線性代數(shù)重要知識(shí)點(diǎn)及典型例題答案

1、線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章行列式二三階行列式N階行列式：行列式中所有不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積的和aijn（1）（J1J2Jn'aljia2j2anjnj1j2jn（奇偶）排列、逆序數(shù)、對(duì)換行列式的性質(zhì)：行列式行列互換，其值不變。（轉(zhuǎn)置行列式DDT）行列式中某兩行（列）互換，行列式變號(hào)。推論：若行列式中某兩行（列）對(duì)應(yīng)元素相等，則行列式等于零。常數(shù)k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。推論：若行列式中兩行（列）成比例，則行列式值為零；推論：行列式中某一行（列）元素全為零，行列式為零。行列式具有分行（列）可加性將行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不變行列式依行（列

2、）展開：余子式Mj、代數(shù)余子式Aj（1）ijMij定理：行列式中某一行的元素與另一行元素對(duì)應(yīng)余子式乘積之和為零?？巳R姆法則：Dj非齊次線性方程組：當(dāng)系數(shù)行列式D0時(shí)，有唯一解：XjL（j1、2n）D齊次線性方程組：當(dāng)系數(shù)行列式D10時(shí)，則只有零解逆否：若方程組存在非零解，則D等于零aii知ai3轉(zhuǎn)置行列式：a2ia22a23a3ia32a33特殊行列式:對(duì)稱行列式：aj ajiaiia2ia3ia12a22a32a13a23a33奇數(shù)階的反對(duì)稱行列式值為零aiia12a13三線性行列式：a2ia220a3i0a33反對(duì)稱行列式：aj aji上（下）三角形行列式方法：用ka22把a(bǔ)2i化為零,。

3、化為三角形行列式行列式運(yùn)算常用方法（主要）行列式定義法（二三階或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降階法、升階法、歸納法、第二章矩陣矩陣的概念：An（零矩陣、負(fù)矩陣、行矩陣、列矩陣、n階方陣、相等矩陣）矩陣的運(yùn)算：加法（同型矩陣）交換、結(jié)合律數(shù)乘kA（kaj）m*n-分配、結(jié)合律lm*n注意什么時(shí)候有意義A*B(aik)m*i*(bkj)i*n(aikbkj)乘法1AB=0 ,不能得 A=0或B=0AT BT一般AB=BA,不滿足消去律；由轉(zhuǎn)置（AT）TA（AB）T(kA)TkAJ(AB)TBTAT(反序定理)方哥：Ak1Ak2Ak1k2（Ak1）k2Ak1k2幾種特殊的矩陣：對(duì)角矩

4、?車：若AB都是N階對(duì)角陣，k是數(shù)，則kA、A+B、AB都是n階對(duì)角陣數(shù)量矩陣：相當(dāng)于一個(gè)數(shù)（若）單位矩陣、上（下）三角形矩陣（若）對(duì)稱矩陣反對(duì)稱矩陣階梯型矩陣：每一非零行左數(shù)第一個(gè)非零元素所在列的下方都是0分塊矩陣：加法，數(shù)乘，乘法：類似，轉(zhuǎn)置：每塊轉(zhuǎn)置并且每個(gè)子塊也要轉(zhuǎn)置注：把分出來的小塊矩陣看成是元素逆矩陣：設(shè)A是N階方陣，若存在N階矩陣B的AB=BA=I則稱A是可逆的，A1B（非奇異矩陣、奇異矩陣|A|=0、伴隨矩陣）初等變換1、交換兩行（列）2.、非零k乘某一行（列）3、將某行（列）的K倍加到另一行（列）初等變換不改變矩陣的可逆性初等矩陣都可逆初等矩陣：單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的

5、（對(duì)換陣倍乘陣倍加陣）等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣DrIr OO O矩陣的秩r（A）:滿秩矩陣降秩矩陣若A可逆，則滿秩若A是非奇異矩陣，則r（AB）=r（B）初等變換不改變矩陣的秩求法：1定義2轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式或階梯形矩陣與行列式的聯(lián)系與區(qū)別：都是數(shù)表；行列式行數(shù)列數(shù)一樣，矩陣不一樣；行列式最終是一個(gè)數(shù)，只要值相等，就相等，矩陣是一個(gè)數(shù)表，對(duì)應(yīng)元素相等才相等；矩陣（k）。k（aj）n,行列式kaijnknaijn逆矩陣注：AB=BA=I則A與B一定是方陣BA=AB=I則A與B一定互逆；不是所有的方陣都存在逆矩陣；若A可逆，則其逆矩陣是唯一的。矩陣的逆矩陣滿足的運(yùn)算律：111、可逆矩陣A的逆矩陣也是可逆的，且（A

6、1）1Ai1.12、可逆矩陣A的數(shù)乘矩陣kA也是可逆的，且（kA）-Ak3、可逆矩陣A的轉(zhuǎn)置AT也是可逆的，且（AT）1（A1）T4、兩個(gè)可逆矩陣A與B的乘積AB也是可逆的，且（AB）1B1A11但是兩個(gè)可逆矩陣A與B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但（AB）ABA為N階方陣，若|A|=0,則稱A為奇異矩陣，否則為非奇異矩陣。5、若A可逆，則A1A1伴隨矩陣：A為N階方陣，伴隨矩陣：AA1A12A21A22（代數(shù)余子式）特殊矩陣的逆矩陣：（對(duì)1和2,前提是每個(gè)矩陣都可逆）A B1、分塊矩陣D則DO CA» » 3 4AA22、準(zhǔn)對(duì)角矩陣AA3* *3、 AA A A AI1

