線性代數(shù)第二章矩陣試題及答案

1、第二章矩陣一、知識點復習1、矩陣的定義由mn個數(shù)排列成的一個m行n列的表格，兩邊界以圓括號或方括號，就成為一個mn型矩陣。例如,2-1011-11102254-29<333-18)是一一個45矩陣.一個矩陣中的數(shù)稱為它的元素，位于第i行第j列的數(shù)稱為(i,j)位元素。元素全為0的矩陣稱為零矩陣，通常就記作0。兩個矩陣A和B相等(記作A=B),是指它的行數(shù)相等，列數(shù)也相等(即它們的類型相同)，并且對應的元素都相等。2、n階矩陣與幾個特殊矩陣行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣稱為方陣，行列數(shù)都為n的矩陣也常常叫做n階矩陣。n階矩陣的從左上角到右下角的對角線稱為主對角線。下面列出幾類常用的n階矩陣，它們都是

2、考試大綱中要求掌握的.對角矢I陣：對角線外的的元素都為0的n階矩陣.單位矩陣：對角線上的的元素都為1的對角矩陣，記作E(或I).數(shù)量矢I陣：對角線上的的元素都等于一個常數(shù)c的對角矩陣，它就是cE.上三角矩陣：對角線下的的元素都為0的n階矩陣.下三角矩陣：對角線上的的元素都為0的n階矩陣.對稱矢I陣：滿足AT=A矩陣，也就是對任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素總是相等的n階矩陣.反對稱矩陣：滿足AT=-A矩陣.也就是對任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素之和總等于0的n階矩陣.反對稱矩陣對角線上的元素一定都是0.)正交矩陣：若AAt=AtA=E,則稱矩陣A是正交矩陣

3、。(1) A是正交矩陣At=A-1(2)A是正交矩陣A2=1階梯形矩陣：一個矩陣稱為階梯形矩陣，如果滿足：如果它有零行，則都出現(xiàn)在下面。如果它有非零行，則每個非零行的第一個非0元素所在的列號自上而下嚴格單調(diào)遞增。把階梯形矩陣的每個非零行的第一個非0元素所在的位置稱為臺角。每個矩陣都可以用初等行變換化為階梯形矩陣，這種運算是在線性代數(shù)的各類計算題中頻繁運用的基本運算，必須十分熟練。請注意：一個矩陣用初等行變換化得的階梯形矩陣并不是唯一的，但是其非零行數(shù)和臺角位置是確定的。3、矩陣的線形運算(1)力口(減)法:兩個mn的矩陣A和B可以相加(減)，得到的和(差)仍是mn矩陣，記作A+B(A-B),運

4、算法則為對應元素相加(減).(2)數(shù)乘：一個mn的矩陣A與一個數(shù)c可以相乘，乘積仍為mn的矩陣，記作cA,運算法則為A的每個元素乘c.這兩種運算統(tǒng)稱為線性運算，它們滿足以下規(guī)律：加法交換律：A+B=B+A.2加法結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C).加乘分配律：c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.數(shù)乘結(jié)合律：c(d)A=(cd)A.cA=0c=0或A=0.4、矩陣乘法的定義和性質(zhì)(1)當矩陣A的列數(shù)和B的行數(shù)相等時，則A和B可以相乘，乘積記作ABAB的行數(shù)和A相等，列數(shù)和B相等.AB的(i,j)位元素等于A的第i個行向量和B的第j個列向量(維數(shù)相同)對應分量乘積之和.即：Am

5、sBsn矩陣的乘法在規(guī)則上與數(shù)的乘法有不同：矩陣乘法有條件.矩陣乘法無交換律.即ABBA矩陣乘法無消去律：即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A0推不出B=C.(無左消去律)由BA=CA和A0推不出B=C.(無右消去律)請注意不要犯一種常見的錯誤：把數(shù)的乘法的性質(zhì)簡單地搬用到矩陣乘法中來.矩陣乘法適合以下法則：加乘分配律A(B+C尸AB+AC,(A+B)C=AC+BC.數(shù)乘性質(zhì)(cA)B=c(AB).結(jié)合律(AB)C=A(BC)(2) n階矩陣的方幕和多項式任何兩個n階矩陣A和B都可以相乘，乘積AB仍是n階矩陣.并且有行列式性質(zhì)：|AB|=|A|B|.如果AB=BA，則說A和

