)有塊的分塊矩陣，在這里表示的是一個(gè)矩陣。2.分塊矩陣的運(yùn)算性質(zhì)分塊矩陣的運(yùn)算在形式上和數(shù)字矩陣的運(yùn)算完全一樣，只要進(jìn)行運(yùn)算的矩陣的分塊適當(dāng)，分塊矩陣有類似于普通矩陣的運(yùn)算法則：.分塊矩陣的加法設(shè),都是矩陣，并且對(duì),用同樣的方法進(jìn)行分塊： 其中都是矩陣，

7、即使同型矩陣，那么應(yīng)注意的是，利用分塊法對(duì)兩個(gè)同型矩陣進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，兩個(gè)矩陣必須采用相同的分塊法。下面我們通過(guò)一個(gè)例題來(lái)詳細(xì)了解加法的運(yùn)算法則。例2.1：，解：將分塊其中其中。同理，設(shè)都是矩陣，把進(jìn)行分塊：，為任意數(shù)，則.分塊矩陣的乘法下面的定理表明，分塊矩陣的乘法類似于矩陣的乘法：例2.2：用分塊法計(jì)算，其中。解：如上分塊， ，其中；令，其中，。故。值得注意的是，利用分塊法對(duì)兩個(gè)矩陣進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，左矩陣列的分法和右矩陣行的分法必須完全相同。.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置對(duì)于一有塊的分塊矩陣，有值得注意的是，轉(zhuǎn)置時(shí)，每一個(gè)小塊也要轉(zhuǎn)置，并且它的位置也要行列對(duì)調(diào)。.對(duì)角分塊矩陣的一些性質(zhì)對(duì)于方陣，經(jīng)過(guò)分塊

8、后，非0對(duì)角塊都只在主對(duì)角線上，而且每個(gè)小塊都是方陣；即，其中都是方陣，那么稱為方塊對(duì)角矩陣。有如下性質(zhì)：（1）行列式。（2）若則，并且有.（3）分塊對(duì)角陣的乘法，（4）分塊對(duì)角陣的轉(zhuǎn)置，那么3.分塊矩陣初等變換的應(yīng)用定義3.1 將一個(gè)分塊矩陣用若干條縱線和橫線分成許多塊的低階矩陣，每一塊低階矩陣稱為的子塊。以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣。我們將單位矩陣分塊：，其中是階單位矩陣（）稱為分塊單位矩陣。3.1 應(yīng)用分塊矩陣初等變換求矩陣的逆下面我們先將初等變換求逆矩陣的方法推廣到分塊矩陣中去。定理3.1.1 可逆分塊矩陣可以寫成分塊初等矩陣的乘積，其中，均為矩陣。證明：考慮，若不是可逆的，由于滿秩

9、，故必存在與同階的不等于0的子式，用初等變換，將此子式換到位置，于是位置的塊就是可逆的，因此不妨設(shè)可逆，將第一行左乘AA，加到第行()， 然后將第一列右乘AA加到第列（），可得若不可逆，則用上述方法，使位置的塊換成可逆的塊，然后用初等變換使第二行，第二列其余的塊均消為零塊，如此下去，可變成，可逆（）。最后用左乘第行()。便得，這里是與同階的單位矩陣。則存在分塊初等矩陣,，,，使=,從而：= （1）而分塊矩陣的逆也是分塊初等矩陣，故命題得證。推論3.1.1 可逆分塊矩陣，其中的主對(duì)角線上的塊均為矩陣，可通過(guò)行或列的初等變換化為分塊單位矩陣。例3.1.1：求=的逆，其中,可逆。解：所以，=。例3.

10、1.2：求矩陣=（）的逆矩陣。解：令=，則=，由知可逆所以，=，=，故=。例3.1.3：求矩陣=的逆矩陣。解：將分塊為=，其中=，=，=，=，顯然，,可逆，且=，=。所以，由例3.1.1， =所以，=3.2 應(yīng)用分塊矩陣初等變換求解行列式利用初等變換可使分塊矩陣的行列式的計(jì)算得到簡(jiǎn)化。為討論分塊矩陣行列式的計(jì)算，先討論分塊初等矩陣的行列式，它們的行列式有下列的計(jì)算公式。引理3.2.1 分塊初等矩陣的行列式有以下性質(zhì)：（1） ，其中，()，特別地，若,則；（2） ，其中是階可逆矩陣；（3） ，其中是矩陣。定理3.2.1 設(shè)是一個(gè)分塊矩陣：（1）交換的兩行（列），行列式變?yōu)?，其?特別地，交換的相

11、鄰兩行（列），行列式變?yōu)?。?）用一個(gè)階可逆矩陣左（右）乘的第行(列)的所有矩陣，等于用乘以。（3）用一個(gè)矩陣左（右）乘的某一行（列）的所有矩陣再加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上，行列式不變。由定理3.2.1中的（2）可得如下推論：推論3.2.1 分塊行列式的某一行（列）的所有子矩陣的可逆左（右）因子，可以以行列式的形式提到行列式符號(hào)外。下面通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明分塊矩陣初等變換應(yīng)用的靈活性。例3.2.1：設(shè)是一個(gè)分塊矩陣，其中是階可逆矩陣，求。解：由推論及定理3.2.1的（3），=例3.2.2：已知均是階矩陣且，。證明： =。設(shè)是階矩陣，為階單位矩陣，用左乘,得= (6)因?yàn)椋蚀嬖?。令得，代?6