7、 A 1 A 1BC 1O C 1A 11，則 A1A211A3A4A4、A* A A 1 （A 可逆）5、* 1*1.6、A A1A （A 可逆）A7、AT*8、 AB B A判斷矩陣是否可逆：充要條件是A0,此時(shí)A171rAA求逆矩陣的方法：定義法AA1I*A伴隨矩陣法A1AA初等變換法A|InIn|A1只能是行變換初等矩陣與矩陣乘法的關(guān)系：設(shè)Aajm*n是m*n階矩陣，則對(duì)A的行實(shí)行一次初等變換得到的矩陣，等于用同等的m階初等矩陣左乘以A:對(duì)A的列實(shí)行一次初等變換得到的矩陣，等于用同種n階初等矩陣右乘以A(行變左乘，列變右乘)第三章線性方程組消元法非齊次線性方程組：增廣矩陣一簡化階梯型矩

8、陣r(AB)=r(B)=r當(dāng)r=n時(shí)，有唯一解；當(dāng)rn時(shí)，有無窮多解r(AB)r(B),無解齊次線性方程組：僅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)<n當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)未知量個(gè)數(shù)，一定有非零解當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)=未知量個(gè)數(shù)，有非零解充要|A|二0齊次線性方程組若有零解，一定是無窮多個(gè)N維向量：由n個(gè)實(shí)數(shù)組成的n元有序數(shù)組。希臘字母表示(加法數(shù)乘)特殊的向量：行(列)向量，零向量依負(fù)向量，相等向量，轉(zhuǎn)置向量向量間的線性關(guān)系：|線性組合或線性表示(量組間的線性相關(guān)(無)：定義P79向量組的秩：極大無關(guān)組(定義P188)定理：如果j,j,.j是向量組1,2,.s的線性無關(guān)的部

9、分組，則它是j1J2Jr1ss極大無關(guān)組的充要條件是：1,2,.s中的每一個(gè)向量都可由i,i,.i線性表出。I，2，sJ1'J2'Jr秩:極大無關(guān)組中所含的向量個(gè)數(shù)。定理：設(shè)A為m*n矩陣，則r（A）r的充要條件是：A的列（行）秩為r?，F(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)：齊次非齊次、基礎(chǔ)解系線性組合或線性表示注：兩個(gè)向量“3若k則”是3線性組合單位向量組任意向量都是單位向量組的線性組合零向量是任意向量組的線性組合任意向量組中的一個(gè)都是他本身的線性組合向量組間的線性相關(guān)（無）注：n個(gè)n維單位向量組一定是線性無關(guān)一個(gè)非零向量是線性無關(guān)，零向量是線性相關(guān)含有零向量的向量組一定是線性相關(guān)若兩個(gè)向量成比

10、例，則他們一定線性相關(guān)向量3可由1,2,.n線性表示的充要條件是r（1T2TnT）r（1T2TnTT）判斷是否為線性相關(guān)的方法：1、定義法：設(shè)k1k2.kn,求k1k2.kn（適合維數(shù)低的）2、向量間關(guān)系法P；83：部分相關(guān)則整體相關(guān)，整體無關(guān)則部分無關(guān)3、分量法（n個(gè)m維向量組）B80：線性相關(guān)（充要）r（1T2T.nT）n線性無關(guān)（充要）r（1T2T.nT）n推論當(dāng)m=n時(shí)，相關(guān)，則1T2T3T0；無關(guān)，則1T2T3T0當(dāng)m<n時(shí)，線性相關(guān)2, 23,s 1推廣：若向量1,2,.s組線性無關(guān)，則當(dāng)s為奇數(shù)時(shí)，向量組也線性無關(guān)；當(dāng)s為偶數(shù)時(shí)，向量組也線性相關(guān)?？捎上蛄拷M 1, 2,.

11、s線性表出，且定理：如果向量組1,2,.s,線性相關(guān)，則向量表示法唯一的充分必要條件是1,2,.s線性無關(guān)。極大無關(guān)組注：向量組的極大無關(guān)組不是唯一的，但他們所含向量的個(gè)數(shù)是確定的;不全為零的向量組的極大無關(guān)組一定存在；無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組是其本身；向量組與其極大無關(guān)組是等價(jià)的。齊次線性方程組（I）解的結(jié)構(gòu)：解為1,2(I)的兩個(gè)解的和2仍是它的解;(I)解的任意倍數(shù)k還是它的解；(I)解的線性組合G1c22.css也是它的解，c1,c2，cs是任意常數(shù)。非齊次線性方程組(II)解的結(jié)構(gòu)：解為1,2.(II)的兩個(gè)解的差12仍是它的解；若是非齊次線性方程組AX=B的一個(gè)解，v是其導(dǎo)出組AX