6、B可交換.方哥設k是正整數(shù)，n階矩陣A的k次方哥Ak即k個A的連乘積.規(guī)定A0=E.顯然A的任何兩個方哥都是可交換的，并且方哥運算符合指數(shù)法則 AkAh=Ak+h.(Ak)h=Akh.但是一般地(AB)k和AkBk不一定相等n階矩陣的多項式:設f(x)=amxm+am-ixm-1+aix+ao,對n階矩陣A規(guī)定f(A)=amAm+am-iAm-1+aiA+aoE.乘法公式一般地，由于交換性的障礙，小代數(shù)中的數(shù)的因式分解和乘法公式對于n階矩陣的不再成立.但是如果公式中所出現(xiàn)的n階矩陣互相都是互相可交換的，則乘法公式成立.例如當A和B可交換時，有：(AB)2=A22AB+B2;A2-B2=(A+B

7、)(A-B)=(A+B)(A-B).邛,二項展開式成立：(AB門C需A峭'B?等等.i前面兩式成立還是A和B可交換的充分必要條件.乘積矩陣的列向量組和行向量組設A是mn矩陣B是ns矩陣，A的列向量組為1,2,，n,B的列向量組為1,2,，s,AB的列向量組為1,2,，s,則根據(jù)矩陣乘法的定義容易看出(也是分塊法則的特殊情形)：AB的每個列向量為：i=Ai,i=1,2,s.即A(1,2,，s)=(A1,A2,，As). =(b1,b2,bn)T,則A=b11+b22+bnn.應用這兩個性質(zhì)可以得到：如果i=(b1i,b2i,bni)t,則i=AI=b1i1+b2i2+bnin.即:乘積矢

8、B陣AB的第i個列向量i是A的列向量組1,2,，n的線性組合，組合系數(shù)就是B的第i個列向量i的各分量。類似地，乘積矩陣AB的第i個行向量是B的行向量組的線性組合，組合系數(shù)就是A的第i個行向量的各分量。以上規(guī)律在一般教材都沒有強調(diào)，但只要對矩陣乘法稍加分析就不難得出.它稱為A的一個多項式.請?zhí)貏e注意在常數(shù)項上加單位矩陣利用以上規(guī)律容易得到下面幾個簡單推論： 用對角矩陣從左側(cè)乘一個矩陣，相當于用的對角線上的各元素依次乘此們無論在理論上和計算中都是很有用的.矩陣的各行向量，用對角矩陣素依次乘此矩陣的各列向量。1mAmn從右側(cè)乘一個矩陣，相當于用的對角線上的各元11 a1222a233a3m 44 a

9、4maa2a3a412iai2a23a34a4m數(shù)量矢I陣kE乘一個矩陣相當于用k乘此矩陣；單位矩陣乘一個矩陣仍等于該矩陣。兩個同階對角矩陣的相乘只用把對角線上的對應元素相乘。求對角矩陣的方哥只需把對角線上的每個元素作同次方哥。5、矩陣的行列式A為n階方陣，由A的元素所構(gòu)成的行列式稱為A的行列式，表示為|A|。若A的行列式|A|0,稱A為非奇異方陣，|A|=0,稱A為奇異方陣|AB|二|A|B|cA|二Cn|A|.6、矩陣的轉(zhuǎn)置把一個mn的矩陣A行和列互換，得到的nm的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作AT(或A)。有以下規(guī)律：(AT)T=a.(A+B)T=AT+BT.(cA)T=cAT(AB)T=BTA

