仿射幾何在解析幾何中的一些應(yīng)用

1、仿射幾何在研究圓錐曲線中的一些應(yīng)用 仁化縣仁化中學(xué) 謝祖福摘要：本文主要結(jié)合實(shí)例，運(yùn)用仿射幾何的性質(zhì)在解決圓錐曲線的問題作了一些嘗試，以期達(dá)到對圓錐曲線問題的解法的化繁為簡，化難為易，并且開闊數(shù)學(xué)視野，培養(yǎng)唯物辨證觀點(diǎn)的目的。關(guān)鍵詞：仿射幾何 仿射性質(zhì) 仿射變換 圓錐曲線高等幾何是從古典幾何過渡到近世幾何的橋梁，它對中學(xué)初等幾何和解析幾何的教學(xué)有重大的指導(dǎo)意義，其中仿射幾何是高等幾何的重要組成部分，是聯(lián)結(jié)高等幾何與初等幾何的紐帶，是應(yīng)用高等幾何解決初等幾何的一條重要通道。在這里，筆者試圖利用仿射幾何的一些基本性質(zhì)，在仿射變換下，通過特殊的圖形去研究復(fù)雜的圖形，從而解決一些高中解析幾何中圓錐曲線

2、一類的問題。我們知道，橢圓、雙曲線、拋物線經(jīng)過仿射變換，它們對應(yīng)的圖形分別是圓、特殊的雙曲線即等軸雙曲線x2y2=±1和特殊的拋物線y2=2x。所以我們只要研究圓、雙曲線x2y2=±1和拋物線y2=2x的相應(yīng)性質(zhì)，利用其平行性、結(jié)合性、簡比、面積比等仿射性質(zhì)，其對應(yīng)的橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)就相應(yīng)知道了，從而能取得事半功倍的效果。一、利用仿射性質(zhì)解決一些圓錐曲線的最值問題。 例：求橢圓的內(nèi)接三角形面積的最大值。解：如圖，設(shè)此橢圓可以由一圓經(jīng)過仿射變換T后得到的。設(shè)圓的半徑為r，橢圓的長、短半軸分別為a、b，則橢圓的面積為ab，且圓內(nèi)接三角形面積最大的為圓內(nèi)接正三角形，面積

3、為r2。根據(jù)仿射變換的性質(zhì) =常量即=，則=ab為所求的最大值。同理，此結(jié)論可以推廣到求橢圓的內(nèi)接矩形的最大值。例：求證橢圓的最大內(nèi)接矩形的面積為2ab 。（此題留給讀者自己證明）二、利用仿射幾何的基本性質(zhì)證明一些定值問題。例：C為雙曲線的實(shí)軸AB所在直線上的一定點(diǎn)，直線CTOY軸，P是雙曲線上不同于A、B任一點(diǎn)，直線AP、BP與CT分別交于M、N兩點(diǎn)，求證CM·CN為定值。證明：由仿射性質(zhì)可知，此題只要對等軸雙曲線x2y2=1進(jìn)行證明即可。如圖，等軸雙曲線x2y2=1中，設(shè)P（sec， tan），A（-1，0）y M O T P B Ox C A N 直線PA的方程：y=(x+1)

4、直線CT的方程：x=d由、得：y=(d+1)故CM=(d+1)同理：CN=(d-1)所以CM·CN=( d2-12) = d2- 1 (定值)由仿射性質(zhì)，可知對于一般雙曲線有CM·CN=定值再如：若C為拋物線y2=2px(p0)的對稱軸所在直線上的一定點(diǎn)，直線CTOY軸，P為拋物線上不同于頂點(diǎn)O的任意一點(diǎn)，直線OP與CT交于M點(diǎn)，直線PNOx軸與CT交于N點(diǎn)。試證CM·CN為一定值。（圖如下）本題證明由讀者自行完成。三、利用仿射幾何的基本性質(zhì)證明一些平行問題。例：已知A、B分別為橢圓在橫軸、縱軸上的頂點(diǎn)，C為線段AB的中點(diǎn)，求證過直線OC與橢圓的交點(diǎn)的切線平行于AB。證明： 如圖，設(shè)此橢圓可以由一圓經(jīng)過仿射變換T后得到，顯然，在圓O中，OCAB，ODL1,OEL2所以ABL1L2因?yàn)槠叫行詾榉律洳蛔冃裕蔄BL1L2即過直線OC與橢圓的交點(diǎn)的切線平行于AB。四、利用仿射的性質(zhì)求一些軌跡的問題。例：橢圓的內(nèi)接ABC，它的邊BC與長軸重合，A在橢圓上運(yùn)動(dòng)，求ABC的重心的軌跡。解：設(shè)此橢圓可以由一圓經(jīng)仿射變換T后得到，顯然，在圓中，滿足此條件的點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，以 OA為半徑所畫的圓。因此，在橢圓中是以O(shè)為中心，其長、短半軸分別為原橢圓長、短半軸的的橢圓。參考文獻(xiàn)： 仿射幾何及其在初等幾