12、=O的一個(gè)解，則u+v是(II)的一個(gè)解。定理：如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A的秩r(A)rn,則該方程組的基礎(chǔ)解系存在，且在每個(gè)基礎(chǔ)解系中，恰含有n-r個(gè)解。若是非齊次線性方程組AX=B的一個(gè)解，v是其導(dǎo)出組AX=O的全部解，則u+v是(II)的全部解。第四章向量空間向量的內(nèi)積實(shí)向量定義：(a, 3)=Ta1bla2b2.anbn性質(zhì)：非負(fù)性、對(duì)稱性、線性性(%k 3)=k( % 3)；,2(k%k 3)=k (% 3);(“+3,)=(“， )+(即 )+(自)+(8 );rsr s(ki i, lj j)kilj( i, j), , , Rn,i 1j 1i 1 j 1向量的長度IIJ(

13、,)0的充要條件是a=0； a是單位向量的充要條件是(a,單位化向量的夾角a) =1正交向量：a 3是正交向量的充要條件是(a, 3) =0正交的向量組必定線性無關(guān)正交矩陣：n階矩陣AAAT AT A I性質(zhì):1、若A為正交矩陣，則A可逆，且A1AT,且A1也是正交矩陣;2、若A為正交矩陣，則A1;3、若A、B為同階正交矩陣，則AB也是正交矩陣;4、n階矩陣A=（a。）是正交矩陣的充要條件是A的列（行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量;第五章矩陣的特征值和特征向量特征值、特征向量為A的一A是N階方陣，若數(shù)使AX=X,即（I-A）=0有非零解，則稱個(gè)特征值，此時(shí)，非零解稱為A的屬于特征值的特征向量。|A|=

14、1*注：1、AX=X2、求特征值、特征向量的方法IA0求i將i代入（I-A）X=0求出所有非零解3、對(duì)于不同的矩陣，有重根、單根、復(fù)根、實(shí)根（主要學(xué)習(xí)的）C1特殊：（I）n的特征向量為任意N階非零向量或C2（Ci不全為零）Cn4、特征值：若（0）是A的特征值一11貝UA-mm則a則kAk2一.右A=A貝=0或1若A=1貝U=-1或1若Ak=O貝U=0跡tr(A)：跡(A)二如a22ann性質(zhì)：1、N階方陣可逆的充要條件是A的特征值全是非零的2 、A與A1有相同的特征值3 、N階方陣A的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)4 、5、P281相似矩陣定義P283:A、B是N階矩陣，若存在可逆矩陣P,

15、滿足P1APB,則矩陣A與B相似，記作AB性質(zhì)1、自身性：AA,P=I2 、對(duì)稱性：若AB則BAP1APBAPBP1(P1)1BP1A113 、傳遞性：若AB、BC則ACP1AP1BP2BP2C-1-(P1P2)1A(P1P2)C4、若AB，則A與B同(不)可逆5、若AB，則A1B1P1APB兩邊同取逆，P1A1PB16、若AB，則它們有相同的特征值。(特征值相同的矩陣不一定相似)7、若AB，則r(A)r(B)初等變換不改變矩陣的秩例子：P1APB則A100PB100P11P1APOA=OP1APIA=I1P1APIA=I矩陣對(duì)角化定理：N階矩陣A與N階對(duì)角形矩陣相似的充要條件是A有N個(gè)線性無

16、關(guān)的特征向量注：1、P與人中的xi與i順序一致2、A則人與P不是唯一的推論：若n階方陣A有n個(gè)互異的特征值，則AA(P281)定理：n階方陣Aa的充要條件是對(duì)于每一個(gè)Ki重特征根i,都有r(iIA)nKi注：三角形矩陣、數(shù)量矩陣I的特征值為主對(duì)角線。約當(dāng)形矩陣1約當(dāng)塊：形如J的n階矩陣稱為n階約當(dāng)塊；1J1約當(dāng)形矩陣：由若干個(gè)約當(dāng)塊組成的對(duì)角分塊矩陣JJ2（Ji是約當(dāng)塊）Jn稱為約當(dāng)形矩陣。定理：任何矩陣A都相似于一個(gè)約當(dāng)形矩陣，即存在n階可逆矩陣P1APJ。第六章二次型二次型與對(duì)稱矩陣只含有二次項(xiàng)的n元多項(xiàng)式f（）稱為一個(gè)n元二次型，簡稱二次型。標(biāo)準(zhǔn)型：形如的二次型，稱為標(biāo)準(zhǔn)型。規(guī)范型：形如

17、的二次型，稱為規(guī)范型。線性變換矩陣的合同：設(shè)AB是n階方陣，若存在一個(gè)n階可逆矩陣C,使得則稱A與B是合同的，記作AB。合同的性質(zhì)：反身性、對(duì)稱性、傳遞性、秩、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型：配方法、做變換（二次型中不含有平方項(xiàng)）第一章行列式.行列式的定義和性質(zhì)1.余子式Mj和代數(shù)余子式Aj的定義例1行列式011101110111第二行第一列元素的代數(shù)余子式A21(A.2B.1C.1D.2測(cè)試點(diǎn)余子式和代數(shù)余子式的概念解析答案B011110111101111021.A21(1)M212.行列式按一行或一列展開的公式n1)AaijnaijAj,j1,2,Ln;(Aaiji1aijAij,ij11,2,Ln)n