10、T|AT|=|A|7、矩陣的等價定義：兩個矩陣如果可以用初等變換互相轉(zhuǎn)化，就稱它們等價.矩陣的等價的充分必要條件為它們類型相同，秩相等.命題：兩個m*n矩陣A與B等價的充要條件是存在m階滿秩矩陣P及n階滿秩矩陣Q,使得A=PBQ8、矩陣方程和可逆矩陣(伴隨矩陣)(1)矩陣方程矩陣不能規(guī)定除法，乘法的逆運算是解下面兩種基本形式的矩陣方程：(1) AX=B.(II)XA=B.這里假定A是行列式不為0的n階矩陣，在此條件下，這兩個方程的解都是存在并且唯一的(否則解的情況比較復雜.)。當B只有一列時，(I)就是一個線性方程組.由克萊姆法則知它有唯一解.如果B有s列,設B=(1,2,，s),則X也應t有

11、s列，記X=(Xi,X2，Xs),則有AX=i,i=1,2,s,這是s個線性方程組，由克萊姆法則，它們都有唯一解，從而AX=B有唯一解。這些方程組系數(shù)矩陣都是A,可同時求解，即得(I)的解法：將A和B并列作矩陣(A|B)：對它作初等行變換：使得A變?yōu)閱挝痪仃嚕藭rB變?yōu)榻釾(A|B)(E|X)。(II)的解法：對兩邊轉(zhuǎn)置化為(I)的形式：ATXT=BT,再用解(I)的方法求出XT,轉(zhuǎn)置彳XX.:(AT|BT)(E|XT)矩陣方程是歷年考題中常見的題型，但是考試真題往往并不直接寫成(I)或(II)的形式，要用恒等變形簡化為以上基本形式再求解。(2)可逆矩陣的定義與意義定義：設A是n階矩陣，如果存

12、在n階矩陣B,使得AB=E,BA=E，則稱A為可逆矩陣，此時B是唯一的，稱為A的逆矩陣，通常記作A-1。如果A可逆，則A在乘法中有消去律：AB=0B=0;AB=ACB=C.(左消去律)；BA=0B=0;BA=CAB=C.(右消去律)如果A可逆，則A在乘法中可移動(化為逆矩陣移到等號另一邊)：AB=CB=A-1C,BA=CB=CA-1由此得到基本矩陣方程的逆矩陣解法：(1) AX=B的解X=A-1B(II)XA=B的解X=BA-1.這種解法想法自然，好記憶，但是計算量比初等變換法大(多了一次矩陣乘積運算).(3)矩陣可逆性的判別與性質(zhì)定理n階矩陣A可逆|A|0.證明充分性：對AA-1=E兩邊取行

13、列式得|A|A-1|=1,從而冏0.(并且|A-1|=|A|-1.)必要性：因為|A|0,矩陣方程AX=E和XA=E都有唯一解.設B,C分別是它們的解，即AB=E,CA=E.事實上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是從定義得至ijA可逆.推論如果A和B都是n階矩陣，則AB=EBA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立，則A和B都可逆并且互為逆矩陣.可逆矩陣有以下性質(zhì)：如果A可逆，則A-1也可逆，并且(A-1)-1=A.AT也可逆，并且(AT)-1=(A-1)T. 當c0時，cA也可逆，并且(cA)-1=c-1A-1. 對任何正整數(shù)k,Ak也可逆，并且(Ak)-1=(A-1)k.(規(guī)

14、定可逆矩陣A的負整數(shù)次方哥A-k=(Ak)-1=(A-1)k.) 如果A和B都可逆，則AB也可逆，并且(AB)-1=B-1A-1.(請自己推廣到多個可逆矩陣乘積的情形.)初等矩陣都是可逆矩陣，并且E(i,j)-1=E(i,j),E(i(c)-1=E(i(c-1),E(i,j(c)-1=E(i,j(-c).(4)逆矩陣的計算和伴隨矩陣計算逆矩陣的初等變換法當A可逆時，A-1是矩陣方程AX=E的解，于是可用初等行變換或列變換求A-1：初等行變換：A|EE|A1.AE初等列變換：-ETEA1這個方法稱為求逆矩陣的初等變換法.它比下面介紹的伴隨矩陣法簡單得多.伴隨矩陣若A是n階矩陣，記Aj是|A|的(