12、)式，取行列式得：,即得=例3.2.3：設(shè)=，其中0，求。解：設(shè)= 由于、可交換，所以由例3.2.1得= =。3.3 分塊矩陣初等變換在秩問(wèn)題中的應(yīng)用矩陣的秩在矩陣?yán)碚撝衅鹬浅Ｖ匾淖饔?。而矩陣秩的?wèn)題，比較復(fù)雜，處理起來(lái)也沒(méi)有一般的方法，而初等變換不改變矩陣的秩。利用分塊矩陣的初等變換來(lái)處理矩陣秩的問(wèn)題，要充分利用性質(zhì)2，即對(duì)一個(gè)分塊矩陣作一次分塊矩陣初等行（列）變換，相當(dāng)于用一個(gè)相應(yīng)的分塊初等矩陣左（右）乘該矩陣，利用分塊矩陣左乘、右乘的靈活性，構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆謮K矩陣，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。例3.3.1：設(shè)是矩陣的可逆順序主子陣，則。證明：而是可逆矩陣，由以上性質(zhì)知=例3.3.2：設(shè)階矩陣為反對(duì)稱

13、矩陣，證明必為偶數(shù)。證明：對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法1）=2時(shí)命題顯然成立。2）設(shè)階數(shù)小于時(shí)命題為真，則對(duì)階數(shù)為的反對(duì)稱矩陣，將分塊成，其中，不妨設(shè)。又因?yàn)闉殡A數(shù)比低的反對(duì)稱矩陣，由歸納假設(shè)可知為偶數(shù)，所以為偶數(shù)。綜合1）、2），可知命題成立 。例3.3.3：（Sylvester公式）設(shè)，分別為和矩陣，則證明：1），又2）記，又，所以 綜合1）、2），命題得證。3.4 結(jié)論分塊矩陣初等變換是矩陣?yán)碚撝械囊粋€(gè)不可缺少的部分。在簡(jiǎn)化計(jì)算矩陣的逆、行列式和秩等問(wèn)題時(shí)一定要找出合適的分塊初等矩陣。與普通的初等變換相比，要注意分塊矩陣初等變換必須在矩陣乘法能夠進(jìn)行的前提下運(yùn)算才能進(jìn)行,這是分塊矩陣初等變換與普通分

14、塊矩陣的區(qū)別所在。4. 分塊矩陣在矩陣特征值問(wèn)題中的應(yīng)用矩陣的特征值問(wèn)題在高等代數(shù)中也是一項(xiàng)非常重要的內(nèi)容，特征值對(duì)于線性變換的研究具有基本的重要性。而我們?cè)谇笠恍╇A數(shù)較高和較復(fù)雜的矩陣特征值時(shí)，經(jīng)常會(huì)用矩陣的分塊去解決，這樣可以使問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)明。下面就分塊矩陣以及分塊矩陣的初等變換在矩陣特征值問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的討論。例4.1：設(shè)A是階矩陣，B是階矩陣，證明的特征多項(xiàng)式與的特征多項(xiàng)式 有關(guān)系： 分析：我們先把上式改寫為因?yàn)槎际浅橄缶仃嚕覀儫o(wú)法把和直接算出來(lái)，但它們是兩個(gè)行列式的值，我們就不妨構(gòu)造出兩個(gè)矩陣來(lái)，使得他們的行列式為和 ，這樣，我們構(gòu)造分塊矩陣，要出現(xiàn)行列式，則我們對(duì)作初

15、等變換，即左乘一個(gè)廣義初等分塊矩陣對(duì)上式求行列式，得到：同理，右乘一個(gè)矩陣兩邊取行列式得到：由（1）和（2）命題得證。引理4.1 設(shè)A是n階矩陣，則A為冪等矩陣的充分必要條件是，這里E為n階單位矩陣，表示A的秩。引理4.2 冪等矩陣A與或者相似，。例4.2： 設(shè)均為n階方陣，且，。若，則的特征值為1或0，且1的個(gè)數(shù)和它們的秩相等。分析：因?yàn)榻o出的矩陣并不是具體的，所以我們考慮用分塊矩陣初等變換來(lái)解這個(gè)題目。證明：1） A可可逆時(shí)，即，因?yàn)椋?，又，由已知得，由引?得到。同樣，。是冪等矩陣，由引理2，和E，有相同的特征值，所以的特征值是1或0，且1的個(gè)數(shù)和它們的秩相等。2） 當(dāng)時(shí)，即，結(jié)論顯然成立。3） 設(shè)，即A為非零又不可逆矩陣。，故存在可逆矩陣P，使，令，這里，從而，這樣，且，由1）的證明可知，存在可逆矩陣Q，使，= =設(shè)，設(shè)，同上課的，故，又，從而（因?yàn)樯鲜鼍仃嚨闹仁牵瑯?，及，故有，綜上所述，對(duì)于，結(jié)論都成立。小結(jié)從上面的討論我們知道，對(duì)于一些給出的不是具體的矩陣，如果要計(jì)算或證明有關(guān)它的特征值問(wèn)題時(shí)，我們一般都采用分塊矩陣的方法，這樣可以使解決過(guò)程變得簡(jiǎn)潔。5.總結(jié)：分塊矩陣是矩陣計(jì)算問(wèn)題中一種重要的技巧，尤其是在遇到高階矩陣，復(fù)雜矩陣還有抽象矩陣的問(wèn)題時(shí)，使用起來(lái)