18、2)aijAiki1kjnAkikj;j1ajd0ki例2設(shè)某3階行列式的第二行元素分別為1,2,3,對(duì)應(yīng)的余子式分別為3,2,1則此行列式的值為.測(cè)試點(diǎn)行列式按行（列）展開的定理212223解D(1)A212A223A23(1)(1)M212(1)M223(1)M2334310例3已知行列式的第一列的元素為1,4,3,2,第二列元素的代數(shù)余子式為2,3,4,x問x測(cè)試點(diǎn)行列式的任意一行（歹U）與另一行（歹U）元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零.解因第一列的元素為1,4,3,2,第二列元素的代數(shù)余子式為2,3,4,x,故1243（3）42x0所以x1克拾3.行列式的性質(zhì)1)ATA.2)3)互換行列

19、式的任意兩行（列）所得新行列式等于原行列式的相反數(shù).推論4)如果行列式中兩行（列）對(duì)應(yīng)元素成比例，則行列式值為0.5)行列式可以按任一行（列）拆開所得新行列式與原行列式的值相等a11隊(duì)a132a112a122a13例4已知a21a22a233,那么a21a22a23a31a32a332a312 a322 a33行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上,6)(A.24B. 12用數(shù)k乘行列式的某一行（列）所得新行列式=原行列式的C.測(cè)試點(diǎn)解析2a112al22a13a11a12a13a21a22a232 ( 2)a21a22 a232a312a322a33a31a32a33行列式的性質(zhì)12.

20、D.12答案B例5設(shè)行列式a1 b1a2b2=1a1a2C1C2=2,則a1a2b1b2C1C2A.3B.C. 1D.測(cè)試點(diǎn)行列式的性質(zhì)aia2bib2C1C2a1a2bib2a2C1C2故應(yīng)選答案D二.行列式的計(jì)算1 .二階行列式和三角形行列式的計(jì)算2 .對(duì)一般數(shù)字行列式，利用行列式的性質(zhì)將其降階以化成二階行列式或三角形行列式的計(jì)算3 .對(duì)行列式中有一行或一列中只有一個(gè)或兩個(gè)非零元的情況，用這一行或一列展開4 .行列式中各行元素之和為一個(gè)常數(shù)的類型5 .范德蒙行列式的計(jì)算公式受拾吏1114113112111111的值.例6求4階行列式測(cè)試點(diǎn)行列式的計(jì)算1 11 11 21 11 43 11

21、11 11 1 10 0 20 1 00 0 0(3)123233100233100203解2494992004992004090(1)(1)(2)(2)(1)(3)367677300677300607例7計(jì)算3階行列式123233249499367677xaaaaxaaaaxaaaax例8計(jì)算行列式:測(cè)試點(diǎn)各行元素之和為常數(shù)的行列式的計(jì)算技巧xaaxDaaaaaaaaxaaxx3aax3axx3aax3aaaaaaxaaxx3aaaa0xa0000xa0000xa(x3a)(xa)3.ab0L000abL00例9計(jì)算行列式Dn00aL00MMMOMM000Labb00L0a測(cè)試點(diǎn)行列式中有一

22、行只有兩個(gè)元素不為零的行列式的計(jì)算和三角形行列式的計(jì)算解Dna b 0 L0 a b L0 0aLM M M O0 0 0 Lb 0 0 L=aA11bAn1=aM11 +b(n 1nn 1. n1) Mm a ( 1) b00L0100L20例10計(jì)算行列式D6MMOMM05L0060L00解D60 0 L0 0 LM M N0 5 L6 0 L(6)(5)(4)1)3 M M O0 0 L0 0 L0 00 0M M 6!5 00 62231xxx例11設(shè)D(x)124813927141664問(1)D(x)中，x3項(xiàng)的系數(shù)=?2)方程D(x)0有幾個(gè)根？試寫出所有的根。測(cè)試點(diǎn)1.范德蒙行

23、列式的判別和計(jì)算公式;2.行列式按行(歹U)展開的定理124解(1)x3項(xiàng)的系數(shù)A14(1)51391416(32)(42)(43)2(2)因?yàn)镈(x)(2x)(3x)(4所以方程D(x)0有三個(gè)根：x1x)(32)(42)(43)2,x23,x34.第二章矩陣一、矩陣的概念1 .要弄清矩陣與行列式的區(qū)別2 .兩個(gè)矩陣相等的概念3 .幾種特殊矩陣(0矩陣，單位陣,三角陣，對(duì)角陣，數(shù)量陣)、矩陣的運(yùn)算克拾參1.矩陣A,B的加、減、乘有意義的充分必要條件例1設(shè)矩陣A(1,2),B12123,C,則下列矩陣運(yùn)算中有意義的是(34456A.ACBB.ABCC.BACD.CAB測(cè)試點(diǎn)：矩陣相乘有意義的充