15、i,j)位元素的代數(shù)余子式，規(guī)定A的伴隨矩陣A11A21AnA*=A12A22An2=(Aij)T.(A1nA2nAjmn請注意，規(guī)定n階矩陣A的伴隨矩陣并沒有要求A可逆，但是在A可逆時，A*和A-1有密切關系?；竟剑篈A*=A*A=|A|E.A-1=A*/|A|,即A*=|A|A-1.因此可通過求A*來計算A1.這就是求逆矩陣的伴隨矩陣法.和初等變換法比較，伴隨矩陣法的計算量要大得多，除非n=2,一般不用它來求逆矩陣.對于2階矩陣r.>*r.、ab*d-bcd=-caI，1 d b ad bc c a因此當ad-bc0時，ac例題5.設矩陣A、填空題A23A2E,貝IB1.設1,2

16、,3,均為4維向量，A=1,2,3,B=1,2,3,且|A|二2,|B|解:A2=3,則|A3B|=解：|A3B|)8(|A|3|B|)56A23A2E=2,設Aan，則AATB|B|或者:解：AATa2a1,a2an2a12a22anAAta2anan解：假設AXj01an6.設n階矩陣一一2A滿足A2A3E0,則Aa1a22a2aaa?anada?an2annx1矩陣X,土勻有AX=0,0T(j=1,2,，m).,4.設n維向量m,i是A的列向量。對于,第j個元素不為0,所以j=1,2,，m,010T,2解：由A22A3EQ是A可逆.由7.設8.若得A(AA22A3e2E)3E.所以|A|

17、A10,得A2E3A0,A12E|3E|0,19A2E)A=0。11(-,0,0-),矩陣A22其中E為n階單位矩陣，則AB=解：ABEaTaE2aTaEaTa2aTaaTa10，則(A3E)11(A29E)一.答案:A3EA2-2A+E=0,則(A-2E)解：A22A二、單項選擇題1.設n階矩陣-1EAA2EA與B等價,當A0時，B0則必有2E2E1A0時，B0時,解：AP1P2BQ1Q22 .下列命題正確的是()，并說明理由.A若A是n階方陣且AWO,則A可逆B若A,B都是n階可逆方陣，則A+B可逆C若AB=O,且AWO,則必有B=OD設A是n階方陣，則A可逆AT必可逆.3 .設A、B都是

18、n階方陣,下面結(jié)論正確的是所以7.1已知20PaAQaPbBQb.一一_1_1于7PbPAAQaQBPB1PA,1QQaQb.(D)是答案.38等價，則6A若A、B均可逆，則A+B可逆.B若A、B均可逆，則AB可逆.C若A+B可逆，則AB可逆.D若A+B可逆，則A,B均可逆.解：若A、B均可逆，則(AB)1B1A18.1D2D3B4C5C6D7a=4以下命題是正確的是()，且說明理由:對任何矩陣A,均有IAATAT解：只有當A是方陣時,(2)A,B,C,D均為n(n>1)階方陣，若A|DB|C.解：分塊矩陣不滿足這樣的公式。則在B,C,D中與A等價的矩陣為,5.下述命題正確的是()A若A

19、與B等價，則A=B.B若方陣A與方陣B等價，則|AB.A,B,CD均為n階方陣，若M則MT解:MTATCTBTDT(4)題答案:2ABC若A與可逆矩陣B等價，則A也是可逆矩陣.D若A,B,C,D均為n階方陣，若A與B等價，C與D等價，則A+C與B+D等價.6.設A、B為同階可逆矩陣，則1AAB=BAB存在可逆矩陣P,使PAPBC存在可逆矩陣C,使CTACBD存在可逆矩陣P和Q,使PAQB解：因為A可逆，存在可逆Pa,Qa使PaAQaE.(4)A1(6)2MB為n(n>1)階方陣則AIB.B為可逆矩陣，則AXBC有惟一解X1_11CB1.因為B可逆，存在可逆PB,Qb使PbBQb三、計算題