24、分必要條件答案：B例2設(shè)矩陣A100021，則A2B013測(cè)試點(diǎn)：矩陣運(yùn)算的定義120解A2B21000112T例3設(shè)矩陣A,B，則ATB23測(cè)試點(diǎn)：矩陣運(yùn)算的定義丘T2解ATB(1,2)38.2.矩陣運(yùn)算的性質(zhì)比較矩陣運(yùn)算(包括加、減、數(shù)乘、乘法等)的性質(zhì)與數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)(加法的交換律和結(jié)合律；乘法關(guān)于加法的分配律；)重點(diǎn)是矩陣乘法沒有交換律(由此產(chǎn)生了矩陣運(yùn)算公式與數(shù)的運(yùn)算的公式(AB)2A2+ABBAB2;(AB)(A-B)A2+BA-AB-B2;(AB)kABABLABAkBk;(AE)2A22AE如果ABO,可能AO,BO.例如A1111，b2上，工，都不為零，但ABO

25、.23.轉(zhuǎn)置對(duì)稱陣和反對(duì)稱陣1)轉(zhuǎn)置的性質(zhì)(AB)TATBT;(A)TAT;(ABC)TCTBTAT2)若ATA(ATA),則稱A為對(duì)稱(反對(duì)稱)陣?yán)?矩陣A,B,C為同階方陣，則(ABC)T=()克拾四A.ATBTCTB.CTBTATC.CTATBTD.ATCTBT答案：B(1,2,3),(1,1,1),令A(yù)T測(cè)試點(diǎn)矩陣乘法的一個(gè)常用技巧解因?yàn)?，所以A5T(T)(T)(T)(T)T)5(1,1,1)5(1,1,1)25321答案322例6A為任意n階矩陣，下列矩陣中為反對(duì)稱矩陣的是（A.AATB.AATC.AATD.ATA解析(AAT)TAT(AT)TATAAAT.故AAT為對(duì)稱陣.答案B(

26、AAT)T(AAT)T例7已知矩陣AATA(AAT).故AAT為反對(duì)稱陣.AAT.故AAT為對(duì)稱陣.同理ATA也為對(duì)稱陣.1，、一人,E為2階單位矩陣，令B3A23A2E,求B測(cè)試點(diǎn)方陣多項(xiàng)式的概念；2BA23A2E4.方陣的行列式的性質(zhì)ATA；ABAB;克拾伍Ak11；A1A例7設(shè)A為n階方陣,A.AC.nA答案：C為實(shí)數(shù)，則A二()BIllAD-I1n1A一12例8矩陣A,B34ATB1解析ATB1ATB1,1A%(2)(3)入2答案2.35.逆矩陣1）方陣A可逆（也稱非異,A滿秩）的充分必要條件是A 0 .當(dāng)A可逆時(shí),1AA.其中方陣A的伴隨陣A的定義AnA21A22MAn1An2oMA

27、2nAnn特別當(dāng)adbc 0 時(shí),1ad bc重要公式AA A AAE； AA與A1的關(guān)系2）重要結(jié)論:若 n階方陣A, B滿足AB E ,則A,B都可逆,_ _ 1B, B A.3）逆矩陣的性質(zhì):11(A ) A;當(dāng) 0時(shí),(A)111_1_ 11一A ;(AB) BA；(AT)1(A1)T; A4）消去律：設(shè)方陣 A可逆，且ABAC(BA CA),則必有B C.（若不知A可逆,僅知A0結(jié)論不一定成立。）6.分快矩陣矩陣運(yùn)算時(shí)，分快的原則：保證運(yùn)算能順利進(jìn)行（包括分塊矩陣和子塊的運(yùn)算）如克拾六BiA11A2A3,BB2,ABA21A22A23B3A1B1A21B1A12B2A22B2A13B

28、3A23B3分快矩陣的運(yùn)算規(guī)則；特別是分快矩陣的轉(zhuǎn)置AiA21MAI2A22MAkA2kMAm2AiAT2MA：準(zhǔn)對(duì)角陣的逆矩陣:如果A.C.A2M二階矩陣測(cè)試點(diǎn)答案：AAk伴隨矩陣的定義例10三階陣A測(cè)試點(diǎn)重要公式答案6E1112A31Am12MA,A2,L,Ak都是可逆陣,則A1OOA21M，則A=(,二階方陣的伴隨陣AAMA1B.D.00，則AA=AAAE.26236設(shè)A為2階可逆矩陣，且已知(2A)12，則A=(4克拾七12B.A.23D.1C.23測(cè)試點(diǎn)逆矩陣的性質(zhì)解由(2A) 1，所以2A答案D，求A例13設(shè)A測(cè)試點(diǎn)求逆矩陣的方法AE(2)+(-2)(1)(3)+3(1)(2)(2

29、)0(J52所以A15例14已知A22A8EO,則（AE)1測(cè)試點(diǎn)關(guān)于逆矩陣的重要推論若A,B都是n階矩陣，且滿足ABEn,則A,B都可逆，且AB,B1A.解由A22A8E。得A2A3A3E5E0,即(AE)(A3E)吏拾八日口(A3E).i1即(AE)-E,故(AE)-(A3E).551答案(AE)1-(A3E).5例15設(shè)A是n階方陣，且(AE)2O,證明A可逆.測(cè)試點(diǎn)若ABE則A,B都可逆，且A1B,B1A.證因?yàn)?AE)2。，即A22AE0,所以A(A2E)E1故A可逆，且A(A2E).例16設(shè)n階方陣A滿足AmO,其中m為正整數(shù)，證明EA可逆，且(EA)1EAA2LAm1分析只要檢查

30、(EA)(EAA2LAm1)E即可證因?yàn)?EA)(EAA2LAm1)EAAA2A2LAmEAmE.故(EA)1EAA2LAm1三、矩陣的初等變換和初等矩陣1 .初等變換的定義和性質(zhì)稱矩陣的下列三種變換為初等行變換：(1)兩行互換；(2)某一行乘一個(gè)非零的數(shù)；(3)某一行的k倍加到另一行上。類似地可定義初等列變換，初等行變換，初等列變換統(tǒng)稱為初等變換方陣經(jīng)初等變換后的行列式是否變化？(分別就三種初等變換說明行列式變化的情況)初等變換不改變方陣的可逆性；初等變換不改變矩陣的秩；行初等變換必能將矩陣化為行最簡形，初等變換ErO必能將矩陣A化為標(biāo)準(zhǔn)形r,其中r為矩陣A的秩.OO如果矩陣A經(jīng)過有限次的初

31、等變換變成B,則稱矩陣A與B等價(jià).等價(jià)矩陣有相等的秩，從而有相等的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形.2 .初等矩陣的定義和性質(zhì)1)初等矩陣的定義；初等陣都可逆，且其逆也是同類型的初等陣.2)初等變換和矩陣乘法之間的關(guān)系3)對(duì)任意mn階矩陣A,總存在一系列m階初等陣PhP2,L,Pk和一系列n階初等陣Q1,Q2,L,Qi,使得克拾九PP2LPkAQQLQiErOOO4）矩陣mn階A與B等價(jià)的充分必要條件是存在一系列m階初等陣Pi,P2,L,Pk和一系列n階初等陣Qi,Q2,L,Qi,使得PP2LRAQ1Q2LQiB.例17下列矩陣中，是初等矩陣的為（）A.011B.101001100C.010101010D.0031

32、00測(cè)試點(diǎn)初等矩陣的定義和性質(zhì)100解析C.010是由單位矩陣經(jīng)第三行加第一行得到的，故是初等矩陣。101答案C例18設(shè)三階矩陣Aa11a12a13a21a22a23，若存在初等矩陣P,使得a31a32a33a112a31a122a32a132a33PAa21a22a23，則Pa31a32a33100A.010B.201102010C.001D.測(cè)試點(diǎn)矩陣的初等變換和用初等矩陣乘的關(guān)系答案B四、矩陣的k階子式和矩陣秩的概念，求矩陣秩的方法1矩陣的k階子式的概念2矩陣秩的概念定義。矩陣的秩為0,對(duì)于非零矩陣A,如果有一個(gè)r階子式不等于0,而所有的r1階子式（如果有的話）都等于0,則稱矩陣A的秩為

33、r.顯然n階可逆矩陣的秩等于n,故可逆陣又稱是滿秩的.階梯形矩陣的秩等于其非零行的個(gè)數(shù).3.等價(jià)矩陣有相等的秩（初等變換不改變矩陣的秩）；從而矩陣A左乘（右乘）可逆陣其秩不變.反之兩個(gè)同形矩陣只要秩相等，則二者必等價(jià)4.求矩陣秩的方法1例19設(shè)矩陣A0A.所有2階子式都不為零B.所有2階子式都為零C.所有3階子式都不為零D.存在一個(gè)3階子式不為零測(cè)試點(diǎn)矩陣的k階子式的概念.答案D例20設(shè)矩陣A矩陣BB的秩r(B)=測(cè)試點(diǎn)矩陣秩的概念答案r(B)例21設(shè)矩陣A12 ，a為何值時(shí),(1)秩（A）1；(2)秩（A）2.測(cè)試點(diǎn)求矩陣秩的方法124)(1)3)(1)所以當(dāng)a 9時(shí),秩（A）1;當(dāng)a9時(shí),

34、秩（A）例22設(shè)A為mt< n矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為則矩陣AC的秩為測(cè)試點(diǎn)用可逆矩陣左（右）乘任意矩陣 A,則A的秩不變.答案 r例23設(shè)3階方陣A的秩為2,則與A等價(jià)的矩陣為（A.0B.0111C. 222000111D. 222333答案 B測(cè)試點(diǎn) 矩陣等價(jià)的概念；等價(jià)矩陣有相等的秩；反之同形的兩個(gè)矩陣只要其秩相等，必等價(jià)解 因?yàn)锳,C,D的矩陣的秩都為1, B的矩陣的秩等于2.故答案應(yīng)為B.五、矩陣方程的標(biāo)準(zhǔn)形及解的公式AX B X A 1B; _1XA B X BA ; A1XA2 B X A11BA21.2 1例24設(shè)矩陣A, B5 3測(cè)試點(diǎn)解矩陣方程的方法,求矩