20、1等價于0M000M000M0nn1.求：i.ABBAii.A2B2iii.BTAT2.3.4.146171739181694615159326135617513511225.計算下列矩陣的值122729993032210529"9933212222999336361k取什么值時，ao1100解：|A10k0k111解下列矩陣方程：00kn可逆，并求其逆。k01110010'A01.k011k1(1)(2)設解:,求An使用數(shù)學歸納法1235解：02461011024610110123A2A33(12)22(2)X2212(3)X11140假設Ak=已知三階矩陣A滿足Aii(

21、i123),其中1(1,2,2)T,則Ak(11)2(2,2,1)T,3(2,1,2)T,試求矩陣A.(11)斛：Aa1a,Aa22a2,Aa33a3Aa1，a2,a3(k(11)k)(k1)所以：An=（11)n1nn(n1)2|A|1233<3211,所以A1*A|A|1萬一/3<321A111£3212222221-8.已知A、B為3階矩陣，且滿足2ABB4E,其中E是3階單位矩陣An 2 A201 0 00A32 0 11 1 06.設矩陣A（1）證明：n3時，An（E為三階單位矩陣）（2）求A100.10解：因為a2110(1)證明：矩陣A-2E可逆。,120,

22、(2)若RI,。，求矩陣ABI20002解：2AA1BAB4A2BAB4AA2EB4A2E8EAA2A3A2E4E8EA2E8B4E所以A3A3A2假設AkAk2A2-1-2則AkAk1A3Ak1A2A=A(k1)2A2所以AnAn2A29.設A,P均為3階矩陣，PT為P的轉(zhuǎn)置矩陣，且TPAPii.A100A98A2A962A22E50A249E49Pa1，a2,a3,Qaa2,a2,a3，則QTAQ為507.解:5050因為50504949時，a6=E.5050求A11.解:-LP1!001flA611A12A11E,AAAEA:1二0',0O'"101八00(2二

23、10O'0a11a12a131.僅Aa21a22a23a31a32a33設有P2P1A=B,則P2=a21a22a23010Ba11a12a13,P100a31a21a32a22a33a23001此例說明結(jié)論：乘積矩陣AB的第i個列向量i是A的列向量組1,2,，n的線性組合，組合系數(shù)就是B的第i個列向量i的各分量。類似地，乘積矩陣AB的第i個行向量是B的行向量組的線性組合，組合系數(shù)就是A的第i個行向量的各分量。四、關于矩陣的初等變化和初等矩陣知識點矩陣有以下三種初等行變換：交換任意兩行的位置。用一個非0的常數(shù)乘某一行的各元素。把某一行的倍數(shù)加到另一行上。類似地，矩陣還有三種初等列變換，

24、初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱初等變換。對單位矩陣E作一次初等(行或列)變換，所得到的矩陣稱為初等矩陣。有三類初等矩陣：E(i,j):交換E的i,j兩行(或列)所得到的矩陣。E(i(c):用非0數(shù)c乘E的第i行(或列)所得到的矩陣，也就是把E的對角線上的第i個元素改為c。解：P1A表示互換A的第一、二行.B表示A先互換第一、二行，然后將互換后的矩100陣的第一行乘以(一1)加到第三行.所以P2=010。1012.設A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C,則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為010100010100011A100BB011C，A100011A100C0010

25、01001001001式113fllS%rtLJ0001設a2*,BM白事門Xail02l.丐-0100anai3口"anayi0010-門41門。_1+1431000共中 < 可遞,JUrt等舞(A).4T耳6(B)IAlP213月鳥E(i,j(c)(ij)：把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩陣，也就是把E的(i,j)位的元素改為co初等矩陣都是可逆矩陣，并且E(i,j)-1=E(i,j),E(i(c)-1=E(i(c-1),E(i,j(c)-1=E(i,j(-c).解：BAp1P21BP1P2AP2P1AP2P1A111111BAP2P

26、1BP2P1AP1P2AP1P2A4.若可逆矩陣A作下列變化，則A1相應地有怎樣的變化？命題：對矩陣作一次初等行(歹U)變換相當于用一個相應的初等矩陣從左(右)乘它.(1)a中i行與j行互換；(2)A中i行乘上非零數(shù)k；i<j時，A中第j行乘上數(shù)k加到第i行.A1A11解：（1）BEi,jAB1Ei,jAA1Ei,j1A1Ei,jA2OA21O的i列與j列互換。AsA1A2LA(2)BA1E（主對角分塊）（副對角分塊）(3)BEi,jkAB1A1Ei,j1A1Ei,jkCB1（拉普拉斯）A1的i列乘以k加到第j列上。1B1CA（拉普拉斯）5.已知3階矩陣A可逆，將A的第2列與第3列交換得

27、到B,再把B的第1列-2倍加到第3列得C,則滿足PA-1=C-1的矩陣P為。解：BAE2,3AE2,3E1,32_1_11C1E2,3E1,32A1若A與B都是方陣（不必同階），則C1PA11AE2,3E1,321A1AE1,32E2,3(1)mnAB若A,B都是n階方陣,E1,3200E1,32E2,300|ABE|1.求下列矩陣的逆矩陣6.設A是n階可逆方陣，將A的第i行和第j行對換后得到的矩陣為B,(1)證明B可逆,(2)求AB-1i.解:Ei,jAA,所以B可逆。2111112100210053cossin0sinacos0001ii.iii.10001001001001000iv.5

28、200210000110021Ei,jA1A1Ei,j1A1Ei,j,AB1Ei,ji.解：根據(jù)分塊矩陣:五、關于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均B可逆:B1CA1119712301100310052i根據(jù)分塊矩陣cossincossinsincossincoscossin0sincos0A1(5)A.EnEnAEnEnAEn0iii.1iv.2.設A、B都是n階可逆矩陣解:AT203.設A為n階可逆矩陣,計算:(1)A1AEn(2)(4)AEnAEnT解：(1)A,En(2)EnAAEnA(3)A,EnA,En(4)A,EnA,EnT4.設A為n階非奇異矩陣,a為n維列向量,b為常數(shù)，記分塊矩陣2

29、)2nEn1A,AT|A|B|(3)EnTAEn(5)EnEnA-EEnATEnEnATAATEnEnEnAATEnEPT*aTA解：PQ因為A?AA(2)證明：矩陣解：PQ5.6.Pq設f(x)x2xx3x4xAEaTAAba(1)計算并化簡PQ。bQ可逆的充要條件是x22x23x34x1113設A、B為a(ax2x3x4x11230027階矩陣,則C的伴隨矩陣為:O國力解：因為CCx2x4x5x1123A,B(B2257ETAAbaTAAaTA1aETA1Abx2x3x4xx22x23x34xb)1113則方程0027f(x)=0有幾個根。005xx116分別為A、B對應的伴隨矩陣,分塊矩

30、陣I®0(DiQABXcAbc'=|c|c-：=BA07.設A、B均為2階矩陣,A,B分別為A、B對應的伴隨矩陣，若A2,|B3A(3B)12(1)n22nb1*3A則分塊矩陣的伴隨矩陣為六、關于伴隨矩陣的知識點若A是n階矩陣，記02A3B003A2B002B3A00D3B2A0AAjT，因此有解:利用AAAE1)n2(2B)1|_2_(1)n6nan*3A1b1Aj是|A|的(i,j)位元素的代數(shù)余子式，規(guī)定A的伴隨矩陣AA*=A*A=|A|E.若A可逆：A*=|A|A-1,即A-1=A*/|A|伴隨矩陣的其它性質(zhì)：如果A可逆，則A*也可逆,并且(A*)-1=A/|A|=(

31、A-1)*0BAAABB10(AT)*=(A*)TAT(Ak)*=(A*)k(Ak)-1=(A-1)k0BAAB003A2B0|A*|=|A|n-1(AB)*=B*A*(cA)*=cn-1A*(AB)T=BTAT(AB)-1=B-1A-18.設A,B均是n階矩陣,a,Bb,C解：直接利用上述公式簡化行列式運算。A11(2B)3A1)nn(1B)13A2*3A當n>2時,(A*)*=|A|n-2A；n=2時,(A*)*=A.證明以上性質(zhì):(3)A?AAA?AA1AA1AA1而(2B)12B2nb1*3A3nA3nA3nan1(4)A?AAATATATA?AA1AA1再證明：ATA-A,所以