35、陣方程XAB的解X .驗(yàn)算!X BA13 1312 0 A- 5 212 562例25設(shè)A,B均為3階矩陣，E為3階單位矩陣，且滿足：AB2E A B .若已知A101020 ，求矩陣1 01B.測(cè)試點(diǎn)解矩陣方程的方法解因?yàn)?AB E A2 B,故 AB B A2 E從而(A E)BA2 E (A E)(A E),又001010,顯然AE可逆，應(yīng)用消去律得100201BAE030102101201驗(yàn)算 AB E0200301011023031004030600100703030013042022014032_-AB040030070202102304所以確有ABEA2B足方程,23310111

36、20八-例26已知ABCD矩陣X滿10'21'120'101'AXBXDC,求X。測(cè)試點(diǎn)求矩陣方程的解解由AXBXDC得（AB）XDC故X(AB)1(DC)立;拾參其中AB11，D12131110211213111021121310115210173011521213101152所以X驗(yàn)算第三章向量空間一、n維向量線性運(yùn)算的定義和性質(zhì)；例1.已知15223其中，1(3,4,1),2則3.測(cè)試點(diǎn)n維向量線性運(yùn)算的定義和性質(zhì)解因?yàn)?5223，所以031T2(T1T5T)22450513故3(1,1,121)(請(qǐng)驗(yàn)算)入11答案3(1,1,萬).例2設(shè)向量1(1,1,

37、1T,2(1,1,0)T,3(1,0,0)T,(1,0,3),(0,2,5),11112(0,1,1)T,則由1,2,3線性表出的表示式為測(cè)試點(diǎn)向量由向量組線性表示；組合系數(shù)的求法解考慮X11X22X33該線性方程組的增廣矩陣所以答案12311100111001133(驗(yàn)算!)1110110110011101010000111110001101111001010000111n維向量組的線性相關(guān)性1.向量組的線性相關(guān)性的定義和充分必要條件:守拾四1)定義：設(shè)1,2,L,m是一組n維向量.如果存在m個(gè)不全為零的數(shù)1,2,L,m,使得1122Lmm0,則稱向量組1,2,L,m線性相關(guān)，否則，即如果1

38、122Lmm0,必有12Lm0,則稱向量組1,2,L,m線性無關(guān).2) m個(gè)n維向量1,2,L,m(m2)線性相關(guān)的充分必要條件是至少存在某個(gè)i是其余向量的線性組合即1,2,L,m(m2)線性無關(guān)的充分必要條件是其中任意一個(gè)向量都不能表示為其余向量的線性組合例3設(shè)向量組1,2,L,s線性相關(guān)，則必可推出()A.1,2,L,s中至少有一個(gè)向量為零向量8.1, 2,L,s中至少有兩個(gè)向量成比例C. 1,2,L,s中至少有一個(gè)向量可以表示為其余向量的線性組合D. 1,2,L,s中每一個(gè)向量都可以表示為其余向量的線性組合測(cè)試點(diǎn)向量組線性相關(guān)的概念答案C例4向量組1,2,L,s線性無關(guān)的充分條件是A.

39、1,2,L,s都不是零向量B. 1,2,L,s中任意兩個(gè)向量都不成比例C. 1,2,l,s中任意一個(gè)向量都不能表為其余向量的線性組合D. 1,2,L,s中任意s1個(gè)向量都線性無關(guān)測(cè)試點(diǎn)向量組線性相關(guān)的概念；充分條件；必要條件；充分必要條件都不是零向量，但1,2線性相關(guān).131中任意兩個(gè)向量都不成比例，且其中任意312個(gè)向量都線性無關(guān)3但1,2,3線性相關(guān).故A,B,D都不正確.答案C例5.設(shè)向量組 1, 2線性無關(guān)，證明向量組112, 212也線性無關(guān)立;拾六測(cè)試點(diǎn)向量組線性無關(guān)的定義證設(shè)k11k220因?yàn)?12,212匕(12)k2 ( 12)0即（kik2）i（kik2）20一，k1k20

40、一八因?yàn)閕,2線性無關(guān)，故，所以只能kik20.k1k20這表明若kiik220,必有kik20.據(jù)向量組線性無關(guān)的定義，知1,2也線性無關(guān)例6.若向量組i（3,i,a）,2（4,a,0）,3（i,0,a）線性無關(guān)，則a可能的取值應(yīng)滿足測(cè)試點(diǎn) n個(gè)n維向量線性無關(guān)相應(yīng)的行列式 0;i(3) ( a)(i)0a2a4 ia 04a 0一 2 一一4a 2a 2a(a 2) 0所以a0,且a2.答案a0,且a2.2 .關(guān)于線性相關(guān)的幾個(gè)定理i）如果向量組i,2,L,m線性無關(guān)，而i,2,Lm,線性相關(guān)，則可由i,2,L,m線性表示，且表示法唯一.2）線性相關(guān)的向量組再增加向量所彳#的新向量組必線性