32、AATTATAA所以AT1 TA 1所以ATAk16.設a(5)AkAkk1AkAkA1kAA1k22，則A13*1(A)_*1一(2A)(6)AA1IIAA1AA1CACACA1CnAA1"解：Ai(8)ABAB同類型公式:(9)Cn1AA1Cn1A.*|A|=1,(A)A|A|AB1ABT2.設A為n階可逆矩陣*(A)-A3.設n階矩陣*(A)(A)*(C)(A)4.設A是任kA解：因為AABB1A1B_TT_1BTAT,AB1An1AAn,則（一A）*等于*(B)AA非奇異(n(C)(1)nA*2),|A|n|A|n3階方陣,An",B1A1(D)(1)n1A*A*是

33、A的伴隨矩陣，則*n1(B)(A)|A|An2(D)(A)|A|n2AA?是其伴隨矩陣，又k為常數(shù)，且k0,1,則kA5.設A、B均為n階矩陣，|A2解：2nAB2nA*=|A|A-1,*2A)I2A|(2A)32)|A|(2)-*1(2A)(4A7.已知A為3階方陣,(1)A解：（1）(3)1(5)-A32A4A11)1且A=3,求(3)23AA12A(4)3A1A34A1(6)244A1An1329(4)3A3A19(6)3481kAn2(kA)k2n1An2A8.設矩陣A的伴隨矩陣AB3,則2A?B10100103001000,且08ABA-1=BA-1+3E,其中4階單位矩陣，求矩陣B

34、.122n13解：因為ABA-1=BA-1+3EAB3AAABAB3AA一.n13_BAAB3A,因為AAA8A2解：AA?xAA12AxAxE2Ax,因為A4BAAB3A2BAB6E2EAB6E1B62EA4E2AxEx4E2A1010010300I0000-66060006012.設A為n(n2)階可逆矩陣，交換.、.*.A的第1行與第2行得矩陣B,A,B分別為A,B的伴隨矩陣，則9.設矩陣A0*0,矩陣B滿足ABA1._*2BAE,其中A為A的伴隨矩A交換A的第1列與第2列得*B交換A.*的第1行與第2行彳導B.C交換A的第1列與第2列得、-*D父換A的第1行與第2行得B.陣，E是單位矩

35、陣，則B解：E12AB(E12A)*12AE121*lE12AE12解：ABA*A2BA*AA,而A3,3AB6BA,(3A6E)BA,13A6E|BA3,3A6E27,B-.10.設矩陣A、B滿足ABA2BA8E,其中a0020,E為單位矩陣，001A為A的伴隨矩陣，則B=解：AA?BA2ABA8A,因為AA?A2,所以2B2AB8E一一一12ABB4AEB4EB4AE4213.設矩陣置矩陣，若AA11.設矩陣A111111,矩陣X滿足AX1111A2X,其中A是a的伴隨矩AT,其中A是A的伴隨矩陣，AT為A的轉(zhuǎn)a11,a12,a13為3個相等的正數(shù)，則即為二二A=ari：+%4+/&

36、;=q+*+如=間。AEAAT|AE|AAT|A3|A2A3|A©A1七、關于矩陣的秩(1)定義：一個矩陣A的行向量組的秩和列向量組的秩相等，稱此數(shù)為矩陣的秩，記作r(A)。是r(A)=0A=0。如果A是mn矩陣，則r(A)Minm,n。當r(A)=m時，稱A為行滿秩的；當r(A)=n時，稱A為列滿秩的。陣，求矩陣X。對于n階矩陣A,則行滿秩和列滿秩是一樣的，此時就稱A滿秩。于是:命題：任何滿秩矩陣都可以用初等變換化為單位陣。命題：任何滿秩矩陣都可以表示成一組同階初等矩陣的乘積。因此n階矩陣A滿秩有以下性質(zhì)：n階矩陣A滿秩r(A)=n|A|0A可逆與單位矩陣等價矩陣的秩還可以用它的非

37、0子式來看：A的r階子式：任取A的行和列，在它們的交叉位置上的元素所構(gòu)成的行列式，如果它的值不為0,就稱為非0子式。關于A矩陣秩的描述：r(A)n,a中有n階子式不為0,n1階子式全部為0;(兩句話)r(A)n,a中有n階子式全部為0。r(A)n,A中有n階子式不為0。(2)計算命題初等變換保持矩陣的秩不變.階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù)矩陣秩的計算：用初等變換將其化為階梯形矩陣，則此階梯形矩陣的非零行數(shù)就是原矩陣的秩。(3)在矩陣運算中，矩陣的秩有性質(zhì)：若A 0,則r(A)n1(A) r(AT) r(ATA)S) r(kA)r(A)若k 00若k 0r(A) r(B)A是mn矩陣，B是n

38、s矩陣，r(A)r(B)nr(AB)<mjn(a),(B)r(AB)<r(A)r(B)若Am例s，且r(AB)0,則r(A)r(B)<n若A列滿秩，則r(AB)r(B),若B行滿秩，r(AB)r(A)若P、Q可逆，則r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ);(可逆矩陣不影響矩陣的秩)n若(A)nA是n階矩陣，«A)1若(A)n10若(A)n1證明：(A)r(At)r(ATA)解：設A為mn矩陣，x為n維列向量。若x滿足Ax0,則有人TAx0,則A'Ax0。若x滿足ATAx0,則有xTATAx0AxTAx0Ax0即Ax0和AtAx0同解，因此r(A)r(AT)

39、r(ATA)證明：r(AB)<minr(A),r(B)解：設ABC,即矩陣方程AxC有解xB,則滿足rArA.C又因為rCrA,CrArABrA設ABC,BtAtCT,rCTrBTrCrB所以：r(AB)<mjnr(A),r(B)證明：rABrArB解：設A、B為n階矩陣，ABBAB因為rABrAB,BrA,BrA證明：若Amn，Bns，且r(AB)0,則r(A)r(B)<n素的n-1階子式不為0,rA1解：設矩陣B的列向量B1,B2Bs，則由分塊矩陣的乘法可知,AB1,B2BsAB1,AB2ABs0,00ABj0AX0B的列向量是齊次方程組AX0的解，AX0所含解向量的個數(shù)

40、為nrA,所以rBnrArBrAn證明：若P,Q可逆，則r(PA)r(AQ)r(A)解：因為P,Q可逆，所以P,Q是方陣，同理A也是方陣。設P,Q,A都是n階方陣，rprQn又因為rABminA,B,rPArAQrA利用性質(zhì)：rArBnrAB所以：rPrAnrArPArA所以rPArA,rPArAQrAAAA0rArAnrA1,所以rA1若rAn1A0A的所有n-1階子式全為0,所以A0求解下列問題：1 .已知A是mn矩陣，B是ns矩陣，r(B)=n,AB=0,證明A=0.解：因為AB0rArBn,又因為rBn,所以rA0,已知A是mn矩陣，所以rA0,所以rA0,所以A=0或者：因為AB0B

41、的列向量是Ax0的解，又因為rBn,所以Ax0至少有n個線性無關的解，至多有nrA個線性無關的解，所以nnrArA0,rA0,所以rA0,所以a=02 .設A是nm矩陣，b是mn矩陣，滿足aB=I,試證明A的行向量組線性無關，B的列向量組線性無關。證明：若nm,則rAmn,rBmn。r(B),若 B 行滿秩，r(AB) r(A)若 r(A) n若r(A) n 1若 r(A) n 1解：若 rA n A 0 A 0 r A n若r A n 1 A 0 至少存在一個n-1階子式不為0,至少存在一個元同理證明：若A列滿秩，則r(AB)n證明：A是n階矩陣，r(A)10又因rABnminrA,rB,和假設矛盾，只能nm所以rAn,rBn,又因為rArBnrABnrArB2nrAn,rBn所以A的行向量組線性無關，B的列向量組線性無關。2272.設,B是秩為1的3x5矩陣，問矩陣AEB的秩為多少？A036000127解：因為127,rAE3,rB1AE026001根據(jù)：rPArAQrA,所以矩陣AEB的秩為1.3 .設A