41、相關(guān).（部分相關(guān)，則整體相關(guān)；或整體無關(guān)，則部分無關(guān)）3）若向量組i（aii,ai2,L,ain）,ii,2,L,m線性無關(guān)，則接長向量組1 （aii,ai2,L,ain,ai（ni）,ii,2,L,m必線性無關(guān).3 .判斷向量組線性相關(guān)性的方法1） 一個(gè)向量線性相關(guān)0;2）含有零向量的向量組必線性相關(guān)；3）向量個(gè)數(shù)=向量維數(shù)時(shí)，n維向量組i,2,L,n線性相關(guān)A|i2Ln|0.4）向量個(gè)數(shù)向量維數(shù)時(shí)，向量組必線性相關(guān)；5）部分相關(guān)，則整體必相關(guān)；（整體無關(guān)，則部分必?zé)o關(guān)）.6）若向量組線性無關(guān)，則其接長向量組必線性無關(guān)；向量組的秩所含向量的個(gè)數(shù)7）向量組線性無關(guān)向量組的秩=所含向量的個(gè)數(shù)，向

42、量組線性相關(guān)8）向量組i,2,Ln線性相關(guān)（無關(guān)）的充分必要條件是齊次方程組XiiX22LXnn0有（沒有）非零解例7.設(shè)n維向量組1,2,L,m(m2)線性無關(guān)，則A.組中減少任意一個(gè)向量后仍線性無關(guān)B.組中增加任意一個(gè)向量后仍線性無關(guān)mC.存在不全為零的數(shù)k1,k2,L,km,使kii0i1D.組中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表出解析因?yàn)槿粝蛄拷M線性相關(guān)，則增加任何一個(gè)向量后仍線性相關(guān)，其等價(jià)的定理是向量組相性無關(guān)，則組中減少任意一個(gè)向量后仍線性無關(guān)答案A例 8 設(shè)向量 i (ai, bi,ci), 2( )A.若i, 2線性相關(guān)，則必有B.若1, 2線性無關(guān)，則必有C.若1, 2線性

43、相關(guān)，則必有D.若1, 2線性無關(guān)，則必有答案B(a2,b2,C2), 1 (a1,b,C1,d1), 21, 2線性相關(guān)1, 2線性無關(guān)1, 2線性無關(guān)1, 2線性相關(guān)(a2,b2,C2, d2),下列命題中正確的是例9.設(shè)向量組1,2,3線性無關(guān)，而向量組2,3,4線性相關(guān).證明：向量4必可表為1,2,3的線性組合.測(cè)試點(diǎn)關(guān)于線性相關(guān)性的幾個(gè)定理證1因?yàn)?,3,4線性相關(guān)，故1,2,3,4線性相關(guān)，又因?yàn)?,2,3線性無關(guān)，所以4必可表為1,2,3的線性組合.證畢.證2因?yàn)?,2,3線性無關(guān)，故2,3必線性無關(guān)，又因?yàn)?,3,4線性相關(guān)故4必能由2,3線性表示，當(dāng)然可表為1,2,3的線性組

44、合.證畢.三、向量組的極大無關(guān)組及向量組的秩1 .極大無關(guān)組的定義：設(shè)1,2,L，是向量組T的一個(gè)部分組.如果(1)1,2,L,r線性無關(guān)；(2)任給T,都有,1,2,L,r線性相關(guān)，則稱1,2,L,r是向量組T的一個(gè)極大無關(guān)組.2 .向量組的秩，向量組的秩與矩陣的秩；求向量組的極大無關(guān)組，并將其余向量由該極大無關(guān)組線性表示的的方法立;拾七例10A1013的行向量組的秩測(cè)試點(diǎn)矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系答案例11設(shè)1,2,3,4是一個(gè)4維向量組,若已知4可以表為1,2,3的線性組合，且表示法惟一，則向量1,2,3,4的秩為(A.1B.C.3D.測(cè)試點(diǎn)(1)向量組的秩的概念;(2)向量由向量組

45、線性表示的概念(3)向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念因?yàn)?可以表為3的線性組合，且表示法惟一，必有1,3線性無關(guān)，因?yàn)?，由4可以表為1,2,3的線性組合，即k11k22k330k11k22k3(K1)1(k2(k3由表示法惟一，有k1,k2k2,k3k3于是有10，故3線性無關(guān)，又4可以表為1,2,3的線性組合，所以1,2,3為向量組1,2,4的一個(gè)極大無關(guān)組，故向量組2,3,4的秩為3.答案C例12設(shè)向量組1(1,1,2,1)T,2(2,2,4,2)T,3(3,0,6,1)T,4(0,3,0,4)T(1)求向量組的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組;(2)將其余向量表為該極大線性無關(guān)組的線性組合測(cè)試點(diǎn)求

46、向量組的極大無關(guān)組,并將其余向量由該極大無關(guān)組線性表示的的方法(2) (1)(3) (2)(1)(4) (1)(1)(3)(3)(1)(3)2)(2)立;拾八1001010200110000所以原向量組的秩為3,1,2,3為所求的極大無關(guān)組.41223四、子空間的定義，基、維數(shù)、向量在一組基下的坐標(biāo)1 .n維向量空間的定義：n維實(shí)向量的全體構(gòu)成的集合稱為n維向量空間，記為Rn.V是Rn的一個(gè)子2 .子空間的定義：設(shè)V是Rn的一個(gè)非空子集，且滿足對(duì)加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算封閉，則稱空間，簡稱為向量空間V.3.生成子空間的定義：設(shè)Rn,則由它們的所有線性組合構(gòu)成Rn的一個(gè)子空間，稱它為由1,2,L,m生成的